全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷和答案

2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)初賽試題

2008年5月18日(14：30—16：30)

一、選擇題(本大題滿分30分，每小題5分)

1.設(shè)集合A={x|x2+x-6<0,且xeZ},則集合A的非空真子集的個(gè)數(shù)為()

(A)13(B)14(C)15(D)16

2.在公差為4的正項(xiàng)等差數(shù)列中，％與2的算術(shù)平均值等于邑與2的幾何平均值，其中其表示數(shù)列

的前三項(xiàng)和，則須為()

(A)38(B)40(C)42(D)44

3.某學(xué)校的課外數(shù)學(xué)小組有8個(gè)男生和6個(gè)女生，要從她們中挑選4個(gè)組成代表隊(duì)去參加比賽，則代

表隊(duì)包含男女各2人的概率為()

4.設(shè)有一個(gè)體積為54的正四面體，若以它的四個(gè)面的中心為頂點(diǎn)做一個(gè)四面體，則所作四面體的體

積為()

(A)1(B)2(C)3(D)4

5.已知橢圓!+《=1的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為鳥，點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，則當(dāng)局「所取最小值

的時(shí)候，P\+PF2的值為()

(A)272(B)3(C)5(D)回

6.設(shè)ae(0,生)則皿色+皿區(qū)的最小值為()

2cosasina

(A)—(B)-V2(C)I(D)-V3

6456

二、填空題(本大題滿分30分，每小題5分)

7.函數(shù)/(幻=卜_1|+卜_3|+卜_5|+卜_7|的最小值為

第1頁(yè)共47頁(yè)

8.函數(shù)/(x)對(duì)任意的x滿足/(x+3)=-——,Ji/(1)=-,則/(2008)=_______________________.

/(x)2

9.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足：=（2〃-1）（2〃+1）（2〃+3），則…,%oo8的最大公約數(shù)d為

10.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=4,則L+L的最小值為_________________

xy

11.用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂途中標(biāo)號(hào)為1,2,…,9的9個(gè)小正方形（如圖）,

使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且“3、5、7”號(hào)

數(shù)字涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有種。

：""=」一：”，則lim%=_________.

b“+i=3b“_4a“"i"

三、解答題（本大題滿分80分，每小題20分）

13.是否存在一個(gè)二次函數(shù)/（x）,使得對(duì)任意的正整數(shù)k,當(dāng)工=巨二j

?個(gè)5

時(shí)，都有/"）=比三成立？請(qǐng)給出結(jié)論，并加以證明.

2*個(gè)5

14.設(shè)F是拋物線V=4x的焦點(diǎn)，橙子奧數(shù)歡迎您，A、8為拋物線上

異于原點(diǎn)。的兩點(diǎn)，且滿足成?麗=0.延長(zhǎng)AR8尸分別交拋物

線于點(diǎn)C、D（如圖）.求四邊形A8C。面積的最小值.

15.已知。。與AABC的邊AS、AC分別相切于尸和Q,與AA8C外接圓

相切于。，M是PQ的中點(diǎn)（如圖）.求證：ZPOQ=2ZMDC.

16.已知，i=l,2,---,n,其中正整數(shù)〃22.

112

（1）求證：對(duì)于一切的正整數(shù)i,都一一+-!■于

af-17-a,23

n1

（2）求）=￡i的最小值,其中約定為+]=6.

日"（加一1）（7一%）

2008年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)初賽試題

第2頁(yè)共47頁(yè)

參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說(shuō)明：

1、評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).選擇題和填空題只設(shè)5分和0分兩檔；其它各

題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分，不要再增加其它中間檔次

2、如果考生的解答題方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)閱時(shí)

可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，5分一個(gè)檔次，不要再增加其它中間檔次.

一、選擇題(本大題滿分30分，每小題5分)

1、B2、A3>C4、B5、B6、C

二、填空題(本大題滿分30分，每小題5分)

3+261

7、88、-29、310、———11、10812、-

44

三、解答題(本大題滿分80分，每小題20分)

13、是否存在一個(gè)二次函數(shù)/(x),使得對(duì)任意的正整數(shù)4,當(dāng)》=竺三時(shí)，都

A個(gè)5

有/(X)二巨二j成立？請(qǐng)給出結(jié)論，并加以證明.

