第03講 線段的垂直平分線、角平分線性質(zhì)、尺規(guī)作圖（3大考點(diǎn)6種解題方法）（解析版）

第03講線段的垂直平分線、角平分線性質(zhì)、尺規(guī)作圖（3大考點(diǎn)6種解題方法）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE二．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱(chēng)“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．三．作圖—基本作圖基本作圖有：（1）作一條線段等于已知線段．（2）作一個(gè)角等于已知角．（3）作已知線段的垂直平分線．（4）作已知角的角平分線．（5）過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線．四．作圖—復(fù)雜作圖復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．五．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖主要把簡(jiǎn)單作圖放入實(shí)際問(wèn)題中．首先要理解題意，弄清問(wèn)題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．六．作圖—代數(shù)計(jì)算作圖代數(shù)計(jì)算作圖是實(shí)際問(wèn)題中要求所作圖形具備一定的條件，如角的度數(shù)或邊的長(zhǎng)度．（1）根據(jù)題意計(jì)算出圖形所具備的條件，邊長(zhǎng)，角度等，在網(wǎng)格紙上作圖或利用圓規(guī)和直尺作圖．（2）直接利用尺規(guī)作圖做出符合題意的圖形．如在數(shù)軸上找到表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)．要熟悉幾何圖形的性質(zhì)和5種基本作圖的步驟，才能靈活運(yùn)用熟練作圖．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．角平分線的性質(zhì)（共5小題）1．（2021秋?溫嶺市期末）如圖，OP平分∠AOB，E為OA上一點(diǎn)，OE＝4，P到OB的距離是2，則△OPE的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】過(guò)P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PC＝PD＝2，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算可求解．【解答】解：如圖，過(guò)P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，∵OP是∠AOB的平分線，P到OB的距離是2，∴PC＝PD＝2，∵OE＝4，∴S△OPE＝OE?PC＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?北侖區(qū)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，則AC的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DF，根據(jù)三角形面積公式求出△ABD的面積，求出△ADC面積，即可求出答案．【解答】解：過(guò)D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DE＝DF＝2，∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，∵△ABC的面積為9，∴△ADC的面積為9﹣5＝4，∴AC×DF＝4，∴AC×2＝4，∴AC＝4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．3．（2021秋?東陽(yáng)市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線AO，交BC于點(diǎn)E．已知CE＝3，BE＝5，則AC的長(zhǎng)為（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】直接利用基本作圖方法得出AE是∠CAB的平分線，進(jìn)而結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出AC＝AD，再利用勾股定理得出AC的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB于點(diǎn)D，由作圖方法可得出AE是∠CAB的平分線，∵EC⊥AC，ED⊥AB，∴EC＝ED＝3，在Rt△ACE和Rt△ADE中，，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AD，∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5，∴BD＝4，設(shè)AC＝x，則AB＝4+x，故在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC的長(zhǎng)為：6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了基本作圖以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確得出BD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．4．（2021秋?新昌縣期末）如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠BCD，AD過(guò)點(diǎn)P且與AB垂直．若AD＝8，BC＝10，則△BCP的面積為（）A．16 B．20 C．40 D．80【分析】過(guò)P作PE⊥BC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PE＝PA＝PD，求出PE＝PA＝PD＝AD＝4，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可．【解答】解：過(guò)P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，∴∠BAP+∠CDP＝180°，∵AD⊥AB，∴∠BAP＝90°，∴∠CDP＝90°，即AD⊥CD，∵PE⊥BC，BP和CP分別平分∠ABC和∠BCD，∴PA＝PE，PE＝PD，∴PA＝PD，∵AD＝8，∴PE＝PD＝AP＝4，∵BC＝10，∴△BCP的面積為＝＝20，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．5．（2021秋?諸暨市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是邊BC上一點(diǎn)，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，連接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：（1）線段BC的長(zhǎng)；（2）若∠ACB的平分線CF交AD于點(diǎn)O，且O到AC的距離是acm，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示△ABC的面積．【分析】（1）分析題意易證得△ADE≌△ADC，則有CD＝DE，而B(niǎo)C＝BD+DC可求BC的長(zhǎng)；（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD在△ADE和△ADC中∵，∴△ADE≌△ADC（SAS）∴DE＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DE＝2+3＝5（cm）；（2）如圖，∵∠ACB的平分線CF交AD于點(diǎn)O，且O到AC的距離是acm，∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝×6a+×9a+×5a＝3a+a+a＝10a（cm）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共8小題）6．（2021秋?海曙區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，若∠EAG＝40°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．140° B．130° C．120° D．