2020年山東省德州市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2020年山東省德州市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請把正

確的選項(xiàng)選出來.每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分.

1.（4分）|-2020|的結(jié)果是（）

11

A.-------B.2020C.-和3D.-2020

20202020

2.（4分）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

3.（4分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.6a-5a=lB.<r,a3=a5

C.（-2a）2=-4/D.a64-a2=a3

4.（4分）如圖1是用5個相同的正方體搭成的立體圖形.若由圖1變化至圖2,則三視圖

C.主視圖和俯視圖D.左視圖和俯視圖

5.（4分）為提升學(xué)生的自理和自立能力，李老師調(diào)查了全班學(xué)生在一周內(nèi)的做飯次數(shù)情況,

調(diào)查結(jié)果如下表:

一周做飯次數(shù)45678

人數(shù)7612105

那么一周內(nèi)該班學(xué)生的平均做飯次數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

6.（4分）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)45°,再沿直線前進(jìn)8米,

又向左轉(zhuǎn)45°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時，共走路程為（）

A.80米B.96米C.64米D.48米

8.（4分）下列命題：

①一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；

②對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；

③一個角為90°且一組鄰邊相等的四邊形是正方形；

④對角線相等的平行四邊形是矩形.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

（2—%2%—4

9.（4分）若關(guān)于x的不等式組尸方―的解集是x<2,則a的取值范圍是（）

、一3%>—2x—CL

A.B.a<-2C.a>2D.oW2

10.（4分）如圖，圓內(nèi)接正六邊形的邊長為4,以其各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的

面積為（)

A.24V3-4TTB.12V3+4TUC.24A/3+8KD.24A/3+4TT

11.（4分）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)錯誤的是（）

A.若（-2,yi）,（5,”）是圖象上的兩點(diǎn)，則yi>”

B.3。+。=0

C.方程aj?+bx+c^-2有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

D.當(dāng)了20時，y隨x的增大而減小

12.（4分）如圖是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個這樣的圖

案需要黑色棋子的個數(shù)為（）

?????????

?????????

?????

?■??????????

?????

①②③

A.148B.152C.174D.202

二、填空題：本大題共6小題，共24分,只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分.

13.（4分）例—遍=.

14.（4分）若一個圓錐的底面半徑是2cm,母線長是6cm,則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角

是度.

15.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2,1）,以原點(diǎn)。為位似中心，把線

段OA放大為原來的2倍，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A'.若點(diǎn)A恰在某一反比例函數(shù)圖象上，

則該反比例函數(shù)解析式為.

16.（4分）菱形的一條對角線長為8,其邊長是方程7-9無+20=0的一個根，則該菱形的

周長為.

17.（4分）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，有4個小正方形已經(jīng)涂黑，若再涂黑任意1個

白色的小正方形（每個白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新構(gòu)成的黑色部分圖形是

軸對稱圖形的概率是.

18.（4分）如圖，在矩形ABC。中，AB=V3+2,AD=W.把AL（沿AE折疊，使點(diǎn)。恰

好落在AB邊上的）處，再將繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)a,得到△AED",使得EA'

恰好經(jīng)過3D'的中點(diǎn)?ND"交于點(diǎn)G,連接A4'.有如下結(jié)論：①A'P的長

H/~O

度是述一2；②弧。?！钡拈L度是得f；③△△'AF^AAZEG；④△A4'FsAEGF.上

述結(jié)論中，所有正確的序號是.

三、解答題：本大題共7小題，共78分.解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.

19.（8分）先化簡：（三—三1）+/墨4,然后選擇一個合適的工值代入求值.

