高中數(shù)學(xué)-矩陣及線性方程組-試題及解析

高中數(shù)學(xué)矩陣及線性方程組試題一．選擇題（共14小題）1．將直線y＝x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，所得到的直線為（）A．x＝0 B．y＝0 C．y＝x D．y＝﹣x2．拋物線y2＝2px，（p＞0）繞焦點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°所得拋物線方程為…（）A．x2＝2py B． C． D．3．變換＝的幾何意義為（）A．關(guān)于y軸反射變換 B．關(guān)于x軸反射變換 C．關(guān)于原點(diǎn)反射變換 D．以上都不對(duì)4．若線性方程組的增廣矩陣是，解為，則b2﹣b1的值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知二元一次方程組的增廣矩陣為，若此方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±26．設(shè)A*為n階方陣A的伴隨矩陣，則||A*|A|＝（）A． B．|A|n C． D．7．把矩陣變?yōu)楹螅c對(duì)應(yīng)的值是（）A． B． C． D．8．線性方程組的增廣矩陣是（）A． B． C． D．9．直線y＝x+1在矩陣作用下變換得到的圖形與x2+y2＝1的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相離 C．相切 D．無(wú)法判定10．有命題：（1）三階行列式的任一元素的代數(shù)余子式的值和其余子式的值互為相反數(shù)；（2）三階行列式可以按其任意一行展開成該行元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和；（3）如果將三階行列式的某一列的元素與另一列的元素的代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)相乘，那么它們的乘積之和等于零，其中所有正確命題的序號(hào)是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）11．與（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）相等的行列式是（）A． B． C． D．12．由9個(gè)正數(shù)組成的三行三列數(shù)陣，每行中的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比數(shù)列．給出下列結(jié)論：①第二列中的a12，a22，a32必成等比數(shù)列；②第一列中的a11，a21，a31不一定成等比數(shù)列；③a12+a32≥a21+a23；④若9個(gè)數(shù)之和大于81，則a22＞9．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．413．已知a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足＝0，則△ABC一定是（）A．等腰非等邊三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形14．關(guān)于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣為（）A． B． C． D．二．填空題（共18小題）15．將反比例函數(shù)y＝的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則旋轉(zhuǎn)后所得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．16．矩陣的特征值為．17．已知一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣是，則x+y＝．18．矩陣N＝的特征值為．19．三階行列式中，5的余子式的值是．20．行列式中第2行第1列元素的代數(shù)余子式的值為﹣10，則k＝．21．三階行列式中元素﹣5的代數(shù)余子式為f（x），則方程f（x）＝0的解為22．行列式中，6的代數(shù)余子式的值是．23．若行列式中元素4的代數(shù)余子式的值為，則實(shí)數(shù)x的取值集合為．24．把行列式按照第二列展開，則．25．若三條直線ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一點(diǎn)，則行列式的值為．26．已知三階矩陣B≠O（三階零矩陣），且B的每個(gè)列向量都是方程組的解，則λ＝．27．行列式的元素﹣3的代數(shù)余子式的值為7，則k＝．28．已知直線ax+y+3＝0過(guò)點(diǎn)（﹣1，﹣1），則行列式的值為．29．若關(guān)于x，y的二元一次方程組有無(wú)窮多組解，則m的取值為．30．若線性方程組的增廣矩陣為，解為，則m﹣n＝31．已知，當(dāng)方程有無(wú)窮多解時(shí)，a的值為．32．若x、y的方程組有無(wú)窮多組解，則的值為三．解答題（共18小題）33．已知線性變換T1是按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)變換，其對(duì)應(yīng)的矩陣為M，線性變換T2：對(duì)應(yīng)的矩陣為N（1）寫出矩陣M，N；（2）求直線x+2y﹣1＝0先經(jīng)過(guò)T1變換，再經(jīng)過(guò)T2變換后的曲線方程．34．已知點(diǎn)A在變換T：作用后，再繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)B．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，3），求點(diǎn)A的坐標(biāo)．35．已如a，b∈R，向量＝是矩陣A＝的屬于特征值﹣4的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值．36．已知矩陣A的逆矩陣A﹣1＝，求矩陣A的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量．37．