110°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C+∠B，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)∠BAC＝α，∴∠C+∠B＝180°﹣α，∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝180°﹣α，∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝α﹣（180°﹣α）＝40°，∴α＝110°，∴∠BAC＝110°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?溫州期末）如圖，已知線段AB，以點(diǎn)A，B為圓心，5為半徑作弧相交于點(diǎn)C，D．連結(jié)CD，點(diǎn)E在CD上，連結(jié)CA，CB，EA，EB．若△ABC與△ABE的周長(zhǎng)之差為4，則AE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CA＝CB，EA＝EB，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：由作圖可知，CD是線段AB的垂直平分線，∴CA＝CB，EA＝EB，∵△ABC與△ABE的周長(zhǎng)之差為4，∴（CA+CB+AB）﹣（EA+EB+AB）＝4，∴2CA﹣2AE＝4，∴CA﹣AE＝2，∵AC＝5，∴AE＝3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖，在△ABC中，DE是AC的中垂線，分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，若△BCE的周長(zhǎng)為8，BC＝3，求AB的長(zhǎng)．【分析】先利用三角形周長(zhǎng)得到CE+BE＝5，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EC＝EA，然后利用等線段代換得到AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵△BCE的周長(zhǎng)為8，∴CE+BE+BC＝8，又∵BC＝3，∴CE+BE＝5，又∵DE是AC的中垂線，∴EC＝EA，∴AB＝AE+BE＝CE+BE＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．9．（2021秋?義烏市期中）如圖，已知△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4．（1）求邊BC的長(zhǎng)；（2）求出∠BAC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出EF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答】解：（1）由勾股定理得，EF＝＝＝5，∵邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，∴EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝12；（2）∵EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，由三角形內(nèi)角和定理得，∠EAB+∠B+∠EAF+∠FAC+∠C＝180°，∴∠B+∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?柯橋區(qū)月考）已知：如圖，△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D．（1）若∠C＝35°，求∠DBA的度數(shù)；（2）若△ABD的周長(zhǎng)為30，AC＝18，求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）由BC的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，可得AD＝BD，又由等邊對(duì)等角，可求得∠CBD的度數(shù)，然后又三角形外角的性質(zhì)，求得∠ADB的度數(shù)，繼而求得∠DBA的度數(shù)；（2）由△ABD的周長(zhǎng)為30，可得AB+AC＝30，又由AC＝18，即可求得AB的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵DE是BC的垂直平分線，∴CD＝BD，∴∠CBD＝∠C＝35°，∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝70°，∵△ABC中，∠A＝90°，∴∠DBA＝90°﹣∠BDA＝20°；（2）∵△ABD的周長(zhǎng)為30，CD＝BD，∴AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝30，∵AC＝18，∴AB＝30﹣18＝12．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11．（2021秋?余杭區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，與AB，AC分別交于點(diǎn)D，G，則∠EAF的度數(shù)為（）A．65° B．60° C．70° D．80°【分析】由DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，可得EB＝EA，F(xiàn)A＝FC，又由等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，可求得∠BAE+∠FAC度數(shù)，繼而求得答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，∴EB＝EA，F(xiàn)A＝FC，∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C，∵△ABC中，∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝50°，∴∠BAE+∠FAC＝50°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝80°；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．（2021秋?上城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，AD的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）若∠DAC＝20°，求∠FDC的度數(shù)；（2）試判斷∠B與∠AED的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠ADC＝∠ADB＝90°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AF＝DF，求得∠ADF＝∠DAF＝20°，于是得到∠FDC的度數(shù)；（2）根據(jù)平行線的判定定理得到EF∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理得到∠AEF＝∠B，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝DE，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠AEF＝∠DEF，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAF＝20°，∴∠FDC＝90°﹣20°＝70°；（2）∠AED＝2∠B，理由：∵AD⊥BC，EF⊥AD，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，∴∠AEF＝∠DEF，∴∠B＝∠AEF＝∠DEF，∴∠AED＝2∠B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2021秋?西湖區(qū)期末）如圖，線段AB，BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O．若∠1＝40°，則∠AOC＝（）A．50° B．80° C．90° D．100°【分析】連接BO，并延長(zhǎng)BO到P，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根據(jù)外角的性質(zhì)得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得結(jié)論．【解答】解：連接BO，并延長(zhǎng)BO到P，∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝40°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×40°＝80°；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．三．