因式分解公式大全

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公式及方法大全

待定系數(shù)法(因式分解)

待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在

在因式分解時(shí)，一些可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù)．由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，依據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)當(dāng)相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)非常值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．

常用的因式分解公式：

因式分解

例1分解因式：*2+3*y+2y2+4*+5y+3．

分析由于

(*2+3*y+2y2)=(*+2y)(*+y)，

假設(shè)原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)肯定是*+2y+m和*+y+n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問(wèn)題得到解決．

解設(shè)

*2+3*y+2y2+4*+5y+3

=(*+2y+m)(*+y+n)

=*2+3*y+2y2+(m+n)*+(m+2n)y+mn，

因式分解

比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，那么有

解之得m=3，n=1．所以

原式=(*+2y+3)(*+y+1)．

說(shuō)明此題也可用例2分解因式：*4-2*3-27*2-44*+7．

分析此題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，依據(jù)前面講過(guò)的求根法，假設(shè)原式有有理根，那么只可能是1，7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式．假如原式能分解，只能分解為

(*2+a*+b)(*2+c*+d)的形式．

解設(shè)

原式=(*2+a*+b)(*2+c*+d)

=*4+(a+c)*3+(b+d+ac)*2+(ad+bc)*+bd，所以有

由bd=7，先考慮b=1，d=7有

所以

原式=(*2-7*+1)(*2+5*+7)．

因式分解

說(shuō)明由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=-1，d=-7等可以不加以考慮．此題假如b=1，d=7代入方程組后，無(wú)法確定a，c的值，就需要將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止．

此題沒(méi)有一次因式，因而無(wú)法運(yùn)用求根法分解因式．但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式．由此可見(jiàn)，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地．

求根法(因式分解)

我們把形如an*n+an-1*n-1+…+a1*+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱(chēng)為關(guān)于*的一元多項(xiàng)式，并用f(*)，g(*)，…等記號(hào)表示，如f(*)=*2-3*+2，g(*)=*5+*2+6，…，當(dāng)*=a時(shí)，多項(xiàng)式f(*)的值用f(a)表示．如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(*)f(1)=12-3

我們把形如an*n+an-1*n-1+…+a1*+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱(chēng)為關(guān)于*的一元多項(xiàng)式，并用f(*)，g(*)，…等記號(hào)表示，如

f(*)=*2-3*+2，g(*)=*5+*2+6，…，

因式分解

當(dāng)*=a時(shí)，多項(xiàng)式f(*)的值用f(a)表示．如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(*)

f(1)=12-31+2=0；

f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12．

假設(shè)f(a)=0，那么稱(chēng)a為多項(xiàng)式f(*)的一個(gè)根．

定理1(因式定理)假設(shè)a是一元多項(xiàng)式f(*)的根，即f(a)=0成立，那么多項(xiàng)式f(*)有一個(gè)因式*-a．

依據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(*)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(*)的根．對(duì)于任意多項(xiàng)式f(*)，要求出它的根是沒(méi)有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(*)的都是時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，常常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根．

定理2

的根，那么必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)．特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(*)的整數(shù)根均為an的約數(shù)．我們依據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．

例2分解因式：*3-4*2+6*-4．

因式分解

分析這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式假設(shè)有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：1，2，4，只有f(2)=23-422+62-4=0，

即*=2是原式的一個(gè)根，所以依據(jù)定理1，原式必有因式*-2．

解法1用分組分解法，使每組都有因式(*-2)．原式=(*3-2*2)-(2*2-4*)+(2*-4)

=*2(*-2)-2*(*-2)+2(*-2)

=(*-2)(*2-2*+2)．

解法2用多項(xiàng)式除法，將原式除以(*-2)，

所以

原式=(*-2)(*2-2*+2)．

說(shuō)明在上述解法中，特別要留意的是多項(xiàng)式的有理根肯定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不肯定是多項(xiàng)式的根．因此，需要對(duì)-4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證．例3分解因式：9*4-3*3+7*2-3*-2．

