數(shù)學(xué)（選修12）練習(xí)4.3列聯(lián)表獨(dú)立性分析案例活頁(yè)作業(yè)3

活頁(yè)作業(yè)(三)列聯(lián)表獨(dú)立性分析案例1．對(duì)于分類(lèi)變量X與Y的統(tǒng)計(jì)量χ2的值說(shuō)法正確的是()A．χ2越大，“X與Y有關(guān)系”的把握性越小B．χ2越小，“X與Y有關(guān)系”的把握性越小C．χ2越接近于0，“X與Y無(wú)關(guān)系”的把握性越小D．χ2越接近于0，“X與Y無(wú)關(guān)系”的把握性越大解析χ2越大，X與Y越不獨(dú)立，所以關(guān)聯(lián)越大；相反，χ2越小，關(guān)聯(lián)越?。鸢福築2．在2×2列聯(lián)表中，兩個(gè)比值________相差越大，兩個(gè)分類(lèi)變量之間的關(guān)系越強(qiáng)()A．eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d) B．eq\f(a,c＋d)與eq\f(c,a＋b)C．eq\f(a,a＋d)與eq\f(c,b＋c) D．eq\f(a,b＋d)與eq\f(c,a＋c)解析eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)相差越大，說(shuō)明ad與bc相差越大，兩個(gè)分類(lèi)變量之間的關(guān)系越強(qiáng)．答案：A3．對(duì)兩個(gè)分類(lèi)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的主要作用是()A．判斷模型的擬合效果B．對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)分析C．給出兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的可靠程度D．估計(jì)預(yù)報(bào)變量的平均值解析獨(dú)立性檢驗(yàn)的目的就是明確兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的可靠程度．答案：C4．為了了解高中生作文成績(jī)與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了60名高中生，通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：作文成績(jī)優(yōu)秀作文成績(jī)一般總計(jì)課外閱讀量較大221032課外閱讀量一般82028總計(jì)303060由以上數(shù)據(jù)計(jì)算得到χ2≈9.643，根據(jù)臨界值表，以下說(shuō)法正確的是(已知當(dāng)χ2＞7.879時(shí)，有99.5%的把握判定兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián))()A．沒(méi)有充足的理由認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)B．有0.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)C．有99.9%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)D．有99.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)解析χ2≈9.643＞7.879，P(χ2≈9.643＞7.879)＝0.005.∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為作文成績(jī)優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)．答案：D5．已知某校文理科教師與性別的列聯(lián)表如下：文理性別理科文科總計(jì)男3785122女35143178總計(jì)72228300由表中的數(shù)據(jù)計(jì)算χ2的值約為_(kāi)_______.(精確到0.0001)解析χ2＝eq\f(300×37×143－85×352,122×178×72×228)≈4.5139.答案：4.51396．為了研究高中學(xué)生對(duì)鄉(xiāng)村音樂(lè)的態(tài)度(喜歡和不喜歡兩種態(tài)度)與性別的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算χ2＝8.01，則認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別有關(guān)系”的把握性約為_(kāi)_______.解析∵χ2＝8.01＞6.635，∴有99%的把握說(shuō)學(xué)生性別與喜歡鄉(xiāng)村音樂(lè)有關(guān)系．答案：99%7．某次全國(guó)性會(huì)議在北京召開(kāi)．為了做好對(duì)外宣傳工作，會(huì)務(wù)組選聘了16名男記者和14名女記者擔(dān)任對(duì)外翻譯工作，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女記者中分別有10人和6人會(huì)俄語(yǔ)．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：會(huì)俄語(yǔ)不會(huì)俄語(yǔ)總計(jì)男女總計(jì)30(2)能否在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為性別與會(huì)俄語(yǔ)有關(guān)？解(1)對(duì)應(yīng)的2×2列聯(lián)表如下：會(huì)俄語(yǔ)不會(huì)俄語(yǔ)總計(jì)男10616女6814總計(jì)161430(2)假設(shè)：是否會(huì)俄語(yǔ)與性別無(wú)關(guān)，由已知數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(30×10×8－6×62,16×14×16×14)≈1.1575＜2.706.∴不能在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為性別與會(huì)俄語(yǔ)有關(guān)．8．某校對(duì)高三部分學(xué)生的數(shù)學(xué)質(zhì)檢成績(jī)作相對(duì)分析．(1)按一定比例進(jìn)行分層抽樣抽取了20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，并用莖葉圖(圖1)記錄，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失了，已知數(shù)學(xué)成績(jī)[70,90)的頻率是0.2，請(qǐng)補(bǔ)全表格并繪制相應(yīng)頻率分布直方圖(圖2)．分?jǐn)?shù)段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]頻率(2)為了考察學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)是否有關(guān)系，抽取了部分同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)進(jìn)行比較，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：物理成績(jī)優(yōu)秀物理成績(jī)一般合計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀15318數(shù)學(xué)成績(jī)一般51722合計(jì)202040能夠有多大的把握認(rèn)為物理成績(jī)優(yōu)秀與數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)系？