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文檔簡(jiǎn)介
2022-2023學(xué)年河南省駐馬店市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本大題共8小題,共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))
1.數(shù)列{an}的通項(xiàng)為即=7-2noi6N+),則的值為()
A.1B.3C.5D.7
2.直線久—2y—3=0平分圓/+y2—2ax+2y-1=0(aGR),則a=()
A.1B.—1C.3D.—3
3.空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2,1^3)到坐標(biāo)平面%Oy的距離為()
A.2B.<3C.3D.4
4.定義在R上的函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[2,2+/久]⑷>0)內(nèi)的平均變化率為光=(Ax)2+
2/x+l,其中/y=/(2+/x)—/(2),則函數(shù)/(?在x=2處的導(dǎo)數(shù)((2)=()
A.-1B.1C.3D.9
5.橢圓C;卷+,=1(a>6〉0)的左右焦點(diǎn)為&,尸2,點(diǎn)。為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn),
點(diǎn)M,N滿足銅=而,F(xiàn)\M=M'P,2ON=OP+~0F1,若四邊形MONP的周長(zhǎng)等于4b,則
橢圓C的離心率為e=()
A.1B.土C.—D.2
2223
6.函數(shù)/(%)=ex(x2一%+1)-1x3-|x2+[的極值點(diǎn)為()
A.x=0和x=-lB.(0,奇和(一1,1)C.x=-1D.(-1,|)
7.下列說(shuō)法正確的是()
A.某同學(xué)定點(diǎn)投籃每次命中的概率均為三每命中一次得2分,若記10次投籃得分為X,則隨
機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,簡(jiǎn)記X?8(10,')
B.某工廠生產(chǎn)了一批產(chǎn)品50件,其中質(zhì)量達(dá)到“4級(jí)”的有20件,則從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取
io件,記錄抽到的產(chǎn)品中為“非a級(jí)”的個(gè)數(shù)為丫,則隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望為E(y)=4
C.若隨機(jī)變量(X,y)的成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)|r|=1,則認(rèn)為隨機(jī)變量x與丫是確定的函數(shù)
關(guān)系,不是線性相關(guān)關(guān)系
2
D.若隨機(jī)變量X?其分布密度函數(shù)為/(?=點(diǎn)e--QGR),則P(X>1)>!
8.設(shè)a=K—l,b=sin%c=g,則()
A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c
二、多選題(本大題共4小題,共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)
9.一批電阻的阻值X(單位:①服從正態(tài)分布N(1000,25),現(xiàn)從甲、乙、丙三箱成品中各隨
機(jī)抽取一只電阻,測(cè)得阻值分別為10120,986。1025/2,則可以認(rèn)為()
A.甲、乙、丙三箱電阻均可出廠B.甲、乙兩箱電阻可出廠
C.乙、丙兩箱不可出廠D.丙箱電阻不可出廠
10.下列直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的是()
A.x-y=2023B.x+y=2023
C.%+2023y=0D.2023%+y=2024
2
11.已知(1—2%)2°23=a。+arx+a2x4------Fa2023K2023,則下列正確的是()
A.d]+g++…+。2023=-2
B.—。2+。3—。4+…+(-02022)+。2023=1—3?023
C.a1+2。2+3。3+…+2023(12023=4046
D.DI+㈤+…+1。2023|=32°23
12.如圖,平行六面體4C1中,乙=/&A8=45。,AD=
AB,AC與BD交于點(diǎn)0,則下列說(shuō)法正確的有()
A.平面"。出1平面
B.若14toi=\AO\,則平行六面體的體積U=,
MiQS四邊形
C.A^O=^AB+^AD+AA1
D.若NB4D=60°,則cosN&aC=?
三、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.若隨機(jī)變量X?8(6,p),且E(X)=2,貝葉(X=3)=.
14.已知遞增的等比數(shù)列{an}中,a2=l,a4=4,則數(shù)列{廝}的前6項(xiàng)之積為.