已知直線l：ax+y＝1在矩陣A＝對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x+by＝1．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）求矩陣A的特征值與特征向量．38．已知a＝為矩陣A＝屬于特征值λ的一個(gè)特征向量．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，λ的值；（Ⅱ）求矩陣A的逆矩陣A﹣1．39．已知矩陣A＝，若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為，屬于特征值1的一個(gè)特征向量為．（1）求矩陣A；（2）求出直線x+y﹣1＝0在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下所得曲線的方程．40．已知矩陣A＝．求A的特征值和特征向量．41．設(shè)矩陣M＝的一個(gè)特征值λ對(duì)應(yīng)的特征向量為，求m與λ的值．42．已知矩陣A的逆矩陣A﹣1＝（）．（1）求矩陣A；（2）求矩陣A﹣1的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量．43．已知矩陣．（1）求M的特征值和特征向量；（2）若向量，求M3α．44．已知矩陣A＝不存在逆矩陣，求：（1）實(shí)數(shù)a的值；（2）矩陣A的特征向量．45．已知矩陣A＝[]的一個(gè)特征值為2，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為＝[]．（1）求矩陣A；（2）若A[]＝[]，求x，y的值．46．設(shè)矩陣A＝，若矩陣A的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為，求矩陣A的另一個(gè)特征值．47．已知矩陣A＝，B＝，且AB＝BA．（1）求實(shí)數(shù)a；（2）求矩陣B的特征值．48．已知二階矩陣的特征值λ＝﹣1所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為．（1）求矩陣M；（2）設(shè)曲線C在變換矩陣M作用下得到的曲線C'的方程為y2＝x，求曲線C的方程．49．已知矩陣，A＝，向量＝，求向量，使得A2＝．50．已知矩陣M＝[]的一個(gè)特征值是3，求直線x﹣2y﹣3＝0在M作用下的直線方程．

參考答案與試題解析一．選擇題（共14小題）1．將直線y＝x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，所得到的直線為（）A．x＝0 B．y＝0 C．y＝x D．y＝﹣x【分析】根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)后的直線傾斜角為120°，且仍然經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．由斜率公式算出直線的斜率k＝tan120°＝﹣，即可得到該直線方程．【解答】解：∵直線y＝x經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為60°∴直線y＝x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，傾斜角為120°且仍然經(jīng)過(guò)原點(diǎn)因此，旋轉(zhuǎn)后的直線斜率k＝tan120°＝﹣，方程為y＝﹣x故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題給出直線直線y＝x，求將直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后所得直線的方程．著重考查了直線的基本量與基本形式的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．2．拋物線y2＝2px，（p＞0）繞焦點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°所得拋物線方程為…（）A．x2＝2py B． C． D．【分析】先根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)變換后的圖形，如圖，所得拋物線是虛線部分，其頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，﹣），開口向上，且與原來(lái)的拋物線全等，即可寫出其方程．【解答】解：如圖，拋物線y2＝2px，（p＞0）繞焦點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°所得拋物線是虛線部分，其頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，﹣），開口向上，且與原來(lái)的拋物線全等，故其方程為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，考查了拋物線的方程，屬于基礎(chǔ)題．3．變換＝的幾何意義為（）A．關(guān)于y軸反射變換 B．關(guān)于x軸反射變換 C．關(guān)于原點(diǎn)反射變換 D．以上都不對(duì)【分析】在坐標(biāo)系xoy內(nèi)，經(jīng)過(guò)變換后變?yōu)?，由此能求出結(jié)果．【解答】解：在坐標(biāo)系xoy內(nèi)，經(jīng)過(guò)變換后變?yōu)?，二者關(guān)于x軸對(duì)稱，所以變換＝的幾何意義為關(guān)于x軸的反射變換．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反射變換的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題．4．若線性方程組的增廣矩陣是，解為，則b2﹣b1的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由題意可得5×+b1＝10，2×+b2＝8，解方程即可得到所求值．【解答】解：由題意可得5×+b1＝10，2×+b2＝8，解得b1＝2，b2＝5，則b2﹣b1＝3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性方程組的解法，以及增廣矩陣的概念，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．