河北省保定市部分地區(qū)2023-2024學年高三上學期1月期末聯(lián)考調研數學試題（含答案）

-2024學年河北省保定市部分地區(qū)高三上學期1月期末聯(lián)考調研數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合，，則A. B. C. D.2.已知i為虛數單位，且，則(

)A.1 B. C. D.23.已知m，n為兩條不同直線，，為兩個不同平面，則下列結論正確的為(

)A.，，則

B.，，，，則

C.，，，則

D.，，，則4.若是奇函數，則(

)A.， B.，

C.， D.，5.已知銳角的頂點在原點，始邊在x軸非負半軸，現(xiàn)將角的終邊繞原點逆時針轉后，交以原點為圓心的單位圓于點，則的值為(

)A. B. C. D.6.已知向量，為單位向量，且滿足，則向量在向量上的投影向量為(

)A. B. C. D.7.保定的府河發(fā)源于保定市西郊，止于白洋淀藻雜淀，全長26公里.府河作為保定城區(qū)主要的河網水系，是城區(qū)內主要的排瀝河道.府河橋其橋拱曲線形似懸鏈線，橋型優(yōu)美，是我市的標志性建筑之一，懸鏈線函數形式為，當其中參數時，該函數就是雙曲余弦函數，類似地有雙曲正弦函數若設函數，若實數x滿足不等式，則x的取值范圍為(

)

A. B. C. D.8.在橢圓中，，分別是左，右焦點，P為橢圓上一點非頂點，I為內切圓圓心，若，則橢圓的離心率e為(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.下列說法正確的是(

)A.從50個個體中隨機抽取一個容量為20的樣本，則每個個體被抽到的概率為

B.數據11，19，15，16，19眾數是19，中位數是15

C.數據0，1，5，6，7，11，12，這組數據的第70百分位數為7

D.對于隨機事件A與B，若，，則事件A與B獨立10.先將函數圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，再把圖象向右平移個單位長度，最后把所得圖象向上平移一個單位長度，得到函數的圖象，則關于函數，下列說法正確的是(

)A.最小正周期為 B.在上單調遞增

C.時， D.其圖象關于點對稱11.已知曲線，則以下說法正確的是(

)A.若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則

B.若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，則其短軸長取值范圍是

C.曲線C為橢圓時，離心率為

D.若曲線C為雙曲線，則漸近線方程為12.《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在四面體中，是直角三角形，為直角，點E，F(xiàn)分別是SB，BC的中點，且，，，，則(

)

A.平面SAB

B.四面體是鱉臑

C.E是四面體外接球球心

D.過A、E、F三點的平面截四面體的外接球，則截面的面積是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知圓，過作圓O的切線l，則直線l的傾斜角為__________.14.保定某中學舉行歌詠比賽，每班抽簽選唱5首歌曲中的1首歌曲可重復被抽取，則高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率為__________.15.等差數列前13項和為91，正項等比數列滿足，則__________.16.已知不等式對任意的實數x恒成立，則的最大值為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題10分

的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且

求角C的大小;若的角平分線交AB于點D，，，求18.本小題12分

在菱形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，將菱形ABCD沿BD折起，使，M為線段BD中點.

求大小;求直線AC與平面EFM所成角的大小.19.本小題12分在正項數列中，，且求證：數列是常數列，并求數列的通項公式;若，記數列的前n項和為，求證：20.本小題12分

已知拋物線的焦點為F，準線交y軸于點E，點，若的面積為1，過點H作拋物線C的兩條切線，切點分別為M，

求p的值及直線MN的方程;點B是拋物線弧MN上一動點，點B處的切線與HM，HN分別交于點C，D，證明：21.本小題12分杭州亞運會吉祥物為一組名為“江南憶”的三個吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊含獨特的城市元素.本次亞運會極大地鼓舞了中國人民參與運動的熱情.某體能訓練營為了激勵參訓隊員，在訓練之余組織了一個“玩骰子贏禮品”的活動，他們來到一處訓練場地，恰有20步臺階，現(xiàn)有一枚質地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數，則往上爬兩步臺階，否則爬一步臺階，再重復以上步驟，當隊員到達第7或第8步臺階時，游戲結束.規(guī)定：到達第7步臺階，認定失敗;到達第8步臺階可贏得一組吉祥物.假設平地記為第0步臺階.記隊員到達第n步臺階的概率為，記投擲4次后，隊員站在的臺階數為第X階，求X的分布列;ⅰ求證：數列是等比數列;ⅱ求隊員贏得吉祥物的概率.22.本小題12分已知函數若在上單調遞增，求實數a的取值范圍;若有兩個極值點分別為，，當時，證明：答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查集合的交集運算，屬于基礎題.

