2024屆上海市寶山區(qū)羅店中學(xué)高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024屆上海市寶山區(qū)羅店中學(xué)高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.新聞出版業(yè)不斷推進供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展,持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給,實現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況,則下列說法錯誤的是()A.2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B.2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C.2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D.2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一2.3本不同的語文書,2本不同的數(shù)學(xué)書,從中任意取出2本,取出的書恰好都是數(shù)學(xué)書的概率是()A. B. C. D.3.二項式的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項是()A.180 B.90 C.45 D.3604.已知是定義在上的奇函數(shù),當時,,則()A. B.2 C.3 D.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,將此圖象分別作以下變換,那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有()①繞著軸上一點旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對稱.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④6.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.7.如圖在直角坐標系中,過原點作曲線的切線,切點為,過點分別作、軸的垂線,垂足分別為、,在矩形中隨機選取一點,則它在陰影部分的概率為()A. B. C. D.8.設(shè)集合,,若,則()A. B. C. D.9.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里10.設(shè)為等差數(shù)列的前項和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),若,則下列不等關(guān)系正確的是()A. B.C. D.12.已知實數(shù)滿足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.11二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.集合,,若是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合,則下列說法正確的為________①的值可以為2;②的值可以為;③的值可以為;14.的角所對的邊分別為,且,,若,則的值為__________.15.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,則________.16.已知為拋物線:的焦點,過作兩條互相垂直的直線,,直線與交于、兩點,直線與交于、兩點,則的最小值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說明理由.18.(12分)如圖,在底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱上的一點,.(1)若,求直線AP與平面所成角;(2)在線段上是否存在一個定點Q,使得對任意的實數(shù)m,都有,并證明你的結(jié)論.19.(12分)的內(nèi)角的對邊分別為,若(1)求角的大?。?)若,求的周長20.(12分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個內(nèi)角、、所對邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(1)當時,解不等式;(2)設(shè)不等式的解集為,若,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)定義:若數(shù)列滿足所有的項均由構(gòu)成且其中有個,有個,則稱為“﹣數(shù)列”.(1)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有多少種?(2)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

通過圖表所給數(shù)據(jù),逐個選項驗證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項A正確;對于選項B:,正確;對于選項C:,故C不正確;對于選項D:,正確.選C.【點睛】本題主要考查柱狀圖是識別和數(shù)據(jù)分析,題目較為簡單.2、D【解析】

把5本書編號,然后用列舉法列出所有基本事件.計數(shù)后可求得概率.【詳解】3本不同的語文書編號為,2本不同的數(shù)學(xué)書編號為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個,恰好都是數(shù)學(xué)書的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫出所有的基本事件,然后計數(shù)計算概率.3、A【解析】試題分析:因為的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,所以,,令,則,.考點:1.二項式定理;2.組合數(shù)的計算.4、A【解析】

由奇函數(shù)定義求出和.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù),.又當時,,.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.5、D【解析】

計算得到,,故函數(shù)是周期函數(shù),軸對稱圖形,故②④正確,根據(jù)圖像知①③錯誤,得到答案.【詳解】,,,當沿軸正方向平移個單位時,重合,故②正確;,,故,函數(shù)關(guān)于對稱,故④正確;根據(jù)圖像知:①③不正確;故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì),意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識和圖像的綜合應(yīng)用.6、A【解析】

根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因為,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.7、A【解析】

設(shè)所求切線的方程為,聯(lián)立,消去得出關(guān)于的方程,可得出,求出的值,進而求得切點的坐標,利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積,然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)所求切線的方程為,則,聯(lián)立,消去得①,由,解得,方程①為,解得,則點,所以,陰影部分區(qū)域的面積為,矩形的面積為,因此,所求概率為.故選:A.【點睛】本題考查定積分的計算以及幾何概型,同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解,考查計算能力,屬于中等題.8、A【解析】

