高等數(shù)學(xué)-微分方程

精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔第十二章微分方程§1微分方程的基本概念1、由方程x2-xy+y2=C所確定的函數(shù)是方程（）的解。A.(x-2y)y=2-xyB.(x-2y)y=2x-yC.(x-2)dx=(2-xy)dyD.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲線族y=Cx+C2(C為任意常數(shù))所滿足的微分方程（）4.微分方程y=SKIPIF1<0寫成以y為自變量，x為函數(shù)的形式為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.x=2x-yD.y=2x-y§2可分離變量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（）A.可分離變量的微分方程B.一階微分方程的對(duì)稱形式，C.不是微分方程D.不能變成SKIPIF1<02、方程xy-ylny=0的通解為（）Ay=exB.y=CexC.y=ecxD.y=ex+C3、方程滿足初始條件：y=e2x-y,y|x=0=0的特解為（）A.ey=e2x+1B.SKIPIF1<0C.y=lne2x+1-ln2D.ey=SKIPIF1<0e2x+C4、已知y=y(x)在任一點(diǎn)x處的增量SKIPIF1<0，且當(dāng)x0時(shí)，是x高階無(wú)窮小，y(0)=,則y(1)=()A.2B.C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<05、求特解cosxsinydy=cosysinxdx，y|x=0=SKIPIF1<0解：分離變量為tanydy=tanxdx，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC，cosy=ccosx代入初始條件：y|x=0=SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0特解為：SKIPIF1<0cosy=cosx6、求微分方程SKIPIF1<0滿足y(0)=的特解。解：由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，積分得：SKIPIF1<0代入初始條件：y(0)=，得C=-27、求微分方程SKIPIF1<0滿足y(0)=0的特解解:分離變量得SKIPIF1<0兩邊積分SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，將y(0)=0代入得C=0特解：SKIPIF1<0§3齊次方程1.(x2+y2)dx-xydy=0，其通解為（）A.y2=x2(2ln|x|+C)B.y=x(2ln|x|+C)C.y2=2x2ln|x|+CD.y=2xln|x|+C2.SKIPIF1<0,y|x=1=2，則特解為（）A.y2=2x2(lnx+C)B.y2=2x2(lnx+2)C.y=2xlnx+CD.y=2xlnx+23.SKIPIF1<0的通解為（）A.x=2y+CB.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.以上都不對(duì)4、求yx2+xy=y2滿足y|x=1=1的特解。解：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<05、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0滿足初始條件y|x=1=1的特解解：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)，即x(1+u2）=C(1+u),代入初始條件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y7、求曲線，使其上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)的切線在x軸上的截距解：設(shè)曲線上任一點(diǎn)P(x,y)，曲線：y=y(x)，則由題意知：Y-y=y(X-x)又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，得通解SKIPIF1<0§4一階線性微分方程1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0；C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<02、微分方程xy+2y=xlnx滿足y(1)=SKIPIF1<0的解為（）A.SKIPIF1<0，B.SKIPIF1<0，C.SKIPIF1<0，.SKIPIF1<03、y+y=y2(cosx-sinx)的通解為（）A.y=Cex-sinxB.SKIPIF1<0=Cex-sinxC.Cyex-ysinx=CD.y=ex-sinx+C4、求通解SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，5、求通解xdy-ydx=y2eydy解：整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<09、已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足方程SKIPIF1<0，求f(x)解：原方