2022年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考真題(含答案)

2022年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市成考專升本高

等數(shù)學(xué)二自考真題（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

f2x+lx<0…、

1,卜-3x>0-（）。

A.0B.-1C.-3D.-5

（吩卜）

2r

A：B.弓C-1口令23*B.

C設(shè)Z=88(x\>d,則當(dāng)=/、

3.nvQ；o

A.sin(x2y)

B.x2sin(x2y)

C.-sin(x2y)

D.-x2sin(x2y)

4設(shè)?(x)=((e'+l)d，,則@'(x)=().

A.O

B.c+T

C.e'+x

D.e'+l

5.若隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，而且P(A)=O.4,P(B)=O.5,貝ljP(AB)=

A.O.2B.0.4C,0.5D.O.9

上

若x=-l和x=2都是函數(shù)/(x)=(a+x)e*的極值點(diǎn)，則a,b分別為

6.A.1.2B.2,1C.-2,-1D.-2,1

已知函數(shù)f(x)=F,則lim

7.Ax=()

A.-3B.0C.1D.3

設(shè)離散型隨機(jī)變量《的分布列為二-----?--------------——-

P0.3aQ10.4

8.則”

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

A.2e2B.4e2C.e2D.O

10.

根據(jù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)r(x)的圖像，判定下列結(jié)論正確的是

A.在(-1)內(nèi)，f(x)是單調(diào)增加的

B.在內(nèi)，/(x)是單調(diào)增加的

C.〃-1)為極大值

D./(一1)為極小值

11.

下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是

A.y=|x|B.

x31VO,

C.y=2y[xD?y=

n3O

12.

設(shè)/X)在：-l.l]上連續(xù).則/J(-x)dx等于().

K0B.2jC.|/(x)dJtD.-I粒

13J[2+xln(l+x2)]dr=

A.A.4B,2C.0D,-2

14.

zVO

若函數(shù)、在x=O處可導(dǎo)，則a9b值必為

IaOJC9

A.a=b=-lB.a=-l,d=l

C.a=l,b=-1D.a=b=l

設(shè)_y=+sirur+ln2.則y

A.2x+wswinvxw

B.2x+vcwowssx/v

p

15.D.2x

「2L

2

sinzdz

一工1+COSJ?

16.積分~2等于[]

A.-lB.OC.lD,2

17.函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)是f(x)在該區(qū)間上可積的()

A.必要條件，但非充分條件

B.充分條件，但非必要條件

C.充分必要條件

D.非充分條件，亦非必要條件

lim(I+=

lo.,川

"/Cr>dr=F(jr)一(二則sirLr/(ccsj)dr等,()

A.F(siar)IC

C.F(C：3)*C

[9I).—F(cos.r)-rC

20.設(shè)函數(shù)z=x)+“l(fā),則會(huì)等于().

A.A.2x+lB.2xy+1C.x2+1D.x2

21.

函數(shù)y=e七在定義區(qū)間內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)

A.增加且凹的B.增加且凸的

C.減少且凹的D.減少且凸的

22當(dāng)才-0時(shí).sin3x是2工的

A.低階無窮小量B.等價(jià)無窮小量C.同階但不等價(jià)無窮小量D.高階無

窮小量

23.

設(shè)y=/(x)在點(diǎn)x處的切線斜率為2x+eT,則過點(diǎn)(0,I)的曲線方程為

A.x2-ex+2B.x2+e'^2

C.x2-e*x~2D.小長、2

已知函數(shù)/(x)=P,則lim,"3一/")=

24.i旅

A.-3B.OC.lD.3

f°e3x*'ck=

J—??

A.3eD."3e

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x0處的左、右極限存在且相等是函數(shù)在該點(diǎn)極限存在的().

A.必要條件B.充分條件

C,充分必要條件D.既非充分條件,也非必要條件

2x4-1x<0

設(shè)/(x)=2x=0?則/(x)在x=0處是

x2+1x>0

A.連續(xù)的B.可導(dǎo)的C.左極限r(nóng)右極限D(zhuǎn).左極限=右極限

e-'dz=()

B.-eJ+CC.T'+CD/+C

28.

