江蘇省常州市金壇市第四高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

江蘇省常州市金壇市第四高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量a，b滿足|a|=2,|b|=l，且（a+b）⊥b，則a與b的夾角為

A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.已知命題，則命題p的否定（

）A．

B．C．

D．參考答案：C3.若點(diǎn)P是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值與最小值的和為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C4.設(shè)是已知的平面向量且，關(guān)于向量的分解，有如下四個(gè)命題：①給定向量，總存在向量，使；②給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；③給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使；④給定正數(shù)和，總存在單位向量和單位向量，使；上述命題中的向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B略5.對任意的實(shí)數(shù)a、b，記．若，其中奇函數(shù)在時(shí)有極小值-2，是正比例函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示．則下列關(guān)于函數(shù)的說法中，正確的是(

)A．為奇函數(shù)B．有極大值F（-1）且有極小值F（0）C．的最小值為-2且最大值為2D．在（-3，0）上為增函數(shù)參考答案：B略6.如圖，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列的前12項(xiàng)，如下表所示：按如此規(guī)律下去，則

.參考答案：1005略7.如圖，某地一天中時(shí)至?xí)r的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)（其中，），則估計(jì)中午時(shí)的溫度近似為（

）A． B． C．

D．參考答案：B8.函數(shù)具有如下性質(zhì)：，則函數(shù)()A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)參考答案：B略9.已知全集為R，集合則A.B.C.或

D..或

參考答案：C，，則或,選C.10.設(shè)，，，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先確定，然后將利用對數(shù)的運(yùn)算，求得，從而得到的大小關(guān)系.【詳解】由于，所以為三個(gè)數(shù)中最大的.由于，而，故.綜上所述，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式比較大小.解決的方法是區(qū)間分段法，如本題中的“和”作為分段的分段點(diǎn).在題目給定的三個(gè)數(shù)中，有一個(gè)是大于的，有一個(gè)是介于和之間的，還有一個(gè)是小于的，由此判斷出三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.在比較過程中，還用到了對數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“，”的否定是__________．參考答案：，解：特稱命題變否定時(shí)，“”需改成“”．12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且，則____．參考答案：-2【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)乘除和乘方【試題解析】由題知：

所以

故答案為：-213.如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，且直角邊長為1，那么這個(gè)幾何體的體積為_________.

參考答案：14.若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為

參考答案：15.已知集合與滿足，則實(shí)數(shù)的值所組成的集合是

．

參考答案：16.