20.（10分）某?！靶@主持人大賽”結(jié)束后，將所有參賽選手的比賽成績（得分均為整數(shù)）

進(jìn)行整理，并分別繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)直方圖.部分信息如下:

扇形統(tǒng)計(jì)圖

圖2

(1)本次比賽參賽選手共有人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“79.5?89.5”這一范圍的人數(shù)占

總參賽人數(shù)的百分比為

(2)補(bǔ)全圖2頻數(shù)直方圖;

(3)賽前規(guī)定，成績由高到低前40%的參賽選手獲獎.某參賽選手的比賽成績?yōu)?8分，

試判斷他能否獲獎，并說明理由；

(4)成績前四名是2名男生和2名女生，若從他們中任選2人作為該校文藝晚會的主持

人，試求恰好選中1男1女為主持人的概率.

21.(10分)如圖，無人機(jī)在離地面60米的C處，觀測樓房頂部B的俯角為30°,觀測樓

房底部A的俯角為60°,求樓房的高度.

22.(12分)如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的0O上，點(diǎn)。是半圓的中點(diǎn)，連接AC,BC,

AD,BD.過點(diǎn)。作。交CB的延長線于點(diǎn)H.

(1)求證：直線?！笔堑那芯€；

(2)若AB=10,BC=6,求A。，的長.

23.（12分）小剛?cè)コ匈徺I畫筆，第一次花60元買了若干支A型畫筆，第二次超市推薦

了2型畫筆，但3型畫筆比A型畫筆的單價貴2元，他又花100元買了相同支數(shù)的B型

畫筆.

（1）超市B型畫筆單價多少元？

（2）小剛使用兩種畫筆后，決定以后使用B型畫筆，但感覺其價格稍貴，和超市溝通后，

超市給出以下優(yōu)惠方案：一次購買不超過20支，則每支8型畫筆打九折；若一次購買超

過20支，則前20支打九折，超過的部分打八折.設(shè)小剛購買的3型畫筆x支，購買費(fèi)

用為y元，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

（3）在（2）的優(yōu)惠方案下，若小剛計(jì)劃用270元購買8型畫筆，則能購買多少支8型

畫筆？

24.（12分）問題探究：

小紅遇到這樣一個問題：如圖1,△ABC中，AB=6,AC=4,AD是中線，求的取

值范圍.她的做法是：延長到E,使。石=4￡）,連接BE,證明△BED也△CAD,經(jīng)

過推理和計(jì)算使問題得到解決.

請回答：（1）小紅證明△BED2△CAD的判定定理是：；

（2）AD的取值范圍是；

方法運(yùn)用：

（3）如圖2,AD是△ABC的中線，在AO上取一點(diǎn)凡連結(jié)8尸并延長交AC于點(diǎn)E,

AE=EF,求證：BF=AC.

AB1

（4）如圖3,在矩形ABCD中，一=一，在BD上取一點(diǎn)F,以為斜邊作RtABEF,

BC2

EF1

且一=一，點(diǎn)G是。月的中點(diǎn)，連接EG,CG,求證：EG=CG.

BE2

圖1圖2圖3

25.(14分)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,-2),在x軸上任取一點(diǎn)M,

1

連接AM,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)M為圓心，大于-AM的長為半徑作弧，兩弧相交于G,H兩

2

點(diǎn)，作直線G8,過點(diǎn)M作尤軸的垂線/交直線G8于點(diǎn)P.根據(jù)以上操作，完成下列問

題.

探究：

(1)線段朋與的數(shù)量關(guān)系為，其理由為：.

(2)在x軸上多次改變點(diǎn)M的位置，按上述作圖方法得到相應(yīng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并完成下

列表格：

M的坐標(biāo)???(-2,0)(0,0)(2,0)(4,0)???

.??…

P的坐標(biāo)—(0--1)(2,-2)—

猜想：

(3)請根據(jù)上述表格中P點(diǎn)的坐標(biāo)，把這些點(diǎn)用平滑的曲線在圖2中連接起來；觀察畫

出的曲線L猜想曲線L的形狀是.

驗(yàn)證：

(4)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,>),根據(jù)圖1中線段以與9的關(guān)系，求出了關(guān)于x的函數(shù)

解析式.