29.圖2-5—1所示的?(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則由曲線y=?(x),直線

x=a,x=b及x軸所圍成的平面圖形的面積s等于().

力函數(shù)1y=/L3+ln(z—1)的定義域是

A.A.(。㈤

B.(l，4]

C.(l，4)

D(l,4-oo)

二、填空題(30題)

31.

32.

函數(shù)人工）=年三的間斷點(diǎn)是

極限lim二號4

33.一J譚一I

34.

設(shè)z=arcsin（工石"），則”=

3y

35.

過曲線y=V±i上的一點(diǎn)Q,3）的切線斜率是.

4-x

設(shè)/=/一三二，若用〃=，換成對t的積分再求解，可解得/=

36.J。+脛

設(shè)/（X）在x-2處可號.且r（2）=l.imim小土迎三堂2

>>?0n

37.A.IB.2C.3D.4

38.

39.

曲線y=2/+3x-26上點(diǎn)M處的切線斜率是15,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是

I

40」「出=-

41/e"dx=---------

42.

設(shè)二元函數(shù)z=sin土，則？：=______.

ydxdy

43.

設(shè)函數(shù)y=2,，則其單調(diào)遞增區(qū)間為.

44.R函數(shù)〃x）=hxJ

45.

*__________

xy/1—JC2dJ?=

46.

不定積分j1二sin-zu

JxH-cosx

47.設(shè)丫=工（工+1）（*+3）,則y"=_<

48.設(shè)函數(shù)y=xsinx,貝!）y"=.

49.

設(shè)函數(shù)八工)和小工)在點(diǎn)心處不連續(xù).而函數(shù)％在點(diǎn)力處連續(xù),則函數(shù)(

工。處必不連續(xù).

A./(r)+g(x)B./(x)g(x)C./(x)+A<x)D./(x)A(x)

50.奧息=----'

51.

點(diǎn)I=0是函數(shù)y=11,—的

。,十I

A.連饞最B.可去間斷晟

C.跳躍間斷*D.第二要間斷點(diǎn)

aretan_

fI*?JX

53.

設(shè)fQXcos^則，(力=

?z=arccot(x4-y),

54.

55.

不定積分卜ing+l)(Lr=

A,-COS-y+x+CB.——-cos與+1+C

4x4

C.xsin手鼻1+CD.xsin4”-C

4

56.

-10123

設(shè)隨機(jī)變量&的分布列為尸a3a2aa3a,貝Ua=_____________

1010101010

設(shè)J：/(/)d/=y,則J：｝/(4)dr=

lglim(,2+x-Vx)

58.n

59.

..1-cosx

limj—

JC

2x+l,x<0,

6。.已知〃小

三、計(jì)算題(30題)

設(shè)工=jyf/上)?其中/(“)可導(dǎo)?求工票+y票.

61.L"/

62.求微分方程2J+5/=5”：一2/-1的通解.

設(shè)函數(shù)/(x)=一季「”口,求人一在「1??」的?大值與最小值.

63.

設(shè)函數(shù)/(/)?Cr—a)府("),其中g(shù)(j)在點(diǎn)工=a處連續(xù),求/'(</).

65若已知=es.n2x.jR/?"1.

求(產(chǎn)：(a>0).

66.、一“

67.求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+2的單調(diào)區(qū)間和極值.

68求不定枳分|婕十ln(l，，)]<[，,

69.求函數(shù)f(x)=(x2-l)3+3的單調(diào)區(qū)間和極值.

求定枳分「卜(1+G)dr

70.J°

71.①求曲線y=x2(x>0),y=l與x=0所圍成的平面圖形的面積S：

②求①中的平面圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy.

72.求做分方程y"-2y'-3y3,?I的通解.

73設(shè)函數(shù)/(])=*1一/)'+/1。/(工)山■?求/(工)?

求極限|而粵W史

74.?:

V求不定積分1n(i+/TTTbdi.

7/O??1

76.求.分方程yd，-1")?1丫=0的通解?

rr求微分方程乎+*=J的通解.

77.4TX

78.求函數(shù)z=arctan(x:y)的全微分.

1.

求j：人工)dx,其中/(x)=Jc"+e

79.b+八1?！?.