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)f(x)=3f(x)+2e2xf(x)-3f(x)=2e2x解得：f(x)=Ce3x-2e2x又f(0)=1，所以C=3，f(x)=3e3x-2e2x2、數(shù)(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(0)=(0)=0，并已知y(x)dx+(sinx-(x))dy=0是一個(gè)全微分方程，則(x)=()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.x2exD.SKIPIF1<03、別下列方程的類型并求其通解（1）(a2-2xy-y2)dx-(x+y)2dy=0解：是全微分方程SKIPIF1<0，通解為:SKIPIF1<0（2）(1+e2)d+2e2d=0解：是全微分方程d(+e2)=0，通解為+e2=C4、f(x)可導(dǎo)，f(0)=1，對(duì)任意簡(jiǎn)單閉曲線L,SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解：對(duì)任意閉曲線L有SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，由此得f(x)-2x=f(x)解得：f(x)=Cex-2x-2,再代入初始條件可得C=3。于是f(x)=3ex-2x-2，SKIPIF1<0§6可降階的高階微分方程1、yy+y2=0滿足初始條件y|x=0=1，y|x=0=SKIPIF1<0的特解為（）A.y2=x+CB.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.y2=C1x+C22、方程xy=ylny的通解為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0，C.SKIPIF1<0D.以上都不對(duì)3、(1)求y=y+x的通解解：令y=p得p-p=xp=-x-1+C1exSKIPIF1<0(2)求xy+y=0的通解解：令y=p，則xp+p=0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0y=C1lnx+C2§7高階線性微分方程1、證明：SKIPIF1<0是方程y-3y+2y=e5x的通解2、已知二階線性非齊次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的特解為y1=x,y2=ex,y3=e2x,試求方程滿足初始條件y(0)=1,y(0)=3的特解。解：由線性微分方程解的理論，非齊次微分方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)任兩解之差是對(duì)應(yīng)齊次方程y+p(x)y+q(x)y=0的解。得齊次方程的兩個(gè)解：ex-x,e2x-x，且線性無(wú)關(guān)。于是齊次方程的通解Y=C1(ex-x)+C2(e2x-x).非齊次方程的通解是y=x+C1(ex-x)+C2(e2x-x).由y(0)=1，y(0)=3代入得：C1=-1,C2=2，所以特解為y=2e2x-ex§8常系數(shù)齊次線性微分方程設(shè)y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1,C2為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，則該方程為（）A.y+2y+y=0B.y-2y+2y=0C.y-2y=0D.y+y=02、設(shè)y1=excos2x,y2=exsin2x都是方程y+py+qy=0的解，則（）A.p=2,q=5,B.p=-2,q=5C.p=-3,q=2D.p=2,q=23、設(shè)常系數(shù)線性齊次方程特征方程根r1,2=-1,r3,4=i，則此方程通解為（）A.y=(C1+C2x)e-x+C3cosx+C4sinxB.y=C1e-x+C2cosx+C3sinxC.y=C1e-x+C2cosx+C3xsinxD.C1e-x+(C2+x)cosx+C3sinx4、求下列微分方程的通解(1)y-4y+13y=0。解：r2-4r+13=0r1,2=23i，y=e2x(C1cos3x+C2sin3x)(2)y+25y=0解：r2+25=0r=5i，y=C1cos5x+C2sin5x(3)SKIPIF1<0。解：r2+2r+1=0r1,2=-1，y=(C1+C2t)e-t(4)y(4)-2y+5y=0。解：r4-2r3+5r2=0r1,2=0,r3,4=12i，y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x)5、求下列初值問(wèn)題的特解y+(1+2)y+12y=0(12且為實(shí)數(shù))滿足y(0)=0,y(0)=1解：r2+(1+2)r+12=0r1=1r2=2，通解為SKIPIF1<0由y(0)=0,y(0)=1，得SKIPIF1<0§9常系數(shù)非齊次線性微分方程1、方程y+16y=sin(4x+a)(a為常數(shù)）的特解形式為y*=()A.Acos4x+Bsin4x；B.x(Acos4x+Bsin4x)；C.Acos4x-Bsin4x;D.x2(Acos4x-Bsin4x)2、設(shè)函數(shù)y1,y2,y3都是線性非齊次方程y+p(x)y+q(x)=f(x)的特解，則函數(shù)y=(1-C1-C2)y1+C1y2+C2y3()（C1,C2為任意常數(shù)）A.