應(yīng)用：

(5)如圖3,點(diǎn)8(-1,b)，C(l,遍)，點(diǎn)。為曲線L上任意一點(diǎn)，且/BDC<30°,

求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)yD的取值范圍.

2020年山東省德州市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請把正

確的選項(xiàng)選出來.每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分.

1.（4分）|-2020|的結(jié)果是（）

11

A.-------B.2020C.-焉；D.-2020

20202020

【解答】解：I-20201=2020；

故選：B.

2.（4分）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

【解答】解：4、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形.故此選項(xiàng)不合題意;

8、是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形.故此選項(xiàng)符合題意；

C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.故此選項(xiàng)不合題意；

。、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故此選項(xiàng)不合題意.

故選：B.

3.（4分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.6a-5a=1B.a2,a3=a5

C.（-2a）2=-4a2D.a64-a2=a3

【解答】解：6a-5a=a,因此選項(xiàng)A不符合題意；

a2,cz3=a5,因此選項(xiàng)2符合題意；

（-2fl）2=4a2,因此選項(xiàng)C不符合題意；

62624

a^a=a-=a,因此選項(xiàng)。不符合題意；

故選：B.

4.（4分）如圖1是用5個相同的正方體搭成的立體圖形.若由圖1變化至圖2,則三視圖

中沒有發(fā)生變化的是（)

圖1圖2

A.主視圖B.主視圖和左視圖

C.主視圖和俯視圖D.左視圖和俯視圖

【解答】解：圖1主視圖第一層三個正方形，第二層左邊一個正方形；圖2主視圖第一

層三個正方形，第二層右邊一個正方形；故主視圖發(fā)生變化；

左視圖都是第一層兩個正方形，第二層左邊一個正方形，故左視圖不變；

俯視圖都是底層左邊是一個正方形，上層是三個正方形，故俯視圖不變.

.,?不改變的是左視圖和俯視圖.

故選：D.

5.（4分）為提升學(xué)生的自理和自立能力，李老師調(diào)查了全班學(xué)生在一周內(nèi)的做飯次數(shù)情況,

調(diào)查結(jié)果如下表：

一周做飯次數(shù)45678

人數(shù)7612105

那么一周內(nèi)該班學(xué)生的平均做飯次數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

-_4x7+5x6+6x12+7x10+8x5

【解答】解:（次）,

X=7+6+12+10+5=6

故選：C.

6.（4分）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)45°,再沿直線前進(jìn)8米,

又向左轉(zhuǎn)45°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時，共走路程為（）

A.80米B.96米C.64米D.48米

【解答】解：根據(jù)題意可知，他需要轉(zhuǎn)360+45=8次才會回到原點(diǎn)，

所以一共走了8X8=64（米）.

故選：c.

Lx

7.（4分）函數(shù)y=2和y=-fcv+2（左WO）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）

【解答】解：在函數(shù)y=:和y=-kx+2（左W0）中，

當(dāng)%>0時，函數(shù)y=（的圖象在第一、三象限，函數(shù)y=-履+2的圖象在第一、二、四象

限，故選項(xiàng)A、5錯誤，選項(xiàng)。正確，

當(dāng)左<0時，函數(shù)y=9的圖象在第二、四象限，函數(shù)y=-日+2的圖象在第一、二、三象

限，故選項(xiàng)C錯誤，

故選：D.

8.（4分）下列命題：

①一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；

②對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；

③一個角為90°且一組鄰邊相等的四邊形是正方形；

④對角線相等的平行四邊形是矩形.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①一組對邊平行且這組對邊相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題；

②對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，是真命題；

③一個角為90°且一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形，原命題是假命題；

④對角線相等的平行四邊形是矩形，是真命題；

故選:B.

