等差數(shù)列的概念422等差數(shù)列的通項公式講義-高二上學期數(shù)學選擇性

編號：027課題:§4.等差數(shù)列的概念~§4.等差數(shù)列的通項公式教學課時安排1、上課時間：_________________．2、課時安排：_________________．3、上課班級___________________．學科目標要求1、借助教材實例理解等差數(shù)列、等差中項的概念．2、借助教材實例了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．3、會求等差數(shù)列的通項公式，并能利用等差數(shù)列的通項公式解決相關(guān)的問題．4、能利用等差數(shù)列的通項公式解決相關(guān)的實際問題.學科素養(yǎng)目標在數(shù)學中，數(shù)列的內(nèi)容涉及函數(shù)、極限、級數(shù)等，它實際上是聯(lián)系初等數(shù)學與高等數(shù)學的橋梁．由于數(shù)列在日常生活中廣泛的應用性，以及數(shù)列在今后進一步學習數(shù)學中的基礎(chǔ)性，奠定了本章內(nèi)容在數(shù)學教學中的重要地位．本章教材的設(shè)計，注意體現(xiàn)學生是學習的主體的思想．在給出大量的生活實例之后，給學生一定的思考和探索空間，促使教學方式和學習方式的改變．讓學生通過觀察、操作、歸納、猜想、驗證、推理、討論和交流體驗數(shù)學；在習題中設(shè)置了“探究·拓展”欄目，為學有余力的學生提供一些富有挑戰(zhàn)性的問題，進一步激發(fā)學習興趣，拓寬視野，提高數(shù)學素養(yǎng)；教材設(shè)置了旁白、思考、閱讀、鏈接等內(nèi)容，為學生主動探究數(shù)學知識的產(chǎn)生和發(fā)展提供了空間．本節(jié)重點難點重點：利用等差數(shù)列的通項公式解決相關(guān)的問題；難點：利用等差數(shù)列的通項公式解決相關(guān)的實際問題．教學過程賞析基礎(chǔ)知識積累1.等差數(shù)列的定義(1)條件：①從第_____項起．②每一項與它的__________的差都等于___________常數(shù)．(2)結(jié)論：這個數(shù)列是等差數(shù)列．(3)相關(guān)概念：這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的________，常用______表示．【課前預習思考】(1)為什么強調(diào)“從第2項起”？(2)如何理解“每一項與前一項的差”？2．等差中項(1)前提：三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列．(2)結(jié)論：_______叫作a與b的等差中項．(3)滿足的關(guān)系式：2A＝_______．【課前預習思考】等式“2A＝a＋b”有哪些等價形式？3．等差數(shù)列的通項公式遞推公式通項公式____________＝d(n∈N*)an＝____________(n∈N*)【課前預習思考】(1)怎樣從函數(shù)角度認識等差數(shù)列？(2)由等差數(shù)列的通項公式可以看出，要求an，需要哪幾個條件？【課前小題演練】題1．數(shù)列{an}的前4項依次是20,11,2,7,則{an}的一個通項公式可以是 ()A.an=9n+11 B.an=9n+29C.an=15.5+(1)n+14.5 D.an=9n16題2.數(shù)列{an}的通項公式為an=53n,則此數(shù)列()A.是公差為3的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列C.是首項為5的等差數(shù)列D.是公差為n的等差數(shù)列題3.在等差數(shù)列{an}中,a1=1,a8+a10=10,則a5= ()A.2 B.3 C.4 D.5題4.數(shù)列{an}中,若a1=3,an+1an=2,則a5= ()A.9 B.13 C.10 D.11題5（多選題）．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3題6.等差數(shù)列6,3,0,3,…的公差d=.題7.+1與1的等差中項是.題8.設(shè)數(shù)列滿足:a1=1,an+1=an+3,n∈N*.求的通項公式.題9.在1與7之間順次插入三個數(shù)a,b,c使這五個數(shù)成等差數(shù)列,求此數(shù)列.題10.(1)在等差數(shù)列{an}中,已知a4=7,a10=25,求通項公式an;(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a3=,a7=,求a15的值.題11.(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項;(2)判斷401是不是等差數(shù)列5,9,13,…的項,如果是,是第幾項?題12.已知數(shù)列{an}滿足a1=4,an=4(n>1),記bn=.求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【當堂鞏固訓練】題13．若5,x,y,z,21成等差數(shù)列,則x+y+z的值為()A.26 B.29 C.39 D.52題14.設(shè)x是a與b的等差中項,x2是a2與b2的等差中項,則a,b的關(guān)系是 ()A.a=b B.a=3bC.a=b或a=3b D.a=b=0題15.已知在等差數(shù)列{an}中,a3+a8=22,a6=7,則a5等于 ()A.15 B.22 C.7 D.29題16.