求不定積分f丁一=亍

80.」工〃1+工

設(shè)下述積分在全平面上與路徑無關(guān)?

外力,

J^yltpi.x'iAx+-

其中函數(shù)“工)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且61〉=1.求函數(shù)6了).

求極限lim型生

82.

計(jì)算二重犯到其中是由直線工

￡ird?D2.y*與雙曲線工y=1所的成

83.的區(qū)*?

求函數(shù)y=7?Jf三的等數(shù),，

QU求定枳分

85.€*■

(X=arctan/?

已知參政方程!

<Lrdx

86.[y=I-ln(14-H).

求微分方程=4+1清足y(0)?2,y'(0)=0,/(0)=1的特解.

87.

巳知曲線y■/,成求：

（D曲線在點(diǎn)《1.1）處的切線方程與法線方程，

88.（2＞曲線上騫一點(diǎn)處的切域與亶線y=41-1平行？

設(shè)尸+y+2工-2尸二/確定函數(shù)N=zG,y）.求生,生.

89.Hrdy

90求微分方程＞V.V'1，的通解.

四、綜合題（10題）

91.

設(shè)拋物線y=u'+&r+c過原點(diǎn)，當(dāng)04工41時(shí)0。0,又已知該拋物線與工軸及

r=1所圍圖形的面積為《，試確定a.6.r，使此圖形繞了軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體枳最小.

QO求由曲線N=.r+4與y=；/所國成的平面圖形的面枳.

93.求函數(shù)/Q）-re在定義域內(nèi)的最大值和最小值.

94求函收＞=詈的單詞區(qū)間.限值及此曲數(shù)曲線的凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)和新近線?

95.討論函數(shù)八G「3.'，的單周性.

96.求由曲線V=(x-D*和直線上=2所圉成的圖形繞上軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體枳.

證明t當(dāng)了＞。時(shí).有:一＜加"三＜L

97.1-1

98.證明方程41=2'在［0.1］上有且只有一個(gè)實(shí)根.

99.

設(shè)人力在區(qū)間［a.瓦］上可導(dǎo)，且/(a)=/")=0.證明：至少存在一點(diǎn)(a.6).使得

Z(e)+3e*/(e)=o.

求函數(shù)八外=t-。++1的單調(diào)區(qū)間和極值.

100.

五、解答題(10題)

101.

計(jì)算lim(—)^+，.

…1+X

102.

設(shè)f(x)在(-8,+OO)可導(dǎo),比”當(dāng)，若四在才=如#0)處有極值,試證曲線f(x｝在

z=a處的切線過原點(diǎn).

已知曲線y=x2(x20)在點(diǎn)/(a,6)處的切線與該曲線及x軸所

憎成的平面圖形的面積5=工，求過/點(diǎn)的切線方程.

103.12

104.

Jj,打10分)設(shè)函數(shù)、=a/+%x+r在點(diǎn)，=1處取得極小值-I.且點(diǎn)(0/)為.，

r.三強(qiáng)。：死點(diǎn).出求常數(shù)a.%".

曲線》A/(x)過原點(diǎn)，且在點(diǎn)X處的斜率為4x,求lim冬.

1-*0X,

105.

106.

求證['-^-r-dx=p-^dx.

八1+，1+x2

107.

設(shè)20件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取兩件，在已知其中有一件是次品的條件下,

求另一件也是次品的概率.

108.

計(jì)算〕；*的?

Jol+x

109.

設(shè)Z=x3/(夕，其中f為可微函數(shù).

證明x泉+2謗=3z

已知/(x)=卜'TX<1,計(jì)算[1x)dx.

[x+1x21W

110.

六、單選題（0題）

JT=Q(1-sin/)?1

設(shè)則孚=

111.y=ad—cos/)?s

參考答案

l.C

因?yàn)閘ira/(x)=lira(X2-3)=-2,

III

所以/［呵/(x)］=/(-2)=(2x+l)J2=-3.

2.C

3.D

4.C此題暫無解析

5.A

［解析］

色上btX?—hr—ab

因?yàn)?'(X)=e*+(a+x)e?--5")=e*-------------

xx5

由于x=-l,x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。

.l+b-ab=0

所以4.