24個(gè)5

解：存在符合條件的二次函數(shù).…5分

設(shè)=,則當(dāng)女=1,2,3時(shí)有：/(5)=25a+5h+c=55①；

/(55)=3025。+55b+c=5555②；/(555)=308025。+555b+c=555555③.

OQ

聯(lián)立①、②、③，解得ab=2,c=0.于是，/(x)=+2x.10分

Q

下面證明：二次函數(shù)/(九)=1/+2%符合條件.

因?yàn)?5(1+10+100+…+1()1)=2(10"-1),

同理：55-5=-(102*-1)；…15分

9

5955

/(55-5)=/(-(10A-1))=[-(10A-1)]24-2X-(10^1)

'~y~*95799

*個(gè)5

=-(10A-l)2+2x-(10i-1)=-(10A-1)(10*+1)=-(102*-1)=55---5.

9999

Q

所以，所求的二次函數(shù)/(工)=：/+2”符合條件.……20分

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14、設(shè)尸是拋物線丁=4》的焦點(diǎn)，48為拋物線上異于原點(diǎn)。的兩點(diǎn)，且滿足麗?麗=0.延長(zhǎng)

AF.B尸分別交拋物線于點(diǎn)C、D(如圖).求四邊形A6C。面積的最小值.

解：設(shè)4a,yj、C(x2,y,),由題設(shè)知，直線AC的斜率存在，設(shè)為k.

因直線AC過焦點(diǎn)F(l,0),所以，直線AC的方程為卜=%。-1).

聯(lián)立方程組F,=躍了一0,消y得k2x2-2(k2+2)x+公=o

y=4x

2女2+4

由根與系數(shù)的關(guān)系知：+x=---2—,xix2=1...5

2K

于是|AC|=/占一々)2+(y-丫2>=J1+&2J(x+々)2

/—F,2.+4丫4(1+Jt2),

一4=—……in分z

又因?yàn)锳C，8。，所以直線8。的斜率為一,，

k

從而直線BO的方程為：y=--(x-l),同理可得|6￡>|=4(1+公).……15分

k

故SABCD=〈A8|?|C0=8(1：，)-=8*+/+2)28X(2+2)=32

NKK

當(dāng)女=±1時(shí)等號(hào)成立.所以，四邊形A3。的最小面積為32.……20分

15、已知③。與AA8C的邊A3、AC分別相切于尸和。，與AA6c外接圓相切于O,仞是P。的中

點(diǎn)(如圖).橙子奧數(shù)工作室歡迎您.求證：4P0Q=24MDC.

證明：如圖，連結(jié)AO、AD,30和。Q.

；AP、AQ分別與。O相切于P、Q

，AP^AQ

,：OP和OQ都是。。的半徑，

ZAPO=ZAQO=W...5分

二由對(duì)稱性知NPOQ=2NAOQ,且。4_LPQ于M.

OD2=0^=OMOA,BP—=—……10分

OMOD

又?；ZD0M=ZAOD,\D0M\AOD

二Z0DM=ZOAD15分

第4頁(yè)共47頁(yè)

過。作兩圓的公切線。E,則NCOE=NC4O

又，：0D1DE,即NODE=90°

:.ZMDC=90-NODM-ZCOE=90°-ZOAD-ZDAC

=90°-NOAQ=NAOQ

故ZPOQ=2ZMDC....20分

16、已知i=,其中正整數(shù)〃N2.

112

（1）求證：對(duì)于一切的正整數(shù)i,都有一一+」二

a,2-l1-aj3

（2）求S=￡〃/1的最小值,其中約定〃的二4.

，=1-1）（7-硝）

（1）證明：對(duì)于一切的正整數(shù)i,

11662「八

—:---1-----7=-0--------丁N---------------7=_.5分

d—l7-a；伍"1）（7_*@7+7-召3

“1M2

（2）由Cauchy不等式矢口S=2/,、>—―10分

;=14d-1）（7一片I）￡?a；-D（7-a，）

i=l

27

n"_n~_n

>15分

豆（a；-1）+（7-4+i）W（q--+】+3）3

2/=12

n

當(dāng)q=%=??=〃〃=2時(shí)，等于成立，所以S有最小值§20分

2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

c-5-4x+

/Tn--------------_

1.函數(shù)2-X在（■a.T）上的最小值

是（C）

A.0B.1C.2D.3

第5頁(yè)共47頁(yè)

