專題02 尺規(guī)作圖與最短路徑（解析版）

專題02尺規(guī)作圖與最短路徑幾何中，用（無(wú)刻度）的直尺和圓規(guī)作圖為尺規(guī)作圖.一.五種基本作圖1.作一條線段等于已知線段2.作一個(gè)角等于已知角3.作已知角的平分線（理論依據(jù)：SSS）4.過一點(diǎn)（直線上或外）作已知直線的垂線5.作已知線段的垂直平分線二.尺規(guī)綜合作圖1.已知三邊作三角形2.已知兩邊及夾角作三角形3.已知兩角及夾邊作三角形三.最短路徑1.單動(dòng)點(diǎn)（P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，PA+PB最小）2.雙動(dòng)點(diǎn)（B、C為直線OM，ON上的動(dòng)點(diǎn)，△ABC周長(zhǎng)最?。┢渲校螼=90°－∠BAC.△ABC周長(zhǎng)為A’A’’的長(zhǎng).3.造橋選址【典例解析】【例1-1】（2020·慶云縣月考）某地有兩條相交叉的公路，計(jì)劃修建一個(gè)飯館：希望飯館點(diǎn)P既在MN這條公路上，又到直線OA、OB的距離相等．你能確定飯館應(yīng)該建在什么位置嗎？（保留作圖痕跡）【答案】見解析.【解析】解：如圖所示：

點(diǎn)P的位置就是飯館的位置．【例1-2】（2019·舞鋼市月考）小安的一張地圖上有A，B，C3三個(gè)城市，地圖上的C城市被墨污染了（如圖），但知道∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，你能用尺規(guī)作圖幫他在下圖中確定C城市的具體位置嗎？（不作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析.【解析】根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法分別以AB為邊，作∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，兩個(gè)角的邊的交點(diǎn)處就是C的位置．點(diǎn)C為所求的點(diǎn).【變式1-1】（2020·麗水市蓮都區(qū)教研室期末）下列尺規(guī)作圖分別表示：①作一個(gè)角的平分線；②作一個(gè)角等于已知角；③作一條線段的垂直平分線．其中作法正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【解析】解：①作一個(gè)角的平分線的作法正確；

②作一個(gè)角等于已知角的方法正確；

③作一條線段的垂直平分線，缺少另一個(gè)交點(diǎn)，故作法錯(cuò)誤；

故答案為：A．【變式1-2】（2019·河北南宮期末）下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答橫線上符號(hào)代表的內(nèi)容：如圖，已知，求作：，使．作法：（1）以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)、；（2）作射線，并以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)；（3）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點(diǎn)；（4）作，即為所求作的角．A．表示點(diǎn) B．表示C．表示 D．表示射線【答案】D【解析】作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q；（2）作射線EG，并以點(diǎn)E為圓心，OP為半徑畫弧交EG于點(diǎn)D；（3）以點(diǎn)D為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點(diǎn)F；（4）作射線EF，∠DEF即為所求作的角．故答案為D．【變式1-3】（2020·山東青島期中）如圖，AB是某條河上的一座橋，現(xiàn)要在河的下游點(diǎn)C處再建一座與AB平行的橋CD，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫出CD的方向．【答案】見解析【解析】解：如圖，線段CD即為所求．【變式1-4】（2020·廣州月考）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是（）A．S．S．S B．S．A．S C．A．S．A D．A．A．S【答案】A【解析】解：由作圖知OC=O’C’，OD=O′D'，CD=C′D'，∴△OCD≌△O′C′D′，

∴∠A′O′B′=∠AOB，判斷依據(jù)為SSS，

故答案為：A．【例2-1】（2020·曲阜月考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N；②分別以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心、大于MN的長(zhǎng)為半徑作圓弧，在∠BAC內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4，AB=15，則△ABD的面積是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】解：過D作DE⊥AB于E，AP平分∠CAB．∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面積=×AB×DE=30故答案為B．【例2-2】（2020·廣東廣州月考）如圖，△ABC中，，AC=BC．（1）用直尺和圓規(guī)作的平分線交BC于點(diǎn)D（保留作圖痕跡）（2）過點(diǎn)D畫△ABD的邊AB上的高DE，交線段AB于點(diǎn)E，若△BDE的周長(zhǎng)是5cm，求AB的長(zhǎng)．【答案】見解析.【解析】解：（1）如圖，AD即為所作；

