2022-2023學(xué)年河南省駐馬店市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年河南省駐馬店市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)為即=7-2noi6N+),則的值為()

A.1B.3C.5D.7

2.直線久—2y—3=0平分圓/+y2—2ax+2y-1=0(aGR),則a=()

A.1B.—1C.3D.—3

3.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2,1^3)到坐標(biāo)平面%Oy的距離為()

A.2B.<3C.3D.4

4.定義在R上的函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［2,2+/久］⑷>0)內(nèi)的平均變化率為光=(Ax)2+

2/x+l,其中/y=/(2+/x)—/(2),則函數(shù)/(?在x=2處的導(dǎo)數(shù)((2)=()

A.-1B.1C.3D.9

5.橢圓C；卷+，=1(a>6〉0)的左右焦點(diǎn)為&,尸2，點(diǎn)。為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，

點(diǎn)M,N滿足銅=而，F(xiàn)\M=M'P,2ON=OP+~0F1,若四邊形MONP的周長等于4b,則

橢圓C的離心率為e=()

A.1B.土C.—D.2

2223

6.函數(shù)/(%)=ex(x2一％+1)-1x3-|x2+［的極值點(diǎn)為()

A.x=0和x=-lB.(0,奇和(一1,1)C.x=-1D.(-1,|)

7.下列說法正確的是()

A.某同學(xué)定點(diǎn)投籃每次命中的概率均為三每命中一次得2分，若記10次投籃得分為X,則隨

機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，簡記X?8(10,')

B.某工廠生產(chǎn)了一批產(chǎn)品50件，其中質(zhì)量達(dá)到“4級”的有20件，則從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取

io件，記錄抽到的產(chǎn)品中為“非a級”的個(gè)數(shù)為丫，則隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望為E(y)=4

C.若隨機(jī)變量(X,y)的成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)|r|=1,則認(rèn)為隨機(jī)變量x與丫是確定的函數(shù)

關(guān)系，不是線性相關(guān)關(guān)系

2

D.若隨機(jī)變量X?其分布密度函數(shù)為/(?=點(diǎn)e--QGR)，則P(X>1)>!

8.設(shè)a=K—l，b=sin%c=g,則()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.一批電阻的阻值X（單位：①服從正態(tài)分布N（1000,25）,現(xiàn)從甲、乙、丙三箱成品中各隨

機(jī)抽取一只電阻，測得阻值分別為10120,986。1025/2,則可以認(rèn)為（）

A.甲、乙、丙三箱電阻均可出廠B.甲、乙兩箱電阻可出廠

C.乙、丙兩箱不可出廠D.丙箱電阻不可出廠

10.下列直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的是（）

A.x-y=2023B.x+y=2023

C.%+2023y=0D.2023%+y=2024

2

11.已知（1—2%）2°23=a。+arx+a2x4------Fa2023K2023,則下列正確的是（）

A.d]+g++…+。2023=-2

B.—。2+。3—。4+…+（-02022）+。2023=1—3?023

C.a1+2。2+3。3+…+2023（12023=4046

D.DI+㈤+…+1。2023|=32°23

12.如圖，平行六面體4C1中，乙=/&A8=45。，AD=

AB,AC與BD交于點(diǎn)0,則下列說法正確的有（）

A.平面"。出1平面

B.若14toi=\AO\,則平行六面體的體積U=，

MiQS四邊形

C.A^O=^AB+^AD+AA1

D.若NB4D=60°,則cosN&aC=?

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若隨機(jī)變量X?8（6,p）,且E（X）=2,貝葉（X=3）=.

14.已知遞增的等比數(shù)列｛an｝中，a2=l,a4=4,則數(shù)列｛廝｝的前6項(xiàng)之積為.