因式分解

分析由于9的約數(shù)有1，3，9；-2的約數(shù)有1，為：

所以，原式有因式9*2-3*-2．

解9*4-3*3+7*2-3*-2

=9*4-3*3-2*2+9*2-3*-2

=*2(9*3-3*-2)+9*2-3*-2

=(9*2-3*-2)(*2+1)

=(3*+1)(3*-2)(*2+1)

說(shuō)明假設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式有根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式

可以化為9*2-3*-2，這樣可以簡(jiǎn)化分解過(guò)程．

總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(*)，假如能找到一個(gè)一次因式(*-a)，那么f(*)就可以分解為(*-a)g(*)，而g(*)是比f(wàn)(*)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì)g(*)進(jìn)行分解了．

雙十字相乘法(因式分解)

因式分解

分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法．對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(a*2+b*y+cy2+d*+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式

2*2-7*y-22y2-5*+35y-3．我們將上式按*降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為

2*2-(5+7y)*-(22y2-35y+3)，可

分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法．對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(a*2+b*y+cy2+d*+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2*2-7*y-22y2-5*+35y-3．我們將上式按*降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為

2*2-(5+7y)*-(22y2-35y+3)，

可以看作是關(guān)于*的二次三項(xiàng)式．

對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

因式分解

再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于*的二次三項(xiàng)式分解所以

原式=［*+(2y-3)］［2*+(-11y+1)］

=(*+2y-3)(2*-11y+1)．

上述因式分解的過(guò)程，實(shí)施了兩次十字相乘法．假如把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下列圖：它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：

(*+2y)(2*-11y)=2*2-7*y-22y2；

(*-3)(2*+1)=2*2-5*-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

這就是所謂的雙十字相乘法．

用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式a*2+b*y+cy2+d*+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：

(1)用十字相乘法分解a*2+b*y+cy2，得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；

因式分解

(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的d*．例1分解因式：

(1)*2-3*y-10y2+*+9y-2；

(2)*2-y2+5*+3y+4；

(3)*y+y2+*-y-2；

(4)6*2-7*y-3y2-*z+7yz-2z2．

解(1)

原式=(*-5y+2)(*+2y-1)．

(2)

原式=(*+y+1)(*-y+4)．

(3)原式中缺*2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來(lái)分解．原式=(y+1)(*+y-2)．

(4)

原式=(2*-3y+z)(3*+y-2z)．

因式分解

說(shuō)明(4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類(lèi)似．

筆算開(kāi)平方

對(duì)于一個(gè)數(shù)的開(kāi)方，可以不用計(jì)算機(jī)，也不用查表，徑直筆算出來(lái)，下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何筆算開(kāi)平方，對(duì)于其它數(shù)只需仿照即可

例求316.4841的平方根.

第一步,先將被開(kāi)方的數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)位置向左右每隔兩位用逗號(hào)，分段，如把數(shù)316.4841分段成3,16.48,41.

第二步，找出第一段數(shù)字的初商，使初商的平方不超過(guò)第一段數(shù)字，而初商加1的平方那么大于第一段數(shù)字，本例中第一段數(shù)字為3，初商為1，由于12=13，而(1+1)2=43.第三步，用第一段數(shù)字減去初商的平方，并移下第二段數(shù)字，組成第一余數(shù)，在本例中第一余數(shù)為216.

第四步，找出試商，使(20初商+試商)試商不超過(guò)第一余數(shù)，而【20初商+(試商+1)】(試商+1)那么大于第一余數(shù).

因式分解

第五步，把第一余數(shù)減去(20初商+試商)試商，并移下第三段數(shù)字，組成第二余數(shù)，本例中試商為7，第二余數(shù)為2748.依此法繼續(xù)做下去，直到移完全部的段數(shù)，假設(shè)最末余數(shù)為零，那么開(kāi)方運(yùn)算告結(jié)束.假設(shè)余數(shù)永久不為零，那么只能取某一精度的近似值.