根據(jù)交集的結(jié)果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.【點睛】本題考查集合的交,注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素,本題屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角,再結(jié)合AB可求,應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應(yīng)用,關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系,利用正余弦定理求解.屬于中檔題.10、C【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式,判斷出最小時的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項和中,前項的和最小,且.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系,再利用不等式的性質(zhì),即可得答案.【詳解】∵在R上單調(diào)遞增,且,∴.∵的符號無法判斷,故與,與的大小不確定,對A,當時,,故A錯誤;對C,當時,,故C錯誤;對D,當時,,故D錯誤;對B,對,則,故B正確.故選:B.【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域,再將目標函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時候為過點的時候,解得所以,此時故選A項【點睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡單題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、②③【解析】

根據(jù)對稱性,只需研究第一象限的情況,計算:,得到,,得到答案.【詳解】如圖所示:根據(jù)對稱性,只需研究第一象限的情況,集合:,故,即或,集合:,是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合,故所在的直線的傾斜角為,,故:,解得,此時,,此時.故答案為:②③.【點睛】本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力,利用對稱性是解題的關(guān)鍵.14、【解析】

先利用余弦定理求出,再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式,結(jié)合可求的值.【詳解】因為,故,因為,所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足,所以即.因為,解得或(舍).故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意結(jié)合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解,本題屬于中檔題.15、【解析】

利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點睛】本題考查利用正弦定理實現(xiàn)邊角互化,屬基礎(chǔ)題.16、16.【解析】由題意可知拋物線的焦點,準線為設(shè)直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立,消去得設(shè)點由跟與系數(shù)的關(guān)系得,同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì),拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離∴,同理∴,當且僅當時取等號.故答案為16點睛:(1)與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離,可以使運算化繁為簡.“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑;(2)圓錐曲線中的最值問題,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的條件.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)不存在.【解析】

(1)由已知,利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求,利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為,由不等式的傳遞性,可求的最小值;(2)由基本不等式可求的最小值為,而,故不存在.【詳解】(1)由,得,且當時取等號.故,且當時取等號.所以的最小值為;(2)由(1)知,.由于,從而不存在,使得成立.【考點定位】基本不等式.18、(1);(2)存在,Q為線段中點【解析】

解法一:(1)作出平面與平面的交線,可證平面,計算,,得出,從而得出的大??;(2)證明平面,故而可得當Q為線段的中點時.解法二,以為原點,以為建立空間直角坐標系:(1)由,利用空間向量的數(shù)量積可求線面角;(2)設(shè)上存在一定點Q,設(shè)此點的橫坐標為,可得,由向量垂直,數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】(1)解法一:連接交于,設(shè)與平面的公共點為,連接,則平面平面,四邊形是正方形,,平面,平面,,又,平面,為直線AP與平面所成角,平面,平面,平面平面,,又為的中點,,,,直線AP與平面所成角為.(2)四邊形正方形,,平面,平面,,又,平面,又平面,,當Q為線段中點時,對于任意的實數(shù),都有.解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,所以,,,又由,,則為平面的一個法向量,設(shè)直線AP與平面所成角為,則,故當時,直線AP與平面所成角為.(2)若在上存在一定點Q,設(shè)此點的橫坐標為,則,,依題意,對于任意的實數(shù)要使,等價于,即,解得,即當Q為線段中點時,對于任意的實數(shù),都有.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的計算,考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1)(2)11【解析】

(1)利用二倍角公式將式子化簡成,再利用兩角和與差的余弦公式即可求解.(2)利用余弦定理可得,再將平方,利用向量數(shù)量積可得,從而可求周長.【詳解】由題解得,所以由余弦定理,,再由解得:所以故的周長為【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形、兩角和與差的余弦公式、需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2).【解析】

(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍,再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】(1),解不等式,解得.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由題意,則,,,,解得.由余弦定理得,又,,當且僅當時取等號,所以,的面積.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解,同時也考查了三角形面積取值范圍的計算,涉及余弦定理和基本不等式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.21、(1)或;(2)【解析】

(1)使用零點分段法,討論分段的取值范圍,然后取它們的并集,可得結(jié)果.(2)利用等價轉(zhuǎn)化的思想,可得不等式在恒成立,然后解出解集,根據(jù)集合間的包含關(guān)系,可得結(jié)果.【詳解】(1)當時,原不等式可化為.①當時,則,

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