作圖—基本作圖（共4小題）14．（2021秋?鄞州區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．60° D．65°【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得∠BAC＝85°，由中垂線性質(zhì)知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，從而得出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝65°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，由作圖可知MN為AC的中垂線，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝55°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖﹣基本作圖，熟練掌握中垂線的作圖和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?諸暨市期末）下列尺規(guī)作圖分別表示：①作一個(gè)角的平分線，②作一條線段的垂直平分線．其中作法正確的是（）A．① B．② C．①② D．無(wú)【分析】根據(jù)基本作圖方法即可解決問(wèn)題．【解答】解：根據(jù)作圖過(guò)程可知：作法正確的是①．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．16．（2021秋?新昌縣期末）如圖，已知△ABC．（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作∠ABC的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）在（1）的條件下，若∠A＝100°，∠C＝28°，求∠BDA的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖求解即可；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)得出∠DBC，最后由三角形外角的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）如圖所示，BD即為所求．（2）∵∠A＝100°，∠C＝28°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝52°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝26°，∴∠BDA＝∠DBC+∠C＝54°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖—基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的尺規(guī)作圖、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)．17．（2021秋?余姚市期末）如圖，在△ABC中，CE⊥AB于點(diǎn)E．（1）用尺規(guī)作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D．（不寫(xiě)作法，保留痕跡）（2）在（1）所畫(huà)的圖中，若BE＝CD．求證：AB＝AC．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)HL證明Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），可得結(jié)論．【解答】（1）解：如圖，線段BD即為所求；（2）證明：在Rt△BEC和Rt△CDB中，，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），∴∠EBC＝∠ACB，∴AB＝AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．四．作圖—復(fù)雜作圖（共5小題）18．（2021秋?臨海市期末）如圖，已知△ABC，點(diǎn)D在邊AB上．（1）求作點(diǎn)D，使點(diǎn)D到點(diǎn)B，C的距離相等；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）連接DC，已知∠B＝32°，求∠ADC的度數(shù)．【分析】（1）作線段BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D．（2）利用三角形的外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D即為所求；（2）∵DB＝DC，∴∠B＝∠DCB＝32°，∴∠ADC＝∠DBC+∠DCB＝32°+32°＝64°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)，屬于中考常考題型．19．（2021秋?縉云縣期末）（拓展創(chuàng)新）如圖所示，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)以頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形．（1）使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，2，；（在圖①中畫(huà)一個(gè)即可）（2）使三角形為鈍角三角形且面積為4．（在圖②中畫(huà)一個(gè)即可）【分析】（1），，據(jù)此作圖；（2）可以使底為2，高為4或底為4，高為2，做鈍角三角形．【解答】解：（1）如圖所示的△ABC就是三邊分別為3，2，的一個(gè)三角形；（2）如圖所示的△ABC，△DEF都是符合題意的鈍角三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要根據(jù)勾股定理和三角形的面積求法作答．20．（2021秋?新昌縣期中）如圖，在△ABC中，AB＞AC，按以下步驟作圖：分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D；連結(jié)CD．（1）則MN是BC的垂直平分線．（2）若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的作法判斷即可；（2）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【解答】解：（1）由作圖可知，直線MN是線段BC的垂直平分線，故答案為：垂直平分．（2）∵M(jìn)N垂直平分線段BC，∴DC＝DB，∴△ACD的周長(zhǎng)＝AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝8+4＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)，屬于中考常考題型、21．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知△ABC．（1）尺規(guī)作圖：①作出△ABC的角平分線CD；②作出BC的中垂線交AB于點(diǎn)E．（2）連結(jié)CE，若∠ABC＝60°，∠A＝40°，則∠DCE＝20°．【分析】（1）①作∠ACB的角平分線交AB于點(diǎn)D即可；②作BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E即可；（2）結(jié)合（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠DCE的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖，①CD即為所求；②點(diǎn)E即為所求；（2）∵∠ABC＝60°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCD＝ACB＝40°，∵BC的中垂線交AB于點(diǎn)E．∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝60°﹣40°＝20°．故答案為：20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣﹣基本作圖，三角形的面積，熟悉基本作圖方法是解題的關(guān)鍵．22．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，△ABC中，AC＞AB．（1）作AB邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，作AC邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)Q，連接AP，AQ．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不需要寫(xiě)作法）（2）在（1）的條件下，若BC＝14，求△APQ的周長(zhǎng)．