4-2b-ab=0

6.B解得a=2,b-1

7.A

Hm/3一"1)=lim/…7⑴.(-1)

Ax-?oAxAXTO—AX

=八1＞（-1）=（3/%-(-D=-3

8.C

由0.3+a+0.1+0.4=l,得a=0.2,故選C。

9.C

10.D

［解析］X軸上方的廣(x)>0,X軸下方的/(x)<0,即當(dāng)X<-1時(shí)，〃(x)<0：當(dāng)

Q-1時(shí)"(幻>0,根據(jù)極值的第一充分條件，可知八-1)為極小值，所以選D.

11.B

12.C

9.答應(yīng)選C.

分析本題考查的知識點(diǎn)是定積分的換元積分法.

jJ\j'/dX-&)=//(?)<!/

=Jf(x)dx.

如果審隱不認(rèn)真,很容易選A或B.由于函數(shù)/(x)的奇偶性不知道.所以選A或B都是錯(cuò)

誤的.

13.A

因?yàn)閤lnd+xD是奇函數(shù)，

所以J|［2+xln(l+x2)］dr=2j^2dr=4.

14.C

15.B

16.B

因/(j*)~-：--------為*矗敦，故由枳分性質(zhì)知.-------dx-0.

1+coaxJ+1+cosx

17.B

根據(jù)定積分的定義和性質(zhì)，函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，則f(x)在［a,b］

上可積；反之，則不一定成立。

19.D

20.B

用二元函數(shù)求偏導(dǎo)公式計(jì)算即可.

因?yàn)槔?興/y+x+l)=2*y+l,選B.

frXflX

21.C

22.C

23.A解析：

因?yàn)?(x)=J(2x+e-jl)dx=x2-e*+C

過點(diǎn)(0,1)得C=2

所以y(x)=x2-e-*+2

本題用賦值法更簡捷：

因?yàn)榍€過點(diǎn)(0,1),所以將點(diǎn)(0,1)的坐標(biāo)代入四個(gè)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A成立，即^+2=1,

故選A.

24.D

lim=/'(x)h=3xk=3.

Ax—?0Ax

［解析］因?yàn)榇藲?產(chǎn)

25.B3

26.C

答應(yīng)選C.

提示根據(jù)極限存在定理可知選C.

27.D

lim/(x)=lim(2x+1)=1?limf(x)=lim(x2+1)=1.故選D.

28.C

29.C

【提示】注意到定積分的幾何意義是的邊梯形的面積,而面積不能為負(fù)值，因此所有的

/(")必須為正值,則有S=fl/(x)Idx.

如果分段積分，也可以寫成：

s=-￡/(X)dx+Jf(x)dx.

30.B

31.

32.x=4

33.

1

五

xx

34.2夕，】一3“2G

35.2

Q

因?yàn)閥二一J所以y'(2)=2

,(4-x)1

36.應(yīng)填2In2.本題考查的知識點(diǎn)是定積分的換元積分法.換元時(shí)，積

分的上、下限一定要一起

令在=，，貝I]x=t2,dx=2tdt.當(dāng)x=l時(shí)，，=1；X=9時(shí)，t=3.所以

f9dxf32tdt-f3dtc,,,.I3…-

0-----=-i---=2-----=21n(i+1)=21n2.

換.J>x+Vxt2+tt+1II

37.C

38.-(3⑵

(3,1)

[解析J因?yàn)閥'=4x+3=15

解得x=3又X3)=2X32+3X3-26=1

故點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3,1)

?

4O.sin1

41.

f.e&=e“1=1,

42.

X.X1X

—sin---------cos—

y'yyy

xd/X、1x

—=cos—?—(一)=-cos-

axydxyyy

土梟3+=9。?=-l±.±(￡)

麗L。*8in

>?yyy辦yyyyyy

IXX.x

=----7cos一■F-sin—

yyVy

43.（0+oo）

44.應(yīng)填e-l-e-2.

本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的概念及定積分的計(jì)算.

因?yàn)?.剜?.所以

*?

jV,（e"）d?=e-e'*Ise-1..一

他?J'（一）dbr?M??）.