是所給方程通解B.不是方程的解C.是所給方程的特解D.可能是方程的通解，但一定不是其特解。3、方程y-2y=xe2x的特解具有形式（）A.y*=Axe2x;B.y*=(Ax+B)e2x;C.y*=x(Ax+B)e2x;D.y*=x2(Ax+B)e2x4.求解微分方程y+2y+2y=e-xsinx解：對(duì)應(yīng)的齊次方程：y+2y+2y=0，特征方程r2+2r+2=0r1,2=-1i，齊次方程通解為：Y=e-x(C1cosx+C2sinx)由于i=-1i是特征方程的根，設(shè)y*=xe-x(Acosx+Bsinx)代入原方程得：A=SKIPIF1<0,B=0，即y*=SKIPIF1<0xe-xcosx原方程通解為y=Y+y*=e-x(C1cosx+C2sinx)SKIPIF1<0xe-xcosx5.求解初值問(wèn)題y+9y=cosx,SKIPIF1<0解：由y+9y=0得：r1,2=3i，所以齊次方程通解是：Y=C1cos3x+C2sin3x由于i=i不是特征方程的根，設(shè)y*=Acosx+Bsinx代入原方程得：A=SKIPIF1<0,B=0，即Y=SKIPIF1<0cosx通解為y=C1cos3x+C2sin3x+SKIPIF1<0cosx，由初始條件得特解SKIPIF1<06.求特解：y-y=4xex，y|x=0=0,y|x=0=1解：r2-1=0r1,2=1，所以y-y=0的通解為Y=C1ex+C2e-x因=1是特征方程的單根，設(shè)y*=xex(Ax+B)是原方程的一個(gè)特解，代入原方程得：A=1,B=-1即y*=ex(x2-x)，原方程的通解為：y=C1ex+C2e-x+ex(x2-x)代入初始條件得：C1=1,C2=-1，所求特解為：y=ex(x2-x+1)-e-x7.求y-4y=e2x的通解解：r2-4=0Tr1,2=±2，所以y2-4y=0的通解為Y=C1e2x+C2e-2x因l=2是特征方程的單根，設(shè)y*=Axe2x是原方程的一個(gè)特解，代入原方程得：A=1/4,即y*=1/4xe2x，原方程的通解為：y=C1e2x+C2e-2x+1/4xex10、設(shè)SKIPIF1<0，其中f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并且滿足：SKIPIF1<0，試求函數(shù)f(x)解：由SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0得r2-r=0Tr1=0，r2=1所以齊次方程的通解為Y=C1+C2ex因l=1是單根，設(shè)y*=Axex是原方程的一個(gè)特解，代入原方程得：A=1,即y*=xe2x，所以：f(x)=C1+C2ex+xex將SKIPIF1<0代入得C1=2,C2=2,故f(x)=SKIPIF1<0第十二章自測(cè)題一、選擇題(36=18分)1.方程(x+1)(y2+1)dx+y2x2dy=0是()A.線性非齊次方程;B.可分離變量方程；C.線性齊次方程；D.伯努利方程2.微分方程xdy-ydx=y2eydy的通解為()A.y=x(C-ex)；B.y=x(C+ex)；C.x=y(C+ey)；D.x=y(C-ey)3.由x2-xy+y2=C確定的隱函數(shù)滿足的微分方程是()A.(x-2y)y=2x-yB.(x-2y)y=2x，C.-2yy=2x-yD.xy=2x-y4.微分方程y-2y=xe2xA.y*=(Ax+B)e2x;B.y*=Axe2x，;C.y*=Ax2e2x;D.y*=x(Ax+b)e2x5.已知y1,y2,y3為方程y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，C1,C2,C3均為任意常數(shù)，則該方程的通解為：A.C1y1+C2y2；B.C1y1+C2y2+C3y3；C.C1y1+C2y2+y3；D.C1(y1-y2)+C2(y1-y3)+y26.函數(shù)y=y(x)的圖形上(0,-2)的切線為2x-3y=0且y(x)使y=6x，則函數(shù)y(x)為()A.y=x2-2B.y=x3+2C.3y-3x3+2x+6=0D.3x-3y2-2y-6=0二、填空題(36=18分)1.SKIPIF1<0的通解為SKIPIF1<02.方程y+sin(2x-y)=sin(2x+y)滿足初始條件SKIPIF1<0的特解ln|cscy-coty|=sin2xSKIPIF1<03.積分SKIPIF1<0與路徑無(wú)關(guān)，且f(0)=f(0)=0，則f(x)為SKIPIF1<04.設(shè)常系數(shù)方程y+by+cy=0的基本組是y1=e2xcosx,y2=e2xsinx，則b=_-4,C=55.方程y-4y+4y=x的通解為SKIPIF1<06.已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足SKIPIF1<0則f(x)=3e3x-2e2x三、求通解(54=20分)1.（xlnx）y+y=ax(lnx+1)解：原方程化為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通解。2.SKIPIF1<0解：令u=y-2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0通解SKIPIF1<0，即SKIPIF1<03.y-ay2=0,y(0)=0,y(0)=-1解：令y=p,即p=ap2=0得SKIPIF1<0代入初始條件得SKIPIF1<04.y+2y+y=cosx，y(0)=0,SKIPIF1<0，