（2—x2x—4

9.（4分）若關(guān)于尤的不等式組尸二―的解集是x<2,則a的取值范圍是（）

、一3%>—2.x—a

A.“22B.4/<-2C.〃>2D.aW2

（Zz^>2x~4（r）

【解答】解：解不等式組23U,

3x>—2x—a（2）

由①可得：x<2,

由②可得：x<a,

,2—x2%—4

因?yàn)殛P(guān)于X的不等式組尸方一的解集是X<2,

、-3x>—2x—CL

所以，〃22,

故選：A.

10.（4分）如圖，圓內(nèi)接正六邊形的邊長為4,以其各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的

面積為（）

A.24V3-4nB.12V3+4nC.248+8TTD.24舊+41T

【解答】解：設(shè)正六邊形的中心為。，連接04,0B.

由題意，OA—OB—AB—^,

.60,TT,42-\f328/—

?'?S弓形A相3=S扇形0A6-SAAOB=-260-------乂4=-4A/3,

:?S陰=6?(S半圓-S弓形AM)=6*(->71*22-111+4-/3)=248一4r,

2J

故選：A.

11.（4分）二次函數(shù)產(chǎn)Q/+H+C的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)錯誤的是（）

A.若（-2,yi）,（5,”）是圖象上的兩點(diǎn)，則yi>”

B.3a+c=0

C.方程a）C+bx+c=-2有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

D.當(dāng)時，y隨x的增大而減小

【解答】解：???拋物線的對稱軸為直線x=l,。<0,

...點(diǎn)（-1,0）關(guān)于直線x=l的對稱點(diǎn)為（3,0）,

則拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)（-2,以）與（4,”）是對稱點(diǎn),

?.?當(dāng)x>l時，函數(shù)y隨x增大而減小，

故A選項(xiàng)不符合題意；

把點(diǎn)（-1,0）,（3,0）代入〉=0^+法+￡;得：a-6+c=0①，9a+36+c=0②，

①X3+②得：12a+4c=0,

3a+c=0,

故B選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)y=-2時，y=cu?+bx+c=-2,

由圖象得：縱坐標(biāo)為-2的點(diǎn)有2個，

.,.方程axL+bx+c=-2有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

故C選項(xiàng)不符合題意；

?.,二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=l,a<0,

...當(dāng)xWl時，y隨尤的增大而增大；

當(dāng)龍21時，y隨x的增大而減小；

故。選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

12.（4分）如圖是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個這樣的圖

案需要黑色棋子的個數(shù)為（）

?????????

????????

??

?????

①②③④

A.148B.152C.174D.202

【解答】解：根據(jù)圖形，第1個圖案有12枚棋子,

第2個圖案有22枚棋子,

第3個圖案有34枚棋子,

第〃個圖案有2（1+2H----I-H+2）+2（?-1）=后+7"+4枚棋子，

故第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數(shù)為102+7X10+4=100+70+4=174（枚）.

故選：C.

二、填空題：本大題共6小題，共24分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分.

13.（4分）后-曲=2遮.

【解答】解：原式=3百-百=28.

故答案為：28.

14.（4分）若一個圓錐的底面半徑是2cm,母線長是6cm,則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角

是120度.

【解答】解：圓錐側(cè)面展開圖的弧長是：2nX2=4Tt（cm）,

H7TX6

設(shè)圓心角的度數(shù)是〃度.則一^=4冗，

解得：n=l20.

故答案為：120.

15.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2,1）,以原點(diǎn)O為位似中心，把線

段04放大為原來的2倍，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為.若點(diǎn)A恰在某一反比例函數(shù)圖象上，

則該反比例函數(shù)解析式為y=4.

'JC

【解答】解：?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2,1）,以原點(diǎn)。為位似中心，把線段。4放大為原來

的2倍，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A',

：.A'坐標(biāo)為：（-4,2）或（4,-2）,

恰在某一反比例函數(shù)圖象上，

該反比例函數(shù)解析式為：y=q.

故答案為：y—

16.（4分）菱形的一條對角線長為8,其邊長是方程7-9尤+20=0的一個根，則該菱形的

周長為20.