已知二元一次方程組的增廣矩陣為，若此方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2【分析】由題意，，即可求出實(shí)數(shù)m的值．【解答】解：由題意，，∴m＝﹣2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的增廣矩陣，考查方程思想，比較基礎(chǔ)．6．設(shè)A*為n階方陣A的伴隨矩陣，則||A*|A|＝（）A． B．|A|n C． D．【分析】本題可根據(jù)伴隨矩陣對(duì)應(yīng)的行列式公式|A*|＝|A|n﹣1．和公式|k?A|＝kn?|A|推導(dǎo)得出結(jié)果．【解答】解：由題意，可知：∵A*為n階方陣A的伴隨矩陣，∴|A*|＝|A|n﹣1．∴||A*|A|＝||A|n﹣1?A|＝（|A|n﹣1）n?|A|＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查伴隨矩陣對(duì)應(yīng)的行列式公式和數(shù)乘矩陣的行列式公式．本題屬基礎(chǔ)題．7．把矩陣變?yōu)楹?，與對(duì)應(yīng)的值是（）A． B． C． D．【分析】先把矩陣第一行乘﹣3加上第二行作為第二行得到，再把第一列乘2加上第二列作為第二列得到，最后第二行乘以即可得出符合要求的矩陣．【解答】解：把矩陣第一行乘﹣3加上第二行作為第二行→第一列乘2加上第二列作為第二列→第二行乘以→，對(duì)照得故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩陣變換的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．線性方程組的增廣矩陣是（）A． B． C． D．【分析】首先要知道增廣矩陣的定義增廣矩陣就是在系數(shù)矩陣的右邊添上一列，這一列是方程組的等號(hào)右邊的值然后直接求解可得．【解答】解：由增廣矩陣的定義：增廣矩陣就是在系數(shù)矩陣的右邊添上一列，這一列是方程組的等號(hào)右邊的值可直接寫出增廣矩陣為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查方程組增廣矩陣的定義及求法，是大綱新增的高等數(shù)學(xué)部分的內(nèi)容，需要注意．此題屬于基礎(chǔ)題．9．直線y＝x+1在矩陣作用下變換得到的圖形與x2+y2＝1的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相離 C．相切 D．無(wú)法判定【分析】設(shè)直線y＝x+1上任意一點(diǎn)（x0，y0），（x，y）是所得的直線上一點(diǎn)，得到兩點(diǎn)的關(guān)系式，再由點(diǎn)在直線上上代入化簡(jiǎn)求出變換后的直線，然后利用圓心到直線的距離與半徑進(jìn)行比較即可判定位置關(guān)系．【解答】解：設(shè)直線y＝x+1上任意一點(diǎn)（x0，y0），（x，y）是所得的直線上一點(diǎn)，＝∴x0＝x，x0﹣2y0＝y(tǒng)解得x0＝x，y0＝∴點(diǎn)（x0，y0）在直線y＝x+1上，則y0＝x0+1從而＝x+1即直線y＝x+1在矩陣作用下變換得到直線x+y+2＝0x2+y2＝1表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的圓則圓心到直線的距離d＝＝＞1故直線與圓相離故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩陣與變換的運(yùn)算，結(jié)合求軌跡方程得方法：代入法求解，同時(shí)考查了直線與圓的位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題．10．有命題：（1）三階行列式的任一元素的代數(shù)余子式的值和其余子式的值互為相反數(shù)；（2）三階行列式可以按其任意一行展開成該行元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和；（3）如果將三階行列式的某一列的元素與另一列的元素的代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)相乘，那么它們的乘積之和等于零，其中所有正確命題的序號(hào)是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【分析】根據(jù)代數(shù)余子式的意義，進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）三階行列式的任一元素的代數(shù)余子式的值和其余子式的值互為相反數(shù)或相等，不正確；（2）根據(jù)代數(shù)余子式的意義，可知三階行列式可以按其任意一行展開成該行元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和正確；（3）根據(jù)代數(shù)余子式與該行的元素值無(wú)關(guān)，可得如果將三階行列式的某一列的元素與另一列的元素的代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)相乘，那么它們的乘積之和等于零，正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三階矩陣，考查代數(shù)余子式的意義，正確理解代數(shù)余子式的意義是關(guān)鍵．11．與（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）相等的行列式是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)行列式的定義直接計(jì)算即可．