第六步，定小數(shù)點(diǎn)位置，平方根小數(shù)點(diǎn)位置應(yīng)與被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置對(duì)齊.本例的算式如下：

根式的概念

【方根與根式】數(shù)a的n次方根是指求一個(gè)數(shù)，它的n次方恰好等于a.a的n

次方根記為

為

(n為大于1的自然數(shù)).作稱(chēng)為根式.n稱(chēng)為根a稱(chēng)為根底數(shù).在

因式分解

范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方，一個(gè)正數(shù)開(kāi)偶次方有兩個(gè)方根，其絕對(duì)值相同，符號(hào)相反.

【算術(shù)根】正數(shù)的正方根稱(chēng)為算術(shù)根.零的算術(shù)根規(guī)定為零.

【基本性質(zhì)】由方根的定義，有

根式運(yùn)算

【乘積的方根】乘積的方根等于各因子同次方根的乘積；反過(guò)來(lái)，同次方根的乘積等于乘積的同次方根，即

≥0,b≥0)

【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即

≥0,b0)

【根式的乘方】

【根式化簡(jiǎn)】

≥

0)≥0)

因式分解

≥0,d≥

0)

≥0,d≥0)

【同類(lèi)根式及其加減運(yùn)算】根指數(shù)和根底數(shù)都相同的根式稱(chēng)為同類(lèi)根式，只有同類(lèi)根式才可用加減運(yùn)算加以合并.

進(jìn)位制的基與數(shù)字

任一的值與數(shù)字所在的位置有關(guān)，任何位置的數(shù)字當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向右移一位時(shí)其值擴(kuò)大10倍，當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向左移一位時(shí)其值縮小10倍.例如

一般地，任一正數(shù)a可表為

因式分解

這就是10進(jìn)數(shù)，記作a(10)，數(shù)10稱(chēng)為進(jìn)位制的基，式中ai在{0,1,2,L,9}中取值，稱(chēng)為10進(jìn)數(shù)的數(shù)字，顯著沒(méi)有理由說(shuō)進(jìn)位制的基不能取其他的數(shù).現(xiàn)在取q為任意大于1的q進(jìn)數(shù)表示

(1)

式中數(shù)字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值，anan-1...a1a0稱(chēng)為q進(jìn)數(shù)a(q)的整數(shù)部分，記作[a(q)];

a-1a-2...稱(chēng)為a(q)的分?jǐn)?shù)部分，記作{a(q)}.常用進(jìn)位制，除10進(jìn)制外，還有2進(jìn)制、8進(jìn)制、16進(jìn)制等，其數(shù)字如下2進(jìn)制0,1

8進(jìn)制0,1,2,3,4,5,6,7

16進(jìn)制0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

各種進(jìn)位制的相互轉(zhuǎn)換

因式分解

1q→10轉(zhuǎn)換適用通常的10進(jìn)數(shù)四那么運(yùn)算規(guī)章，依據(jù)公式

(1)，可以把q進(jìn)數(shù)a(q)轉(zhuǎn)換為10進(jìn)數(shù)表示.例如

210→q轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換時(shí)需要分為整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分進(jìn)行.對(duì)于整數(shù)部分其步驟是：

(1)用q去除[a(10)]，得到商和余數(shù).

(2)記住余數(shù)作為q進(jìn)數(shù)的最末一個(gè)數(shù)字.

(3)用商替換[a(10)]的位置重復(fù)(1)和(2)兩步，直到商等于零為止.

對(duì)于分?jǐn)?shù)部分其步驟是：

(1)用q去乘{(lán)a(10)}.

(2)記住乘積的整數(shù)部分作為q進(jìn)數(shù)的分?jǐn)?shù)部分第一個(gè)數(shù)字.