設(shè)，則不等式的解集為

參考答案：17.如圖所示，一種樹形圖為：第一層是一條與水平線垂直的線段，長度為1，第二層在第一層線段的前端作兩條與其成135°角的線段，長度為其一半；第三層按第二層的方法在每一條線段的前端生成兩條與其成135°角的線段，長度為其一半．重復(fù)前面的作法作圖至第n層，設(shè)樹形的第n層的最高點(diǎn)至水平線的距離為第《層的樹形圖的總高度，則到第二層的樹形圖的總高度h2=_______，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，到第n層的樹形圖的總高度hn=________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分13分)等比數(shù)列{an}中的前三項(xiàng)a1、a2、a3分別是下面數(shù)陣中第一、二、三行中的某三個(gè)數(shù)，且三個(gè)數(shù)不在同一列．(1)求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝3an－lgan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：(1)經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a1＝5或4時(shí)，不可能得到符合題中要求的等比數(shù)列；故有a1＝3，a2＝6，a3＝12，等比數(shù)列公比q＝2，所以an＝3·2n－1.(5分)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝9×－lg2＝9(2n－1)－lg2.19.已知m為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x3+x2﹣3x﹣mx+2，g（x）=f′（x），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)m=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上有零點(diǎn)，求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）m=0時(shí)，不合題意，m≠0時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．【解答】解：（1）由f（x）=x3+x2﹣3x﹣mx+2，得f′（x）=2mx2+2x﹣3﹣m，m=1時(shí)，f′（x）=2（x+2）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，﹣2）遞增，在（﹣2，1）遞減，在（1，+∞）遞增；（2）由（1）得g（x）=2mx2+2x﹣3﹣m，若g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上有零點(diǎn)，則方程g（x）=2mx2+2x﹣3﹣m=0在[﹣1，1]上有解，m=0時(shí)，g（x）=2x﹣3在[﹣1，1]上沒有零點(diǎn)，故m≠0，方程g（x）=2mx2+2x﹣3﹣m=0在[﹣1，1]上有解等價(jià)于g（﹣1）?g（1）≤0或，解得：1≤m≤5或m≤或m≥5，故m的范圍是（﹣∞，]∪[1，+∞）．20.某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動，有N人參加，現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七組，其頻率分布直方圖如下所示．已知[35，40）這組的參加者是8人．（1）求N和[30，35）這組的參加者人數(shù)N1；（2）已知[30，35）和[35，40）這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師，現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)老師的概率；（3）組織者從[45，55）這組的參加者（其中共有4名女教師，其余全為男教師）中隨機(jī)選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為x，求x的分布列和均值．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）先求出年齡在[35，40）內(nèi)的頻率，由此能求出總?cè)藬?shù)和[30，35）這組的參加者人數(shù)N1．（2）記事件B為“從年齡在[30，35]之間選出的人中至少有1名數(shù)學(xué)教師”，記事件C為“從年齡在[35，40）之間選出的人中至少有1名數(shù)學(xué)教師”，分別求出P（B），P（C），由此能求出兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)老師的概率．（3）年齡在[45，55）之間的人數(shù)為6人，其中女教師4人，ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）∵年齡在[35，40）內(nèi)的頻率為0.04×5=0.2，∴總?cè)藬?shù)N==40人．∵[30，35）這組的頻率為：1﹣（0.01×2+0.02+0.03×2+0.04）×5=0.3，[30，35）這組的參加者人數(shù)N1為：40×0.3=12人．（2）記事件B為“從年齡在[30，35]之間選出的人中至少有2名數(shù)學(xué)教師”，∵年齡在[30，35）之間的人數(shù)為12，∴P（B）=1﹣=，記事件C為“從年齡在[35，40）之間選出的人中至少有1名數(shù)學(xué)教師”，∵年齡在[35，40）之間的人數(shù)為8，∴P（C）=1﹣=，∴兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)老師的概率P（BC）==．（3）年齡在[45，55）之間的人數(shù)為6人，其中女教師4人，∴ξ的可能取值為1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列為：ξ123PEξ==2．21.已知拋物線的方程為，為其焦點(diǎn)，過不在拋物線上的一點(diǎn)作此拋物線的切線，為切點(diǎn).且.（Ⅰ）求證：直線過定點(diǎn)；（Ⅱ）直線與曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，求的最小值.參考答案：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，設(shè)，以為切點(diǎn)的切線方程分別為，.由消去得.則，.這兩條切線的斜率分別為，.由這兩切線垂直得，得.所以直線恒過定點(diǎn).（Ⅱ）設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，則，可得，當(dāng)時(shí)，則，，，同樣可得.所以.由.所以.令，..所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).所以.（或當(dāng)時(shí)取等號.）22.對某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，所得樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下.（1）求，并根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，用分層抽樣的方法抽取個(gè)元件，元件壽命落在之間的應(yīng)抽取幾個(gè)？（2）從（1）中抽出的壽命落在之間的元件中任取個(gè)元件，求事件“恰好有一個(gè)元件壽命落在之間，一個(gè)元件壽命落在之間”的概率.參考答案：（1）根據(jù)題意：解得

………………2分設(shè)在壽命落在之間的應(yīng)抽取個(gè)，根據(jù)分層抽樣有：

………4分解得：所以壽命落在之間的元件應(yīng)抽取個(gè)

……………6分（2）記“恰好有一個(gè)壽命落在之間，一個(gè)壽命為之間”為事件，易知，壽命落在之間的元件有個(gè)，分別記，落在之間的元件有個(gè)，分別記為：，從中任取個(gè)元件，有如下基本事件：，，共有個(gè)基本事件.