若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5,則m和n的等差中項為.題17(多選題)．已知等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差不為零，且a5＋an＝a10＋a20－m(m，n∈N*)，則()A．m＋n＝25B．當且僅當n＝12時，mn最大C．m－n＝10D．mn的最大值是156題18(多選題)．我國天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)，二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始，已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則下列說法正確的是()A．小寒比大寒的晷長長一尺B．春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同C．小雪的晷長為一丈五寸D．立春的晷長比立秋的晷長長題19．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差數(shù)列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，則a3＋a13的值為__________．題20．已知實數(shù)矩陣中，每行、每列的四個數(shù)均成等差數(shù)列，如果數(shù)陣中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝________，a22＝________．題21．已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=.(1)數(shù)列是否為等差數(shù)列?說明理由;(2)求an.題22.已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an+3n,且a1=1.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.題23.已知f(x)=,在數(shù)列{xn}中,x1=,xn=f(xn1)(n≥2,n∈N*),試說明數(shù)列是等差數(shù)列,并求x95的值.題24.已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1,an=an1+2(n≥3).(1)判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列?說明理由;(2)求{an}的通項公式.【課堂跟蹤拔高】題25．在等差數(shù)列{an}中,a2+a6=3,a3+a7=7,則公差d= ()A.1 B.2 C.3 D.4題26.若有以下兩個命題:命題甲:a,b,c成等差數(shù)列;命題乙:2b=a+c.則命題甲是乙的 ()A.充分而非必要條件 B.必要而非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件題27.若數(shù)列是等差數(shù)列,a1=1,a3=,則a5= ()A. B. C. D.題28.已知△ABC的面積是9,角A,B,C成等差數(shù)列,其對應邊分別是a,b,c,則a+c的最小值是 ()A.12 B.12 C.10 D.10題29.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《乘除通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列,其前6項分別為1,5,11,21,37,61,則該數(shù)列的第7項為 ()A.95 B.131 C.139 D.141題30.已知數(shù)列{an}滿足an+1an=d(n∈N*,d為常數(shù))且a6=4,則a4a7的最大值為 ()A.18 B.12 C.10 D.8題31(多選題).給出的下列命題中,正確的有 ()A.數(shù)列6,4,2,0是公差為2的等差數(shù)列B.數(shù)列a,a1,a2,a3是公差為1的等差數(shù)列C.等差數(shù)列的通項公式一定能寫成an=kn+b的形式(k,b為常數(shù))D.數(shù)列{2n+1}(n∈N*)是等差數(shù)列題32(多選題).若公差為d的等差數(shù)列滿足an+1+an=4n3,則下列結(jié)論正確的為 ()A.數(shù)列也是等差數(shù)列 B.d=2C.a1= D.13是數(shù)列中的項題33.在3和6之間插入兩個數(shù)a,b,使這四個數(shù)成等差數(shù)列,則此數(shù)列的公差為.題34.數(shù)列中,a1=1,a2=,且n≥2時,有+=,則an=.題35.等比數(shù)列中,已知a1=2,a4=16.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若a3,a5分別為等差數(shù)列的第3項和第5項,試求數(shù)列的通項公式.題36．數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足an＝3an－1＋3n－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*，n≥2))，已知a3＝95.(1)求a1，a2；(2)若bn＝eq\f(1,3n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋t))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))，則是否存在實數(shù)t，使eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))為等差數(shù)列？