(3)用乘積的分?jǐn)?shù)部分替換{a(10)}的位置，重復(fù)(1)和(2)兩步，直到乘積變?yōu)檎麛?shù)為止，或直到所需要的位數(shù)為止.例如：103.118(10)=147.074324...(8)

因式分解

整數(shù)部分的分?jǐn)?shù)部分的

草式草式

3p→q轉(zhuǎn)換通常狀況下其步驟是：a(p)→a(10)→a(q).假如p,q是同一數(shù)s的不同次a(p)→a(s)→a(q).例如，8進(jìn)數(shù)127.653(8)轉(zhuǎn)換為16進(jìn)數(shù)時(shí)，由于8=23，16=24，所以s=2，其步驟是：首先把8進(jìn)數(shù)的每個(gè)數(shù)字依據(jù)8-2轉(zhuǎn)換表轉(zhuǎn)換為2進(jìn)數(shù)(三位一組)

127.653(8)=001010111.110101011(2)

然后把2進(jìn)數(shù)的全部數(shù)字從小數(shù)點(diǎn)起(左和右)每四位一組分組，從16-2轉(zhuǎn)換表中逐個(gè)記住對(duì)應(yīng)的16進(jìn)數(shù)的數(shù)字，即

因式分解

正多邊形各量換算公式

n為邊數(shù)R為外接圓半徑a為邊長(zhǎng)爎為內(nèi)切圓半徑為圓心角S為多邊形面積重心G與外接圓心O重合正多邊形各量換算公式表各量正三角形

n為邊數(shù)R為外接圓半徑

a為邊長(zhǎng)爎為內(nèi)切圓半徑

為圓心角S為多邊形面積

重心G與外接圓心O重合

正多邊形各量換算公式表

因式分解

或許你還對(duì)作圖感愛(ài)好：正多邊形作圖

所謂初等幾何作圖問(wèn)題，是指運(yùn)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)作圖.假設(shè)運(yùn)用尺規(guī)有限次能作出幾何圖形，那么稱(chēng)為作圖可能，或者說(shuō)歐幾里得作圖法是可能的，否那么稱(chēng)為作圖不可能.

許多平面圖形可以用直尺和圓規(guī)作出，例如上面列舉的正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形等.而另一些就不能作出，例如正七邊形、正九邊形、正十一邊形等，這些多邊形只能用近似作圖法.如何判斷哪些作圖可能，哪些作圖不可能呢？直到百余年前，用代數(shù)的方法徹底地解決了這個(gè)問(wèn)題，即給出一個(gè)關(guān)于尺規(guī)作圖可能性的準(zhǔn)那么：作圖可能的充分須要條件是，這個(gè)作圖問(wèn)題中必需求出的未知量能夠由假設(shè)

因式分解

干已知量經(jīng)過(guò)有限次有理運(yùn)算及開(kāi)平方運(yùn)算而算出.幾千年來(lái)很多數(shù)學(xué)家耗費(fèi)了不少的精力，企圖解決所謂“幾何三大問(wèn)題”：

立方倍積問(wèn)題，即作一個(gè)立方體，使它的體積二倍于一已知立方體的體積

.

三等分角問(wèn)題，即三等分一已知角

.

化圓為方問(wèn)題，即作一正方形，使它的面積等于一已知圓的面積.

后來(lái)已嚴(yán)格證明白這三個(gè)問(wèn)題不能用尺規(guī)作圖.

代數(shù)式的求值

因式分解

代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系非常親密．很多代數(shù)式是先化簡(jiǎn)再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問(wèn)題，往往需要利用乘法公式、絕對(duì)值與算術(shù)根的性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)、通分、

求值中的方法技巧主要是代數(shù)式恒等變形的技能、技巧和方法．下面結(jié)合例題逐一介紹．

1．利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡(jiǎn)求值中，常常被采納．

分析*的值是通過(guò)一個(gè)一元