（2）∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，

在Rt△ACD和Rt△AED中，，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AE=AC，

∵AC=BC，

∴BC=AE，

∵△BDE的周長(zhǎng)=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB，

∴AB=5cm．【變式2-1】（2020·山東博山二模）已知∠AOB＝60°，以O(shè)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OA，OB于點(diǎn)M，N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)P，以O(shè)P為邊作∠POC＝15°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°【答案】D【解析】解：（1）以O(shè)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OA，OB于點(diǎn)M，N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)P，則OP為∠AOB的平分線，∴∠AOP=∠AOB=30°（2）兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)P，以O(shè)P為邊作∠POC＝15°，則∠BOC＝15°或45°，故答案為：D．【變式2-2】（2020·廣東）如圖，在銳角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．（1）尺規(guī)作圖：作BC邊的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)D、E（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，連結(jié)BD，求△ABD的周長(zhǎng)．【答案】見解析.【解析】解：（1）如圖，DE為所作；（2）∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm）．【變式2-3】（2020·山東省陵城區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則∠ADB=________．【答案】125°【解析】解：由題意可得：AD平分∠CAB，∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°，∴∠CAD=∠BAD=35°，∴∠ADB=180°﹣20°﹣35°=125°．故答案為125°．【變式2-4】（2020·長(zhǎng)春月考）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如圖所示，AE平分∠DAC，EF⊥AC，∵∠ACB=68°，∴∠DAC=68°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠EAC=34°，∵EF⊥AC，∴∠AEF=90°-34°=56°．故答案為A.【例3】（2020·禹城市期末）如圖，等邊中，D為邊中點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線．按下列要求作圖并回答問題：（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（1）作的平分線；（2）作，且交于點(diǎn)E；（3）在（1），（2）的條件下，可判斷與的數(shù)量關(guān)系是__________；請(qǐng)說明理由．【答案】見解析.【解析】解：（1）（2）尺規(guī)作圖，如下圖；（3）AD=DE，連接AE，∵等邊△ABC中，D為BC邊中點(diǎn)，∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠EDC=30°，∵∠ACP=120°，CE為∠ACP的平分線，∴∠ACE=∠ECP=60°，∴∠DEC=30°，∴CE=CD=BD，∴△ABD≌△ACE，∴AE=AD，又∵∠ADE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE.【變式3-1】（2020·福建學(xué)業(yè)考試）如圖，為一鈍角三角形，且（1）分別以，為底向外作等腰和等腰（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知為上一動(dòng)點(diǎn)，通過尺規(guī)作圖的方式找出一點(diǎn)，連接，，使得并證明．【答案】見解析.【解析】解：（1）如圖所示；（2）如圖所示，作線段BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，則P點(diǎn)為所求．證明：延長(zhǎng)DP使PF=PD，連接FC，EF∵P為BC中點(diǎn)，∴PB=PC又∵PD=PF，∠DPB=∠CPF∴△BDP≌△CFP∴AD=BD=CF，∠PBD=∠PCF∴BD∥CF∵AE=CE延長(zhǎng)DG，F(xiàn)C交于點(diǎn)G∵BD∥CF∴∠FGD=90°又∠AEC=90°∴∠EAG=∠ECG∴∠DAE=∠ECF又AE=CE，AD=CF∴△AED≌△CEF∴EF=ED∵P為DF中點(diǎn)∴DP⊥PD【變式3-2】（2020·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）如圖，在中，，，以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交、于點(diǎn)和，再分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，則下列說法中：①是的平分線；②；③點(diǎn)在的垂直平分線上；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：①連接NP，PM，易證△ANP≌△AMP則∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分線，故①正確；②∵∠C=90°，∠B=30°∴∠CAB=60°∵AD是∠BAC的平分線∴∠BAD=∠CAD=30°∴∠ADC=∠BAD+∠B=60°，故②正確；③∵∠BAD=∠CAD=30°∴∠BAD=∠B∴AD=BD，即D在AB的垂直平分線上，故③正確；④∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°∴AD=2CD∴BC=BD+CD=1.5AD，S△DAC=AC·CD=AC·AD∴S△ABC=AC·BC=AC·AD=AC·AD∴S△DAC：S△ABC=1：3，故④正確故答案為：D．【例4-1】（2020·長(zhǎng)沙月考）在△ABC中，∠A=50°，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)O分別作AC，AB的垂線，垂足分別為M，N，點(diǎn)P為AM上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，OQ，PQ，當(dāng)△OPQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠POQ的度數(shù)為______度．【答案】80°【解析】解：作點(diǎn)O關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)O’，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)O’’，連結(jié)O’O’’，