15.共和國勛章，是中華人民共和國最高榮譽(yù)勛章，授予在中國特色社會(huì)主義建設(shè)和保衛(wèi)國

家中做出巨大貢獻(xiàn)、建立卓越功勛的杰出人士.共和國勛章獲得者有于敏、袁隆平、申紀(jì)蘭、

張富清、黃旭華、孫家棟、李延年、屠呦呦、鐘南山，前四位共和國勛章獲得者已經(jīng)作古.某

校為了學(xué)習(xí)共和國勛章獲得者的先進(jìn)事跡，弘揚(yáng)時(shí)代精神，特在校園主干道設(shè)立并排的9個(gè)宣

傳欄，前四位共和國勛章獲得者的先進(jìn)事跡安排在1—4號(hào)欄，1—4號(hào)欄已經(jīng)安排好，其余五

位安排在5—9號(hào)欄.黃旭華和孫家棟兩位的先進(jìn)事跡安排在5至7號(hào)欄,李延年的先進(jìn)事跡欄不

放在9號(hào)，則不同的安排順序有種(用數(shù)字作答).

16.若函數(shù)〃K)="光—兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

三臺(tái)車床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.05,第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.03,

第三臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.06,加工出來的零件放在一起，并且已知第一、二、三臺(tái)加工的

零件之比為3：4：3.

(1)求任意取出1個(gè)零件是廢品的概率；

(2)如果任意取出的1個(gè)零件是廢品，求它是第二臺(tái)車床加工的概率.

18.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛冊｝滿足：＜21=1,且—2dn=71—1,其中71eN*.

(1)證明數(shù)列｛廝+以是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列的前踐項(xiàng)和％.

19.(本小題12.0分)

已知矩形A8CD中，AD=2AB=4,4。的中點(diǎn)為M,將AABM繞著折起，折起后點(diǎn)4記作

P點(diǎn)(不在平面8CDM內(nèi))，連接PC,得至IJ幾何體P—BCDM,APBC為直角三角形.

(1)證明：平面PBM_L平面BCDM；

(2)求平面PBC與平面PCD所成角的正弦值.

20.(本小題12.0分)

市場監(jiān)管部門對某線下某實(shí)體店2023年前兩季度的月利潤情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如

表：

月份X123456

凈利潤y(萬元)1.01.41.72.02.22.4

(1)是否可以用線性回歸模型擬合y與％的關(guān)系？請用相關(guān)系數(shù)r加以說明；(參考：若|川>0.75

時(shí)，則線性相關(guān)程度較高，0.3<\r\<0.75,則線性相關(guān)程度一般，計(jì)算r時(shí)精確度為0.01)

(2)利用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程；用樣本估計(jì)總體，請預(yù)估第9月份的利潤.

附：對于一組數(shù)據(jù)(3,女)。=1,2,3,…,幾)，其回歸直線-=a+的斜率

￡之1%/一mt”

"的”a"%相關(guān)系數(shù)“

￡之1宅一九(n)2］￡仁一九0)2

參考數(shù)據(jù)5=1.78,6(同2x19.01,￡匕陽％=42.3,岑=1*=20.45,V17.5X1.44?5.02,

246

5.02,級=0.28.

21.(本小題12.0分)

已知/(久)=ax2—cosx—xsinx+a(a￡R).

(1)當(dāng)a=，時(shí)，求y=/(x)在［一兀,兀］內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意的比CR時(shí)，/(久)22恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知點(diǎn)6(—6,0)、6(6,0)，AMFiF2的內(nèi)切圓與直線F/2相切于點(diǎn)

。(4,0),記點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x=2上，過T的兩條直線分別交C于4、B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，連接BP,4Q.若

直線48的斜率與直線PQ的斜率之和為0,試比較COSNBAQ與COSABPQ的大小.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：,?,a九=7-2n(nEN+),

a3=7-2X3=1.

故選：A.

令九=3代入即可.

本題主要考查了數(shù)列的概念，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)橹本€％—2y-3=0平分圓久2+y2-2ax+2y—1=0,

x2+y2-2ax+2y-1—0化為(x—a)2+(y+l)2=a2+2,

所以直線x-2y-3=。經(jīng)過該圓的圓心(a,-1),

則a—2X(—1)—3=0,即a=l.