【解答】解：如圖所示：

:四邊形ABCO是菱形，

：.AB=BC=CD^AD,

Vx2-9x+20=0,

因式分解得：（x-4）（x-5）=0,

解得：尤=4或x=5,

分兩種情況：

①當(dāng)AB=A￡>=4時，4+4=8,不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)A2=AO=5時，5+5>8,

，菱形ABCD的周長=4AB=20.

17.（4分）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，有4個小正方形已經(jīng)涂黑，若再涂黑任意1個

白色的小正方形（每個白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新構(gòu)成的黑色部分圖形是

【解答】解：如圖所示：當(dāng)分別將1,2位置涂黑，構(gòu)成的黑色部分圖形是軸對稱圖形,

故新構(gòu)成的黑色部分圖形是軸對稱圖形的概率是：—

126

一r1

故答案為：

6

2

1

18.（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB=V3+2,AD=?把AD沿AE折疊，使點(diǎn)。恰

好落在AB邊上的O'處，再將繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)a,得到△AEO",使得EA'

恰好經(jīng)過2。'的中點(diǎn)HA'D"交A3于點(diǎn)G,連接AA'.有如下結(jié)論：①A'尸的長

度是逐一2；②弧。'D〃的長度是王f；③AF^AA'EG；④△A4‘FsAEGF.上

述結(jié)論中，所有正確的序號是①②④.

【解答】解：?.?把AD沿AE折疊，使點(diǎn)。恰好落在邊上的￡>'處,

：.ZD=ZAD'E=90°=ZDAD',AD^AD',

四邊形ADEO是矩形，

又V3,

.??四邊形ADEO是正方形，

：.AD=AD'=D'E=DE=V3,AE=y[2AD=V6,ZEAD'=ZAED'=45°

：.D'B=AB-AD'=2,

?.?點(diǎn)尸是2。中點(diǎn),

；.￡）戶=1,

：.EF=y/D'E2+D'F2=VT+T=2,

,/將△AEO'繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)a,

：.AE=A'E=V6,N。'切'=a,ZEA'D"=ZEAD,=45°,

：.A'F=V6-2,故①正確；

'：tanZFED'=慈=*=冬

/FED=30°

???a=30°+45°=75°，

，弧。7r的長度=7“湍:①=照冗,故②正確；

9：AE=A'E,ZAEA,=75°,

AZEAA'=ZEA'A=52.5°,

???NAA/=7.5°,

VZAA'F^ZEA'G,ZAA'E^ZEA'G,NA剛'=120°WNEA'G,

???△A4,與△AGE不全等，故③錯誤；

?：D'E=D'E,EG=EG,

???RtZ\E0'G之Rt2\ED”G(HL),

???/D'GE=ND、'GE,

,?ZAGDV=ZA'AG+ZAA'G=105°,

AZ￡）'GE=52.5°=ZAA'F,

又,:ZAFA'=ZEFGf

：.AAFA^AEFG,故④正確，

故答案為：①②④.

三、解答題：本大題共7小題，共78分.解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.

1丫+2A

19.（8分）先化簡：）十/缶,然后選擇一個合適的尤值代入求值.

【解答】解：（三|一中）十4—x

%2—4x+4

2

=rx(x-l)_(%—2)(x+2%(x-2)z

底(%—2)%(%—2)」4—x

_4—x(%—2)2

-x(x—2)4—x

x—2

x

1-2

把X=1代入二——=-1.

x

20.（10分）某?！靶@主持人大賽”結(jié)束后，將所有參賽選手的比賽成績（得分均為整數(shù)）

（1）本次比賽參賽選手共有50人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“79.5?89.5”這一范圍的人數(shù)占

總參賽人數(shù)的百分比為36%；

（2）補(bǔ)全圖2頻數(shù)直方圖；

（3）賽前規(guī)定，成績由高到低前40%的參賽選手獲獎.某參賽選手的比賽成績?yōu)?8分，

試判斷他能否獲獎，并說明理由；

（4）成績前四名是2名男生和2名女生，若從他們中任選2人作為該校文藝晚會的主持

人，試求恰好選中1男1女為主持人的概率.

