串講07 概率與統(tǒng)計（考點串講）（解析版）

串講07概率與統(tǒng)計知識網(wǎng)絡(luò)二、?？碱}型三、知識梳理1.計數(shù)原理（1）分類加法計數(shù)原理概念：完成一件事有類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，…，在第類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.特征：①任何一類方案都能完成這件事；②各類方案之間相互獨立；③分類要做到“不重不漏”（2）分步乘法計數(shù)原理概念：完成一件事需要個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么，完成這件事共有種不同的方法特征：①任何一步都不能單獨完成這件事；②各步之間相互依存；③分步要做到“步驟完整”2.排列（1）排列：一般地，從個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列（2）排列數(shù)：從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示（3）排列數(shù)公式：（，且）3.組合（1）組合：一般地，從個不同的元素中取出個元素合成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合（2）組合數(shù)：從個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示（3）組合數(shù)公式：（，且）（4）組合數(shù)的性質(zhì)：（1）；（2）4.二項式定理（1）二項式定理概念：一般地，對于任意的正整數(shù)，都有.這個公式稱為二項式定理，等號右邊的式子稱為的二項展開式，的二項展開式共有項，其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)，稱為二項展開式的第項，又稱為二項展開式的通項（2）二項展開式的特征：①二項展開式共有項；②二項式系數(shù)依次為組合數(shù)；③各項次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)；④字母的指數(shù)由開始按降冪排列到0，的指數(shù)由0開始按升冪排列到（3）二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別：二項式系數(shù)為項的系數(shù)指該項中除字母外的部分（4）二項式系數(shù)的性質(zhì)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等增減性：當(dāng)時，二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的最大值：當(dāng)是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值（5）二項式系數(shù)和：①二項展開式中各二項式系數(shù)之和為；②在二項展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等且都等于.5.離散型隨機變量（1）離散型隨機變量的定義如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量。（2）離散型隨機變量的分布列設(shè)離散型隨機變量所有可能取得的值為x1,x2,…,x3,…xn,若取每一個值xi(i=1,2,…，n)的概率為，則稱表x1x2…xi…xnPP1P2…Pi…Pn為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.該分布列具有如下性質(zhì)：①Pi≥0,i=1,2，…，n；②P1+P2+…+Pn=1（3）離散型隨機變量的分布列的求法①要確定隨機變量的可能取值有哪些.明確取每個值所表示的意義；②分清概率類型，計算取得每一個值時的概率；③列表對應(yīng)，給出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證.6.二項分布（1）二項分布的定義在一次隨機試驗中，事件A可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)是一個離散型隨機變量．如果在一次試驗中事件A發(fā)生的概率是，則此事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生次的概率是，（）．于是得到離散型隨機變量的概率分布如下：ξ01…k…nP……由于表中第二行恰好是二項展開式中各對應(yīng)項的值，所以稱這樣的隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作．（2）如何求有關(guān)的二項分布①分清楚在n次獨立重復(fù)試驗中，共進行了多少次重復(fù)試驗，即先確定n的值，然后確定在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是多少，即確定p的值，最后再確定某事件A恰好發(fā)生了多少次，即確定k的值；②準確算出每一種情況下，某事件A發(fā)生的概率；③用表格形式列出隨機變量的分布列.7.正態(tài)分布（1）正態(tài)變量的概率密度函數(shù)正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達式為：，（）其中x是隨機變量的取值；μ為正態(tài)變量的期望；是正態(tài)變量的標準差.（2）正態(tài)分布①正態(tài)分布的定義如果對于任何實數(shù)隨機變量滿足：，則稱隨機變量服從正態(tài)分布，記為.②正態(tài)分布的期望與方差若，則的期望與方差分別為：，.（3）正態(tài)曲線如果隨機變量X的概率密度函數(shù)為，其中實數(shù)和為參數(shù)（），則稱函數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.（4）正態(tài)曲線的性質(zhì)①曲線位于軸上方，與軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；③曲線在時達到峰值；④當(dāng)時，曲線上升；當(dāng)時，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近；⑤曲線與軸之間的面積為1；⑥決定曲線的位置和對稱性當(dāng)一定時，曲線的對稱軸位置由確定；如下圖所示，曲線隨著的變化而沿軸平移；⑦確定曲線的形狀當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。如下圖所示.8.抽樣方式（1）簡單隨機抽樣放回簡單隨機抽樣不放回簡單隨機抽樣一般地,設(shè)一個總體含有N(N為正整數(shù))個個體,從中②逐個抽取n(1≤n<N)個個體作為樣本如果抽取是放回的,且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都③相等,我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣如果抽取是不放回的,且每次抽取時總體內(nèi)④未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等,我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣.通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本（2）分層抽樣①分層隨機抽樣的定義一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為層.②比例分配在分層隨機抽樣中,如果每層樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.9.變量的相關(guān)關(guān)系（1）相關(guān)關(guān)系的定義兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.（2）散點圖①散點圖