15.共和國(guó)勛章,是中華人民共和國(guó)最高榮譽(yù)勛章,授予在中國(guó)特色社會(huì)主義建設(shè)和保衛(wèi)國(guó)
家中做出巨大貢獻(xiàn)、建立卓越功勛的杰出人士.共和國(guó)勛章獲得者有于敏、袁隆平、申紀(jì)蘭、
張富清、黃旭華、孫家棟、李延年、屠呦呦、鐘南山,前四位共和國(guó)勛章獲得者已經(jīng)作古.某
校為了學(xué)習(xí)共和國(guó)勛章獲得者的先進(jìn)事跡,弘揚(yáng)時(shí)代精神,特在校園主干道設(shè)立并排的9個(gè)宣
傳欄,前四位共和國(guó)勛章獲得者的先進(jìn)事跡安排在1—4號(hào)欄,1—4號(hào)欄已經(jīng)安排好,其余五
位安排在5—9號(hào)欄.黃旭華和孫家棟兩位的先進(jìn)事跡安排在5至7號(hào)欄,李延年的先進(jìn)事跡欄不
放在9號(hào),則不同的安排順序有種(用數(shù)字作答).
16.若函數(shù)〃K)="光—兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
四、解答題(本大題共6小題,共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
17.(本小題10.0分)
三臺(tái)車(chē)床加工同樣的零件,第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.05,第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.03,
第三臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.06,加工出來(lái)的零件放在一起,并且已知第一、二、三臺(tái)加工的
零件之比為3:4:3.
(1)求任意取出1個(gè)零件是廢品的概率;
(2)如果任意取出的1個(gè)零件是廢品,求它是第二臺(tái)車(chē)床加工的概率.
18.(本小題12.0分)
已知數(shù)列{冊(cè)}滿足:<21=1,且—2dn=71—1,其中71eN*.
(1)證明數(shù)列{廝+以是等比數(shù)列,并求數(shù)列{即}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前踐項(xiàng)和%.
19.(本小題12.0分)
已知矩形A8CD中,AD=2AB=4,4。的中點(diǎn)為M,將AABM繞著折起,折起后點(diǎn)4記作
P點(diǎn)(不在平面8CDM內(nèi)),連接PC,得至IJ幾何體P—BCDM,APBC為直角三角形.
(1)證明:平面PBM_L平面BCDM;
(2)求平面PBC與平面PCD所成角的正弦值.
20.(本小題12.0分)
市場(chǎng)監(jiān)管部門(mén)對(duì)某線下某實(shí)體店2023年前兩季度的月利潤(rùn)情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到的數(shù)據(jù)如
表:
月份X123456
凈利潤(rùn)y(萬(wàn)元)1.01.41.72.02.22.4
(1)是否可以用線性回歸模型擬合y與%的關(guān)系?請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)r加以說(shuō)明;(參考:若|川>0.75
時(shí),則線性相關(guān)程度較高,0.3<\r\<0.75,則線性相關(guān)程度一般,計(jì)算r時(shí)精確度為0.01)
(2)利用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程;用樣本估計(jì)總體,請(qǐng)預(yù)估第9月份的利潤(rùn).
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(3,女)。=1,2,3,…,幾),其回歸直線-=a+的斜率
£之1%/一mt”
"的”a"%相關(guān)系數(shù)“
£之1宅一九(n)2]£仁一九0)2
參考數(shù)據(jù)5=1.78,6(同2x19.01,£匕陽(yáng)%=42.3,岑=1*=20.45,V17.5X1.44?5.02,
246
5.02,級(jí)=0.28.
21.(本小題12.0分)
已知/(久)=ax2—cosx—xsinx+a(a£R).
(1)當(dāng)a=,時(shí),求y=/(x)在[一兀,兀]內(nèi)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意的比CR時(shí),/(久)22恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
22.(本小題12.0分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,己知點(diǎn)6(—6,0)、6(6,0),AMFiF2的內(nèi)切圓與直線F/2相切于點(diǎn)
。(4,0),記點(diǎn)M的軌跡為C.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x=2上,過(guò)T的兩條直線分別交C于4、B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),連接BP,4Q.若
直線48的斜率與直線PQ的斜率之和為0,試比較COSNBAQ與COSABPQ的大小.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:,?,a九=7-2n(nEN+),
a3=7-2X3=1.
故選:A.
令九=3代入即可.
本題主要考查了數(shù)列的概念,屬于基礎(chǔ)題.