2.設(shè)4=［一23）,若Ed,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為）

AB[-U2]C.風(fēng)可D10.3)

3.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得。分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止.設(shè)甲

2￡

在每局中獲勝的概率為W,乙在每局中獲勝的概率為彳，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)？的期望髭

為（）

MlTH?70

A.~8lc.ITD.W

4.若三個(gè)棱長(zhǎng)均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564cm2,則這三個(gè)正方體的體積之和

為

（）

A.764cn?或586cm3B.764cm3

C.586cn?或564cm3D.586cm3

x+/<-c-0f

5.方程組-口的直理數(shù)解（工尸逐）的個(gè)數(shù)為

H+N+N+y()

A.1B.2C.3D.4

anXcotC+cosA

6.設(shè)乂皿的內(nèi)角兒耳G所對(duì)的邊，*#成笠比數(shù)列，則的1BcotC+cosb的取值范圍

是（）

A.QE

卑畢（亨⑺

二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）

7,設(shè)/W=a”,其中?！?、為實(shí)數(shù)，。力?/W,,?=1.口…，若力（力-128^+381,

則盤+S?.

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8.設(shè)人勘.皿女-爾.00.?的最小值為-Q,則。

9.將24個(gè)志愿者名額分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少有一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法共有種.

*ZI?

io.設(shè)邈13」的前H項(xiàng)和工滿足：',4+0,?=tX—,則通項(xiàng)兄一

ii.設(shè)加）是定義在R上的函數(shù),若貝D-2M8,且對(duì)任意xwR,滿足

人*+4一/?432?，g+6-7U）之&中，則爪的叫

12.一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長(zhǎng)為4百的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容

器內(nèi)壁的面積是.

三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）

13.已知函數(shù)JUOT血xi的圖像與直線>■以a>o）有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為儀,求證：

1

-----c--o-s--a-------L--+--a--

sina+siii3a4a

14.解不等式1MB+*+/+"+1)<1++D

15.如題15圖，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)4G在y釉上，圓（*一r+y-1內(nèi)切于求"K?面積的

最小值.

2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

貴州賽區(qū)預(yù)賽試卷

試題所涉及的知識(shí)范圍不超出現(xiàn)行《全日制普通高中高級(jí)中

學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容和要求，在方法的要求上

第7頁(yè)共47頁(yè)

有所提高，主要考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)和基本技能的掌握情況，包括10道填空題和3道解答題,

全卷滿分100分，考試時(shí)間為120分鐘.

一、填空題(每題6分，共60分)

1.已知函數(shù)/'(x)=/+lg(x+J，+i),若f(-D=L62,則f(l)=.

X

2.定義b-a叫集合{沫右后b}的“長(zhǎng)度”.設(shè)M={MmSEm+±},N={x|n--<^<n},且M、N都是

43

集合"|0突1}的子集，那么集合MAN的“長(zhǎng)度”的最小值為.

3.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c,且a+b-c=l,已知長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為1,且arb,

則c的取值范圍是.

4.若關(guān)于的方程aZv+(l+lgm)aA+l=0伍>0且爾1)有解，則m的取值范圍是

5.對(duì)于任意n￡N,,拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸相交于An、Bn兩點(diǎn)，則

|AlB11+|A2B2+...+IA2009B2009|=-

6.某文娛隊(duì)的每位隊(duì)員至少會(huì)唱歌、跳舞中的一項(xiàng)，該文娛隊(duì)共有n名隊(duì)員，已知其中會(huì)唱歌

的有2人，會(huì)跳舞的有5人.現(xiàn)從中選出2人，設(shè)￡為選出的2人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人

7

數(shù),且P(￡>0尸一，貝Un=.

10----------------

7.一個(gè)圓周上有9個(gè)點(diǎn)，以這9個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)這三個(gè)三角形的邊互不相交時(shí)，我

們把它稱為一種“構(gòu)圖”，則不同的“構(gòu)圖”共有種.

Yv2

8.已知點(diǎn)A(4,0)、B(2,2),M是橢圓石+]=1上的動(dòng)點(diǎn)，則|MA|+|MB|的最大值為

9.已知向量a、3、c滿足|a|=|B|=2,|c|=1,(a-c)?(B-c)=0,則|a-B|的取值范圍是

10.已知角a、0滿足2sin2a+sin20-2sina=O,則cos2a+cos2p的取值范圍是.