故選：A.

直線平分圓，說明直線過圓心，把圓心坐標(biāo)代入直線方程可得答案.

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2,3)到坐標(biāo)平面xOy的距離即為豎坐標(biāo)3.

故選：C.

由空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的定義即可求解.

本題考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo)定義，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：由導(dǎo)數(shù)的定義可得,(2)=Ax^0‘°+髭-"2)=0[(21%)2+2Ax+1]=1.

故選：B.

利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得r(2)的值.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：因?yàn)殂~=而，所以點(diǎn)M為線段P&的中點(diǎn)，

因?yàn)槎鷼v=麗,2而=赤+西，

所以而一加=理一而，

即麗=函，

所以點(diǎn)N為線段PF2的中點(diǎn)，

又因點(diǎn)。為線段&&的中點(diǎn)，

11

所以。M〃PF2且|0M|=^|PF2|,ON〃PF1且|0N|=抑6|,

所以四邊形MONP的周長為|P6|+\PF2\,

又因點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，

所以|P0|+\PF2\=2a,

所以2a=4b,即2=入

a2

故橢圓C的離心率為e=￡

a

故選：c.

根據(jù)五而=而，F(xiàn)\M=h4P,20N=0P+0F^,可得點(diǎn)M為線段P&的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段P4的中

點(diǎn)，再根據(jù)四邊形MONP的周長結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解.

本題考查橢圓的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：f(x)=ex(x2-x+1)-一品2+2，

???/'(%)=ex(x2—%+1)+ex(2x—1)—%2—%

=x(x+l)(ex—1).

令((%)=0,解得汽=-1或％=0.

當(dāng)%€(-8,-1)時(shí),f(x)<0,當(dāng)％€(-1,+8)時(shí),//(%)>0,

/(%)的單調(diào)減區(qū)間為(―8,—1),單調(diào)增區(qū)間為(—1,+8).

111

???函數(shù)/(%)=ex(x2—%+1)--x3--x2+W的極值點(diǎn)為%=-1.

故選：c.

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求得原函數(shù)的極值點(diǎn).

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：對于4由題意，記10次投籃命中的次數(shù)為％,則X=2久，

隨機(jī)變量命中次數(shù)比服從二項(xiàng)分布，而隨機(jī)變量投籃得分X不服從二項(xiàng)分布，故A錯(cuò)誤；

對于B,由題意隨機(jī)變量丫服從超幾何分布，則E(Y)=是彩=6,故8錯(cuò)誤；

對于C,若隨機(jī)變量(X,y)的成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)|r|=1,

則認(rèn)為隨機(jī)變量x與y是確定的函數(shù)關(guān)系，且是線性相關(guān)關(guān)系，故c錯(cuò)誤；

2

對于D,因?yàn)殡S機(jī)變量X?N(〃R2),其分布密度函數(shù)為〃久)=&e-厘(xeR)，

所以4=2,(r=l,則P(X>1)>P(X>2)=5故。正確.

故選：D.

根據(jù)二項(xiàng)分布的定義即可判斷4根據(jù)超幾何分布的期望公式即可判斷8；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義即

可判斷C;根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可判斷。.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和方差，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：b-c=sin(|X^)-令/'(x)=sin&)—x,

則/(%)=^cos(^x)-1,

根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，

得，⑺在(05)單調(diào)遞減，且廣告)=學(xué)一1>0,

z24

所以f(x)在(0,今單調(diào)遞增，所以居)>/(0)=。，即b>c；

令h(%)=ex—x—1,hf(x)=ex—1,

當(dāng)先>0時(shí),>0,h(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)％<0時(shí)，hf(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;

所以h(x)N八(0)=0,所以雇)>0,即口=言—

35

令m(%)=sinx—x,mz(x)=cosx—1<0,故m(%)在R上單調(diào)遞減，

故Vm(0)=0,即4=sin2V2Vo.2,

lololo

綜上：a>b>c.