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．題37.已知數(shù)列滿足a1=3,an+1=(n∈N*).(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式.題38．已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an=2an1+2n(n≥2,且n∈N*).(1)求a2,a3;(2)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)求數(shù)列{an}的通項公式an.編號：027課題:§4.等差數(shù)列的概念~§4.等差數(shù)列的通項公式教學課時安排1、上課時間：_________________．2、課時安排：_________________．3、上課班級___________________．學科目標要求1、借助教材實例理解等差數(shù)列、等差中項的概念．2、借助教材實例了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．3、會求等差數(shù)列的通項公式，并能利用等差數(shù)列的通項公式解決相關(guān)的問題．4、能利用等差數(shù)列的通項公式解決相關(guān)的實際問題.學科素養(yǎng)目標在數(shù)學中，數(shù)列的內(nèi)容涉及函數(shù)、極限、級數(shù)等，它實際上是聯(lián)系初等數(shù)學與高等數(shù)學的橋梁．由于數(shù)列在日常生活中廣泛的應用性，以及數(shù)列在今后進一步學習數(shù)學中的基礎(chǔ)性，奠定了本章內(nèi)容在數(shù)學教學中的重要地位．本章教材的設(shè)計，注意體現(xiàn)學生是學習的主體的思想．在給出大量的生活實例之后，給學生一定的思考和探索空間，促使教學方式和學習方式的改變．讓學生通過觀察、操作、歸納、猜想、驗證、推理、討論和交流體驗數(shù)學；在習題中設(shè)置了“探究·拓展”欄目，為學有余力的學生提供一些富有挑戰(zhàn)性的問題，進一步激發(fā)學習興趣，拓寬視野，提高數(shù)學素養(yǎng)；教材設(shè)置了旁白、思考、閱讀、鏈接等內(nèi)容，為學生主動探究數(shù)學知識的產(chǎn)生和發(fā)展提供了空間．本節(jié)重點難點重點：利用等差數(shù)列的通項公式解決相關(guān)的問題；難點：利用等差數(shù)列的通項公式解決相關(guān)的實際問題．教學過程賞析基礎(chǔ)知識積累1.等差數(shù)列的定義(1)條件：①從第2項起．②每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)．(2)結(jié)論：這個數(shù)列是等差數(shù)列．(3)相關(guān)概念：這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，常用d表示．【課前預習思考】(1)為什么強調(diào)“從第2項起”？提示：①第1項前面沒有項，無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合；②定義中包括首項這一基本量，且必須從第2項起保證使數(shù)列中各項均與其前面一項作差．(2)如何理解“每一項與前一項的差”？提示：它的含義也有兩個：其一是強調(diào)作差的順序，即后面的項減前面的項；其二是強調(diào)這兩項必須相鄰．2．等差中項(1)前提：三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列．(2)結(jié)論：A叫作a與b的等差中項．(3)滿足的關(guān)系式：2A＝a＋b．【課前預習思考】等式“2A＝a＋b”有哪些等價形式？提示：2A＝a＋b?A－a＝b－A?A＝eq\f(a＋b,2).3．等差數(shù)列的通項公式遞推公式通項公式__an＋1－an＝d(n∈N*)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)【課前預習思考】(1)怎樣從函數(shù)角度認識等差數(shù)列？提示：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).①點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上；②這些點的橫坐標每增加1，函數(shù)值增加d.(2)由等差數(shù)列的通項公式可以看出，要求an，需要哪幾個條件？提示：只要求出等差數(shù)列的首項a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．【課前小題演練】題1．數(shù)列{an}的前4項依次是20,11,2,7,則{an}的一個通項公式可以是 ()A.an=9n+11 B.an=9n+29C.an=15.5+(1)n+14.5 D.an=9n16【解析】選B.由已知可看出數(shù)列{an}為等差數(shù)列,首項為20,公差為9,由等差數(shù)列的通項公式可得an=a1+(n1)d=20+(n1)·(9)=9n+29.題2.數(shù)列{an}的通項公式為an=53n,則此數(shù)列()A.是公差為3的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列C.是首項為5的等差數(shù)列D.是公差為n的等差數(shù)列【解析】選A.