45.

---^-(1—x2)1+C

o

iJl-口dz=yI,71-j-2dz2=-y-(/l-z2)d(l-xz)=(-y)XY(1-Z2)I+

uJLJwo

C=-J(1-x2)f+C.

0

46.

Inlx+cosxl+C

47.應(yīng)填6.

［提示】注意到y(tǒng)=x(x+l)(x+3)=XS+4X2+3X,M/=6.

48.2cosx-xsinxo

y,=sinx+xcosx,y''=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx

49.C

50.

3

lim光場%^而七=。,

?-?X4-5-IA，

3x洛必達(dá)法*1

或lim-=—r——

-

51.C

52.

【答案】應(yīng)填)(arctanx)'+C

用湊微分法積分可得答案.

arctanx.f,、1

----------j-dx=Iarctanx(lz(arctanx)=弓(tarctanx)+C.

I4-J2

53.

K2

T

54.

1

I+(i+y)2

55.D

因?yàn)榘?應(yīng)+型+芻+2=1,所以a=i.

56.11解析：1。1。1。1。1。

57.16

58.0

59.1/2

60.

因?yàn)?(0)=(2?+1)|=

?=J)?令u=十?2=

翥=>/<?>4-xy/，(?)生

。工CM*

=、/《“)+1》/'(“)?(一/)=-.

空=xfku}+“f'(“)半

dydy

=j/(14)+工、/'(“)?=X/(M)+y/'(M).

因此/我+y生=xyf(u)-y2/(u)+xyf(u)4-ylf(u)

o-Toy

=2xyf(u)=2x“(})?

61.

z=?令u=.?星=xyfluh

李u”(“)+jryf，(u)?

O-TOX

yf(u)+jryff(u)?(一y/(u)-(“)

空=x/(w)+iy/'(K)=

dydy

=H/(“)+工》/'(〃)?~=x/(?)+y/'(M)?

因此J?以+?取=xyf{u)-y:f"(u)+jryf(u)+V(”>

o-Toy

=2xyf(u)=2xyf{^).

62.

與原方程對應(yīng)的齊次線性方程為

2y*+5y'=0.

特征方程為

2rl4-5r=0.

故

r\=0c,r,=-y5.

于是

>=G+C2eR

為齊次線性方程的通解.

而5/-2工一1中的aN0為單一特征根.故可設(shè)

-j-CAr1+Hr+C)

為

2y"+5y'-5x*-2x-1

的一個(gè)特解，于是有

(y*)'=3AP+2Hr4-C,(y,)*=6Ar+2B.

知

2(6Ar+2B)+5(3Ar,+2Hr4-C)=5x*-2x-1.

即

15Ar!4-(124+!0B)J+4B+5C=5x2-2x-1.

故

15A=5,124+10B=-2.4B+5c=-1.

于是

所以

.x13」.lx

y3525

為

2y4-5/=5x?-2x-1

的一個(gè)特制,因此原方程的通解為

y=C1+C,e，？+—弩-+.Cj為任意席數(shù)).

與原方程對應(yīng)的齊次線性方程為

Zy+5_y'=0,

特征方程為

2r*+5r=0.

故

于是

>=G+C,eV

為齊次線性方程的通解.

而5/一2工一1中的入-0為單一特征根.故可設(shè)

><?=*x(Ar*+Hr+C)

為

2y+5y'=5x*—2x—1

的一個(gè)特解,于是有.

<y,Y="3Ar‘+2Hr+C.(y，V=6Ar+2B.

知

2(6Ar+28)+5(3Ar，+2Hr+C)-5x1-2x-1.

即

15AT，+(12A+108)T+48+5CN5-2x-1,

故

15A=5.12A+10B=-2.4B+5C=>-1,

于是

A-l.S—1,C-^

所以

為

的一個(gè)特M,因此原方程的通解為

y=G+C,e"+4一(+g(&.a為任意常數(shù)).

?3343

63.

f(x)=>—51+4,令/<x)=0.得駐點(diǎn)X|==4.