化簡集合A，再由交集的定義可得結果.【解答】

解：，所以，

故選2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查復數的運算及共軛復數，屬于基礎題.

依題意先對原式進行化簡，可求得

z

，利用共軛復數的定義可得

，再利用復數的運算可求得答案.【解答】

解：由題意得：

，則

，

.

故選3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查空間中的線、面位置關系，屬于基礎題.

利用空間中的線、面位置關系，對選項逐個判斷即可.【解答】

解：若，，則或，故A錯誤;

B.若，，，，則或與相交，故B錯誤;

C.若，，，則或與相交，故C錯誤;

D.若，，則，又，則，故D正確，

故選：4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了函數的奇偶性，屬于基礎題.

根據奇函數得，取特殊值即可得出結果.【解答】

解：函數是R上的奇函數，

，即①，

，即②，

由①②解得，，

經檢驗，符合題意，

故，5.【答案】D

【解析】【分析】本題考查任意角三角函數的定義，同角三角函數基本關系式，兩角和與差的三角函數公式，屬于中檔題.

先得出和的值，由展開計算可得結果.【解答】

解：由題意，，

因為為銳角，

所以，

所以，

則

故選6.【答案】C

【解析】【分析】本題考向量的數量積和投影向量，屬于常規(guī)題.

求出和，利用投影向量的定義即可求解.【解答】

解：由向量，得，

由，得，

化簡整理，得，

則，

則向量在向量上的投影向量為，

故選7.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷和應用，根據函數奇偶性和單調性之間的關系，將不等式進行轉化是解決本題的關鍵，屬于中檔題.

先判斷函數的奇偶性與單調性，利用函數的性質解不等式即可求解．【解答】

解：由題意得，，

定義域為R，關于原點對稱，

，

為奇函數；

在R上單調遞增，在R上單調遞減

函數在R上單調遞增

，

，即，

，

解得：，

故選：8.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查橢圓的定義和性質，屬于一般題.

設的內切圓半徑為r，結合題意得，再利用橢圓的定義和橢圓離心率的定義，即可求解.【解答】

解：設的內切圓半徑為r，

則由，得

即

即，

橢圓的離心率

故選：9.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查簡單隨機抽樣、眾數、中位數、百分位數和獨立事件的判斷，屬于基礎題.

對于A，結合古典概型的概率公式，即可求解;對于B，結合眾數、中位數的定義，即可求解;對于C，結合百分位數的定義，即可求解;對于D，結合相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解.【解答】

解：對于A、從50個個體中隨機抽取一個容量為20的樣本，

則每個個體被抽到的概率為，故A正確；

對于B、數據11，19，15，16，19從小到大排序為11，15，16，19，19，

則眾數是19，中位數是16，故B錯誤；

對于C、數據0，1，5，6，7，11，12，

則，

則這組數據的第70百分位數為7，故C正確；

對于D、對于隨機事件A與B，

若，則，

又，

則，即事件A與B獨立，故D正確10.【答案】AB

【解析】【分析】本題考查三角函數的圖象變換和性質，屬于一般題.

求出的解析式，再對選項逐個判斷即可.【解答】

解：將函數圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，得到，

再把圖象向右平移個單位長度，得到，

最后把所得圖象向上平移一個單位長度，得到函數，

對于A、函數的最小正周期為，故A正確；

對于B、當時，，單調遞增，故B正確；

對于C、當時，，，則故C錯誤；

對于D、因為，故的圖象關于點對稱，故D錯誤11.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查圓錐曲線的基本知識，處理橢圓和雙曲線的基本性質的基本方法，屬于基礎題.

對于A，若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，滿足條件為，解得即可，判斷A正確；對于B，求得，由，可得短軸長取值范圍，判斷故B正確；對于C，對曲線C分類討論，即可判斷C錯誤；對于D，若曲線C為雙曲線，求得漸近線方程，即可判斷D正確.【解答】

解：對于A，若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則曲線化簡為，滿足的條件為，解得，故A正確；

對于B，若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，則，由范圍，可得短軸長取值范圍是，故B正確；

對于C，若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則離心率為，若曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，則離心率為，故C錯誤；

對于D，若曲線C為雙曲線，則漸近線方程為，故D正確.12.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查線面垂直的判定，考查球的截面的面積，屬于中檔題.

