河南省商丘市永城芒山鎮(zhèn)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

河南省商丘市永城芒山鎮(zhèn)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知命題，，那么命題為（

）

A．

B．C．

D．參考答案：B2.已知命題：“，總有”的否定是“，使得”;命題：在中，“”是“”的必要不充分條件.則有A.真真

B.真假

C.假真

D.假假參考答案：A3.在矩形ABCD中，AB=，BC=,P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且AP=，若

的最大值為(

’

A．

B．

C．

D．參考答案：B4.已知集合，，則=（

）A． B．C．（0,3) D．(1,3)參考答案：D考點(diǎn)：集合的運(yùn)算試題解析：所以故答案為：D5.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F作某一漸近線的垂線，分別與兩漸近線相交于A、B兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）

A．

B．2

C．

D．參考答案：A解：由，由角平分線定理知==,由AB⊥AO知∠AOB=60,∠AOF2=30,易解得離心率e=．選A【注】注意a>b>0的條件6.O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（

） A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心參考答案：B略7.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（4，2），化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=﹣2x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=﹣2x+z過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為10．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．8.

將平面上的每個(gè)點(diǎn)都以紅，藍(lán)兩色之一著色．證明：存在這樣兩個(gè)相似的三角形，它們的相似比為1995，并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色．參考答案：證明：首先證明平面上一定存在三個(gè)頂點(diǎn)同色的直角三角形．任取平面上的一條直線l，則直線l上必有兩點(diǎn)同色．設(shè)此兩點(diǎn)為P、Q，不妨設(shè)P、Q同著紅色．過(guò)P、Q作直線l的垂線l1、l2，若l1或l2上有異于P、Q的點(diǎn)著紅色，則存在紅色直角三角形．若l1、l2上除P、Q外均無(wú)紅色點(diǎn)，則在l1上任取異于P的兩點(diǎn)R、S，則R、S必著藍(lán)色，過(guò)R作l1的垂線交l2于T，則T必著藍(lán)色．△RST即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形．設(shè)直角三角形ABC三頂點(diǎn)同色(∠B為直角)．把△ABC補(bǔ)成矩形ABCD(如圖)．把矩形的每邊都分成n等分(n為正奇數(shù)，n>1，本題中取n=1995)．連結(jié)對(duì)邊相應(yīng)分點(diǎn)，把矩形ABCD分成n2個(gè)小矩形．AB邊上的分點(diǎn)共有n+1個(gè)，由于n為奇數(shù)，故必存在其中兩個(gè)相鄰的分點(diǎn)同色，(否則任兩個(gè)相鄰分點(diǎn)異色，則可得A、B異色)，不妨設(shè)相鄰分點(diǎn)E、F同色．考察E、F所在的小矩形的另兩個(gè)頂點(diǎn)E￠、F￠，若E￠、F￠異色，則△EFE￠或△DFF￠為三個(gè)頂點(diǎn)同色的小直角三角形．若E￠、F￠同色，再考察以此二點(diǎn)為頂點(diǎn)而在其左邊的小矩形，…．這樣依次考察過(guò)去，不妨設(shè)這一行小矩形的每條豎邊的兩個(gè)頂點(diǎn)都同色．同樣，BC邊上也存在兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)同色，設(shè)為P、Q，則考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)異色，則存在三頂點(diǎn)同色的小直角三角形．否則，PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)都同色．現(xiàn)考察EF所在行與PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都與N同色，△MNH為頂點(diǎn)同色的直角三角形．由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比為1995，且這兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)分別同色．證明2：首先證明：設(shè)a為任意正實(shí)數(shù)，存在距離為2a的同色兩點(diǎn)．任取一點(diǎn)O(設(shè)為紅色點(diǎn))，以O(shè)為圓心，2a為半徑作圓，若圓上有一個(gè)紅點(diǎn)，則存在距離為2a的兩個(gè)紅點(diǎn)，若圓上沒(méi)有紅點(diǎn)，則任一圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的六個(gè)頂點(diǎn)均為藍(lán)色，但此六邊形邊長(zhǎng)為2a．故存在距離為2a的兩個(gè)藍(lán)色點(diǎn)．下面證明：存在邊長(zhǎng)為a，a，2a的直角三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同色．如上證，存在距離為2a的同色兩點(diǎn)A、B(設(shè)為紅點(diǎn))，以AB為直徑作圓，并取圓內(nèi)接六邊形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一點(diǎn)為紅色，則存在滿足要求的紅色三角形．若C、D、E、F為藍(lán)色，則存在滿足要求的藍(lán)色三角形．下面再證明本題：由上證知，存在邊長(zhǎng)為a，a，2a及1995a，1995a，1995′2a的兩個(gè)同色三角形，滿足要求．證明3：以任一點(diǎn)O為圓心，a及1995a為半徑作兩個(gè)同心圓，在小圓上任取9點(diǎn)，必有5點(diǎn)同色，設(shè)為A、B、C、D、E，作射線OA、OB、OC、OD、OE，交大圓于A￠，B￠，C￠，D￠，E￠，則此五點(diǎn)中必存在三點(diǎn)同色，設(shè)為A￠、B￠、C￠．則DABC與DA￠B￠C￠為滿足要求的三角形．

9.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為 A．

B．

C．

D．參考答案：A10.執(zhí)行右邊的程序框圖，若，則輸出的S（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)sinx+cosx=﹣（其中x∈（0，π），則sin2x=；cos2x的值為