成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖.

②正相關(guān)和負相關(guān)

如果從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關(guān).（3）線性相關(guān)一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，則稱這兩個變量線性相關(guān).四、?？碱}型探究考點一加法原理例1.一個三層書架，分別放置語文類讀物7本，政治類讀物8本，英語類讀物9本，每本圖書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有（

）A．3種 B．504種 C．24種 D．12種【答案】C【分析】由分類加法計數(shù)原理即可求解.【詳解】從書架上取一本書，由分類加法計數(shù)原理可知，不同的取法共有種.故選：C.例2.每天從甲地到乙地的飛機有5班，高鐵有10趟，動車有6趟，公共汽車有12班.某人某天從甲地前往乙地，則其出行方案共有（

）A．22種 B．33種 C．300種 D．3600種【答案】B【分析】利用分類加法計數(shù)原理計算即得.【詳解】從甲地到乙地不同的方案數(shù)為.故選：B.【變式探究】如圖，已知每條線路僅含一條通路，當(dāng)一條電路從處到處接通時，不同的線路可以有（

）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條【答案】D【分析】根據(jù)分類加法、分步乘法計數(shù)原理求得正確答案.【詳解】由題意知可以按上、下兩條線路分為兩類，上線路中有條，下線路中有條.根據(jù)分類計數(shù)原理，不同的線路可以有條.故選：D考點二乘法原理例3.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類．現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【分析】每人都有3種選法，結(jié)合分布計數(shù)原理即可求解.【詳解】由題可知，每名同學(xué)都有3種選法，故不同的選購方式有種，經(jīng)檢驗只有A選項符合.故選：A例4.有3位高三學(xué)生參加4所重點院校的自主招生考試，每人參加且只能參加一所學(xué)校的考試，則不同的考試方法種數(shù)為.【答案】【分析】利用分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】每位學(xué)生可以有種參加重點院校的自主招生考試，由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的考試方法種數(shù)為種.故答案為：.【變式探究】集合A有m個元素，集合B有n個元素，從兩個集合中各取1個元素，不同方法的種數(shù)是.【答案】mn【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】從集合A的m個元素取1個元素，有m種方法，從集合B的n個元素取1個元素，有n種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理可知，兩個集合中各取1個元素，一共有mn種．故答案為：mn.考點三排列原理例5.求的值為（

）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【分析】利用排列數(shù)的計算方法即可得解.【詳解】.故選：B.例6.為貫徹文明校園，東湖中學(xué)每周安排5名學(xué)生志愿者參加文明監(jiān)督崗工作，若每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，則不同的排班種類為（