因為an+1an=53(n+1)(53n)=3,a1=2,所以數(shù)列{an}是以2為首項,3為公差的等差數(shù)列.題3.在等差數(shù)列{an}中,a1=1,a8+a10=10,則a5= ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選B.由等差中項的性質(zhì)可得a9==5,則a5==3.題4.數(shù)列{an}中,若a1=3,an+1an=2,則a5= ()A.9 B.13 C.10 D.11【解析】選D.因為a1=3,an+1an=2,所以數(shù)列{an}是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列,所以a5=3+(51)×2=11.題5（多選題）．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3【解析】選BC.因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)為1或2.題6.等差數(shù)列6,3,0,3,…的公差d=.【解析】(3)(6)=3,故d=3.答案:3題7.+1與1的等差中項是.【解析】由已知,+1與1的等差中項為=.答案:題8.設(shè)數(shù)列滿足:a1=1,an+1=an+3,n∈N*.求的通項公式.【解析】由題意,數(shù)列滿足an+1=an+3,n∈N*,即an+1an=3,n∈N*,又由a1=1,可得數(shù)列是以1為首項,公差為3的等差數(shù)列,所以an=a1+d=1+×3=3n2,即數(shù)列的通項公式為an=3n2,n∈N*.題9.在1與7之間順次插入三個數(shù)a,b,c使這五個數(shù)成等差數(shù)列,求此數(shù)列.【解析】因為1,a,b,c,7成等差數(shù)列,所以b是1與7的等差中項,所以b==3.又a是1與3的等差中項,所以a=c是3與7的等差中項,所以c==5.所以該數(shù)列為1,1,3,5,7.題10.(1)在等差數(shù)列{an}中,已知a4=7,a10=25,求通項公式an;(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a3=,a7=,求a15的值.【思路導引】設(shè)出基本量a1,d,利用方程組的思想求解,當然也可以利用等差數(shù)列的一般形式an=am+(nm)d求解.【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,(1)因為a4=7,a10=25,則得所以an=2+(n1)×3=3n5,所以通項公式an=3n5(n∈N*).(2)方法一:由得解得a1=,d=,所以a15=a1+(151)d=+14×=.方法二:(利用an=am+(nm)d求解)由a7=a3+(73)d,即=+4d,解得d=,所以a15=a3+(153)d=+12×=.題11.(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項;(2)判斷401是不是等差數(shù)列5,9,13,…的項,如果是,是第幾項?【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,(1)由a1=8,d=58=3,n=20,得a20=8+(201)×(3)=49.(2)由a1=5,d=9(5)=4,得這個數(shù)列的通項公式為an=5+(n1)×(4)=4n1.由題意,令401=4n1,得n=100,即401是這個數(shù)列的第100項.題12.已知數(shù)列{an}滿足a1=4,an=4(n>1),記bn=.求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【證明】方法一(定義法):因為bn+1===,所以bn+1bn===,為常數(shù)(n∈N*).又b1==,所以數(shù)列{bn}是首項為,公差為的等差數(shù)列.方法二(等差中項法):因為bn=,所以bn+1===.所以bn+2===.所以bn+bn+22bn+1=+2×=0.所以bn+bn+2=2bn+1(n∈N*),所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【當堂鞏固訓練】題13．若5,x,y,z,21成等差數(shù)列,則x+y+z的值為()A.26 B.29 C.39 D.52【解析】選C.因為5,x,y,z,21成等差數(shù)列,所以y既是5和21的等差中項,也是x和z的等差中項.所以5+21=2y,所以y=13,x+z=2y=26,所以x+y+z=39.題14.設(shè)x是a與b的等差中項,x2是a2與b2的等差中項,則a,b的關(guān)系是 ()A.a=b B.a=3bC.a=b或a=3b D.a=b=0【解析】選C.由等差中項的定義知:x=,x2=,所以=,即a22ab3b2a=b或a=3b.題15.已知在等差數(shù)列{an}中,a3+a8=22,a6=7,則a5等于 ()A.15 B.22 C.7 D.29【解析】選A.設(shè){an}的首項為a1,公差為d,根據(jù)題意得解得a1=47,d=8.所以a5=47+(51)×(8)=15.題16.若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5,則m和n的等差中項為.【解析】由m和2n的等差中項為4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中項為5,得2m+n=10.兩式相加,得m+n=6.所以m和n的等差中項為=3.答案:3題17(多選題)．