四川省綿陽市清泉中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

四川省綿陽市清泉中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在棱長為1的正方體的對角線上任取一點(diǎn)P，以為球心，為半徑作一個球設(shè)，記該球面與正方體表面的交線的長度和為，則函數(shù)的圖象最有可能的是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B2.設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，，則

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.已知直線l：，圓C：ρ=2cosθ，則圓心C到直線l的距離是（）A．2 B． C． D．1參考答案：C【考點(diǎn)】直線的參數(shù)方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】計算題；直線與圓．【分析】直線l：的普通方程為x﹣y+1=0，圓C：ρ=2cosθ的普通方程為x2+y2﹣2x=0，由此能求出圓心C到直線l的距離．【解答】解：直線l：的普通方程為：y=x+1，即x﹣y+1=0，∵圓C：ρ=2cosθ，∴p2=2pcosθ，∴x2+y2﹣2x=0，∴圓C的圓心C（1，0），∴圓心C到直線l的距離是d==，故選C．【點(diǎn)評】本題考查直線和圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)到直線的距離公式的靈活運(yùn)用．4.若函數(shù)同時具有以下兩個性質(zhì):①是偶函數(shù);②對任意實數(shù)x,都有。則的解析式可以是（

）A．=cosx B．=C．= D．=cos6x參考答案：5.已知，是數(shù)列的前n項和………………（

）(A）

和都存在

(B)和都不存在

(C)存在，不存在

(D)不存在，存在參考答案：A6.設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，若，則的值是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：答案：B7.若向量=（2，﹣1），=（3﹣x，2），=（4，x）滿足（6﹣）?=8，則x等于（）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】先計算6﹣的坐標(biāo)，再根據(jù)6﹣）?=8列方程解出x．【解答】解：6=（9+x，﹣8），∴（6﹣）?=4（9+x）﹣8x=36﹣4x=8，∴x=7．故選D．8.已知集合，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.已知的重心為G，角A，B，C所對的邊分別為，若，則A.1：1:1 B. C. D.參考答案：【知識點(diǎn)】正弦定理；向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義．C8F1B

解析：設(shè)a，b，c為角A，B，C所對的邊，由正弦定理，由△ABC的重心為G，得2sinA+sinB=﹣3sinC=﹣3sinC（﹣﹣），整理得：（2sinA﹣3sinC）+（sinB﹣3sinC）=0，∵，不共線，∴2sinA﹣3sinC=0，sinB﹣3sinC=0，即sinA=sinC，sinB=sinC，則=：：1=，故選：B．【思路點(diǎn)撥】已知等式利用正弦定理化簡，整理后根據(jù)兩向量不共線，表示出sinA與sinB，求出之比即可．10.已知△中，以為直徑的圓交于，則的長為（）A．B．C．D．

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域為________.參考答案：略12.將5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案的種數(shù)為．參考答案：80【考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】本題是一個分步計數(shù)問題，首先選2個放到甲組，共有C52種結(jié)果，再把剩下的3個人放到乙和丙兩個位置，每組至少一人，共有C32A22，相乘得到結(jié)果，再表示出甲組含有3個人時，選出三個人，剩下的兩個人在兩個位置排列．【解答】80解：由題意知本題是一個分步分類計數(shù)問題，首先選2個放到甲組，共有C52=10種結(jié)果，再把剩下的3個人放到乙和丙兩個位置，每組至少一人，共有C32A22=6種結(jié)果，∴根據(jù)分步計數(shù)原理知共有10×6=60，當(dāng)甲中有三個人時，有C53A22=20種結(jié)果∴共有60+20=80種結(jié)果故答案為：80．13.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，AB=BC，點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)．若()，則的值為_______．參考答案：【分析】以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝BC＝2后，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得．【詳解】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB＝BC＝2，則有A（0,0），B（2,0），C（2,2），E（2,1），AC＝2，AD＝2×tan30°＝，過D作DF⊥x軸于F，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°，DF＝sin45°＝，所以D（，），＝（2,2），＝（，），＝（2,1），因為，所以，（2,2）＝（，）+（2,1），所以，，解得：的值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本運(yùn)算，建系用坐標(biāo)表示是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．14.已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)=ai，則a+b=．參考答案：4【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由條件利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，再根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件求得a、b的值，可得a+b的值．【解答】解：=ai，則===ai，∴2﹣b=0，2+b=2a，∴b=2，a=2，∴a+b=4，故答案為：415.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，點(diǎn)A（0，2），若圓C上存在點(diǎn)M，滿足MA2+MO2=10，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：0≤a≤3考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；兩點(diǎn)間的距離公式．專題：計算題；直線與圓．分析：設(shè)M（x，y），利用MA2+MO2=10，可得M的軌跡方程，利用圓C上存在點(diǎn)M，滿足MA2+MO2=10，可得兩圓相交或相切，建立不等式，即可求出實數(shù)a的取值范圍．解答：解：設(shè)M（x，y），∵M(jìn)A2+MO2=10，∴x2+（y﹣2）2+x2+y2=10，∴x2+（y﹣1）2=4，∵圓C上存在點(diǎn)M，滿足MA2+MO2=10，∴兩圓相交或相切，∴1≤≤3，∴0≤a≤3．故答案為：0≤a≤3．點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查圓與圓的位置關(guān)系，確定M的軌跡方程是關(guān)鍵．16.已知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，)是數(shù)列的前n項和，則=

