2023北京大興高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2023北京大興高三(上)期末

數(shù)學(xué)

第一部分(選擇題共40分)

一'選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

(1)已知集合人={幻1麴k2},貝IJ"A=

(A){x|.r<l,^w>2)(B){x|xWl,垢/2}

(C){x|x,,1，或c>2}(D){xlaVl,或x…2}

(2)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上是增函數(shù)的為

(A)y=lnx(B)y=tanx

(C)y=?(D)y

X

(3)在(x-l)5展開式中，r的系數(shù)為

(A)10(B)5

(C)-10(D)-5

(4)記S“為等差數(shù)列{%}的前〃項和.已知$3=—3,%=2,則

(A){.“}為遞減數(shù)列(B)%=。

(C)S“有最大值(D)S6-0

(5)已知拋物線V=4x上一點〃與其焦點尸的距離為5,則點〃到x軸的距離等于

(A)3(B)4

(C)5(D)472

(6)"a=0"是"直線x-ay+2。-1=0(aeR)與圓x?+y?=1相切”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(7)某圓錐曲線C是橢圓或雙曲線，若其中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過A(-2,l)和B(|,-也

兩點，則曲線C的離心率等于

(A)(B)—

22

(D)如

(C)G

T2

(8)已知數(shù)列{《,}中，4=1,a?-a^=2",?eN\則下列結(jié)論錯誤的是

(A)a2=2(B)4一%=2

+

(O{%〃}是等比數(shù)列(D)a2n_l+a2l,=2"'

(9)“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成。現(xiàn)仿照趙爽弦

圖，用四個三角形和一個小平行四邊形構(gòu)成如下圖形，其中，E,F,G,H分別是ORAG,BH,CE的

UUUllUUUUU1

中點，若AG=xAB+)，4。，則2x+y等于

(A)I

(B)?

(C)1

(D)2

(10)已知函數(shù)f(x)=,8su,給出下列結(jié)論：①f(x)是周期函數(shù)；②最小值是-[；③的

x-2x4-32

最大值是g；④曲線y=/(x)是軸對稱圖形.則正確結(jié)論的序號是

(A)(JX3)(B)②④

(C)①②③(D)②③④

第二部分(非選擇題共110分)

二'填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=l+i,則|z|=.

(12)一個袋子中裝有5個不同顏色但大小相同的球，其中2個紅球，3個白球，從中依次摸出2個球，則

在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到白球的概率是—.

(13)在A4BC中，a=2,b=242.若4=￡,則。=____；若滿足條件的三角形有兩個，則的一個值

4

可以是.

(14)已知函數(shù)f(x)//+4x+“'X<l，若q=0,則函數(shù)/(x)的值域為______；若函數(shù)y=/(幻-2恰有

[lnx+1,x...1,

三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

(15)在正方體ABCD-AffCiy中，。為正方形AB'CT/的中心.動點、P沿著線段CO從點C向點O移動，

有下列四個結(jié)論：

①存在點尸，使得PA'=PB；

②三棱錐的體積保持不變；

③APA'B的面積越來越?。?/p>

④線段A'B上存在點。，使得直線直線48,且直線PQ,直線X；

則上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是

三'解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(16)(本小題14分)

函數(shù)/(x)=Asin(0x+e)(A＞0,。＞0,0＜冏＜少部分圖象如圖所示，已知x4-xt=n.再從條件①、條件

②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知.

(I)求函數(shù)/(X)的解析式;

(II)求〃X)的單調(diào)減區(qū)間.

條件①:

條件②：x=—:

-26

條件③：X3=—.

32

注：如果選擇多個條件組合分別解答，則按第一個解答計分.

(17)(本小題14分)

如圖，在四棱錐產(chǎn)一A8a)中，底面A8C￡＞是直角梯形，AH//DC,ZHAD=90°

AE4B為等邊三角形，且平面間，底面他8,AB=2CD=2，AD=B用，。分別為/7),48的中點.

(I)求證：P3〃平面MQC

(II)求直線PC與平面MQC所成角的正弦值；

(18)(本小題14分)

猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A,B,C三類歌曲.嘉賓甲參加猜歌

名游戲，需從三類歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，

并且獲得本歌曲對應(yīng)的獎勵基金.假設(shè)甲猜對每類歌曲的歌名相互獨立，猜對三類歌曲的概率及猜對時獲得

相應(yīng)的獎勵基金如下表：

歌曲類別ABC

猜對的概率0.80.5P

獲得的獎勵基金額/元100020003000

(I)求甲按“4B,C”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；

(II)若。=025,設(shè)甲按“A,B,C”的順序猜歌名獲得的獎勵基金總額為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望

E⑶；

(III)寫出。的一個取值，使得甲按“A,B,C”的順序猜歌名比按“C,8,A”的順序猜歌名所得獎勵基

金的期望高.(結(jié)論不要求證明)

(19)(本小題14分)

22

已知橢圓E:斗?=1(a>〃>0)經(jīng)過直線/:x+2y-2=0與坐標(biāo)軸的兩個交點.

ab

(I)求橢圓E的方程；

(IDA為橢圓E的右頂點，過點(2,1)的直線交橢圓E于點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線

I,AN交于點、P,Q,求證：P為線段何。的中點.