【解答】解：（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝ab2+bc2+ca2﹣a2b﹣b2c﹣c2a，＝﹣+＝ab2﹣ac2﹣a2b+bc2+a2c﹣b2c，故A正確；＝﹣+b2c﹣bc2﹣a2c+ac2+a2b﹣ab2，故B不正確；∵將A選項(xiàng)中的矩陣第1、3互換就是C選項(xiàng)中的矩陣，∴行列式的值相反，故C不正確；∵將B選項(xiàng)中矩陣的行列互換就是D選項(xiàng)中的矩陣，∴行列式的值不變，故D不正確；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查行列式的計(jì)算，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．12．由9個(gè)正數(shù)組成的三行三列數(shù)陣，每行中的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比數(shù)列．給出下列結(jié)論：①第二列中的a12，a22，a32必成等比數(shù)列；②第一列中的a11，a21，a31不一定成等比數(shù)列；③a12+a32≥a21+a23；④若9個(gè)數(shù)之和大于81，則a22＞9．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先由題意設(shè)列出由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣是：，由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比數(shù)列，則有：（b+m）2＝（a+d）（c+n），得出①正確；再由（a+d）+（c+n）≥2得到③正確；再根據(jù)題設(shè)列舉出由9個(gè)正數(shù)組成的特殊矩陣判斷②正確即可．通過(guò)舉反例可得④不正確．【解答】解：由題意設(shè)由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣是：，由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比數(shù)列，則有：（b+m）2＝（a+d）（c+n），故①正確．由于（a+d）+（c+n）≥2＝2（b+m），故③正確．再題意設(shè)由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣是：故②正確．對(duì)于④，若9個(gè)數(shù)之和大于81，即3（a+d+b+m+c+n）＞81，∴b+m+a+d+c+n＞27，但不能推出b+m＞9．如當(dāng)a+d＝3，b+m＝9，c+n＝27時(shí)，a22＝b+m＝9，故④不正確．綜上可得，正確的序號(hào)有①②③，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)、三階矩陣等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．13．已知a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足＝0，則△ABC一定是（）A．等腰非等邊三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【分析】方程化為2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝0，配方可得結(jié)論．【解答】解：方程化為2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝0，所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，所以a＝b＝c，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查高階矩陣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．14．關(guān)于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二元一次方程方程組與增廣矩陣的關(guān)系，即可求得答案．【解答】解：的增廣矩陣，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組與系數(shù)矩陣及增廣矩陣的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共18小題）15．將反比例函數(shù)y＝的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則旋轉(zhuǎn)后所得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【分析】直接利用曲線的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)用和對(duì)稱性的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)y＝的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱，且以x軸和y軸為漸近線．同時(shí)求得函數(shù)y＝與y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）和（﹣1，﹣1）．他們與原點(diǎn)的距離為．同時(shí)可知直線y＝x與x軸成45°的角，反比例函數(shù)y＝的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，得到的雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且以y＝x和y＝﹣x為漸近線，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）和（﹣，0）所以a＝b＝，所以雙曲線的方程為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓錐曲線的求法及應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型．16．矩陣的特征值為3或﹣1．【分析】求出矩陣的特征多項(xiàng)式，令其為0，即可求出矩陣的特征值．【解答】解：矩陣的特征多項(xiàng)式為＝（λ﹣1）2﹣4，令（λ﹣1）2﹣4＝0，可得λ＝3或﹣1．