2.【答案】A
【解析】解:因?yàn)橹本€%—2y-3=0平分圓久2+y2-2ax+2y—1=0,
x2+y2-2ax+2y-1—0化為(x—a)2+(y+l)2=a2+2,
所以直線x-2y-3=。經(jīng)過(guò)該圓的圓心(a,-1),
則a—2X(—1)—3=0,即a=l.
故選:A.
直線平分圓,說(shuō)明直線過(guò)圓心,把圓心坐標(biāo)代入直線方程可得答案.
本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題.
3.【答案】C
【解析】解:空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2,3)到坐標(biāo)平面xOy的距離即為豎坐標(biāo)3.
故選:C.
由空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的定義即可求解.
本題考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo)定義,屬基礎(chǔ)題.
4.【答案】B
【解析】解:由導(dǎo)數(shù)的定義可得,(2)=Ax^0‘°+髭-"2)=0[(21%)2+2Ax+1]=1.
故選:B.
利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得r(2)的值.
本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.
5.【答案】C
【解析】解:因?yàn)殂~=而,所以點(diǎn)M為線段P&的中點(diǎn),
因?yàn)槎鷼v=麗,2而=赤+西,
所以而一加=理一而,
即麗=函,
所以點(diǎn)N為線段PF2的中點(diǎn),
又因點(diǎn)。為線段&&的中點(diǎn),
11
所以。M〃PF2且|0M|=^|PF2|,ON〃PF1且|0N|=抑6|,
所以四邊形MONP的周長(zhǎng)為|P6|+\PF2\,
又因點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn),
所以|P0|+\PF2\=2a,
所以2a=4b,即2=入
a2
故橢圓C的離心率為e=£
a
故選:c.
根據(jù)五而=而,F(xiàn)\M=h4P,20N=0P+0F^,可得點(diǎn)M為線段P&的中點(diǎn),點(diǎn)N為線段P4的中
點(diǎn),再根據(jù)四邊形MONP的周長(zhǎng)結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解.
本題考查橢圓的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
6.【答案】C
【解析】解:f(x)=ex(x2-x+1)-一品2+2,
???/'(%)=ex(x2—%+1)+ex(2x—1)—%2—%
=x(x+l)(ex—1).
令((%)=0,解得汽=-1或%=0.
當(dāng)%€(-8,-1)時(shí),f(x)<0,當(dāng)%€(-1,+8)時(shí),//(%)>0,
/(%)的單調(diào)減區(qū)間為(―8,—1),單調(diào)增區(qū)間為(—1,+8).
111
???函數(shù)/(%)=ex(x2—%+1)--x3--x2+W的極值點(diǎn)為%=-1.
故選:c.
求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可求得原函數(shù)的極值點(diǎn).
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.
7.【答案】D
【解析】解:對(duì)于4由題意,記10次投籃命中的次數(shù)為%,則X=2久,
隨機(jī)變量命中次數(shù)比服從二項(xiàng)分布,而隨機(jī)變量投籃得分X不服從二項(xiàng)分布,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,由題意隨機(jī)變量丫服從超幾何分布,則E(Y)=是彩=6,故8錯(cuò)誤;
對(duì)于C,若隨機(jī)變量(X,y)的成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)|r|=1,
則認(rèn)為隨機(jī)變量x與y是確定的函數(shù)關(guān)系,且是線性相關(guān)關(guān)系,故c錯(cuò)誤;
2
對(duì)于D,因?yàn)殡S機(jī)變量X?N(〃R2),其分布密度函數(shù)為〃久)=&e-厘(xeR),
所以4=2,(r=l,則P(X>1)>P(X>2)=5故。正確.
故選:D.
根據(jù)二項(xiàng)分布的定義即可判斷4根據(jù)超幾何分布的期望公式即可判斷8;根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義即
可判斷C;根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可判斷。.
本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和方差,屬于中檔題.
8.【答案】A
【解析】解:b-c=sin(|X^)-令/'(x)=sin&)—x,
則/(%)=^cos(^x)-1,
根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性,
得,⑺在(05)單調(diào)遞減,且廣告)=學(xué)一1>0,
z24
所以f(x)在(0,今單調(diào)遞增,所以居)>/(0)=。,即b>c;
令h(%)=ex—x—1,hf(x)=ex—1,
當(dāng)先>0時(shí),>0,h(%)單調(diào)遞增;
當(dāng)%<0時(shí),hf(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
所以h(x)N八(0)=0,所以雇)>0,即口=言—
35
令m(%)=sinx—x,mz(x)=cosx—1<0,故m(%)在R上單調(diào)遞減,
故Vm(0)=0,即4=sin2V2Vo.2,
lololo
綜上:a>b>c.
