2018全國卷Ⅲ高考理科數(shù)學(xué)真題(含答案)

2018全國卷m高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1,已知集合4={幻》-120},B={0,1,2)，則Af3=

A.{0}B.{1}C.{1.2}D.{0,1,2}

2.(l+i)(2-i)=

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

3.中國古建筑借助樟卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫樟頭，凹進部分叫卯眼，圖

中木構(gòu)件右邊的小長方體是樨頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長

方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

4.若sina=11則cos2a=

3

8

AA.-81cD.-

9-49

5.卜+：]的展開式中X”的系數(shù)為

A.10B.20C.40D.80

6.直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,5兩點，點P在圓（x"）?+/=2上，則

面積的取值范圍是

A.[2,6]B.[4,8]C.[V2,3V2]D.[2點，3夜]

8.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立，設(shè)X為

該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX=2A,P（X=4）＜P（X=6），則p=

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

9.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a",c,若△ABC的面積為，，則c=

4

.兀

A.一B.-C.-D.-

2346

10.設(shè)A,8,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積

為9G,則三棱錐。-他C體積的最大值為

A.126B.18百C.246D.540

22

11.設(shè)石，尺是雙曲線C：*-1=1(a>0,b>0)的左，右焦點，。是坐標原點.過F,

ab~

作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PK|=#|OP|,則C的離心率為

A.6B.2C.y/3D.y/2

12.設(shè)。=1*0.3,Z)=log,0.3,則

A,a-vb<ab<QB.ab<a+b<0

C.a+b<Q<abD.ab<O<a+b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量。=(1,2),*=(2,-2),c=(l,2).若，〃(2〃+分),則/=.

14.曲線y=(6+l)e，在點(0,1)處的切線的斜率為-2,貝!|。=.

15.函數(shù)/(x)=cos(3x+W在［0,司的零點個數(shù)為

16.已知點M(-l,1)和拋物線C：V=4x,過。的焦點且斜率為A的直線與c交于A,B兩

點.若NAMB=90。，貝!U=________.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

17.(12分)

等比數(shù)列｛〃"｝中，4=1,%=4%.

(1)求｛〃”｝的通項公式；

(2)記5“為｛q｝的前〃項和.若與=63，求m.

18.（12分）

某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的

生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組

20人。第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成

生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)機,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超

過機和不超過機的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m不超過m

第一種生產(chǎn)方式

第一種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

n^ad-bcy

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2訓(xùn)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(12分)

如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧8所在平面垂直，M是CD上異

于C,。的點.

(1)證明：平面AWD_L平面BMC；

(2)當三棱錐ABC體積最大時，求面與面MCD所成二面角的正弦值.

20.(12分)

已知斜率為k的直線/與橢圓C：二+t=1交于A,8兩點，線段他的中點為

43

M(1>0).

(1)證明：1<一！;

2

(2)設(shè)尸為C的右焦點，尸為C上一點，且“+FA+FB=O.證明：網(wǎng)，網(wǎng)，網(wǎng)

成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.

21.(12分)

已知函數(shù)/(x)=(2+x+ar2)]n(l+x)-2x.

(1)若a=O，證明：當一l<x<0時，/(x)<0；當》>0時，/(x)>0;

(2)若x=O是/⑴的極大值點,求“.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計分。

22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程](10分)

在平面直角坐標系xOy中，0O的參數(shù)方程為F=(。為參數(shù))，過點

[y=sin夕

(0,且傾斜角為a的直線/與。O交于A,B兩點.

(1)求a的取值范圍；

(2)求回中點P的軌跡的參數(shù)方程.

23.［選修4-5:不等式選講］(10分)

設(shè)函數(shù)〃x)=|2x+l|+KT.

(1)畫出y=/(x)的圖像;

(2)當xG[O,+00),f(x)^ax+b,求a+6的最小值.

參考答案：

123456789101112

CDABCADBCBCB

13.-14.-315.316.2

2

17.（12分）

解：（1）設(shè)｛?！埃墓葹閝,由題設(shè)得%=.

由已知得/=4d,解得q=0（舍去），q=-2或q=2.

故％=（-2嚴或?=2"）

1-(-2)"

(2)若％=(-2尸，貝！|S.=.由5?,=63得(―2)'"=-188,此方程沒有正

3

整數(shù)解.

若a“=2"T,則S"=2"—l.由S”,=63得2m=64，解得加=6.

綜上，m=6.

18.(12分)

解：(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

理由如下：

(i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時

間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至

多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

(ii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5

分鐘用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二

種生產(chǎn)方式的效率更高.

(iii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80

分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘，因此第二種

生產(chǎn)方式的效率更高.

(iv)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的

最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布

在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所

需時間分布的區(qū)間相同,故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第

一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.

(2)由莖葉圖知加=史曳=80.