故答案為：3或﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩陣的特征值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．17．已知一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣是，則x+y＝6．【分析】由二元線性方程組的增廣矩陣可得到二元線性方程組的表達(dá)式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣是，∴由二元線性方程組的增廣矩陣可得到二元線性方程組的表達(dá)式，解得x＝4，y＝2，∴x+y＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩數(shù)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意增廣矩陣的合理運(yùn)用．18．矩陣N＝的特征值為﹣3，8．【分析】令矩陣M的特征多項(xiàng)式等于0，即可求得矩陣M的特征值．【解答】解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）＝＝λ2﹣5λ﹣24令f（λ）＝0可得λ＝﹣3或λ＝8，即矩陣M的特征值為﹣3或8．故答案為：﹣3，8．【點(diǎn)評(píng)】本題以矩陣為載體，考查矩陣M的特征值，關(guān)鍵是正確寫出矩陣M的特征多項(xiàng)式．19．三階行列式中，5的余子式的值是﹣12．【分析】去掉5所在行與列，即得5的余子式，從而求值．【解答】解：由題意，去掉5所在行與列得：＝﹣12故答案為﹣12．【點(diǎn)評(píng)】本題以三階行列式為載體，考查余子式，關(guān)鍵是理解余子式的定義．20．行列式中第2行第1列元素的代數(shù)余子式的值為﹣10，則k＝﹣14．【分析】根據(jù)余子式的定義可知，在行列式中劃去第2行第1列后所余下的2階行列式帶上符號(hào)（﹣1）i+j為M21，求出其表達(dá)式列出關(guān)于k的方程解之即可．【解答】解：由題意得M21＝（﹣1）3＝2×2+1×k＝﹣10解得：k＝﹣14．故答案為：﹣14．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握三階行列式的余子式的定義，會(huì)進(jìn)行矩陣的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．21．三階行列式中元素﹣5的代數(shù)余子式為f（x），則方程f（x）＝0的解為x＝log23【分析】根據(jù)行列式的展開，求得f（x），根據(jù)f（x）＝0，求得x的值．【解答】解：三階行列式中元素﹣5的代數(shù)余子式為f（x）＝（﹣1）1+1＝2x﹣3，f（x）＝0的解x＝log23，故答案為：x＝log23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查行列式的展開，考查行列式代數(shù)余子式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．22．行列式中，6的代數(shù)余子式的值是6．【分析】根據(jù)代數(shù)余子式的定義6的代數(shù)余子式A23＝﹣，利用行列式的展開，即可求得答案．【解答】解：6的代數(shù)余子式A23＝﹣＝﹣（1×8﹣2×7）＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三階行列式的代數(shù)余子式的定義，考查行列式的展開，屬于基礎(chǔ)題．23．若行列式中元素4的代數(shù)余子式的值為，則實(shí)數(shù)x的取值集合為．【分析】求得元素4的代數(shù)余子式，展開，利用二倍角公式，及特殊角的三角函數(shù)值，即可求得實(shí)數(shù)x的取值集合．【解答】解：行列式中元素4的代數(shù)余子式A13＝＝，則cos2﹣sin2＝，則cosx＝，解得：x＝2kπ±，k∈Z，實(shí)數(shù)x的取值集合，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查行列式的代數(shù)余子式求法，行列式的展開，二倍角公式，特殊角的三角形函數(shù)值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．24．把行列式按照第二列展開，則﹣3×+2×+2×．【分析】利用行列式展開的方法，即可得出結(jié)論．【解答】解：把行列式按照第二列展開得到﹣3×+2×+2×．故答案為：﹣3×+2×+2×．【點(diǎn)評(píng)】本題考查行列式展開的方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．25．若三條直線ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一點(diǎn)，則行列式的值為0．【分析】先求x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0的交點(diǎn)，代入直線ax+y+3＝0，即可得到a的值．再利用行列式的計(jì)算法則，展開表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可．【解答】解：解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），代入ax+y+3＝0，得a＝2．行列式＝2+4﹣3﹣6+4﹣1＝0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查直線交點(diǎn)的求法，三條直線相交于一點(diǎn)的解題策略，考查行列式的運(yùn)算法則，考查計(jì)算能力．26．已知三階矩陣B≠O（三階零矩陣），且B的每個(gè)列向量都是方程組的解，則λ＝1．【分析】因?yàn)锽不等于0所以AX＝0有非零解系數(shù)行列式為0，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，＝0，∴﹣﹣﹣λ＝0∴λ＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三階矩陣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．