故選:A.
利用作差法比較b,c,構(gòu)造新函數(shù)/(%)=sin?%)-x,求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,找到b>c,
令九(%)=e%-%-1,可通過(guò)轉(zhuǎn)換得到a=4-1>此時(shí)只需令m(%)=sin%-%,找到b=
sin看〈卷<0.2即可判定.
lolo
本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想,是中檔題,
常見(jiàn)的不等式轉(zhuǎn)換"x<x—1,ex>x+1,Inx<x<ex,<ln(x+1)<>—1),sinx<x.
9.【答案】BD
【解析】解:因?yàn)閄?N(1000,25),所以“=1000,。=5,
所以〃—3a-=985,〃+3cr=1015,
因?yàn)?012£[985,1015],986e[985,1015],1025t[985,1015],
所以甲、乙兩箱電阻可出廠,丙箱電阻不可出廠.
故選:BD.
根據(jù)“3?!痹瓌t計(jì)算區(qū)間[985,1015],進(jìn)而可判斷.
本題主要考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
10.【答案】BC
【解析】解:對(duì)于2中,直線x-y=2023,可得在x軸和y軸上的截距分別為2023和-2023,
不符合題意,所以2不正確;
對(duì)于B中,直線x+y=2023,可得在x軸和y軸上的截距分別為2023和2023,
符合題意,所以8正確;
對(duì)于C中,直線x+2023y=0,可得在%軸和y軸上的截距分別為。和0,
符合題意,所以C正確;
對(duì)于。中,直線2023x+y=2024,可得在x軸和y軸上的截距分別為黑和2024,
不符合題意,所以。不正確.
故選:BC.
根據(jù)坐標(biāo)軸的截距的定義,結(jié)合選項(xiàng),逐項(xiàng)判定,即可求解.
本題主要考查直線的截距式方程,屬于基礎(chǔ)題.
11.【答案】ABC
【解析】解:A:令x=0,則=1,
令X—1>則a。+a[+<^2+…+42023=(1—2)2023———1,所以a[+<22+...+42023=-1—1=-2,
故A正確;
B:令X=-1,則-a[+—&2023=(1+2)2°23=32023,
所以—CI2+…+。2023=1—32°23,故2正確;
2022
C:對(duì)己知等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得:2023(1-2x)2022X(-2)=%+2a2x-h?.+2023a2023x,
令x=L貝I]%+2a2+…+2023a2023=2023X(-1)X(—2)=4046,故C正確;
D:因?yàn)閨%|+㈤+|a2|+…+|。2023|的和與二項(xiàng)式(1+2x)2023的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和相等,
a20232023
則令x=1,1^1+|a2|+--.+l2023l=3-|a0|=3-1,故令錯(cuò)誤.
故選:ABC.
2:分別令x=0,比=1,進(jìn)而可以判斷;B;令x=-1,化簡(jiǎn)即可判斷;C:對(duì)己知等式兩邊同
時(shí)求導(dǎo),然后令X=1,進(jìn)而可以判斷;D:因?yàn)閨a()|+111+|。21+…+1。2023|的和與二項(xiàng)式(1+
2支)2023的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和相等,所以令x=l,由此即可判斷.
本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,涉及到賦值法以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬
于中檔題.