【解答】解：（1）本次比賽參賽選手共有：（8+4）4-24%=50（人），

2+3

“59.5?69.5”這一范圍的人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比為一xl00%=10%,

50

79.5?89.5”這一范圍的人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比為100%-24%-10%-30%=36%；

故答案為：50,36%；

（2）：“69.5?79.5”這一范圍的人數(shù)為50730%=15（人），

“69.5?74.5”這一范圍的人數(shù)為15-8=7（人），

：“79.5?89.5”這一范圍的人數(shù)為50X36%=18（人），

“79.5?84.5”這一范圍的人數(shù)為18-8=10（人）；

補(bǔ)全圖2頻數(shù)直方圖：

（3）能獲獎.理由如下:

本次比賽參賽選手50人,

...成績由高到低前40%的參賽選手人數(shù)為50X40%=20（人）,

又；88>84.5,

.?.能獲獎;

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好選中1男1女的結(jié)果數(shù)為8,

所以恰好選中1男1女的概率=備=|.

21.（10分）如圖，無人機(jī)在離地面60米的C處，觀測樓房頂部3的俯角為30°,觀測樓

房底部A的俯角為60°,求樓房的高度.

【解答】解：過8作BE_LCD交CD于E,

由題意得，NCBE=3Q°,ZCAD^60°,

r*n

在RtZXACD中，tan/CAZ)=tan60°=器=8,

：.AD=2=20V3,

：.BE=AD=20V3,

在RtZXBCE中，tan/CBE=tan30°=器=亨，

.".CE=20V3x^=20,

：.ED=CD-CE=60-20=40,

：.AB=ED=40（米），

答：樓房的高度為40米.

22.（12分）如圖，點(diǎn)C在以48為直徑的。。上，點(diǎn)。是半圓AB的中點(diǎn)，連接AC,BC,

AD,BD.過點(diǎn)。作交CB的延長線于點(diǎn)"

（1）求證：直線OH是0O的切線；

（2）若AB=10,BC=6,求AD,的長.

【解答】（1）證明：連接O。，

為。。的直徑，點(diǎn)。是半圓AB的中點(diǎn),

1

：.ZAOD=^/-AOB=90°,

9：DH//AB,

/.Z00/7=90°,

：.0D±DH,

，直線?！笔荗O的切線；

(2)解：連接CD,

為。。的直徑，

/.ZADB=ZACB=90°,

:點(diǎn)。是半圓AB的中點(diǎn)，

：.AD=DB,

：.AD=DB,

AABD是等腰直角三角形，

VAB=10,

.*.A￡>=10sinZABD=10sin45°=10x孝=5魚,

VAB=10,BC=6,

：.AC=V102-62=8,

四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

AZCAD+ZCBD=180°,

VZDBH+ZCBD=1SO°,

：.ZCAD=ZDBH,

由(1)知NAOZ)=90°,NOBO=45°,

AZACD=45°,

9：DH//AB,

:?/BDH=NOBD=45°,

???NAC￡)=NBDH,

：.AACD^ABDH,

.ACAD

??―,

BDBH

.85V2

"5V2-BH，

解得：BH=^.

A

23.(12分)小剛?cè)コ匈徺I畫筆，第一次花60元買了若干支A型畫筆，第二次超市推薦

了3型畫筆，但8型畫筆比A型畫筆的單價貴2元，他又花100元買了相同支數(shù)的2型

畫筆.

(1)超市2型畫筆單價多少元？

(2)小剛使用兩種畫筆后，決定以后使用B型畫筆，但感覺其價格稍貴，和超市溝通后，

超市給出以下優(yōu)惠方案：一次購買不超過20支，則每支B型畫筆打九折；若一次購買超

過20支，則前20支打九折，超過的部分打八折.設(shè)小剛購買的2型畫筆x支，購買費(fèi)

用為y元，請寫出y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式.