27．行列式的元素﹣3的代數(shù)余子式的值為7，則k＝3．【分析】根據(jù)余子式的定義可知，M12＝﹣，求出其表達(dá)式列出關(guān)于x的方程解之即可．【解答】解：由題意得M12＝﹣＝﹣（﹣4﹣k）＝7，解得：k＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握三階行列式的余子式的定義，會(huì)進(jìn)行行列式的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．28．已知直線ax+y+3＝0過(guò)點(diǎn)（﹣1，﹣1），則行列式的值為0．【分析】（﹣1，﹣1）代入直線ax+y+3＝0，即可得到a的值．再利用行列式的計(jì)算法則，展開表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可．【解答】解：（﹣1，﹣1）代入ax+y+3＝0，得a＝2．行列式＝2+4﹣3﹣6+4﹣1＝0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查行列式的運(yùn)算法則，考查計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．29．若關(guān)于x，y的二元一次方程組有無(wú)窮多組解，則m的取值為2．【分析】求出D＝＝m2﹣4，Dx＝＝m2﹣2m，Dy＝＝m2﹣m﹣2，當(dāng)m＝2時(shí)，D＝Dx＝Dy＝0，方程組有無(wú)窮多組解．【解答】解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程組，∴D＝＝m2﹣4，Dx＝＝m2﹣2m，Dy＝＝m2﹣m﹣2，當(dāng)m≠±2時(shí)，D≠0方程組有唯一解；當(dāng)m＝2時(shí)，D＝Dx＝Dy＝0，方程組有無(wú)窮多組解；當(dāng)m＝﹣2時(shí)，D＝0，Dx≠0，Dy≠0，此時(shí)方程組無(wú)解．∴若關(guān)于x，y的二元一次方程組有無(wú)窮多組解，則m的取值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用行列式解二元一次方程組，考查系數(shù)矩陣等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．30．若線性方程組的增廣矩陣為，解為，則m﹣n＝﹣4【分析】本題可先將增廣矩陣轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的線性方程組，然后將該線性方程組的解代入線性方程組，即可解得參數(shù)m、n值，即可得到結(jié)果．【解答】解：由題意，可將增廣矩陣轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的線性方程組：，∵該線性方程組的解為，∴可將代入線性方程組，可得：，解得：．m﹣n＝﹣2﹣2＝﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察增廣矩陣的概念以及增廣矩陣與線性方程組的轉(zhuǎn)化，根據(jù)線性方程組的解求參數(shù)等問(wèn)題．本題屬基礎(chǔ)題．31．已知，當(dāng)方程有無(wú)窮多解時(shí)，a的值為﹣2．【分析】本題可根據(jù)方程有無(wú)窮多解對(duì)①式變形再與②式比較即可得到a的值．【解答】解：由題意，可知：∵方程有無(wú)窮多解，∴可對(duì)①×2，得：4x+4y＝﹣2．再與②式比較，可得：a＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)線性方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)得出參數(shù)的值．本題屬基礎(chǔ)題．32．若x、y的方程組有無(wú)窮多組解，則的值為3【分析】本題可根據(jù)方程有無(wú)窮多解對(duì)①式變形再與②式比較即可得到m、n的值．然后將m、n的值代入二階行列式可求得結(jié)果．【解答】解：由題意，可知：∵方程組有無(wú)窮多組解，∴可對(duì)①×2，得：2x+2my﹣2＝0．再與②式比較，可得：2m＝﹣4，n＝﹣2．∴m＝﹣2，n＝﹣2．∴＝＝4﹣1＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)線性方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)得出參數(shù)的值以及求二階行列式的值．本題屬基礎(chǔ)題．三．解答題（共18小題）33．已知線性變換T1是按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)變換，其對(duì)應(yīng)的矩陣為M，線性變換T2：對(duì)應(yīng)的矩陣為N（1）寫出矩陣M，N；（2）求直線x+2y﹣1＝0先經(jīng)過(guò)T1變換，再經(jīng)過(guò)T2變換后的曲線方程．【分析】（1）因?yàn)門1是按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)變換，所以M＝，T2：對(duì)應(yīng)的矩陣為N，所以N＝，（2）先經(jīng)過(guò)T1變換，再經(jīng)過(guò)T2變換，由矩陣變換的計(jì)算即可算出．【解答】解：（1）：由題意知：M＝，N＝，（2）：MN＝，設(shè)直線x+2y﹣1＝0任意一點(diǎn)（x，y）經(jīng)過(guò)變換得到（x'，y'），＝＝，可得，代入直線可得6x'﹣y'+3＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩陣變換的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．34．已知點(diǎn)A在變換T：作用后，再繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)B．