12.【答案】ABD
【解析】解:對(duì)于4因?yàn)樵谄叫兴倪呅?BCD中,4D=AB,所以四邊形4BCD為菱形,所以BD1AC,
因?yàn)镹414D=^ArAB=45°,AD=AB,
所以而?磯=|而|?|磯|cos45。,荏?村=\AB\-|Z4^|cos45°,
所以而?標(biāo)=超?京,
所以前1亞,所以BD
因?yàn)锳A1,ACu平面4CC141,所以BD1平面人。。/1,
因?yàn)锽Du平面BDRBi,所以平面力CCi&1平面BDD/i,所以A正確;
對(duì)于B,連接&C,
因?yàn)殚u。|=\A0\,\A0\=\C0\,
所以|Z0|=\C0\=\Ar0\,
所以△44C為直角三角形,即4C1441,
因?yàn)?4//BB1,所以
由選項(xiàng)A知BD1平面ACCMi,&Cu平面2CC1&,所以8D14C,
因?yàn)锽BiCBD=B,BBr,BDu平面BOD/i,所以&C1平面BDD/i,
所以平行K面體的體積卜=2七棱柱ADBTiBi%=2X-VA^BDD^=3x@S四邊形組打。蜜"?=
1
2141。,S四邊形BB[DQ
所以8正確;
對(duì)于C,因?yàn)樗倪呅?BCD為平行四邊形,所以。為BD的中點(diǎn),
所以同=T同+g而,
所以不=承+而=承+^+g而,所以C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,設(shè)力B=a,AA1—b,
因?yàn)樵诹庑?BCD中,^BAD=60°,
所以"=2A0=2ABcos300=V~3a,
所以C0SN44C=奈喧=跖,粵:砌=2a簪『。=卷,所以。正確.
|44i|-|4C|V3abV3ab3
故選:ABD.
對(duì)于4由題意可得四邊形4BCC為菱形,則可得BD14C,再計(jì)算前.何,可得前1麗*,從
而得BD,平面4CC14,再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論;對(duì)于B,連接4C,可得4c1A4i,
從而可證得&C1平面BDD1B],進(jìn)而可求出體積,對(duì)于C,利用空間向量的加法分析判斷,對(duì)于D,
設(shè)4B=a,AA^b,則可得4C=CcMC=Ca,然后利用向量的夾角公式計(jì)算判斷.
本題考查空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系,體積公式,空間向量、的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
13.【答案】溫
【解析】解:因?yàn)殡S機(jī)變量X?B(6,p),且E(X)=2,
所以6P=2,解得p=全
則P(X=3)=CQ(護(hù).(1一扔=瑞
故答案為:溫.
根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式得P,進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算即可.
本題考查二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
14.【答案】512
【解析】解:設(shè)等比數(shù)列{廝}的公比為q,由已知q>0,
因?yàn)閍?=1,a4=4,
所以ciiq=1,aiq3=4,
解得a1=:,q=2,
所以a”=2n~2,
所以aid2a3a4a5a6=2Tx20x21x22x23x24=29=512.
故答案為:512.
由條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列{廝}的通項(xiàng)公式,再求數(shù)列{%J的前6項(xiàng)之積.
本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.
15.【答案】24
【解析】解:由題意,黃旭華和孫家棟兩位的先進(jìn)事跡安排在5至7號(hào)欄,有掰=6種安排方式,
又由李延年的先進(jìn)事跡欄不放在9號(hào),有用=2種安排方式,
剩余的兩位屠呦呦、鐘南山,有房=2種安排方式,
由分步計(jì)數(shù)原理可得,共有6x2x2=24種不同的安排方式.
故答案為:24.
根據(jù)題意,先安排黃旭華和孫家棟兩位,再安排李延年,最后安排屠呦呦、鐘南山,結(jié)合分步計(jì)
數(shù)原理,即可求解.
本題考查排列組合相關(guān)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
16.【答案】(0、)
【解析】解:=Inx-ax3+函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),
1—3ax3
可得((%)=~—3a%2-----,
X
當(dāng)a40時(shí),恒成立,函數(shù)單調(diào)遞增,不存在兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)。>0時(shí),
當(dāng)0<久<3艮時(shí),f(x)>o,/(x)單調(diào)遞增;
73a
當(dāng)無(wú)>篇時(shí),廣(X)<o,f(x)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=*時(shí),函數(shù)取得極大值也是最大值,最大值"W)=gin2,
當(dāng)X70時(shí),f(x)->—OO;當(dāng)X78時(shí),f(x)->—OO,
因?yàn)楹瘮?shù)/(久)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
即函數(shù)f(x)與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
此時(shí)川1)>。,
解得0<a<|,
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0$).
故答案為:(03).
由題意,對(duì)函數(shù)/(%)進(jìn)行求導(dǎo),分別討論aW0和a>0這兩種情況,將函數(shù)/(乃有兩個(gè)不同的零
點(diǎn),轉(zhuǎn)化成函數(shù)/(?與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)/(x)的單調(diào)性和最值,列出等式
即可求解.