）A．12 B．45 C．60 D．90【答案】C【分析】根據(jù)題意得，從5個人中選出3人進行排列，即可求出值班當(dāng)天不同的排班種類.【詳解】5名志愿者參加文明監(jiān)督崗工作，每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，則不同的排班種類為：.故選：C.【變式探究】用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個數(shù)列，則第85個數(shù)字為（）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310【答案】A【分析】依次計算首位為1、前兩位為20、前兩位為21的有多少個數(shù)，然后可得答案.【詳解】首位為1的有個，前兩位為20的有個，前兩位為21的有個，所以第85個數(shù)字是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301.故選：A.考點四組合原理例7.計算（）A．34 B．35 C．36 D．37【答案】A【分析】直接由組合數(shù)公式計算即可.【詳解】由題意.故選：A.例8.已知，則.【答案】2或6【分析】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以，解得，又或，解得或.故答案為：2或6【變式探究】若，則的值為.【答案】210【分析】通過已知得出的值，即可利用公式計算得出答案.【詳解】，，即，，=210，故答案為：210.考點五二項式定理例9.在的展開式中含項的系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，求出展開式中含項的系數(shù)是多少.【詳解】解：二項式展開式的通項公式為，令，得，即含的系數(shù)為240.故選：C例10.若，則（

）A．100 B．110 C．120 D．130【答案】C【分析】利用二項式定理分別求出即可計算得解.【詳解】在中，，，所以.故選：C【變式探究】若展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】因為的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，所以展開式一共有項，即.故選：B考點六離散型隨機變量例11.設(shè)離散型隨機變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P則下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】＋＋＋＝，A錯誤；＋＝，B錯誤；，C正確；＋＝，D錯誤.故選：C例12.已知離散型隨機變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】先根據(jù)概率之和為1求出，從而得到數(shù)學(xué)期望.【詳解】由題意得，解得，故.故選：A【變式探究】下表是離散型隨機變量的分布列，則常數(shù)的值是（

）X3459PA． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)運算求解.【詳解】由題意可得：，解得.故選：C.考點七二項分布例13.電燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率為0.8，則3個燈泡在使用1000小時內(nèi)恰好壞了一個的概率為（

）A．0.384 B． C．0.128 D．0.104【答案】A【分析】分析知這是二項分布，3重伯努利試驗.【詳解】電燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率為0.8，1個燈泡在使用1000小時內(nèi)壞了的概率為，則3個燈泡在使用1000小時內(nèi)恰好壞了一個的概率為.故選：A例14.若隨機變量服從二項分布，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項分布的概率公式求解即可.【詳解】因為隨機變量服從二項分布，所以.故選：C【變式探究】設(shè)隨機變量，若，則p的值為.【答案】【分析】根據(jù)二項分布的概率公式，結(jié)合對立事件的概率即可求解.【詳解】，由于，所以，故答案為：考點八正態(tài)分布例15.對A，B兩地國企員工上班遲到情況進行統(tǒng)計，可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時間為X（單位：min），，對應(yīng)的曲線為，B地員工的上班遲到時間為Y（單位：min），，對應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由兩個正態(tài)曲線的對稱軸位置和集中分散程度判斷結(jié)果.【詳解】由，故曲線的對稱軸在曲線的左側(cè)，排除C、D；由，故曲線比曲線瘦高，曲線比曲線矮胖，排除A.故選：B．例16.若隨機變量，且，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)圖象的對稱性求解即可.【詳解】因為，故．故選：A．【變式探究】若隨機變量X服從正態(tài)分布，，則（

）A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9【答案】B【分析】利用正態(tài)分布的對稱性可求答案.【詳解】因為隨機變量X服從正態(tài)分布，所以；所以.故選：B.例17.王老師對本班名學(xué)生報名參與課外興趣小組（每位學(xué)生限報一個項目）的情況進行了統(tǒng)計，列出如下的統(tǒng)計表，則本班報名參加科技小組的人數(shù)是（）組別數(shù)學(xué)小組寫作小組體育小組音樂小組科技小組頻率A．人 B．人 C．人 D．人【答案】A【分析】將本班人數(shù)乘以參加科技小組的頻率，即可得解.【詳解】參加科技小組的頻率為，則本班報名參加科技小組的人數(shù)是人.故選：A.例18.在某知識競賽中，共設(shè)有10道題目，每題1分，經(jīng)統(tǒng)計，10位選手的得分情況如下表：得分678910人數(shù)12421則這10位選手得分的方差為（

）A．12 B．8 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算可得.【詳解】依題意，所以方差.故選：D【變式探究】樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列，再計算中位數(shù)即可.【詳解】樣本