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，3），求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【分析】設(shè)A（x，y），則A在變換T下的坐標(biāo)為（x+3y，y），然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)結(jié)果可得A的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)A（x，y），則A在變換T下的坐標(biāo)為（x+3y，y），又繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°對(duì)應(yīng)的矩陣為，∴，得，解得∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣9，4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩陣中的坐標(biāo)變換問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題．35．已如a，b∈R，向量＝是矩陣A＝的屬于特征值﹣4的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值．【分析】本題可根據(jù)特征值與特征向量的定義寫出算式Aα＝﹣4?α，然后將矩陣代入計(jì)算可得x、y的值，然后寫出矩陣A的特征多項(xiàng)式f（λ），令f（λ）＝0即可找到矩陣A的另一個(gè)特征值．【解答】解：由特征值與特征向量的定義，可知：Aα＝﹣4?α．即：?＝﹣4?．整理，得：＝．∴，解得：．∴A＝．∵矩陣A的特征多項(xiàng)式f（λ）＝＝λ（λ+3）﹣4＝λ2+3λ﹣4＝（λ+4）（λ﹣1）．令f（λ）＝0，即（λ+4）（λ﹣1）＝0．解得：λ＝﹣4，或λ＝1．∴矩陣A的另一個(gè)特征值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)特征值與特征向量的定義式計(jì)算出矩陣中的參數(shù)，然后根據(jù)矩陣的特征多項(xiàng)式計(jì)算出矩陣的另一個(gè)特征值．本題屬中檔題．36．已知矩陣A的逆矩陣A﹣1＝，求矩陣A的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量．【分析】先計(jì)算出矩陣A，然后令其特征多項(xiàng)式f（λ）為0，即可求得特征值，再分別在f（λ）＝0代入特征值即可求得分別對(duì)應(yīng)的特征向量．【解答】解：∵A＝（A﹣1）﹣1，且A﹣1＝，∴，．設(shè)矩陣A的特征值為λ，對(duì)應(yīng)的特征向量為（x，y）．則矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）＝＝λ2﹣3λ﹣4，故特征方程為λ2﹣3λ﹣4＝0，解得λ1＝﹣1，λ2＝4．當(dāng)λ1＝﹣1時(shí)，有，即x+y＝0，取x＝1，則y＝﹣1；當(dāng)λ2＝4時(shí)，有，即2x﹣3y＝0，取x＝3，則y＝2．因此特征值為﹣1的一個(gè)特征向量為，特征值為4的一個(gè)特征向量為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩陣特征值的求法及求其對(duì)應(yīng)的特征向量，屬于基礎(chǔ)題．37．已知直線l：ax+y＝1在矩陣A＝對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x+by＝1．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）求矩陣A的特征值與特征向量．【分析】（1）任取直線l：ax+y＝1上一點(diǎn)M（x，y），經(jīng)矩陣A變換后點(diǎn)為M′（x′，y′），利用矩陣乘法得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出直線l′的方程，從而建立關(guān)于a，b的方程，即可求得實(shí)數(shù)a，b的值；（2）先根據(jù)特征方程，求出特征值，然后把特征值代入Aα＝λα，從而求出特征向量．【解答】解：（1）設(shè)直線l：ax+y＝1上任意點(diǎn)M（x，y）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是M′（x′，y′）．由＝，得又點(diǎn)M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′＝1即x+（b+2）y＝1．依題意，得解得a＝1，b＝﹣1；（2）f（λ）＝（λ﹣1）2，得矩陣A特征值為λ1＝λ2＝1，將λ1＝λ2＝1代入方程Aα＝λα可解得矩陣A屬于特征值λ1＝λ2＝1的特征向量為．【點(diǎn)評(píng)】本題以矩陣為依托，考查矩陣的乘法，考查考查特征值與特征向量，關(guān)鍵是正確利用矩陣的乘法公式．38．已知a＝為矩陣A＝屬于特征值λ的一個(gè)特征向量．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，λ的值；（Ⅱ）求矩陣A的逆矩陣A﹣1．【分析】（Ⅰ）利用特征值、特征向量的定義，即可求實(shí)數(shù)a，λ的值；（Ⅱ）求出|A|，即可求矩陣A的逆矩陣A﹣1．【解答】解：（Ⅰ）由＝λ得：，∴a＝λ＝2…（4分）（Ⅱ）|A|＝1×4﹣2×（﹣1）＝6∴A﹣1＝＝…（7分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計(jì)算，考查逆矩陣，正確理解特征值與特征向量是關(guān)鍵，屬于中檔題．39．已知矩陣A＝，若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為，屬于特征值1的一個(gè)特征向量為．（1）求矩陣A；（2）求出直線x+y﹣1＝0在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下所得曲線的方程．【分析】本題（1）可以利用矩陣的特征值和特征向量的意義列出相應(yīng)的方程，解方程得到本題結(jié)論；（2）根據(jù)矩陣變換下相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，利用代入法求出曲線的方程，得到本題結(jié)論．