二、解答題(共40分)

11.(12分)有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能把大門上的鎖打開。設(shè)抽取鑰匙

是相互獨(dú)立且等可能的，每把鑰匙試開后不再放回，求試開次數(shù)￡的分布列及數(shù)學(xué)期望EE.

12.(14分)已知函數(shù)f(x)=-2x+4,

第8頁(yè)共47頁(yè)

令S"=屋■)+/(2)+…+/(±」+〃1)(〃eN*),若不等式《<《二恒成立，求實(shí)數(shù)。的取

〃〃〃S“S,+|

值范圍.

r221

13.(14分)設(shè)橢圓Ci的方程為滔?+方v=1(a>h>0),曲線C2的方程為y=[,且Ci與C2在

第一象限內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)P.

(1)試用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)設(shè)F[、F2是Ci的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)。變化時(shí)，求APKg的面積函數(shù)f(a)的值域；

(3)設(shè)g(a)是以Ci的半焦距為邊長(zhǎng)的正方形的面積，求函數(shù)y=min{f(a),g(a)}的表達(dá)式。

2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州賽區(qū)預(yù)賽試卷參考

答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、填空題

題號(hào)12345678910

12009

答案2.38(0,-)(0,103]5910+2亞[V7-1,V7+1][1，2]

n32010

二、解答題

11.￡的分布列為

第9頁(yè)共47頁(yè)

10分

L,1C110+1

Es=l,—+2?一+...+n?一=---12分

nnn2

12.

__.12n—\,.,

Sn=-2(—I---1-...H------1-1)+4/2=3〃—1

nnn

,,a"an+'犯a

由一<---,得)<0①4分

s〃+]3/2-13n+2

顯然，存0.

1

(1)當(dāng)a<0時(shí),J＞0恒成立，則"'＜0,但n為偶數(shù)時(shí)，卅＞(),矛盾，所以。＜0

3n-l3〃+2

不合題意....8分

因?yàn)?，?,由式①得?！等绻?

(2)當(dāng)介0時(shí),+上

3?-13/J-1

3355

由于一^隨n的增大而減小，故當(dāng)n=l時(shí)，1+上一取最大值2,從而。＞乙

3?-13〃一122

ae§，+8)?.................

即14分

13.解：(1)將產(chǎn)L代入橢圓C1的方程，得衛(wèi)+工=1,化簡(jiǎn)得b2x42b2*2+/=(),

xabx

6B

有條件有△=/b4-4a2b2=0,得4b=2,解得x=x=——相〃(舍)

(心，也)

故P點(diǎn)的坐標(biāo)為.................................4分

2a

(2)?.?〔4用|=2JY一從，且高為它.

a

f(a)=；.2而萬(wàn).曰=卜1-*)

22—

丁a〉匕>0,。a>—即?！祦?/p>

aa

得0<N<l,于是0</(a)〈行.即/(a)e(0,72)

......................9分

a

第10頁(yè)共47頁(yè)

(3)g(^z)=c2=?2-b2=a2—-，由g(a)Nf(a)得<22—->.2(1—-)

a~a~\a

整理得/_10/+24加，即(a4-4)(/-6)>0,

解得/痣或aW?(舍去)

故y=min{f(a),...........................................14分

2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北賽區(qū)預(yù)賽宜昌賽區(qū)

組織工作的幾點(diǎn)說(shuō)明

各高中：

根據(jù)全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽湖北賽區(qū)組織委員會(huì)文件精神，為切實(shí)組織好

2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，現(xiàn)就宜昌賽區(qū)有關(guān)工作安排說(shuō)明如下：

1、湖北賽區(qū)預(yù)賽時(shí)間為：2009年5月23日（星期六）,北京時(shí)間：8：00—10：00o

2、預(yù)賽命題內(nèi)容與形式：根據(jù)現(xiàn)行“高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱”的要求，“全國(guó)高中數(shù)

學(xué)聯(lián)賽（一試）”所涉及的知識(shí)范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)

教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，但在方法的要求上有所提高。主要考查學(xué)生

對(duì)基本知識(shí)和基本技能的掌握情況，以及綜合、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。湖北賽區(qū)預(yù)賽

