微積分平面曲線的弧長

關(guān)于微積分平面曲線的弧長2設(shè)A、B是曲線在弧上插入分點(diǎn)依次用弦將記每條弦的長度為折線長度的極限如果當(dāng)分點(diǎn)無限增加,弧長(長度).弧上的兩個(gè)端點(diǎn),光滑曲線弧是可求長.則稱此極限為曲線弧AB的相鄰兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來,得到一條內(nèi)接折線.一、平面曲線弧長的概念第2頁,共14頁，2024年2月25日，星期天3弧長元素弧長小切線段的長為:弧段的長,設(shè)曲線弧為y=f(x)其中f(x)在[a,b]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).取積分變量為x,任取小區(qū)間}在[a,b]上二、直角坐標(biāo)情形現(xiàn)在計(jì)算這曲線弧的長度.(弧微分)以對應(yīng)小切線段的長代替小第3頁,共14頁，2024年2月25日，星期天4解所求弧長為例懸鏈線方程計(jì)算介于之間一段弧長度.第4頁,共14頁，2024年2月25日，星期天5解例計(jì)算曲線的弧長第5頁,共14頁，2024年2月25日，星期天6曲線弧為弧長其中在[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).三、參數(shù)方程情形現(xiàn)在計(jì)算這曲線弧的長度.取參數(shù)t為積分變量,其變化區(qū)間為對應(yīng)于上任一小區(qū)間的小弧段的長度的近似值,即弧長元素為第6頁,共14頁，2024年2月25日，星期天7解星形線的參數(shù)方程為對稱性第一象限部分的弧長例求星形線的全長.第7頁,共14頁，2024年2月25日，星期天8證設(shè)正弦線的弧長等于s1設(shè)橢圓的周長為s2證明正弦線例的弧長等于橢圓的周長.對稱性第8頁,共14頁，2024年2月25日，星期天9曲線弧為弧長具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).四、極坐標(biāo)情形現(xiàn)在計(jì)算這曲線弧的長度.由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：弧長元素為為參數(shù)的參數(shù)方程第9頁,共14頁，2024年2月25日，星期天10解求極坐標(biāo)系下曲線例的長.第10頁,共14頁，2024年2月25日，星期天11解求阿基米德螺線例第11頁,共14頁，2024年2月25日，星期天12平面曲線弧長的概念直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下求弧長的公式四、小結(jié)第12頁,共14頁，2024年2月25日，星期天13思考題解答僅僅有曲線連續(xù)還不夠,不一定.必須保證曲線光滑才可求長.閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)曲線y=f(x)是否一定可求長?第13頁,共14頁，