【解答】解：（1）∵矩陣A＝，若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為，屬于特征值1的一個(gè)特征向量為，∴?＝6，?＝，∴，∴．∴．（2）設(shè)直線x+y﹣1＝0上一點(diǎn)P（x，y）在矩陣A的作用下得到曲線xy＝1上一點(diǎn)P′（x′，y′），∴，∴，即，將上式代入x+y﹣1＝0得：，∴2x﹣y﹣2＝0．∴直線x+y﹣1＝0在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下所得曲線的方程為2x﹣y﹣2＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩陣的特征值和特征向量以及矩陣變換下曲線的方程，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．40．已知矩陣A＝．求A的特征值和特征向量．【分析】先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）＝0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．【解答】解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）＝＝λ2﹣5λ+6，令f（λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，當(dāng)λ1＝2時(shí)，解得α1＝，當(dāng)λ2＝3時(shí)，解得α2＝．所以矩陣M屬于特征值2的一個(gè)特征向量為，同理，矩陣M屬于特征值3的一個(gè)特征向量為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查來(lái)了矩陣特征值與特征向量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．41．設(shè)矩陣M＝的一個(gè)特征值λ對(duì)應(yīng)的特征向量為，求m與λ的值．【分析】推導(dǎo)出，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵矩陣M＝的一個(gè)特征值λ對(duì)應(yīng)的特征向量為，∴，…（8分）解得m＝0，λ＝﹣4．…（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意特征向量的性質(zhì)的合理運(yùn)用．42．已知矩陣A的逆矩陣A﹣1＝（）．（1）求矩陣A；（2）求矩陣A﹣1的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量．【分析】（1）利用AA﹣1＝E，建立方程組，即可求矩陣A；（2）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）＝0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．【解答】解：（1）設(shè)A＝，則由AA﹣1＝E得＝，解得a＝，b＝﹣，c＝﹣，d＝，所以A＝；（2）矩陣A﹣1的特征多項(xiàng)式為f（λ）＝＝（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）＝（λ﹣2）2﹣1＝0，可求得特征值為λ1＝1，λ2＝3，設(shè)λ1＝1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α＝，則由λ1α＝Mα，得x+y＝0得x＝﹣y，可令x＝1，則y＝﹣1，所以矩陣M的一個(gè)特征值λ1＝1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為，同理可得矩陣M的一個(gè)特征值λ2＝3對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查逆變換與逆矩陣，考查矩陣特征值與特征向量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．43．已知矩陣．（1）求M的特征值和特征向量；（2）若向量，求M3α．【分析】（1）由矩陣M的特征多項(xiàng)式為，能求出矩陣M的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量．（2）由，得到M2＝＝，＝，從而能求出M3α．【解答】解：（1）∵矩陣M的特征多項(xiàng)式為，∴λ2﹣2λ﹣8＝0，解得矩陣M的特征值為：λ＝﹣2，或λ＝4．當(dāng)λ＝﹣2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足，∴，解得x1＝﹣2x2，∴對(duì)應(yīng)的特征向量可取為．當(dāng)λ＝4時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足，∴，解得5x1＝2x2，∴對(duì)應(yīng)的特征向量可取為．（2）∵．∴M2＝＝，∴＝，∴M3α＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查特征向量和特征值的求法和矩陣的乘法運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．44．已知矩陣A＝不存在逆矩陣，求：（1）實(shí)數(shù)a的值；（2）矩陣A的特征向量．【分析】（1）由題意可知：|A|＝0，根據(jù)行列式的運(yùn)算，即可求得a的值；（2）由f（λ）＝|λE﹣A|＝0，即可求得特征值，代入即可求得矩陣A的特征向量．【解答】解：（1）由矩陣A不存在逆矩陣，則|A|＝0，即＝0，解得：a＝2；（2）由題意可知：f（λ）＝|λE﹣A|＝＝（λ﹣4）（λ﹣1）﹣4＝λ2﹣5λ，令f（λ）＝0，則λ2﹣5λ＝0，則λ1＝0或λ2＝5，當(dāng)λ1＝0時(shí)，，即y＝﹣2x，故屬于λ1＝0的一個(gè)特征向量為；當(dāng)λ2＝5時(shí)，，即x＝2y，故屬于λ2＝5的一個(gè)特征向量為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查逆矩陣存在的條件，行列式的運(yùn)算，矩陣特征值及特征向量的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，屬