故選：A.

利用作差法比較b,c,構(gòu)造新函數(shù)/(%)=sin?%)-x,求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到b>c,

令九(%)=e%-％-1,可通過轉(zhuǎn)換得到a=4-1>此時(shí)只需令m(%)=sin%-%,找到b=

sin看〈卷<0.2即可判定.

lolo

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是中檔題，

常見的不等式轉(zhuǎn)換"x<x—1,ex>x+1,Inx<x<ex,<ln(x+1)<>—1),sinx<x.

9.【答案】BD

【解析】解：因?yàn)閄?N(1000,25),所以“=1000,。=5,

所以〃—3a-=985,〃+3cr=1015,

因?yàn)?012￡[985,1015],986e[985,1015],1025t[985,1015],

所以甲、乙兩箱電阻可出廠，丙箱電阻不可出廠.

故選：BD.

根據(jù)“3?！痹瓌t計(jì)算區(qū)間[985,1015],進(jìn)而可判斷.

本題主要考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：對于2中，直線x-y=2023,可得在x軸和y軸上的截距分別為2023和-2023,

不符合題意，所以2不正確；

對于B中，直線x+y=2023,可得在x軸和y軸上的截距分別為2023和2023,

符合題意，所以8正確；

對于C中，直線x+2023y=0,可得在%軸和y軸上的截距分別為。和0,

符合題意，所以C正確；

對于。中，直線2023x+y=2024,可得在x軸和y軸上的截距分別為黑和2024,

不符合題意，所以。不正確.

故選：BC.

根據(jù)坐標(biāo)軸的截距的定義，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

本題主要考查直線的截距式方程，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABC

【解析】解：A：令x=0,則=1,

令X—1>則a。+a[+<^2+…+42023=(1—2)2023———1,所以a[+<22+...+42023=-1—1=-2,

故A正確；

B:令X=-1,則-a[+—&2023=(1+2)2°23=32023,

所以—CI2+…+。2023=1—32°23,故2正確；

2022

C：對己知等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：2023(1-2x)2022X(-2)=%+2a2x-h?.+2023a2023x,

令x=L貝I]%+2a2+…+2023a2023=2023X(-1)X(—2)=4046,故C正確；

D:因?yàn)閨%|+㈤+|a2|+…+|。2023|的和與二項(xiàng)式(1+2x)2023的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和相等，

a20232023

則令x=1,1^1+|a2|+--.+l2023l=3-|a0|=3-1,故令錯(cuò)誤.

故選：ABC.

2：分別令x=0,比=1，進(jìn)而可以判斷；B；令x=-1,化簡即可判斷；C：對己知等式兩邊同

時(shí)求導(dǎo)，然后令X=1,進(jìn)而可以判斷；D:因?yàn)閨a()|+111+|。21+…+1。2023|的和與二項(xiàng)式(1+

2支)2023的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和相等，所以令x=l,由此即可判斷.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到賦值法以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬

于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對于4因?yàn)樵谄叫兴倪呅?BCD中，4D=AB,所以四邊形4BCD為菱形，所以BD1AC,