2

列聯(lián)表如下：

超過加不超過加

第一種生產(chǎn)方式155

第二種生產(chǎn)方式515

(3)由于K2=4°(15XH><5廠=皤〉&635,所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方

20x20x20x20

式的效率有差異.

19.(12分)

解：(1)由題設(shè)知,平面CMJ"平面ABCD,交線為CD.因為BCA.CD,BCu平面ABCD,所以

6CJL平面CMD,故BCA.DM.

因為,"為CO上異于C,。的點,且如為直徑，所以DMA.CM.

又BCC護C；所以DM1.平面BMC.

而DMU平面4㈣故平面4跖1.平面BMC.

(2)以〃為坐標原點，DA的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系止

當三棱推護4a體積最大時，洶為CD的中點.

由題設(shè)得￡>(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),M(0,l,l),

AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)

設(shè)〃=(x,y,z)是平面的法向量，則

n-AM=0,f-2x+y+z-0,

即《

n-AB=0.12y=0.

可取〃=（1,0,2）.

D4是平面的法向量，因此

/八八nDA石

cos（n,DA）=----------=——

\'\n\\DA\5

sin（〃,ZM）=亭

2/s

所以面始少與面呢）所成二面角的正弦值是=-

20.（12分）

2222

解：（1）設(shè),X）,伏々,為）,則~~+~~=1,+=1-

兩式相減，并由上&=%得

Xj-x2

43

由題設(shè)知工產(chǎn)=1,胃*'于是

%=一六?①

4m

31

由題設(shè)彳導(dǎo)0＜〃2＜一，故攵＜-

22

（2）由題意得尸（1,0）,設(shè)P（孫％），則

（玉T,%）+（西T,X）+（々T，%）=（0,0）.

由（1）及題設(shè)得x,=3-（內(nèi)+%2）=1,%=-（y+%）=一2,“＜。?

333

又點。在。上，所以加=1，從而P（L—/），?/口=7

于是

IFA|=7(x,-l)2+y,2=—I-+3(1吟)=2、.

同理|FB|=2-三.

2

所以|以|+|FB|=4—g&+w)=3.

故2Hpi=|E41+1F例，即|FA|,|FPFB|成等差數(shù)列.

設(shè)該數(shù)列的公差為d,則

21d|=||.例—|E4||=；|x—&1=；+%)2-4、匕.②

3

將m=3代入①得上=一1.

4

7,1

所以1的方程為y=-x+-,代入c的方程，并整理得7/-14尤+:=0.

44

故%+%=2,玉％=上，代入②解得1川=事.

2828

所以該數(shù)列的公差為或-里.

2828

21.(12分)

Y

解：(1)當。=0時，/(x)=(2+x)ln(l+x)-2x,f(x)=ln(l+x)-------.

1+x

XX

設(shè)函數(shù)g(x)=/'")=InQ+x)—.,貝Ug<x)=r.

1+x7(17+x)

當—l<x<()時，g'(x)<0；當無>()時，g'(x)>0.故當x>—1時，g(x)2g(0)=0,

且僅當尤=0時，g(x)=0,從而八x)N0,且僅當x=0時，/'(x)=0.

所以/(x)在(T,+oo)單調(diào)遞增.

又/(0)=0，故當一l<x<()時，/(x)<0；當了>()時，/(%)>0,

(2)3)若?！?，由(1)知，當x>()時，/(x)>(2+x)ln(l+%)-2%>0=/(0),

這與尤=0是/(%)的極大值點矛盾.

(ii)若。<0,設(shè)函數(shù)力(幻=一八)2=m(l+x)—二--------r-

由于當時，2+%+/>0，故/z(x)與/(x)符號相同.

又〃(0)=/(0)=0,故x=()是/(%)的極大值點當且僅當x=()是h(x)的極大值點.

如果6。+1>0,貝1j當0cx<_6"土1,且|x|<min{l,J'}時,h'(x)>0,故x=0

4a\|a\

不是4(x)的極大值點.

如果6a+l<0,則a、?+4ox+6a+l=0存在根玉<0,故當了€(%,0),且

|x|<min{1,}時，〃'(x)<0,所以x=0不是h(x)的極大值點.

Vl?l

(x—24)

如果6a+l=0,貝M'(x)=；~八：,.則當xe(TO)時,〃'(x)>0；當

0+1)，-6x-12)2

xe(0,1)時，l(x)<0.所以％=0是h(x)的極大值點，從而x=0是/(%)的極大值

點

綜上,a=--.

6

22.［選修4—4:坐標系與參數(shù)方程］(10分)

【解析】(1)O。的直角坐標方程為x2+y2=l.

71

當a=,時，/與。。交于兩點.

當ax］時，記tane=Z，則/的方程為曠=區(qū)-百./與，。交于兩點當且僅當

J27TJT7T371

l-jjlvl,解得左<一1或左>1,即aw(：，7)或ae(彳，二-).

y/1+e4224

IT3jr

綜