湖南省衡陽(yáng)市耒陽(yáng)市龍?zhí)林袑W(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省衡陽(yáng)市耒陽(yáng)市龍?zhí)林袑W(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，且，則向量在方向上的投影為(

)A．

B．3

C．

D．-3參考答案：A略2.已知函數(shù)f（x）=sinx+λcosx的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)（，0），則函數(shù)g（x）=λsinxcosx+sin2x的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣參考答案：D考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性．專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值．分析：由對(duì)稱(chēng)中心可得λ=﹣，代入g（x）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得g（x）=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+解x可得對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)照選項(xiàng)可得．解答：解：∵f（x）=sinx+λcosx的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)（，0），∴f（）=sin+λcos=+λ=0，解得λ=﹣，∴g（x）=﹣sinxcosx+sin2x=sin2x+=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+可得x=+，k∈Z，∴函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=+，k∈Z，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知，當(dāng)k=﹣1時(shí)x=﹣符合題意，故選：D點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，涉及三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)性，屬中檔題．3.已知，函數(shù)y=f（x+φ）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)，則φ的值可以是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值；圖形的對(duì)稱(chēng)性．【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，函數(shù)y=f（x+φ）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)，說(shuō)明是偶函數(shù)，求出選項(xiàng)中的一個(gè)φ即可．【解答】解：=2sin（x+），函數(shù)y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)，函數(shù)為偶函數(shù)，∴φ=故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，圖形的對(duì)稱(chēng)性，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．4.若復(fù)數(shù)a﹣（a∈R，i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是純虛數(shù)，∴a﹣4=0，解得a=4．故選：D．5.定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，若關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（

）A．

B．(0,1)

C．

D．(1,+∞)參考答案：A6.將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則

A.，的最小值為

B.，的最小值為

C.，的最小值為

D.，的最小值為參考答案：C7.《算法統(tǒng)宗》是明朝程大位所著數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一段表述：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍，共有381盞燈，則該塔中間一層有（

）盞燈.A.24

B.48

C.12

D.60參考答案：A由題意可知從上至下每層燈盞數(shù)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列,設(shè)首項(xiàng)為,則,解之得a=3，則該塔中間一層燈盞數(shù)有3?23=24.故選A.8.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心完全相同，則為A.

B.

C.

D.參考答案：D9.函數(shù)的最小正周期是，若其圖像向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像(

)A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

B．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

D．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)參考答案：D10.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則最下面那節(jié)的容積為A.升

B.升

C.升

D.升參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)__________．參考答案：2略12.若雙曲線x2﹣=1的離心率為，則實(shí)數(shù)m=

．參考答案：2【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線的離心率，列出方程求和求解m即可．【解答】解：雙曲線x2﹣=1（m＞0）的離心率為，可得：，解得m=2．故答案為：2．13.已知函數(shù)的最大值為3，的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為2，則

參考答案：4030【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦；余弦函數(shù)的圖象．C3C6解析：∵函數(shù)f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A?+1=cos（2ωx+2φ）+1+（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值為3，∴+1+=3，∴A=2．根據(jù)函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為2，可得函數(shù)的最小正周期為4，即=4，∴ω=．再根據(jù)f（x）的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），可得cos（2φ）+1+1=2，∴cos2φ=0，2φ=，∴φ=．故函數(shù)的解析式為f（x）=cos（x+）+2=﹣sinx+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=﹣（sin+sin+sin+…+sin+sin）+2×2015=503×0﹣sin﹣sin﹣sin+4030=0+4030=4030，故答案為：4030．【思路點(diǎn)撥】由條件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=cos（2ωx+2φ）+1+，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的周期性求得所求式子的值．14.已知，用秦九昭法計(jì)算，其中乘法的次數(shù)是

．參考答案：5由已知，得，易知計(jì)算f(5)共乘了5次.

15.（不等式選做題）如果關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

。參考答案：略16.以下是關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題： ①的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；

②在區(qū)間上單調(diào)遞減；

③在處取得極小值，在處取得極大值；

④的有最大值，無(wú)最小值； ⑤若方程至少有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。其中為真命題的是____

（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)你認(rèn)為是真命題的序號(hào)）．參考答案：①⑤17.以拋物線的頂點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且以為漸近線的雙曲線方程是___________________參考答案：拋物線的焦點(diǎn)為，即雙曲線的的焦點(diǎn)在軸，且，所以雙曲線的方程可設(shè)為，雙曲線的漸近線為，得，所以，，即，所以，所以雙曲線的方程為。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=|x-1|-|x-2|.（1）用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；（2）畫(huà)出函數(shù)圖象，并寫(xiě)出函數(shù)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間。參考答案：

值域是[-1，1]，增區(qū)間是[1，2]

略19.

如圖，過(guò)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上任一點(diǎn)P(O，m）(m>O）

作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)手原點(diǎn)的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)．

（I）證明：

（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程是x－2y+12=0，過(guò)A，B兩點(diǎn)的

圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程．參考答案：20.參考答案：知識(shí)點(diǎn)：空間幾何體的表面積與體積平行解析：21.已知圓C的圓心C與點(diǎn)A（2，1）關(guān)于直線4x+2y﹣5=0對(duì)稱(chēng)，圓C與直線x+y+2=0相切．（Ⅰ）設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P（1，1），M（﹣2，﹣2），求?的最小值；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（1，1）作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用；直線的傾斜角．【專(zhuān)題】直線與圓．【分析】（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)與直線的對(duì)稱(chēng)性求出圓心，利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求?的最小值；（Ⅱ）利用直線和圓的方程聯(lián)立，結(jié)合直線的斜率公式即可得到結(jié)論．【解答】解：Ⅰ）設(shè)圓心C（a，b），則A，C的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），∵圓心C與點(diǎn)A（2，1）關(guān)于直線4x+y﹣5=0，∴，解得，∴圓心C（0，0）到直線x+y+2=0的距離r=，∴圓C的方程為x2+y2=2．設(shè)Q（x，y），則x2+y2=2，?=（x﹣1，y﹣1）?（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，作直線l：x+y=0，向下平移此直線，當(dāng)與圓相切時(shí)，x+y取得最小值，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），∴?的最小值﹣4．（Ⅱ）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0．因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，故可得，同理，則==kOP∴直線AB和OP一定平行．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，結(jié)合直線的對(duì)稱(chēng)性和直線的斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．22.水培植物需要一種植物專(zhuān)用營(yíng)養(yǎng)液，已知每投放（且）個(gè)單位的營(yíng)養(yǎng)液，它在水中釋放的濃度(克/升）隨著時(shí)間(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中，若多次投放，則某一時(shí)刻水中的營(yíng)養(yǎng)液濃度為每次投放的營(yíng)養(yǎng)液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中營(yíng)養(yǎng)液的濃度不低于4(克/升)時(shí)，它才能有效.（1）若只投放一次2個(gè)單位的營(yíng)養(yǎng)液，則有效時(shí)間最多可能達(dá)到幾天？（2）若先投放2個(gè)單位的營(yíng)養(yǎng)液，3天后再投放個(gè)單位的營(yíng)養(yǎng)液，要使接下來(lái)的2天中，營(yíng)養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，試求的最小值.參考答案：（1）解：營(yíng)養(yǎng)液有效則需滿(mǎn)足，所以所以.....................