因?yàn)镹414D=^ArAB=45°,AD=AB,

所以而?磯=|而|?|磯|cos45。,荏?村=\AB\-|Z4^|cos45°，

所以而?標(biāo)=超?京，

所以前1亞，所以BD

因?yàn)锳A1,ACu平面4CC141，所以BD1平面人。。/1，

因?yàn)锽Du平面BDRBi，所以平面力CCi&1平面BDD/i，所以A正確；

對于B,連接&C,

因?yàn)殚u。|=\A0\,\A0\=\C0\,

所以|Z0|=\C0\=\Ar0\,

所以△44C為直角三角形，即4C1441，

因?yàn)?4//BB1，所以

由選項(xiàng)A知BD1平面ACCMi，&Cu平面2CC1&,所以8D14C,

因?yàn)锽BiCBD=B,BBr,BDu平面BOD/i，所以&C1平面BDD/i,

所以平行K面體的體積卜=2七棱柱ADBTiBi%=2X-VA^BDD^=3x@S四邊形組打。蜜"?=

1

2141。,S四邊形BB[DQ

所以8正確；

對于C,因?yàn)樗倪呅?BCD為平行四邊形，所以。為BD的中點(diǎn)，

所以同=T同+g而，

所以不=承+而=承+^+g而，所以C錯(cuò)誤；

對于D,設(shè)力B=a,AA1—b,

因?yàn)樵诹庑?BCD中，^BAD=60°,

所以"=2A0=2ABcos300=V~3a,

所以C0SN44C=奈喧=跖,粵:砌=2a簪『。=卷,所以。正確.

|44i|-|4C|V3abV3ab3

故選：ABD.

對于4由題意可得四邊形4BCC為菱形，則可得BD14C,再計(jì)算前.何，可得前1麗*,從

而得BD，平面4CC14,再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論；對于B,連接4C,可得4c1A4i，

從而可證得&C1平面BDD1B],進(jìn)而可求出體積，對于C,利用空間向量的加法分析判斷，對于D,

設(shè)4B=a,AA^b,則可得4C=CcMC=Ca,然后利用向量的夾角公式計(jì)算判斷.

本題考查空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，體積公式，空間向量、的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】溫

【解析】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X?B(6,p),且E(X)=2,

所以6P=2,解得p=全

則P(X=3)=CQ(護(hù).(1一扔=瑞

故答案為：溫.

根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式得P,進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算即可.

本題考查二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】512

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列｛廝｝的公比為q,由已知q>0,

因?yàn)閍?=1,a4=4,

所以ciiq=1,aiq3=4,

解得a1=：,q=2,

所以a”=2n~2,

所以aid2a3a4a5a6=2Tx20x21x22x23x24=29=512.

故答案為：512.

由條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列｛%J的前6項(xiàng)之積.

本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】24

【解析】解：由題意，黃旭華和孫家棟兩位的先進(jìn)事跡安排在5至7號(hào)欄，有掰=6種安排方式，

又由李延年的先進(jìn)事跡欄不放在9號(hào)，有用=2種安排方式，

剩余的兩位屠呦呦、鐘南山，有房=2種安排方式，

由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有6x2x2=24種不同的安排方式.

故答案為：24.

根據(jù)題意，先安排黃旭華和孫家棟兩位，再安排李延年，最后安排屠呦呦、鐘南山，結(jié)合分步計(jì)

數(shù)原理，即可求解.

本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】(0、)

【解析】解：=Inx-ax3+函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

1—3ax3

可得((%)=~—3a%2-----,

X

當(dāng)a40時(shí)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)。>0時(shí)，

當(dāng)0<久<3艮時(shí)，f(x)>o,/(x)單調(diào)遞增；

73a

當(dāng)無>篇時(shí),廣(X)<o,f(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=*時(shí)，函數(shù)取得極大值也是最大值，最大值"W)=gin2，

當(dāng)X70時(shí)，f(x)->—OO;當(dāng)X78時(shí)，f(x)->—OO,

因?yàn)楹瘮?shù)/(久)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

即函數(shù)f(x)與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

此時(shí)川1)>。,

解得0<a<|,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0$).

故答案為：(03).

由題意，對函數(shù)/(%)進(jìn)行求導(dǎo)，分別討論aW0和a>0這兩種情況，將函數(shù)/(乃有兩個(gè)不同的零

點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)/(?與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)/(x)的單調(diào)性和最值，列出等式

即可求解.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.

17.【答案】解：(1)設(shè)事件A?=1,2,3)表示“零件取自第i臺(tái)車床”，事件8表示“取到零件為廢

品”，

因此4,A2,43構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分.