由于40[-1.2],因此應(yīng)該舍掉.又=-V-/(2>=4-

ooo

可知/(x)在[一1.2]上的最大值點(diǎn)為H=1,最大值/(D=年；最小值點(diǎn)為工=一1?最

41

小值為八一1)

八T)=/—51+4.令/<x)=0.將駐點(diǎn)X|*=1.J-J=4.

由于40[-1.2],因此應(yīng)該舍掉?又/⑴=y./C-D=-y./(2)-j.

可知/(x)在[1.2]上的最大值點(diǎn)為工=1.最大值八1)=??最小值點(diǎn)為工=一1?最

小值為八一1)=V-

0

屋工)在.r=“處連續(xù)?于是limg(i)=R(a).

r??

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義.知

lim〃三)----=lim'.二?")?(/)二。=limg(x)=g(a)存在.

-x-a—1-a，一“

64.故/(/)在工=“處可導(dǎo)且f'(a)—g(u).

區(qū)(])在z==a處連續(xù),于是li呼：(z)=M(a).

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義.知

lim,(，)=|im(?二少)二/=limg(x)=g(a)存在，

-x-a-x-a-

故/(工)在1=〃處可導(dǎo)且/'(a)=g(a).

由y"”=e，sin2;r,得

V=sin2x-I-2eJcos2x=e'(sin2i+2COS2JT)■

yw*l>=e*(sin2x+2COS2T)+eJ(2cos2x-4sin2x)

65.-(4COS2T3sin2x).

由y"”=e'sin2;r,得

V=ezsin2x-I-2eJcos2x=e'(sin2i+2cos2z)■

J

=e*(sjn2j-+2COS2T)+e(2cos2x-4sin2x)

=e‘(4cos21一3sin2i).

66.

令H=atan/「￡V，V1),作輔助三角形,如圖所

示.則

dx=dsec'/d/<

，以2tan)+a?=avtarFT+l=asec/.

由輔助三角形，如圖所示，則sea=±l.tanr=二.

aa

于是

f&—=f4*(力=[sec/d/

J1工?+JasectJ

=In|secf+tan/I+C|

型1叱+岑？|+G

=ln(x++a?)4-Cj-Inu

=ln(jr+JP+a?)+C(C=C'j—Ina).

令工=atan/一工V/V三?作輔助三角形，如圖所

2、2

示.則

djr=asec;/d/.

/r'+<?=y?ztan2/+a1/tan?/+1=asec/.

由輔助三角形，如圖所示，則sect=幺三寸?tan，=二

a

于是

(1/竺fc=fsec/d/

y/xz+aasec/J

=In|xecz+tan/|+C\

M|i^ZZ|

ln++G

=ln(x++a?)+C；—Ind

=ln(x+Jf+a?)+C(C=C1—Ina).

67.f(x)的定義域?yàn)?-s,+◎.

/'(*)=3*s-6x-9=3(x+l)(x-3)===0J5x,=-l,x,=3.

列表如下：

(-?.-1)-1(-13)3C.+8)

/'⑺0-0.

z極大值7極小值-25z

函數(shù)發(fā)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間為(-8,-1),(3,+00)；單調(diào)減少區(qū)間為(-

1,3).極大值發(fā)f(-l)=7,極小值f(3)=-25。

+ln(1+x)Jdx="^-Je2,d(2x)4-Jln(1+1r)dx

=4-e2j+xln(1-f-x)—[—dr

=4-e2'H-xln(1+?r)—f[l——-J—Jdx

zJ1~rx

xo=~ncZj+zln(14-x)—J1+ln(1+x)+C.

bo.4

Jie"4-!n(l4-x)Jdx=-1-je2,d(2x)+jln(l+工)業(yè)

=Je*+zln(l4-x)—f—-cLr

4J1十fZ

=+工】n(l+工)-1[1-y-p-]dx

1,,,.

=~2QJ+zln(]+_r)-x+ln(1+jr)+C.

69.函數(shù)的定義域?yàn)?-oo,+oo),且

F(X)=6X(X2-1)2

令r(x)=o,得

X1=0,X2="l,X3=l,

列表如下:

X(-??"1)-1(-1.0)0(0.1)1(1)

/,(?)-0-00

〃0)=2為極小值

由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,0),單調(diào)增區(qū)間為(0,

+◎；f(0)=2為極小值.