(20)(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=\[x-ln(x+a)(a...1)

(I)當(dāng)函數(shù)y=.f(x)在x=l處的切線斜率為0時，求a的值；

(II)判斷函數(shù)>=/(x)單調(diào)性并說明理由；

(III)證明：對VX],々€[0,+8)有|/(%)-/(占)|?I成立.

(21)(本小題14分)

已知數(shù)列{《,}(〃=1,2,…,2022),知生,…“2022為從1到2022互不相同的整數(shù)的一個排列,設(shè)集合

4={x|x=WX+j,〃=0,l,2,...2022-j},A中元素的最大值記為M,最小值記為N.

/=!

(I)若數(shù)列{”“}為：1,3,5,…，2019,2021,2022,2020,2018,…，4,2,且/=3,寫出",N的值；

(II)若j=3,求M的最大值及N的最小值；

(III)若/=6,試求M的最小值.

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

12345678910

ACCBBADDDB

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

（11）丘

TT

（13）2；（0，二）之間的任意一個角都可以

4

（14）[-4,+co）.（-3,6）

（15）①②③（只寫對一個2分，只寫對二個3分）

三'解答題（共6小題，共85分）

（16）（本小題14分）

解：由圖可知工4一%=兀，

所以7=兀.........................2分

2兀

又知。=巧=2..................................................4分

T

所以/(x)=Asin(2x+＜p).

(I)若選擇條件①②，即占=烏，x.=-

112?6

TTTT

因為f(x)=./,(—)=Asin(-+??)=0.

i12o

TTTT

由圖可知一+C=2E,keZ,即9=——+2fat.................................6分

66

因為0＜冏＜],

所以當(dāng)4=0時，(P=--..................................................8分

6

7T

所以/(X)=Asin(2x--)-

6

又因為/（電）=/（弓）=Asi吟=1.

所以A=2?.................................................10分

7T

所以f(X)=2sin(2x--)?

6

若選擇條件①@,即x,=-

11232

IT7T

因為f(X])=/(—)=Asin(-+9)=0?

12o

由圖可知二+9=2E，ZEZ,即e=-二+2E.

66

因為0<|同，

所以當(dāng)左=0時，°

6

7T

所以f(X)=Asin(2x

o

又因為/(占)=嗎)=不蚱=1,

所以A=2?

TT

所以f(x)=2sin(2x—丹

o

若選擇條件②③，即x,=2,x,=-.

62

因為/(a=/(均)，

由圖可知，當(dāng)'="^=]時/(X)取得最大值，

B|Jf(-^)=A,Asin(2xg+e)=A

由sin(年+夕)=1

^-+<p=-+2ht,keZ,

32

因為0<|同,

所以e=J.

6

又/*2)=嗎=1，

所以A=2.

jr

所以，(x)=2sin(2x-?.

o

(H)因為函數(shù)丫=M11*的單調(diào)遞減區(qū)間為g+2",予+2"],keZ,

jrjr3jr

由一+2人冗w2r——w----b2kn,keZ,..............................................2分

262

得二+k7twxw型+攵汽,ZwZ.

36

7T57r

所以/（x）單調(diào)遞減區(qū)間為仁+加，蘭+初，AreZ.4分

36

（17）（本小題14分）

解：（I）連結(jié)。。，即，BD與QC交于點O,1分

因為底面ABCD是直角梯形，AB//DC,。為4?的中點.

所以8Q〃￡>C且8Q=OC,即BQDC為平行四邊形,

所以點O是8。中點，連結(jié)OM,

所以PB〃MO.3分

又因為PBz平面MQC,MOu平面MQC,

所以P3//平面MQC.5分

（H）因為AR3為等邊三角形，。為43的中點，所以PQLAB.

又面E4BJ-面A8CO,

面C面ABCD=4?,

所以「。_1_面.8,

又因為AB〃DC,NBAZ)=90",所以8Q_LCQ.

如圖建立空間直角坐標(biāo)Q-xyz,

Ih

可知Q(0,0,0),P(0,0,y/3),C(0,73,0),M(--,—

22

易知PC=(O,>/3,->/3),4分

設(shè)面MQC的法向量為Z=（X,y,

且無=(0,6,0),兩=T‘冬季’

石y=0,

n-QC=0.

即,1n

n-QM=0,——x-\------yH-------z=0.