試題在內(nèi)容上略有拓展，包括8道填空題（每題7分）和4道解答題（分別為14分、

15分、15分、20分），滿分120分。

3、湖北賽區(qū)預(yù)賽試卷于2009年5月21日下發(fā)，請(qǐng)各校按時(shí)到宜昌市教研中心領(lǐng)取,

聯(lián)系人：曾慶榮，電話湖北賽區(qū)預(yù)賽試卷的標(biāo)準(zhǔn)答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)將在2009

年5月23日考試結(jié)束后公布在網(wǎng)站（http:〃202.114.40.2）請(qǐng)自行下載。

4、湖北賽區(qū)預(yù)賽考試結(jié)束后，由各考點(diǎn)校負(fù)責(zé)組織閱卷和評(píng)獎(jiǎng)。為兼顧公平和公

正，省獎(jiǎng)設(shè)定以校為單位統(tǒng)一劃線，其中省一等獎(jiǎng)?wù)紖①悓W(xué)生總?cè)藬?shù)1%,二等獎(jiǎng)?wù)碱I(lǐng),

三等獎(jiǎng)?wù)?5%,最后省一、二等獎(jiǎng)的確定由宜昌市教研中心送省統(tǒng)一審定。

5、各校應(yīng)于2009年5月27日前將獲得湖北賽區(qū)預(yù)賽一等獎(jiǎng)的學(xué)生的試卷

寄或送宜昌市教研中心曾慶榮老師處（電話0717-6440149）,并

將獲獎(jiǎng)（湖北賽區(qū)預(yù)賽一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)）學(xué)生的成績(jī)表（含學(xué)生姓名、

考號(hào)、學(xué)校、指導(dǎo)教師、考試成績(jī)、獲獎(jiǎng)等級(jí)等項(xiàng)目）的電子版（Excel排版）

發(fā)送到電子郵箱：fjm002恥。m.com。對(duì)一等獎(jiǎng)獲得者的指導(dǎo)教師頒發(fā)“輔導(dǎo)學(xué)生

成績(jī)突出”證書。

第11頁(yè)共47頁(yè)

6、根據(jù)聯(lián)賽組委會(huì)規(guī)定，湖北賽區(qū)預(yù)賽收費(fèi)7元，其中4元上交省市作為

組織考試、制卷、評(píng)獎(jiǎng)等開支，剩余3元作為學(xué)校組織考試與閱卷。有關(guān)費(fèi)用在

提取試卷時(shí)一并上交。

7、湖北賽區(qū)宜昌預(yù)賽各校要成立專班，精心安排考場(chǎng)，每個(gè)考室40人，要

嚴(yán)肅考試紀(jì)律，不得更改考試時(shí)間，嚴(yán)禁弄虛作假，要切實(shí)維護(hù)考試的權(quán)威和公

平，確?？荚嚦煽?jī)真實(shí)有效。競(jìng)賽期間市競(jìng)賽組委會(huì)將統(tǒng)一派巡視員巡視。

宜昌市教育學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)

二00九年三月十八日

2009年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽人數(shù)報(bào)名表

學(xué)校人數(shù)領(lǐng)卷人

夷陵中學(xué)

宜昌市一中

枝江一中

興山一中

葛洲壩六中

長(zhǎng)陽(yáng)二中

三峽高中

枝江二中

當(dāng)陽(yáng)一中

宜昌外校

長(zhǎng)陽(yáng)一中

宜都一中

宜都外校

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遠(yuǎn)安一中

宜昌市七中

當(dāng)陽(yáng)二中

秫歸一中

宜昌市二中

合計(jì)

2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽青海賽區(qū)初賽（A）試題

一、填空題（每小題7分，共56分）

1、己知數(shù)列｛aj中，a]=-1,an+1-an=an+1-an,則數(shù)列通項(xiàng)公式a”=.

2、已知sinacos￡=1,貝!Icos(0+/?)=

3、將號(hào)碼分別為1、2、……、9的九個(gè)小球放入一個(gè)袋中，這些小球僅號(hào)碼不同，其余完全相同。甲從袋

中摸出一個(gè)球，其號(hào)碼為a,放回后，乙從袋中再摸出一個(gè)球，其號(hào)碼為b,則使不等式a-2b+10>0成立的

事件發(fā)生的概率等于.