易知當(dāng)O’，P，Q，O’’四點(diǎn)共線時(shí)，△OPQ周長(zhǎng)最小，最小值為O’O’’的長(zhǎng)此時(shí)，∠A=90°－∠POQ∴∠POQ=180°－2∠A=80°；故答案為：80°.【例4-2】（2020·重慶期末）如圖，在中，，，，是的角平分線，點(diǎn)，點(diǎn)分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的最小值為___________．【答案】．【解析】解：作點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)M’，連接PM’，則PM=PM’，BM=BM’=1，易知，當(dāng)N，P，M’共線時(shí)，且M’N⊥AC時(shí)，PN+PM’的最小值為線段M’N的長(zhǎng)由∠A=30°，知M’N=AM’=，故答案為：.【變式4-1】（2020·江蘇無(wú)錫二模）如圖，一面鏡子斜固定在地面上，且點(diǎn)為距離地面為的一個(gè)光源，光線射出經(jīng)過鏡面處反射到地面點(diǎn)，當(dāng)光線經(jīng)過的路徑長(zhǎng)最短為時(shí)，的長(zhǎng)為___________．【答案】4【解析】解：作點(diǎn)P關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)P’，當(dāng)P’E⊥OB時(shí)，光線經(jīng)過的路徑長(zhǎng)最短，∴P’E=10，過P作PF⊥P’D于F，則P’F=2，又∠AOB=60°∴∠ODE=30°，∴∠P’DA=∠PDA=30°，∠P’DP=60°，PD=P’D∴△PP’D為等邊三角形，∴P’F=DF=2，PD=P’D=4故答案為：4.【變式4-2】（2020·宜興市月考）如圖，P為內(nèi)一定點(diǎn)，M，N分別是射線上的點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，，則_________．【答案】50°【解析】解：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連接OP1，OP2，P1P2．則當(dāng)M，N，P1、P2共線時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小．易知，∠AOB=90°－∠MPN=50°.故答案為：50°.【習(xí)題專練】1.（2020·南京月考）有三條兩兩相交的公路，要建一個(gè)加油站，使它到三條公路的距離相等，那么加油站可建的地點(diǎn)有_________________個(gè)．【答案】4【解析】解：如圖所示作出角的平分線包括外角的角平分線，共有4個(gè)交點(diǎn)，所以由三條兩兩相交的公路，要建一個(gè)加油站，使它到三條公路的距離相等，則加油站需滿足在角平分線的交點(diǎn)上，故可建的地點(diǎn)有4個(gè)．故答案為4．2.（2020·江陰市月考）在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，且頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，在內(nèi)部有、、、四個(gè)格點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】B【解析】解：∵到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，∴該點(diǎn)是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，根據(jù)網(wǎng)格作AC、BC的垂直平分線，可得交點(diǎn)為F，故答案為：B．3.（2020·洛陽(yáng)市二模）如圖，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，E，作直線DE，交BC于點(diǎn)M；分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P、Q，作直線PQ，交BC于點(diǎn)N；連接AM、AN．則MAN的周長(zhǎng)為（）A．9 B．10 C．11 D．13【答案】C【解析】解：由作圖可知，DE垂直平分線段AB，PQ垂直平分線段AC，∴MA＝MB，NA＝NC，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝11．故答案為：C．4.（2020·河南一模）如圖，在平行四邊形中，，，，分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、，作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_______．【答案】2.【解析】解：由題意可得，AB⊥OP，AE=BE=3∵BC=AD=8，∠B=60°∴∠BFE=30°，∠BEF=90°∴BF=2BE=6∴CF=8-6=2故答案為：2.5．（2020·宜興市月考）如圖，在△ABC中，AB＞AC．按以下步驟作圖：分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC一半的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；作直線MN交AB于點(diǎn)D；連結(jié)CD．若AB=6，AC=4，則△ACD的周長(zhǎng)為．【答案】10．【解析】解：易知直線MN是線段BC的垂直平分線，∴BD=CD，∴BD+AD=CD+AD=AB，∵AB=6，AC=4，∴△ADC的周長(zhǎng)=（CD+AD）+AC=AB+AC=6+4=10．故答案為10．6.（2020·商城縣第二中學(xué)月考）如圖，已知∠AOB（1）尺規(guī)作圖：作出∠AOB的角平分線OP，補(bǔ)充完整作圖步驟，（保留作圖痕跡）①____________________________分別交OA、OB于F，E兩點(diǎn)；②____________________________，兩條圓弧交于點(diǎn)P；③____________________________即為所求．（2）過點(diǎn)F作FD∥OB交OP于點(diǎn)D，F(xiàn)M⊥OD，垂足為M，求證：△FMO≌△FMD．【答案】見解析.【解析】解：(1)如下圖所示：①以O(shè)點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作圓弧分別交OA、OB于F，E兩點(diǎn)；②分別以E、F為圓心，大于二分之一EF長(zhǎng)為半徑作兩段圓弧兩條圓弧交于點(diǎn)P；③作射線OP，則射線OP即為所求．故答案為：以O(shè)點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作圓??；分別以E、F為圓心，大于二分之一EF長(zhǎng)為半徑作兩段圓弧；作射線OP，則射線OP；(2)根據(jù)題意，作出如下圖所示：由(1)知，OP是∠AOB的角平分線，∴∠2=∠3，又FD∥OB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴△FMO≌△FMD．7．（2019·廣東陽(yáng)山期中）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，王師傅開車在一條公路上經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C處兩次拐彎后繼續(xù)前行，且前行方向和原來(lái)的方向AB相同．已知第一次的拐角為∠ABC，請(qǐng)借助圓規(guī)和直尺作出第二次拐彎后的拐角∠BCD．【答案】見解析．