專題9 導(dǎo)數(shù)之極值點(diǎn)偏移（講義）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題《數(shù)學(xué)》函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解析版

第第頁(yè)專題9導(dǎo)數(shù)之極值點(diǎn)偏移【極值點(diǎn)偏移基本定義】眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；可以理解為函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn).如二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)，若的兩根的中點(diǎn)為，則剛好有，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒(méi)有偏移.若相等變?yōu)椴坏龋瑒t為極值點(diǎn)偏移：若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：①若，則稱為極值點(diǎn)左偏；②若，則稱為極值點(diǎn)右偏.【極值點(diǎn)偏移幾種?？碱愋汀?.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.【極值點(diǎn)偏移的解題方法】1、極值點(diǎn)偏移的判定定理對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（小）值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（小）大值點(diǎn)右（左）偏.2、運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法1、極值點(diǎn)偏移處理方法：（1）求出函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號(hào)，從而確定、的大小關(guān)系.口訣：極值偏離對(duì)稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個(gè)步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.2、答題模板若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點(diǎn)；假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.[來(lái)源:Z,xx,k.Com]（2）構(gòu)造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.[來(lái)源:Zxxk.Com]（3）通過(guò)求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時(shí)，.（4）不妨設(shè)，通過(guò)的單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時(shí)，且，，故，又因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因?yàn)?，故，由于在上單調(diào)遞減，故.【說(shuō)明】（1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)須細(xì)心；（2）此類題目若試題難度較低，會(huì)分解為三問(wèn)，前兩問(wèn)分別求的單調(diào)性、極值點(diǎn)，證明與（或與）的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結(jié)論，讓你給予證明，此時(shí)自己應(yīng)主動(dòng)把該小問(wèn)分解為三問(wèn)逐步解題.[來(lái)源:Z。xx。k.Com]例1．（2021·四川達(dá)州·二模）已知定義在上的函數(shù)．（1）若為定義域上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，，為的極小值，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由單調(diào)性可知在上恒成立，分離變量可得；利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值，由此可得的范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可確定，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，得到，從而得到，根據(jù)自變量的范圍，結(jié)合在上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】（1）由得：．為上的增函數(shù)，在上恒成立，即，令，則，在上單調(diào)遞減，，即，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，則，，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則為的極小值.設(shè)，，，，設(shè)，，．，，又，，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞增，，，，，又在上單調(diào)遞減，，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的類似于（為的兩根）的問(wèn)題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.例2．（20-21高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．（1）若在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求的最小值；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)分別是，，證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）利用函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)等價(jià)于在上恒成立，參變分離后，即可求的最小值；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性；令，可求得，得到單調(diào)遞增，可得，置換為，由在上的單調(diào)性可得自變量的大小關(guān)系，從而證得結(jié)論.【詳解】（1）定義域?yàn)椋?，在定義域內(nèi)是減函數(shù)，在上恒成立，即，，令，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，解得：，的最小值為.（2）由（1）知：若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則；令，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則；令，則，在上單調(diào)遞增，，，即，又，，，，又，在上單調(diào)遞增，，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，處理類似于（為的兩根）的問(wèn)題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.例3．（20-21高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)有極值時(shí)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)滿足且，證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)有極值可確定，利用導(dǎo)數(shù)可求得；由能成立的思想可知，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)可知單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)可確定的范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此確定；令，，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即，代入后，置換成，結(jié)合單調(diào)性可確定自變量的大小關(guān)系，由此證得不等式.【詳解】（1）定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，不合題意，；令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；存在，使得成立，則，即，又，，即，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由且知：；令，，則，在上單調(diào)遞增，，即；，又，；，，又且在上單調(diào)遞減，，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)考查了導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的變形，處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的類似于的問(wèn)題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.例4．（2017·山東淄博·一模）設(shè).(1)令，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，直線與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，且，求證：.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求得的表達(dá)式，對(duì)求導(dǎo)，討論與0的大小關(guān)系，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知，，根據(jù)單調(diào)性可知函數(shù)在處取得極小值也是最小值.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得，即有，根據(jù)單調(diào)性有，即有.【詳解】（1）由,可得,則.當(dāng)時(shí),時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）知，.當(dāng)時(shí),是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，且，所以..令，則，于是在上單調(diào)遞減，故，由此得即.因?yàn)?，在單調(diào)遞增，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.解答此類問(wèn)題，應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯(cuò).解決含參數(shù)問(wèn)題及不等式問(wèn)題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：（1）利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2）將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題處理．例5．（2017·四川涼山·一模）設(shè)，函數(shù)．（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：．【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析.【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；（2）當(dāng)時(shí)，由可知函數(shù)有零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)有唯一零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性可知函數(shù)有最大值，由函數(shù)的最大值小于零列出不等式，解之即可；（3）設(shè)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，設(shè)，則，，兩式作差可得，即，由可得即，，設(shè)上式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，證（1）即可．【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則切線方程為，即．（2）①若時(shí)，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，∵，，∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；②若，有唯一零點(diǎn)；③若，令，得，在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上，的極大值為，由于無(wú)零點(diǎn)，須使，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．（3）證明：設(shè)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，設(shè)，∵，，∴，，∴，，∵，故，故，即，即，設(shè)上式轉(zhuǎn)化為（），設(shè)，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論思想方法和構(gòu)造函數(shù)法，以及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．例6．（16-17高三下·安徽合肥·階段練習(xí)）已知（為常數(shù)）.(1)求的極值；(2)設(shè)，記，已知為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.【答案】(1)的極大值為，無(wú)極小值(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，判斷單調(diào)性得極值即可；（2）用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)區(qū)間，構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為與圖象兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，,，構(gòu)造函數(shù)和比較大小，再在上利用函數(shù)單調(diào)性得.【詳解】（1）,由得，且時(shí)，，時(shí)，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值；（2）由，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，由條件知，即,構(gòu)造函數(shù),知與圖象兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，,，由得，時(shí)