4、用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給圖中的A、B、C、D四個(gè)小方格涂色

（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊的小格）不同色，則不同的

涂色方式種數(shù)為.

5、設(shè)點(diǎn)。是AABC的外心，AB=13,AC=12,

則BC?AO=.

6、設(shè)函數(shù)f0（x）=|x|,f,（x）=|f0（x）-l|,f2（x）=|L（x）—2|,則函數(shù)f2（x）的圖像與x軸所圍成圖形中的

封閉部分的面積是.

7、過直線I：y=x+9上的一點(diǎn)P作一個(gè)長(zhǎng)軸最短的橢圓，使其焦點(diǎn)為耳（一3,0）,F2（3,0）,則橢圓的方

程為.

8、把一個(gè)長(zhǎng)方體切割成k個(gè)四面體，則k的最小值是.

二、解答題（第9題14分，第10題和第11題各15分，共44分）

9、如圖，設(shè)D、E是aABC的邊AB上的兩點(diǎn),

已知NACD=/BCE,AC=14,AD=7,AB=28,

CE=12,求BC

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10、若不等式4+百W左可虧對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x、y成立，求k的取值范圍.

"、數(shù)列也}滿足：21=”向%+1）?*+1）；令……緘

開始

2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題

一、填空題（每小題6份，共60分，本題共10小題，要求直接將答案寫在

橫線上）

使

”

的

1.已知集合A={xeH||九一2區(qū)1},B={xeR|±^>0}，則值

2-x增

加

Ac8=；1

2.圖1是一個(gè)算法流程圖，若輸入〃=1,則最終輸出的數(shù)據(jù)

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圖1

是;

3.設(shè)圓V+j?=1的一條切線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,貝的最小值為

22~X,X<2

4.已知函數(shù)/(x)=?若關(guān)于X的方程

log3(x+l),x>2

/(X)=機(jī)有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

用區(qū)間形式表示)

5.設(shè)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，/(1)=2,當(dāng)x>0時(shí)，/(尤)是增函數(shù)，且對(duì)任意的X'ye/?,

都有/(x+y)=/(%)+f(y)，則函數(shù)/(x)在敬意［-3,-2］上的最大值是

6.對(duì)于〃eN+,若〃-2"+1是3的整數(shù)倍，則〃被6除所得余數(shù)構(gòu)成的集合是

7.如圖2,AB是半圓0的直徑，C、D是半圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且CD

若半圓的半徑為1,則梯形ABCD周長(zhǎng)的最大值是

8.如圖3,在AABC中，AB=3,AC=5,若0為

△ABC的外心，貝I］彩?前的值是

9.一個(gè)含有底面的半球形容器內(nèi)放置有三個(gè)兩兩外切的小球，若這三

球的半徑均為1,且每個(gè)小球都與半球的底面和球面相切，則該半球的半徑

10.把長(zhǎng)為。的線段分成三段，這三條線段能構(gòu)成三角形的概率為

二、解答題(每小題20分，共60分)

11.設(shè)0<a<%，%<￡<2%,若對(duì)任意的xe火，等式cos(x+a)+sin(x+￡)

+J^cosx=0恒成立，試求a、夕的值。

12.如圖4,已知兩點(diǎn)4(一行,0)、B(V5,0),AABC的內(nèi)切圓的圓心在直線x=2上移動(dòng)。

(1).求點(diǎn)C的軌跡方程；

⑵.過點(diǎn)M(2,0)作兩條射線，分別交⑴中所求軌跡于P、。兩點(diǎn)，且而?而=0,求證：直線P。

必過定點(diǎn)。

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13.已知函數(shù)/(%)=等±］，數(shù)列｛〃〃｝、｛，?｝滿足％>0,4>0,%=/(%)，"/(如)，

4x+4

n=2,3….

(1).求為的取值范圍，使得對(duì)任意的正整數(shù)名都有。

(2).若4=3,々=4,求證：0<b—a<——-，n—1,2,3….

nnnn8"—I

第一試

一、數(shù)列｛〃“｝滿足a［=4,%+］?！?6%+1—4a“一8=0,記人“=―-—,n&N+

%-2

(1)求數(shù)列步“｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛4,一,｝前〃項(xiàng)和S"

二、如圖，PA、PB為圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B,過點(diǎn)P的直線交圓O于C、D兩點(diǎn)，交

弦AB于點(diǎn)Q,

求證：PQ2=PCPD-QCQD

9=2+

三、設(shè)(x+1)',(x-3)x"+a^x"+a2%"+…+fln_|x+cin,p,Q&N.