(3)在(2)的優(yōu)惠方案下，若小剛計(jì)劃用270元購買8型畫筆，則能購買多少支2型

畫筆？

【解答】解：(1)設(shè)超市2型畫筆單價為a元，則A型畫筆單價為(a-2)元.

-60100

根據(jù)題顯得，---=---，

a—2a

解得a=5.

經(jīng)檢驗(yàn)，a=5是原方程的解.

答：超市8型畫筆單價為5元；

(2)由題意知，

當(dāng)小剛購買的B型畫筆支數(shù)xW20時，費(fèi)用為尸0.9X5x=4.5x,

當(dāng)小剛購買的B型畫筆支數(shù)x>20時，費(fèi)用為>=0.9X5X20+0.8X5(%-20)=4x+10.

f4.5x(l<x<20)

所以，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=“(其中x是正整數(shù))；

(4x+10(%>20)

(3)當(dāng)4.5x=270時，解得x=60,

V60>20,

...x=60不合題意，舍去;

當(dāng)4x+10=270時，解得x=65,符合題意.

答：若小剛計(jì)劃用270元購買B型畫筆，則能購買65支B型畫筆.

24.(12分)問題探究：

小紅遇到這樣一個問題：如圖1,△ABC中，AB=6,AC=4,AD是中線，求AD的取

值范圍.她的做法是：延長4。到E,使連接BE,證明△BEOgaCAD,經(jīng)

過推理和計(jì)算使問題得到解決.

請回答：(1)小紅證明△2EO四△CAD的判定定理是：SAS；

(2)AD的取值范圍是1<AD<5；

方法運(yùn)用：

(3)如圖2,AD是△ABC的中線，在AO上取一點(diǎn)凡連結(jié)8尸并延長交AC于點(diǎn)E,

使AE=所，求證：BF=AC.

AB1

(4)如圖3,在矩形ABCD中，一=一，在BD上取一點(diǎn)F,以BF為斜邊作RtABEF,

BC2

EF1

且一=一,點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG,CG,求證：EG=CG.

BE2

圖1圖2圖3

【解答】解：(1):入。是中線，

：.BD=CD,

又,：NADC=/BDE,AD=DE,

:.ABED名ACAD(SAS),

故答案為：SAS；

(2):△BEDQACAD,

：.AC=BE=4,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

：.2<2AD<1Q,

：.\<AD<5,

故答案為：1<AD<5；

(3)如圖2,延長A0至H,使AD=。"，連接3”,

??工。是AABC的中線，

：?BD=CD,

又?：/ADC=NBDH,AD=DH,

：.AADC^AHDB(SAS),

：.AC=BH,ZCAD=ZH,

9：AE=EF,

：.ZEAF=ZAFE,

：.ZH=/BFH,

???BF=BH,

：.AC=BF；

(4)如圖3,延長CG至N,使NG=CG,連接EN,CE,NF,

圖3

??,點(diǎn)G是。產(chǎn)的中點(diǎn)，

：.DG=GF,

又?：/NGF=NDGC,CG=NG,

:?△NGF"ACGD(SAS),

：.CD=NF,ZCDB=ZNFG,

_ABAB1EF1

*AD~BC~2BE~2

11

tanZADB=,tanZEBF=）,

ZADB=ZEBF,

U：AD//BC,

：.ZADB=ZDBC,

：.ZEBF=ZDBC,

：.ZEBC=2ZDBC,

■:NEBF+NEFB=90°,ZDBC+ZBDC=90°,

:?NEFB=/BDC=NNFG,ZEBF+ZEFB+ZDBC+ZBDC=180°,

A2ZDBC+ZEFB+ZNFG=180°,

又?：/NFG+/BFE+