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.
17.【答案】解:(1)設(shè)事件A?=1,2,3)表示“零件取自第i臺(tái)車(chē)床”,事件8表示“取到零件為廢
品”,
因此4,A2,43構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分.
根據(jù)條件得:
P(B|&)=0.05,P(5|42)=0.03,P(5|X3)=0.06,
343
P(4)=V=0.3,P(A2)=-=0.4,P(A3)=^=0.3,
故P(B)=P(4)-P(B|4)+P(A2)-P(B|&)+P(A3)-P(B[A3)
=0.045.
(2)如果任意取出的1個(gè)零件是廢品,它是第二臺(tái)車(chē)床加工的概率「缶2出).
又因?yàn)镻(&B)=P(A2)-P(B|4)=0.03X0.4=0.012,
故任意取出的1個(gè)零件是廢品,它是第二臺(tái)車(chē)床加工的概率為:
121JP(B)0,04515-
【解析】(1)利用全概率公式計(jì)算即可;
(2)利用條件概率公式計(jì)算即可.
本題考查全概率公式、條件概率公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.
18.【答案】(1)證明:數(shù)列{an}滿足%=1,an+1=2an+n-l,
以。九+1+九+1—2a九+九一1+九+1_2
an-\-nctn-\-n'
所以數(shù)列{廝+九}是等比數(shù)列,
其中公比q=2,%+1=2,
所以a九+n=2n,
所以=2n—n;
123n123n
解:(2)Sn=(2-1)+(2-2)+(2-3)+……+(2-n)=(2+2+2+????.+2)-(1+
2+3+—-^^——=2九+1-印-2.
1—222
【解析】(1)根據(jù)條件可得號(hào)I:學(xué)=2a“+二1丁+1=2,從而可證數(shù)列{即+n}是首項(xiàng)為2,公比
17ia九十九
為2的等比數(shù)列,進(jìn)一步可求得數(shù)列{廝}的通項(xiàng)公式;
(2)利用分組求和法計(jì)算.
本題考查了數(shù)列的遞推式,分組求和問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.
19.【答案】解:(1)證明:如圖,
PU)
連接MC,連接4C交BM于點(diǎn)E,則PE=4E,
翻折前481AM,翻折后,則有PB1PM,
由于△PBC為直角三角形,且PB=AB=2<AC,PC<PE+CE=AE+CE=AC,
因此必有PB1PC,
PC=P,PM、PCU平面PMC,
所以PB1?PMC,
因?yàn)镸Cu平面PMC,
所以PB1MC,
又MC=MB=2/1,BC=4,
貝Uwe?+M&2=BC2,則MC1MB,
又BPCBM=B,BP、BMu平面PBM,
則MC1面PBM,
因?yàn)镸Cu平面BCDM,
所以平面PBM1平面8CDM.
(2)如圖,取BC中點(diǎn)為N,中點(diǎn)為0,連接。N,
由(1)可知,平面PBM_L平面BCDM,
因?yàn)镻B=PM,。為BM的中點(diǎn),
所以P。1BM,
因?yàn)槠矫鍼BMCI平面BCDM=BM,P0u平面PBM,
所以P。1面BCDM,
因?yàn)?。、N分別為BM、8C的中點(diǎn),
所以。N〃MC,
因?yàn)镸C1MB,
所以。N1MB,
則以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),分另I」以南,0N,麗方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐
標(biāo)系,
貝UB(/7,O,O)、p(o,o,47),£>(-2<7,<7,O),C(-47,2,7,O),
貝麻=(-2AT2,2AT2,O),BP=(-<7,0,C),CD=(-AT2,-yTl.,0),CP=,-2,^,>T2).
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為4=(x1)yilZ1),貝WE,吧=~2^2X1+2f2yi=0,則可取溫=
l汨?BP=+AT2Z1=0
(1,1,1),
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為無(wú)=(a,b,c),貝式三,絲=—=U,則可取工=
(底?CP=Ca-2cb+=0
(1,—1,—3),
所以cos<瓦,無(wú)>=高需=總篇=—德,
則sin<瓦,而>=J1-(-^)2=筆1
即平面PBC與平面PCD所成角的正弦值為卓.