已知等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差不為零，且a5＋an＝a10＋a20－m(m，n∈N*)，則()A．m＋n＝25B．當且僅當n＝12時，mn最大C．m－n＝10D．mn的最大值是156【解析】選AD.因為等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a5＋an＝a10＋a20－m，所以5＋n＝10＋20－m，即m＋n＝25，A正確，C不能確定，所以mn＝(25－n)·n＝－n2＋25n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(25,2)))2＋eq\f(625,4)，又n∈N*，所以n＝12或13時，mn取得最大值156，B錯誤，D正確．題18(多選題)．我國天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)，二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始，已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則下列說法正確的是()A．小寒比大寒的晷長長一尺B．春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同C．小雪的晷長為一丈五寸D．立春的晷長比立秋的晷長長【解析】選ABD.由題意可知，由夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，其中a1＝15，a13＝135，則d＝10，同理可得，由冬至到夏至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))，其中b1＝135，b13＝15，則d′＝－10，故大寒與小寒相鄰，小寒比大寒的晷長長10寸，即一尺，故選項A正確；因為春分的晷長為b7，所以b7＝b1＋6d′＝135－60＝75，因為秋分的晷長為a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同，故選項B正確；因為小雪的晷長為a11，所以a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷長為一丈一尺五寸，故選項C錯誤；因為立春的晷長和立秋的晷長分別為b4，a4，所以a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d′＝135－30＝105，所以b4>a4，故立春的晷長比立秋的晷長長，故選項D正確．題19．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差數(shù)列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，則a3＋a13的值為__________．【解析】由eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差數(shù)列，a1＋a15＝a4＋a12＝2a8，所以a1－a4＋a8－a12＋a15＝a8＝2，所以a3＋a13＝2a8＝4.答案：4題20．已知實數(shù)矩陣中，每行、每列的四個數(shù)均成等差數(shù)列，如果數(shù)陣中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝________，a22＝________．【解析】設(shè)第三行的四個數(shù)的公差為d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝eq\f(7－1,4－1)＝2，所以a32＝1＋2＝3.因為第二列的四個數(shù)成等差數(shù)列，所以a22是a12，a32的等差中項，所以a22＝eq\f(a12＋a32,2)＝eq\f(2＋3,2)＝eq\f(5,2).答案：3eq\f(5,2)題21．已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=.(1)數(shù)列是否為等差數(shù)列?說明理由;(2)求an.【思路導引】要判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列,要先求的值,再求出數(shù)列的通項公式可得an.【解析】(1)數(shù)列是等差數(shù)列,理由如下:因為a1=2,an+1=,所以==+,所以=,即是首項為=,公差為d=的等差數(shù)列.(2)由(1)可知=+(n1)d=,所以an=.題22.已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an+3n,且a1=1.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.【解析】(1)由an+1=3an+3n,兩邊同時除以3n+1,得=+,即=.由等差數(shù)列的定義知,數(shù)列是以=為首項,為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)知=+(n1)×=,故an=n·3n1,n∈N*.題23.已知f(x)=,在數(shù)列{xn}中,x1=,xn=f(xn1)(n≥2,n∈N*),試說明數(shù)列是等差數(shù)列,并求x95的值.【思路導引】設(shè)法說明是常數(shù).【解析】因為當n≥2時,xn=f(xn1),所以xn=(n≥2),即xnxn1+2xn=2xn1(n≥2),得=1(n≥2),即=(n≥2).