根據(jù)條件得：

P(B|&)=0.05,P(5|42)=0.03,P(5|X3)=0.06,

343

P(4)=V=0.3,P(A2)=-=0.4,P(A3)=^=0.3,

故P(B)=P(4)-P(B|4)+P(A2)-P(B|&)+P(A3)-P(B[A3)

=0.045.

(2)如果任意取出的1個(gè)零件是廢品，它是第二臺(tái)車床加工的概率「缶2出).

又因?yàn)镻(&B)=P(A2)-P(B|4)=0.03X0.4=0.012,

故任意取出的1個(gè)零件是廢品，它是第二臺(tái)車床加工的概率為:

121JP(B)0,04515-

【解析】(1)利用全概率公式計(jì)算即可；

(2)利用條件概率公式計(jì)算即可.

本題考查全概率公式、條件概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】(1)證明：數(shù)列｛an｝滿足%=1,an+1=2an+n-l,

以。九+1+九+1—2a九+九一1+九+1_2

an-\-nctn-\-n'

所以數(shù)列｛廝+九｝是等比數(shù)列，

其中公比q=2,%+1=2,

所以a九+n=2n,

所以=2n—n；

123n123n

解：(2)Sn=(2-1)+(2-2)+(2-3)+……+(2-n)=(2+2+2+????.+2)-(1+

2+3+—-^^——=2九+1-印-2.

1—222

【解析】(1)根據(jù)條件可得號(hào)I：學(xué)=2a“+二1丁+1=2,從而可證數(shù)列｛即+n｝是首項(xiàng)為2,公比

17ia九十九

為2的等比數(shù)列，進(jìn)一步可求得數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式；

(2)利用分組求和法計(jì)算.

本題考查了數(shù)列的遞推式，分組求和問題，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解:(1)證明：如圖，

PU)

連接MC,連接4C交BM于點(diǎn)E,則PE=4E,

翻折前481AM,翻折后，則有PB1PM,

由于△PBC為直角三角形，且PB=AB=2<AC,PC<PE+CE=AE+CE=AC,

因此必有PB1PC,

PC=P,PM、PCU平面PMC,

所以PB1?PMC,

因?yàn)镸Cu平面PMC,

所以PB1MC,

又MC=MB=2/1，BC=4,

貝Uwe?+M&2=BC2,則MC1MB,

又BPCBM=B,BP、BMu平面PBM,

則MC1面PBM,

因?yàn)镸Cu平面BCDM,

所以平面PBM1平面8CDM.

(2)如圖，取BC中點(diǎn)為N,中點(diǎn)為0,連接。N,

由(1)可知，平面PBM_L平面BCDM,

因?yàn)镻B=PM,。為BM的中點(diǎn)，

所以P。1BM,

因?yàn)槠矫鍼BMCI平面BCDM=BM,P0u平面PBM,

所以P。1面BCDM,

因?yàn)?。、N分別為BM、8C的中點(diǎn)，

所以。N〃MC,

因?yàn)镸C1MB,

所以。N1MB,

則以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分另I」以南，0N，麗方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

貝UB(/7,O,O)、p(o,o,47),￡>(-2<7,<7,O),C(-47,2，7,O),

貝麻=(-2AT2,2AT2,O),BP=(-<7,0,C)，CD=(-AT2,-yTl.,0),CP=,-2，^,>T2).

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為4=(x1)yilZ1),貝WE,吧=~2^2X1+2f2yi=0,則可取溫=

l汨?BP=+AT2Z1=0

(1,1,1)，

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為無=(a,b,c),貝式三,絲=—=U,則可取工=

(底?CP=Ca-2cb+=0

(1,—1,—3),

所以cos<瓦,無>=高需=總篇=—德，

則sin<瓦,而>=J1-(-^)2=筆1

即平面PBC與平面PCD所成角的正弦值為卓.

11

【解析】(1)先證明PB1面PMC,可得PB1MC,再根據(jù)勾股定理可得MC1MB,進(jìn)而可得證MC1

面PBM,再根據(jù)面面垂直的判定得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBC與平面PCD的法向量，根據(jù)向量的夾角公式得解.