【解析】解：由題意得：AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC則∠BCD即為所求作．8．（2020·陜西清澗期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)求作一點(diǎn)，使直線，且點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【解析】解：如圖，點(diǎn)E即為所求．9．（2020·北京月考）下面是小星同學(xué)設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程：已知：如圖，直線l和直線l外一點(diǎn)A求作：直線AP，使得AP∥l作法：如圖①在直線l上任取一點(diǎn)B（AB與l不垂直），以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與直線l交于點(diǎn)C．②連接AC，AB，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D；③作∠DAC的平分線AP．所以直線AP就是所求作的直線根據(jù)小星同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（填推理的依據(jù)）∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（填推理的依據(jù)）∴∠DAC＝2∠ABC∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP∴∠DAP＝∠ABC∴AP∥l（填推理的依據(jù)）【答案】見解析．【解析】解：（1）如圖所示，直線AP即為所求．（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等邊對(duì)等角），∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性質(zhì)），∴∠DAC＝2∠ABC，∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP，∴∠DAP＝∠ABC，∴AP∥l（同位角相等，兩直線平行），故答案為（等邊對(duì)等角），（三角形外角性質(zhì)），（同位角相等，兩直線平行）．10．（2020·遼寧昌圖期末）已知三角形的兩角及夾邊，求作這個(gè)三角形（保留痕跡，不寫作法）已知：，線段c，求作，使【答案】見解析．【解析】解：△ABC為所求作11．（2020·北京期末）尺規(guī)作圖之旅下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學(xué)中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形．尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來(lái)解決平面幾何作圖問題．（作圖原理）在兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里中，我們認(rèn)識(shí)了尺規(guī)作圖，并學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請(qǐng)仔細(xì)思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)，可以實(shí)現(xiàn)的畫√，不能實(shí)現(xiàn)的畫×．（1）過一點(diǎn)作一條直線．()（2）過兩點(diǎn)作一條直線．()（3）畫一條長(zhǎng)為3㎝的線段．()（4）以一點(diǎn)為圓心，給定線段長(zhǎng)為半徑作圓．()（回顧思考）還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個(gè)問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學(xué)習(xí)了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點(diǎn)作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法及說理，請(qǐng)補(bǔ)全過程．已知：∠AOB．求作：使作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線，以點(diǎn)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；（3）以點(diǎn)為圓心，____________________；（4）過點(diǎn)畫射線，則．說理：由作法得已知：求證：證明：()所以()（小試牛刀）請(qǐng)按照上面的范例，完成尺規(guī)作圖并說理：過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線．已知：直線與直線外一點(diǎn)A．求作：過點(diǎn)A的直線，使得．（創(chuàng)新應(yīng)用）現(xiàn)實(shí)生活中許多圖案設(shè)計(jì)都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理，下面是一個(gè)常見商標(biāo)的設(shè)計(jì)示意圖．假設(shè)你擁有一家書店，請(qǐng)利用你手中的刻度尺和圓規(guī)，為你的書店設(shè)計(jì)一個(gè)圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設(shè)計(jì)意圖．【答案】見解析．【解析】解：[作圖原理]：（1）過一點(diǎn)作一條直線．可以求作；（2）過兩點(diǎn)作一條直線．可以求作；（3）畫一條長(zhǎng)為3cm的線段．不可以求作；（4）以一點(diǎn)為圓心，給定線段長(zhǎng)為半徑作圓．可以求作；故答案為：√，√，×，√；[回顧思考]：作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線O′A′，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交O’A’于點(diǎn)C’；（3）以點(diǎn)C′為圓心，以C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點(diǎn)D′；（4）過點(diǎn)D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．說理：由作法得已知：OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，求證：∠A′O′B′＝∠AOB．證明：在△OCD和△O′C′D′中,，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），故答案為：以C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點(diǎn)D′，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；[小試牛刀]：如圖，直線l′即為所求（方法不唯一），；[創(chuàng)新應(yīng)用]：如圖所示（答案不唯一）.．12．（2020·山東安丘月考）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求，的值；（2）畫出，并求出它的面積；（3）畫出與關(guān)于軸成軸對(duì)稱的圖形，并寫出各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）在軸上找一點(diǎn)，使最?。ú粚懽鞣ǎＡ糇鲌D痕