22-2

所以力=(6,0,1),6分

設(shè)PC與平面MQC所成角為e,7分

則sin9-|cos<PC,/?>|=-73=顯

73+3x73+1.4，9分

所以PC與平面MQC所成角的正弦值為立

4

（18）（本小題14分）

解：（I）設(shè)''甲按"A,B,C"的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件E,1分

則P(E)=0.8x0.5x(1_p)+0.8x0.5xp=0.4.5分

所以，甲按“A,B,C”的順序猜歌名至少猜對兩首歌名的概率為04

(II)X的所有可能取值為0,為00,3000,6000,1分

P(X=0)=l-0.8=0.2,

P(X=1000)=0.8x(l-0.5)=0.4,

P(X=3000)=0.8x0.5x(1-0.25)=0.3,

P(X=6000)=0.8x0.5x0.25=0.1,................5分

所以隨機變量X的分布列為

X0100030006000

P0.20.40.30.1

=0x0.2+1000x0.4+3000x0.3+6000x0.1=1900.................7分

(III)0＜"0.5均可.................2分

(19)(本小題14分)

解：(I)直線/:工+2、-2=0與坐標(biāo)軸的兩個交點為(2,0),(0,1),................2分

由于所以a=2,0=1,................4分

所以橢圓E的方程為三+>2=1.................5分

4

(H)設(shè)過點(2,1)的直線為乙，由題意直線/斜率存在，

設(shè)4方程為y_]=左(九_2),BPy=kx+(\-2k).................1分

y=丘+(1-2左)

由,消兀得f+4[h+(1_2幻『=4,

—+=1

14，

整理得(1+4爐)f+8jt(l-2k)x+16/一16攵=0..................2分

由A=[8左(1一2左)]2—4(1+4/)(16公一16左)=6必＞0,可得人＞0...........3分

設(shè)〃(%,%),77。2，必)，則

8-1-2&)16爐一16火

4分

由題意，將工=%，代入/:%+2y-2=0得產(chǎn),................5分

直線4V的方程為了二一乜一。-2),................6分

x2-2

令x=a得0區(qū),)式占:2)),.................7分

X2-2

所以置弓

y2a2)+x(w—2)+,-2)(/—2)

/—2

(kx-t+1—2左)(N—2)+(kx、4-1—2Z)(x,—2)+(x(—2)(x,—2)

/-2

_C,2k+l)XjX2-(4k+1)(%1+%2)+8Z

4-2

_(2k+1)(16k2T6k)+(4D+1)?8A(1-2k)+8&(1+4公)

(1+4/)(--2)

二(32—3—16—2—16-)+(—64L3+1612+8%)+(8攵+32氏3)二0

~(1+4-)(”2),

所以，點P是線段MQ的中點.................9分

(20)(本小題15分)

解：(I)/(x)=Vx-ln(x+6z),

所以=----,................2分

2Vxx+Q

由ra)=o,得5-占=o，

所以。=1..................4分

(II)函數(shù)尸/⑴在(。,物)單調(diào)遞增.................1分

因為a…1,所以函數(shù)/(X)定義域為[0,+8)..................2分

,⑴__J1_x-2a+a

2\[xx+a2\/x(x+a)'

Hx—2.\fx+u=(>/x-I)-+a—1...a—1.................4分

因為a…1,所以/'(x)…0..................5分

因此函數(shù)戶/⑴在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.

（IH）證明：當(dāng)％=當(dāng)時，顯然有"（々）-/（*）1=1衣-嘉I，不等式成立；............1分

當(dāng)時，不妨設(shè)不＜々，................2分

由于函數(shù)/⑴在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以1/（々）-/（&）1=/5）-/（%），

又\惠一?\=&一6，

則1/5）-/（為）1-16一"1

=/（%）-/（4）-（后-喜）

=?*-132+a）-喜+皿為+。）-后+百

=ln（Xj+a）—ln（x2+a）

.x,+a八

=In............................................4分

因為內(nèi)＜/，所以％2+4＞%1+4＞0，

所以。＜*，

x2+a

所以In文出■＜（）.................6分

x2+a

綜上，對任意的XI，We[0,+8）,1/（占）-/（西）|?1毒'-喜I成立.

（21）（本小題14分）

解：（I）M=6063,N=9.................................4分

（II）N最小值為6,M的最大值6063.

證明：對于1,2,…，2021,2022的一個排列｛%｝,

3

若j=3,則4中的每一個元素為x=Z%+i=4+i+4+2+。〃+3'?=0,1,2,...,2019,

/=!

3

由題意M=max（，a“+J,H=0,1,2,???,2019，

i=i

那么，對于任意的｛凡｝,總有〃,，2020+2021+2022=6063.

3

同理，由題意N=min（Z