11
【解析】(1)先證明PB1面PMC,可得PB1MC,再根據(jù)勾股定理可得MC1MB,進(jìn)而可得證MC1
面PBM,再根據(jù)面面垂直的判定得證;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面PBC與平面PCD的法向量,根據(jù)向量的夾角公式得解.
本題考查面面垂直的判定定理,考查利用空間向量求解二面角的正弦值,考查空間想象能力,推
理論證能力和運(yùn)算求解能力,考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于中檔題.
20.【答案】解:(1)由條件則1=(1+2+3”5+6)=35
6(%)2=73.5,6x-y=37.38,
=I2+22+32+42+52+62=91.
______%孫-6町________________42.3-37.38__________
根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式則丁=、91—73.5X、20.45—19而,
J器由-6G)2j器^-6(5)2
4.92=卷492n098>0,75.
Any5xVT^44
因此可以用線性回歸模型擬合X與y的關(guān)系.
(2)根據(jù)(1)則變量x,y線性相關(guān),設(shè)所求的線性回歸方程為y=a+bx
根據(jù)回歸方程的回歸系數(shù)公式得:
?^xnx-y42.3-37.384.92246??
h=---=--1----i-y---r------—=--------=---=---七()zKo
91-73.517.5875''
又因?yàn)閍=0.8,
從而可得變量x,y線性回歸方程為y=0.8+0,28x>
當(dāng)x=9時(shí),y=0.8+0.28x9=3.32.
因此預(yù)測(cè)9月份的利潤(rùn)為3.32萬(wàn)元.
【解析】(1)計(jì)算出相關(guān)數(shù)據(jù),利用相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算即可;
(2)根據(jù)線性回歸方程公式計(jì)算即可.
本題考查線性回歸方程相關(guān)知識(shí),屬于中檔題.
21.【答案】解:(1)當(dāng)。=。時(shí),f(%)=^x2—cosx-xsinx+
444
求導(dǎo)得/'(無(wú))=—xcosx=x(1—cosx),
而%E[-7r,7r],由COS%=5,得%=±W,
ZJ
當(dāng)%c(—E5)時(shí),i—COSX<0,當(dāng)%E7T,—今時(shí),|—COSX>0,
則當(dāng)%>0時(shí),若/(%)>o,則%e?,7T];若r(X)<0,則%e(()W),
當(dāng)%VO時(shí),若f'(x)>0,則%€(一或0);若((%)<0,則%€〔一%一令,
所以函數(shù)y=/(%)在[_",汨內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間為:[_梟0],由小
單調(diào)減區(qū)間為:[0苧,Hr,一J
(2)因?yàn)?(—%)=a(—x)2—cos(—%)—(―%)sin(—%)+a=/(%),
于是函數(shù)/(%)=ax2—cosx—xsinx+a(a6R)為偶函數(shù),
則/(%)之2對(duì)任意久ER恒成立,等價(jià)于對(duì)任意的X6[0,+8),恒有/(%)22成立,
求導(dǎo)得/'(%)=2ax—xcosx=x(2a—cosx),
當(dāng)久£[0,+8)時(shí),當(dāng)2。之1,aN2成立時(shí),2。一cos%20恒成立,
即/'(%)>0恒成立,函數(shù)/(%)在[0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,
則有/=/(0)=a-1,
因此a—IN2,解得。之3,則Q之3;
當(dāng)2a<1,時(shí),函數(shù)y=cos%在[0,初上單調(diào)遞減,且一1<cos%<1,
因此存在%o>0,使得當(dāng)、G(O,%o)時(shí),2a-cosx<0,/'(%)<0,函數(shù)/(%)在(0,%。)上遞減,
此時(shí)汽e(0,%0),/(%)<f(0)=a-1<2,不符合題意,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3,+8).
【解析】(1)把a(bǔ)=[代入,求出函數(shù)/(久)的導(dǎo)數(shù)(0),分段討論求解/(X)>0、r(x)<0作答.
(2)探討函數(shù)/(%)的奇偶性,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為vxe[0,+8)時(shí),/O)22恒成立求解.
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查不等式的恒成立問(wèn)題,考查運(yùn)算求解能力,屬
于中檔題.
22.【答案】解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)鼻(—6,0)、F2(6,0),AMF1F2的內(nèi)
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