本題考查面面垂直的判定定理，考查利用空間向量求解二面角的正弦值，考查空間想象能力，推

理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由條件則1=(1+2+3”5+6)=35

6(%)2=73.5,6x-y=37.38,

=I2+22+32+42+52+62=91.

______%孫-6町________________42.3-37.38__________

根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式則丁=、91—73.5X、20.45—19而，

J器由-6G)2j器^-6(5)2

4.92=卷492n098>0,75.

Any5xVT^44

因此可以用線性回歸模型擬合X與y的關(guān)系.

(2)根據(jù)(1)則變量x,y線性相關(guān)，設(shè)所求的線性回歸方程為y=a+bx

根據(jù)回歸方程的回歸系數(shù)公式得：

?^xnx-y42.3-37.384.92246??

h=---=--1----i-y---r------—=--------=---=---七()zKo

91-73.517.5875''

又因?yàn)閍=0.8，

從而可得變量x,y線性回歸方程為y=0.8+0,28x>

當(dāng)x=9時(shí)，y=0.8+0.28x9=3.32.

因此預(yù)測9月份的利潤為3.32萬元.

【解析】(1)計(jì)算出相關(guān)數(shù)據(jù)，利用相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算即可;

(2)根據(jù)線性回歸方程公式計(jì)算即可.

本題考查線性回歸方程相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)當(dāng)。=。時(shí)，f(%)=^x2—cosx-xsinx+

444

求導(dǎo)得/'(無)=—xcosx=x(1—cosx),

而％E［-7r,7r］,由COS%=5，得％=±W，

ZJ

當(dāng)％c(—E5)時(shí)，i—COSX<0,當(dāng)％E7T,—今時(shí)，|—COSX>0,

則當(dāng)％>0時(shí)，若/(%)>o,則％e?,7T］；若r(X)<0,則％e(()W),

當(dāng)％VO時(shí)，若f'(x)>0,則%€(一或0)；若((%)<0,則%€〔一%一令,

所以函數(shù)y=/(%)在［_",汨內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間為：［_梟0］,由小

單調(diào)減區(qū)間為：［0苧，Hr,一J

(2)因?yàn)?(—%)=a(—x)2—cos(—%)—(―%)sin(—%)+a=/(%),

于是函數(shù)/(%)=ax2—cosx—xsinx+a(a6R)為偶函數(shù),

則/(%)之2對任意久ER恒成立，等價(jià)于對任意的X6[0,+8),恒有/(%)22成立,

求導(dǎo)得/'(%)=2ax—xcosx=x(2a—cosx),

當(dāng)久￡［0,+8)時(shí)，當(dāng)2。之1,aN2成立時(shí)，2。一cos%20恒成立，

即/'(%)>0恒成立，函數(shù)/(%)在［0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

則有/=/(0)=a-1，

因此a—IN2,解得。之3,則Q之3；

當(dāng)2a<1,時(shí)，函數(shù)y=cos%在［0,初上單調(diào)遞減，且一1<cos%<1,

因此存在%o>0,使得當(dāng)、G(O,%o)時(shí)，2a-cosx<0,/'(%)<0,函數(shù)/(%)在(0,%。)上遞減，

此時(shí)汽e(0,%0),/(%)<f(0)=a-1<2,不符合題意，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為［3,+8).

【解析】(1)把a(bǔ)=［代入，求出函數(shù)/(久)的導(dǎo)數(shù)(0),分段討論求解/(X)>0、r(x)<0作答.

(2)探討函數(shù)/(%)的奇偶性，把問題轉(zhuǎn)化為vxe［0,+8)時(shí)，/O)22恒成立求解.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查不等式的恒成立問題，考查運(yùn)算求解能力，屬

于中檔題.

22.【答案】解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)鼻(—6,0)、F2(6,0),AMF1F2的內(nèi)