又=3,所以數(shù)列是以3為首項,為公差的等差數(shù)列,所以=3+(n1)×=,所以xn=,所以x95==.題24.已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1,an=an1+2(n≥3).(1)判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列?說明理由;(2)求{an}的通項公式.【解析】(1)當n≥3時,an=an1+2,即anan1=2,而a2a1=0不滿足anan1=2(n≥3),所以{an}不是等差數(shù)列.(2)當n≥2時{an}是等差數(shù)列,公差為2.當n≥2時,an=1+2(n2)=2n3,又a1=1不適合上式,所以{an}的通項公式為an=【課堂跟蹤拔高】題25．在等差數(shù)列{an}中,a2+a6=3,a3+a7=7,則公差d= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.方法一:因為(a3+a7)(a2+a6)=2d,且a3+a7=7,a2+a6=3,所以d==2.方法二:因為a3+a7=2a5=7,a2+a6=2a4=3,所以a5=,a4=,所以d=a5a4=2.題26.若有以下兩個命題:命題甲:a,b,c成等差數(shù)列;命題乙:2b=a+c.則命題甲是乙的 ()A.充分而非必要條件 B.必要而非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【解析】選C.若a,b,c成等差數(shù)列,根據(jù)等差中項的性質(zhì)可知2b=a+c.當2b=a+c時ba=cb,即a,b,c成等差數(shù)列.故命題甲是乙的充要條件.題27.若數(shù)列是等差數(shù)列,a1=1,a3=,則a5= ()A. B. C. D.【解析】選B.令n=1得=1,令n=3得=3,所以數(shù)列的公差為d=1,所以=+2=3+2=5,解得a5=.題28.已知△ABC的面積是9,角A,B,C成等差數(shù)列,其對應邊分別是a,b,c,則a+c的最小值是 ()A.12 B.12 C.10 D.10【解析】選A.因為角A,B,C成等差數(shù)列,所以2B=A+C,又因為A+B+C=π,所以B=,因為△ABC的面積是9,所以S=acsinB=9,即ac=36,又因為a+c≥2=12,當且僅當a=c時等號成立.題29.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《乘除通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列,其前6項分別為1,5,11,21,37,61,則該數(shù)列的第7項為 ()A.95 B.131 C.139 D.141【解析】選A.由題意可知,1,5,11,21,37,61,…的差的數(shù)列為4,6,10,16,24,…,則這個數(shù)列的差組成的數(shù)列為2,4,6,8,…,是一個等差數(shù)列,設(shè)原數(shù)列的第7項為x,則x61=24+10,解得x=95,所以原數(shù)列的第7項為95.題30.已知數(shù)列{an}滿足an+1an=d(n∈N*,d為常數(shù))且a6=4,則a4a7的最大值為 ()A.18 B.12 C.10 D.8【解析】選A.由{an}滿足an+1an=d得數(shù)列{an}為等差數(shù)列,由a6=4得a4a7=(42d)(4+d)=2(2d)(4+d)=2(d+1)2+18,當d=1時a4a7有最大值為18.題31(多選題).給出的下列命題中,正確的有 ()A.數(shù)列6,4,2,0是公差為2的等差數(shù)列B.數(shù)列a,a1,a2,a3是公差為1的等差數(shù)列C.等差數(shù)列的通項公式一定能寫成an=kn+b的形式(k,b為常數(shù))D.數(shù)列{2n+1}(n∈N*)是等差數(shù)列【解析】選BCD.根據(jù)等差數(shù)列的定義可知,數(shù)列6,4,2,0的公差為2,A錯誤;對于B,由等差數(shù)列的定義可知,數(shù)列a,a1,a2,a3是公差為1的等差數(shù)列,所以B正確;對于C,由等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n1)d,得an=dn+(a1d),令k=d,b=a1d,則an=kn+b,所以C正確;對于D,因為an+1an=2(n+1)+1(2n+1)=2,所以數(shù)列{2n+1}(n∈N*)是等差數(shù)列,所以D正確.題32(多選題).若公差為d的等差數(shù)列滿足an+1+an=4n3,則下列結(jié)論正確的為 ()A.數(shù)列也是等差數(shù)列 B.d=2C.a1= D.13是數(shù)列中的項【解析】選ABC.由an+1+an=4n3知是等差數(shù)列,A正確;由an+1+an=4n3得an+2+an+1=4n+1,所以an+2an=4,因為是等差數(shù)列,所以d=2,B正確;由a1+a2=1,則a1+a1+d=1,所以a1=,即an=2n,若an=2n=13,則n不是整數(shù),所以C正確,D錯誤.題33.在3和6之間插入兩個數(shù)a,b,使這四個數(shù)成等差數(shù)列,則此數(shù)列的公差為.【解析】設(shè)該等差數(shù)列為{an},其首項為a1,公差為d,由題知a1=3,a4=6,即解得d=3.答案:3題34.數(shù)列中,a1=1,a2=,且n≥2時,有+=,則an=.【解析】因為n≥2時,有+=,即=,故數(shù)列是常數(shù)列,因為a1=1,a2=,所以=,因此=(n≥2),所以數(shù)列是以1為首項,為公差的等差數(shù)列,