．參考答案：117.已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，點(diǎn)P為直線x+2y﹣9=0上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，則的取值范圍為．參考答案：（0，]【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】設(shè)∠APC=2θ，用θ表示出，求出θ的范圍即可得出的范圍．【解答】解：設(shè)∠APB=2θ，則PA=PB=，當(dāng)OP取得最小值時，θ取得最大值．圓心C（2，1）到直線x+2y﹣9=0的距離為=，圓的半徑為r=1，∴sinθ的最大值為=，∴≤cosθ＜1．∵≤2cos2θ﹣1＜1，即≤cos2θ＜1．=cos2θ=?cos2θ．設(shè)cos2θ=t，f（t）==，則f′（t）=，令f′（t）=0得t=﹣1+或t=﹣1﹣，∴f（t）在[，1）上單調(diào)遞增，∴f（t）的最大值為f（）=，又f（1）=0，∴0＜f（t）≤．故答案為（0，]．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)如圖1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如圖2。（I）求證：BC⊥平面A1DC；（II）若CD=2，求BE與平面A1BC所成角的正弦值。參考答案：（Ⅰ）DE，DE//BC，BC

…………2分又，AD

…………4分（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，分別以為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz

…………5分說明：建系方法不唯一，不管左手系、右手系只要合理即可

在直角梯形CDEB中，過E作EFBC，EF=2，BF=1，BC=3…………6分B（3，0，-2）E（2，0，0）C（0，0，-2）A1（0，4，0）

…………8分

…………9分設(shè)平面A1BC的法向量為

令y=1,…10分設(shè)BE與平面A1BC所成角為，…………12分19.（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分）已知直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)。（Ⅰ）求異面直線和的距離；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。

參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）如答（20）圖1，因AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，故CDAB。又直三棱柱中，

面

，故

，所以異面直線

和AB的距離為（Ⅱ）：由故

面

，從而

，故

為所求的二面角的平面角。因是在面上的射影，又已知

由三垂線定理的逆定理得從而，都與互余，因此，所以≌，因此得從而所以在中，由余弦定理得20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中為實數(shù)，（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若方程在上有實數(shù)解，求的取值范圍；（3）設(shè)…，均為正數(shù)，且……，求證：.參考答案：（1）0;（2）（3）見解析（1），由得

當(dāng)在內(nèi)遞增；

當(dāng)時，內(nèi)遞減；

故函數(shù)處取得最小值

（2）①當(dāng)時，在內(nèi)遞增；，方程在上無實數(shù)解；②當(dāng)時，在內(nèi)遞減；，方程在上無實數(shù)解；③當(dāng)時，由得，當(dāng)遞減；當(dāng)時，遞增；又，由得故的取值范圍為（3）由（1）知，當(dāng)時，，

，從而有，

得，

求和得

即故

21.（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)=|x+1|－|2x－3|.（I）在圖中畫出y=f(x)的圖像；（II）求不等式|f(x)|＞1的解集.參考答案：解：（I）y=f(x)的圖像如圖所示（II）由f(x)的表達(dá)式及圖像，當(dāng)f(x)=1時，可得x=1或x=3;當(dāng)f(x)=－1時，可得或x=5;故f(x)＞1的解集為{x|1＜x＜3};f(x)＜－1的解集為{x|x＜或x＞5}.所以|f(x)|＞1的解集為{x|x＜或1＜x＜3或x＞5}.

22.．如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，△ADC的外接圓交BC于點(diǎn)E，AB=2AC（Ⅰ）求證：BE=2AD；（Ⅱ）當(dāng)AC=3，EC=6時，求AD的長．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【專題】選作題；立體幾何．【分析】（Ⅰ）連接DE，證明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，結(jié)合角平分線性質(zhì)，即可證明BE=2AD；（Ⅱ）根據(jù)割線定理得BD?BA=BE?BC，從而可求AD的長．【解答】（Ⅰ）證明：連接DE，∵ACED是圓