利用線面垂直的判定定理判斷A；證明四個面都為直角三角形，判斷B；確定球心的位置判斷C；求出截面的半徑，判斷【解答】

解：因為，E是SB的中點，所以，

因為，，平面SBC，

所以平面SBC，

因為平面SBC，所以，

因為是直角三角形，為直角，所以，

因為，AE，平面SAB，所以平面SAB，A正確；

因為為直角，，，所以，

因為，，所以為直角，

因為平面SAB，平面SAB，

所以，為直角，

所以，

因為，所以為直角，

所以四面體是鱉臑，B正確；

由于E是SB的中點，所以，

因為為直角，所以，所以E不是四面體外接球球心，C錯誤；

取SC的中點O，易得，即O是四面體的外接球的球心，球的半徑為，

中，，所以，所以，

所以，

由于，

所以O到截面AEF的距離等于C到截面AEF的距離，設為h，

由，

則，所以，

所以截面的半徑為，

所以截面的面積是，D正確.

故選：13.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查圓的切線方程，直線斜率與傾斜角的關系，屬于較易題.

根據條件求出直線OM的斜率，即可得到切線的斜率，從而求得傾斜角.【解答】

解：由題，圓的圓心為，在圓上，

則，所以直線l的斜率為，

令直線l的傾斜角為，則，

由于解得

故答案為14.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查古典概型，分步乘法計數原理，屬于較易題.

根據題意，每班抽簽選唱5首歌曲中的1首，共有個基本事件，抽到不同歌曲有個基本事件，再根據古典概型求解即可.【解答】

解：由題，高三1班和高三2班每班抽簽選唱5首歌曲中的1首，共有個基本事件，

其中，高三1班和高三2班抽到不同歌曲有個基本事件，

故高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率為

故答案為15.【答案】13

【解析】【分析】本題主要考查等比數列的性質，對數運算，等差數列的前n項和，等差數列的性質，屬于基礎題.

由等差數列前n項和與等差數列的性質可得，則，根據等比數列的性質結合對數運算，即可求解.【解答】

解：由等差數列前13項和為91，可得，

所以，則，

所以

故答案為16.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性，利用導數研究恒成立問題，利用導數求最值，屬于難題.

原不等式轉化為，令，顯然當時，利用導數可得有最小值，則，轉化為，令，利用導數求其最值即可得到的最大值.【解答】

解：因為不等式對任意的實數x恒成立，即對任意的實數x恒成立，

令，則，當時，，在R上單調遞增，

當時，，不滿足在R上恒成立；

當時，令，則，

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

所以，所以，

則，

令，則，

顯然當上單調遞增，在上單調遞減，

所以，所以，

即的最大值為

故答案為17.【答案】

解：由及正弦定理，可得

因為，所以

又，所以，則，

又，所以；

為的平分線，，

設點D到BC和AC的距離為d，則，即，

，

又，

，

則有，

或舍去，所以

【解析】本題主要考查正、余弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題.

由題意及正弦定理得，再利用兩角和公式化簡即可得，進而求出結果；

根據CD平分，且，利用角平分線定理得到，由，可得；18.【答案】解：為BD中點，，，

，AM、平面AMC，

平面AMC，

平面BCD，

平面平面BCD，

過A作，交CM于點O，又平面AMC，平面平面，

則平面BCD，

以O為坐標原點，OM所在直線為x軸，在平面BCD內過O作CD垂線為y軸，OA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系.

，，，，

，，

，所以，

所以

由得，，

設平面EMF法向量為，

得，

令，則，，

，

又，設直線AC與平面EFM所成角為，

，

又，則，

故AC與平面EMF所成角為

【解析】本題考查空間線線垂直的判定，考查直線與平面所成角，屬中檔題.

利用線面垂直、面面垂直的判定推導得垂直關系，再建立空間直角坐標系，利用空間向量求出

根據中信息，利用線面角的向量求法求解即得.19.【答案】解：

時，

，相除得，

，

，

，

又，

即數列是常數列，

所以，所以；

，

，

，

又因為單調遞增，

所以，

即

【解析】本題考查了數列的遞推關系、數列的通項公式以及裂項相消法，是中檔題.

當時，，與已知相除化簡得，取對數得，可得數列是常數列，進而得出；

易得，由裂項相消求和即可得證.20.【答案】解：，可得，

即拋物線方程為，

設切點，切線斜率為，

切線方程為，此切線過

解得，或，得兩切點坐標，

所以直線MN方程為；

設切點，

可得B點處的切線為：，化簡得，

由知，點，可得直線HM方程為

聯(lián)立解得C點橫坐標

同理由N，H坐標可得直線HN方程，

可得D點橫坐標，

，

，

結論得證.

【解析】本題考查拋物線的標準方程以及直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.

，可得，即拋物線方程為，設切點，可得切線方程為，此切線過，即可求解；

設切點，可得B點處的切線為，由直線HM方程為聯(lián)立解得C點橫坐標，同理可得D點橫坐標，再由，，代入化簡即可證明結論.21.【答案】解：由題意得每輪游戲爬