(已知當(dāng)χ2＞10.828時(shí)，有99.9%的把握判定兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián))解(1)填表如下：分?jǐn)?shù)段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]頻率0.10.20.40.20.1畫(huà)圖如下：(2)假設(shè)學(xué)生的物理成績(jī)優(yōu)秀與數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀沒(méi)有關(guān)系，則χ2＝eq\f(40×15×17－5×32,20×20×22×18)≈14.55＞10.828.∴有99.9%的把握認(rèn)為物理成績(jī)優(yōu)秀與數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)系．1．兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X與Y有關(guān)系的可信程度不小于97.5%，則c等于(已知當(dāng)χ2＞5.024時(shí)，則有97.5%的把握認(rèn)為變量X與Y有關(guān)系)()A．3 B．4C．5 D．6解析χ2＝eq\f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)＞5.024，把選項(xiàng)A，B，C，D代入驗(yàn)證可知選A．答案：A2．在打鼾與患心臟病之間的關(guān)系研究中，通過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的．下列說(shuō)法中正確的是()A．100個(gè)心臟病患者中，至少有99人打鼾B．1個(gè)人患心臟病，則這個(gè)人有99%的概率打鼾C．在100個(gè)心臟病患者中，一定有打鼾的人D．在100個(gè)心臟病患者中，可能1個(gè)打鼾的都沒(méi)有解析由題意知，“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論有99%以上的把握正確，而不是心臟病患者打鼾的概率為99%，故選D．答案：D3．獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若兩個(gè)分類(lèi)變量“X和Y有關(guān)系”的可信程度是95%，則隨機(jī)變量χ2的取值范圍是________________.解析當(dāng)χ2＞3.841時(shí)，有95%的把握判定X與Y有關(guān)系，當(dāng)χ2＞6.635時(shí)，有99%的把握判定X與Y有關(guān)系，∴3.841＜χ2≤6.635.答案：(3.841,6.635]4．假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其中2×2列聯(lián)表如下：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d下列各組數(shù)據(jù)中，對(duì)于同一樣本能說(shuō)明X與Y有關(guān)系的可能性最大的一組為_(kāi)_______.(填序號(hào))①a＝5，b＝4，c＝3，d＝2；②a＝5，b＝3，c＝4，d＝2；③a＝2，b＝3，c＝4，d＝5；④a＝2，b＝3，c＝5，d＝4.解析四個(gè)選項(xiàng)中a＋b＋c＋d的值與(a＋b)(a＋c)(c＋d)(b＋d)的值分別相等，則由χ2的計(jì)算公式，可知只需計(jì)算(ad－bc)2.經(jīng)計(jì)算，知其值最大的一組是④.答案：④5．某城市隨機(jī)抽取一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：API空氣質(zhì)量天數(shù)[0,50]優(yōu)4(50,100]良13(100,150]輕微污染18(150,200]輕度污染30(200,250]中度污染9(250,300]中度重污染11＞300重度污染15(1)某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S(單位：元)與空氣質(zhì)量指數(shù)API(記為ω)的關(guān)系式為S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(00≤ω≤100，,4ω－400100＜ω≤300，,2000ω＞300.))試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過(guò)600元的概率．(2)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān).非重度污染重度污染總計(jì)供暖季非供暖季總計(jì)100解(1)設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過(guò)600元”為事件A，由200＜S≤600，得150＜ω≤250，頻數(shù)為39.∴P(A)＝eq\f(39,100).(2)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：非重度污染重度污染總計(jì)供暖季22830非供暖季63770總計(jì)8515100χ2＝eq\f(100×22×7－63×82,85×15×30×70)≈4.575＞3.841.所以有95%的把握認(rèn)為空氣重度污染與供暖有關(guān)．6．目前，在“互聯(lián)網(wǎng)＋”和“大數(shù)據(jù)”浪潮的推動(dòng)下，在線(xiàn)教育平臺(tái)如雨后春筍般蓬勃發(fā)展，與此同時(shí)，很多學(xué)生家長(zhǎng)和相關(guān)專(zhuān)家對(duì)在線(xiàn)教學(xué)也產(chǎn)生了質(zhì)疑，主要原因就是對(duì)在線(xiàn)教學(xué)，學(xué)生是否能認(rèn)真聽(tīng)講存在疑慮．在這種情況下，某市教育主管部門(mén)在該市各中小學(xué)采用分層抽樣的方式抽出15周歲以下和15周歲以上各200人進(jìn)行調(diào)查研究，其中15周歲以下的能認(rèn)真聽(tīng)講的有150人，不能做到認(rèn)真聽(tīng)講的有50人，15周歲以上的170人能認(rèn)真聽(tīng)講，不能做到認(rèn)真聽(tīng)講的有30人．(1)完成下列2×2列聯(lián)表：不認(rèn)真聽(tīng)講能認(rèn)真聽(tīng)講總計(jì)15周歲以下15周歲以上總計(jì)(2)請(qǐng)說(shuō)明是否有97.5%的把握認(rèn)為能否認(rèn)真聽(tīng)講與年齡有關(guān)．(已知當(dāng)χ2＞5.024時(shí)，有97.5%的把握判定兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián))(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法，從15周歲以下的人中抽取8人，在這8人中任取2人進(jìn)行座談，求抽到的人中至少有1人能認(rèn)真聽(tīng)講的概率．解(1)填表如下：不認(rèn)真聽(tīng)講能認(rèn)真聽(tīng)講總計(jì)15周歲以下5015020015周歲以上30170200總計(jì)80320400(2)根據(jù)題中的數(shù)據(jù)計(jì)算，得χ2＝eq\f(400×50×170－30×1502,80×320×200×200)＝6.25.因?yàn)?.25＞5.024，所以有97.5%的把握認(rèn)為能否認(rèn)真聽(tīng)講與年齡有關(guān)．(3)由題意可知，從15周歲以下抽8人，其中能認(rèn)真聽(tīng)講的為6人，不能認(rèn)真聽(tīng)講的為2人．設(shè)能認(rèn)真聽(tīng)講的人為a1，a2，a3，a4，a5，a6，不能認(rèn)真聽(tīng)講的人為b1，b2，于是，在8人中任意抽取2人有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a4，a5)，(a