．參考答案：考點(diǎn)：二倍角的正弦；二倍角的余弦．專題：三角函數(shù)的求值．分析：由sinx+cosx=﹣，x∈（0，π），可得cosx＜0，sin2x=﹣，繼而有（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x=，于是利用（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）=﹣cos2x即可求得答案．解答： 解：∵sinx+cosx=﹣，x∈（0，π），∴cosx＜0，且1+2sinxcosx=，∴sin2x=﹣．∴（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x=，∴sinx﹣cosx=，與已知sinx+cosx=﹣聯(lián)立，∴（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）=﹣cos2x=﹣×=﹣，∴cos2x=，故答案為：；．點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的正弦與余弦，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，屬于中檔題．12.若數(shù)列{an}滿足a1=﹣1，n（an+1﹣an）=2﹣an+1（n∈N*），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=．參考答案：2﹣【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式．【分析】n（an+1﹣an）=2﹣an+1（n∈N*），化為（n+1）an+1﹣nan=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：∵n（an+1﹣an）=2﹣an+1（n∈N*），∴（n+1）an+1﹣nan=2，則數(shù)列{nan}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為﹣1，公差為2．∴nan=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3，∴an=2﹣．故答案為：2﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.某單位為了了解用電量y度與氣溫之間的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，數(shù)據(jù)如下表：氣溫（0C）181310用電量（度）24343864由表中數(shù)據(jù)可得線性回歸方程中的，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為時(shí)，該單位用電量的度數(shù)約為_(kāi)____________度．參考答案：8014.已知△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足=+，則||的最小值是．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系：以A為原點(diǎn)，平行于CB的直線為x軸，這樣便可建立坐標(biāo)系，然后便可根據(jù)條件確定出C，B點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)題意設(shè)P（cosθ，sinθ），從而得到的坐標(biāo)，用θ表示||即可．【解答】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cosθ，sinθ），則A（0，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）；=+==（）．=（）則||===．∴故答案為：

15.若非零向量，滿足，則，的夾角的大小為_(kāi)_________．參考答案：

16.對(duì)于函數(shù)

①f(x)=lg(|x-2|+1),

②f(x)=(x-2)2,

③f(x)=cos(x+2),判斷如下三個(gè)命題的真假：命題甲：f(x+2)是偶函數(shù)；命題乙：f(x)在（-∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；命題丙：f(x+2)-f(x)在（-∞，+∞）上是增函數(shù).能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是______參考答案：②略17.函數(shù)的值域?yàn)椋畢⒖即鸢福篬，+∞）【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】可得函數(shù)的定義域?yàn)閇，+∞），函數(shù)單調(diào)遞增，進(jìn)而可得函數(shù)的最小值，可得值域．【解答】解：由2x﹣1≥0可得x≥，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋篬，+∞），又可得函數(shù)f（x）=+x在[，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取最小值f（）=，∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬，+∞），故答案為：[，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的值域，得出函數(shù)的單調(diào)性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知在數(shù)列中，，，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和。18

參考答案：（1）故是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列。（2）由(1)得

可求得19.某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：

喜歡甜品不喜歡甜品合計(jì)南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020合計(jì)7030100(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問(wèn)是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”；(2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率．附：P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；古典概型及其概率計(jì)算公式．I4

K2【答案解析】(1)有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”．(2).解析：(1)將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得由于4.762＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”．(2)從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，其中ai表示喜歡甜品的學(xué)生，i＝1，2，bj表示不喜歡甜品的學(xué)生，j＝1，2，3.Ω由10個(gè)基本事件組成，且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件，則A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．事件A由7個(gè)基本事件組成，因而P(A)＝.【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用公式，即可得出結(jié)論；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解．20.拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子，出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，5，6的概率依次記為p1，p2，p3，p4，p5，p6，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{pn}恰好構(gòu)成等差數(shù)列，且p4是p1的3倍．（Ⅰ）求數(shù)列{pn}的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）甲、乙兩人用這枚骰子玩游戲，并規(guī)定：擲一次骰子后，若向上點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則已獲勝，請(qǐng)問(wèn)這樣的規(guī)則對(duì)甲、乙二人是否公平？請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅲ）甲、乙、丙三人用這枚骰子玩游戲，根據(jù)擲一次后向上的點(diǎn)數(shù)決定勝出者，并制定了公平的游戲方案，試在下面的表格中列舉出兩種可能的方案（不必證明）．方案序號(hào)甲勝出對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù)乙勝出對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù)丙勝出對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù)①

②

參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{pn}的公差為d，由p4是p1的3倍及概率的性質(zhì)，有，解得，d=，故，1≤n≤6，n∈N*（Ⅱ）不公平，甲獲勝的概率P甲=p1+p2+p3=，甲獲勝的概率PP乙=p4+p5+p6=，二者概率不同，所以不公平．（Ⅲ）（共6種可能，答出任意2種即可） 甲獲勝對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù) 乙獲勝對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù) 丙獲勝對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù)① 1，6 2，5 3，4② 1，6 3，4 2，5③ 2，5 3，4 1，6④ 2，5 1，6 3，4⑤ 3，4 1，6 2，5⑥ 3，4 2，5 1，6略21.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱。對(duì)任意都有。（1）

設(shè)，求；（2）

證明：是周期函數(shù)。參考答案：解：（1）由，，知，∵，∴。同理，∴；(2)證明：依題設(shè)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故，即。又由是偶函數(shù)知，∴，將上式中以代換，得，∴是R上的以2為周期的周期函數(shù)

22.已知橢圓E：+=1（a＞）的離心率e=，右焦點(diǎn)F（c，0），過(guò)點(diǎn)A（，0）的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程；（2）若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，求證：M，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線；（3）當(dāng)△FPQ面積最大時(shí)，求直線PQ的方程．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單