[ln(1+VTjdr=zln(l+/F)|---f—乏三(Lr.

J。!?>2J<?1+77

由于r^?dj=L缶”令…而

二￡,7+出)市

=[彳■-r+InI1+rII|

==-J+In2.

故|ln<1+'ZrJAr=In2+4-In2=

70.J。44

!!n(l+VT)cLr=xln(l+>Zr)|~

.ir,石」

=InZ9-~I------zzcLr

2J?14-77

由于J擊小=f出山(令/=，)

=卜…告)市

=-f+ln|1+/|]|

=---+In2.

故Jln(l+>/Cr)cLr=In2+J—In2=-y.

7L①由已知條件畫出平面圖形如圖陰影所示

S=J：（l-%=卜爺＞多

②旋轉(zhuǎn)體的體積

72.

微分方程對應(yīng)的齊次方程為

y*—2y-3y-。,

其特征方程為』一2，-3二0.特征根為n=3,r,=-I.故對應(yīng)的齊次方程的通解為

y=Ge"+CeyC-G為任意常數(shù)).

由于自由項(xiàng)/(x)=入=0不是特征根.故可設(shè)特解為

y，=A+Hr.

將力代入原方程.得

--2H—3A—3Hr=3x+1?

有-3H=3,-2B-3Aa1.

故A=；.B=-1.從而y=—x.

，*1

所以雙方程的通解為

y=Ge"+a『+J-H(GC為任意常數(shù)).

誑分方程對應(yīng)的齊次方程為

j—2y-3y=0,

其特征方程為一一2,-3二0?特征根為r,=3,小=一】?故對應(yīng)的齊次方程的通解為

y-—￡為任意常數(shù)).

由于自由項(xiàng)/(x)-(S^+De^a=0不是特征根?故可設(shè)特解為

=A+Hr?

將V代人原方程?得

-2B—3A—3Hr=3JT+1?

有一3H=3?-2B—3A?1?

故A==-I,從而歹—

所以原方程的通解為

y=C,e1J4-C,e-+1-x(C,,C,為任意常數(shù)).

等式兩邊從0到1積分得

J/(j-)dx=Jx(1—+---1/(j)dx.

即Jfijrfdj-=21rd—x)*<Lr

令2卜(1-/)力=..

JftGI

故/⑺=力17>十沙

/，一勺G

等式兩邊從。到1積分得

J/(x)cijr=Jx(1--r)'dr4-/(x)dx.

即JfCjrydx=21x(1-jO$<Lr

■令上0

41

故/⑺=工八一力;十%

2

..in(i+2x)..rr各

lim-....■—...-hm-----：-------

」1…l—x

74.

ln(l+2x)i-1+2]

lrim■■■—.........=hm-----------------

L-3"-1i。*__x(_3)

26-3*

「lim-A-二更=_?

3(1+2x)3

75.

Jln(x+)dr=xln(x+，1+z?)—Jxd(ln(x+，1+<r?))

二"心+?不宗^I+舟W

=xln(x++*')—f--廠三t￡r

JvTTF

=xln(x+，1+1?)--J-fd+xI)-Td(14-xI)

4?

xln(x+y/1+xz)_J\+z'+C,

Jln(x4-+jrDtLr=xln(x-|-，1-z?)—|xd(ln(x+))

=xln(jr++/)—fx*-----1*/]~l/三一,\業(yè)

JZ+x/TRZl/1T?J

=xln(x+，1+1,)—[,,；dj

Jyrr^

=jln(x+0+7)-yjd+x^-TcKH-x1)

=xln(x+，1+12)—，1+工2+C.

-A-+力=0，

x—4xy

即[:

-r(―^~T\<lr-h=0,

4-4工)y

兩邊積分得

4-(ln|x—4I—In|x|>+in|y|=C.

4

故原方程的通解

(x—4)y=Ci,

76.其中特解y=0包含在通解之中.

-^—4-^=0,

z—41y

即；?

4~—\dr4--=0,

4\x-4xJy

兩邊積分得

《(In|x-4|-In|x|)-FIn|y|=C.

4

故原方程的通解