第16頁(yè)共47頁(yè)

（1）.若q=42,求證：3”是完全平方數(shù);

（2）證明：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)對(duì)（p,4）,使得q=a2.

四、（1）證明：對(duì)任意的%>0,>>0有」一2」-------二

1+x\+y（l+y）2

1々2々〃,〃c"

703j2

⑵證明：c：.一+C.寧節(jié)+Q++>-

32+1"3"+13"+2"

參考答案

1.己知集合A={xeH||x-2區(qū)1},B={xeR\^^->0}>則Ac8=

2-x

解：卬2<x^3|.

易知A=|%I2WZW3],B=,所以AnB=)x12<4W3}.

2.圖1是一個(gè)算法流程圖，若輸入〃=1,則最終輸出的數(shù)據(jù)是

解：63.

依題意，所求n應(yīng)為滿足不等式當(dāng)山>2009的最小正整數(shù).

用估算法可得n=63.

3.設(shè)圓f+J=1的一條切線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,貝的最小值為；

解2

根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)切點(diǎn)為P（3~iM,0<。（子,>JIPAI=tane,

\PB\=cot0.

IABI=IP4I+IPB\=tcomO+caON2,

當(dāng)且僅當(dāng)Sr田=co始，即e=小時(shí)取等號(hào).

4

故的*=z

4.己知函數(shù)/（x）=[2'*<2，若關(guān)于龍的方程/（幻=機(jī)有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)根的

log3（x+l）,x>2

取值范圍是用區(qū)間形式表示）

解：（1，+8）,（二.”

在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=/（G和y=m的圖象如圖2所木-------

示,易知當(dāng)m>l時(shí)，方程/（￡）=m有兩個(gè)不同的實(shí)根.圖2

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5.設(shè)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(I)=2,當(dāng)x>0時(shí)，/(x)是增函數(shù)，且對(duì)任意的

都有f(x+y)=f(x)+f(y),則函數(shù)/(x)在敬意［-3,-2］上的最大值是

因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)，所以在(-8,0)上也是增函數(shù)，則

/(-3)?/(?)=￡/(-2).

又/(2)=/(1)+AD=4,所以夫-2)=-?2)=-4.

故函數(shù)”就在「-3.-21上的最大值為-4.

6.對(duì)于〃eN+,若〃-2"+1是3的整數(shù)倍，則〃被6除所得余數(shù)構(gòu)成的集合是。

解:

n-2"+1=n(3-l)'+l=3M+(-1尸?n+1,其中M€N.

因?yàn)?1丁2?+1,所以31(-I)--n+1.

當(dāng)n=6k(AeN*)時(shí),(-1),,n+1=6k+1=1(mod3)；

當(dāng)n=6A+l(^€N)時(shí),(-1)",n+1=-64^0(mod3)；

當(dāng)n=6A+2(A€N)時(shí)，(-1)'-n+1=6fc+3=0(mod3)；

當(dāng)n=6A+3(k€N)時(shí),(-!),-n+1=-6k-2ml(癡3)；

當(dāng)n=6k+4(A￡N)時(shí)，(-1),,n+1=6k+5三2(mod3)；

當(dāng)n=6k+5(A€N)時(shí),(-l)**n+l=-6k-4^2(mod3).

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)n=6k+1,或n=6A+2(keN)時(shí),3In?:>=<

7.如圖2,AB是半圓O的直徑，C、D是半圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且CD〃(/\\AB,

若半圓的半徑為1,則梯形ABCD周長(zhǎng)的最大值是必--------5——

圖2

［方法1］如圖3,連結(jié)4C,過點(diǎn)C作CHJLAB于H.設(shè)4ABe=6(0。

<y)AZ)=BC=ABcosO=2co30,^BH=BCcatO=2a?2tf,?fWCD=AB-2BH=2-4cos20.故

梯形ABCD的周長(zhǎng)為/=AB+BC+CD+DA=4+4OM。-4aM2。=5-4(o?0-y)2.

所以，當(dāng)C<M6=/，即"時(shí)，L=5.

(方法2］如圖4,C、