【分析】（1）作線段AB，AC的垂直平分線MN，EF，MN交BC于點(diǎn)P，EF交BC于點(diǎn)Q，連接AP，AQ即可．（2）證明△APQ的周長(zhǎng)＝BC的長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）如圖，圖形即為所求．（2）∵M(jìn)N垂直平分線段AB，∴PA＝PB，∵EF垂直平分線段AC，∴QA＝AC，∴△PAQ的周長(zhǎng)＝PA+PQ+QA＝PB+PQ+QC＝BC＝14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．五．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共6小題）23．（2021秋?臨海市期末）如圖，在5×5的網(wǎng)格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．請(qǐng)僅用直尺，按要求畫(huà)圖．（1）在圖1中畫(huà)出過(guò)點(diǎn)B的直線l，使其平分△ABC的面積；（2）在圖2中畫(huà)出線段BD，使其平分∠ABC，且點(diǎn)D在格點(diǎn)上．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B和線段AC的中點(diǎn)作直線l即可；（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想作出線段BD即可．【解答】解：（1）如圖1中，直線l即為所求；（2）如圖2中，線段BD即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的面積，角平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．24．（2021秋?椒江區(qū)期末）如圖，兩條公路OA，OB相交于點(diǎn)O，在∠AOB內(nèi)部有兩個(gè)村莊C，D．為方便群眾接種新冠疫苗，該地決定在∠AOB內(nèi)部再啟動(dòng)一個(gè)方艙式接種點(diǎn)P，要求同時(shí)滿(mǎn)足：（1）到兩條公路OA，OB的距離相等．（2）到兩村莊C，D的距離相等．請(qǐng)你用直尺和圓規(guī)作出接種點(diǎn)P的位置（保留作圖痕跡）．【分析】作線段CD的垂直平分線MN，作∠AOB的角平分線OF，OF交MN于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．25．（2021秋?寧波期末）定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α和β滿(mǎn)足α+2β＝90°，那么我們稱(chēng)這樣的三角形為“類(lèi)直角三角形”．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．請(qǐng)把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，使得其中一個(gè)為“類(lèi)直角三角形”，并求出這個(gè)“類(lèi)直角三角形”的面積．（備注：要求尺規(guī)作圖）【分析】根據(jù)題意分四種情況畫(huà)圖解答即可．【解答】解：①如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意可知：BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠A+2∠ABD＝90°，∴△ABD是“類(lèi)直角三角形”，∵BD平分∠ABC，BC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，∴AE＝AB﹣BE＝4，在Rt△ADE中，AD＝AC﹣CD＝8﹣DE，根據(jù)勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，∴（8﹣DE）2＝DE2+42，解得DE＝3，∴S△ABD＝AB?DE＝10×3＝15；∴這個(gè)“類(lèi)直角三角形”的面積是15；②如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意可知：AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵∠B+∠BAC＝90°，∴∠B+2∠BAD＝90°，∴△ABD是“類(lèi)直角三角形”，∵AD平分∠ABC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝8，∴BE＝AB﹣AE＝2，在Rt△BDE中，BD＝BC﹣CD＝6﹣DE，根據(jù)勾股定理，得BD2＝DE2+BE2，∴（6﹣DE）2＝DE2+22，解得DE＝，∴S△ABD＝AB?DE＝10×＝；∴這個(gè)“類(lèi)直角三角形”的面積是．③作CF⊥AB，作∠ACF的平分線，在△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6．∴AB＝10，∴CF＝＝，∴AF＝＝＝，∴S△ACF＝AF?CF＝×＝，④作∠BCF的平分線，∴S△BCF＝24﹣＝．綜上所述：這個(gè)“類(lèi)直角三角形”的面積為15或或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是理解“類(lèi)直角三角形”定義．26．（2021秋?婺城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在7×6的方格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．試按要求畫(huà)出線段EF（E，F(xiàn)均為格點(diǎn)），各畫(huà)出一條即可．【分析】利用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)題目要求作出圖形即可．【解答】解：如圖，線段EF即為所求（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．27．（2021春?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是2，線段交點(diǎn)稱(chēng)做格點(diǎn)．（1）畫(huà)出△ABC的高CD；（2）連接格點(diǎn)，用一條線段將圖中△ABC分成面積相等的兩部分；（3）直接寫(xiě)出△ABC的面積是40．【分析】（1）根據(jù)三角形的高的定義畫(huà)出圖形即可．（2）作三角形的中線CE即可．（3）利用三角形的面積公式求解即可．【解答】解：（1）如圖，線段CD即為所求作．（2）如圖，線段CE即為所求作．（3）S△ABC＝?AB?CD＝×8×10＝40．故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．28．（2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）我們知道，三角形具有性質(zhì)：三條角平分線相交于一點(diǎn)，三條中線相交于一點(diǎn)．事實(shí)上，三角形還具有性質(zhì)：三條高所在直線相交于一點(diǎn)．如圖，在由小正方形組成的4×3的網(wǎng)格中，三角形的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上．請(qǐng)運(yùn)用上述三角形的性質(zhì)，在該網(wǎng)格中，僅用無(wú)刻度的直尺，作出AC邊上的高BH，再作出BC邊上的高AK．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【分析】取格點(diǎn)T，連接BT交AC于H，取格點(diǎn)E，連接CE交BT于點(diǎn)O，連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于K，線段BH，AK即為所求作．【解答】解：如圖，線段BH，AK即為所求作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的高等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．六．作圖—代數(shù)計(jì)算作圖（共1小題）29．（2021秋?諸暨市期中）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，請(qǐng)?jiān)谒o網(wǎng)格中解答下面問(wèn)題．（1）圖中線段AB的兩端點(diǎn)都落在格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）上，求出AB的長(zhǎng)度；（2）再以AB為一邊畫(huà)一個(gè)等腰三角形ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，且另兩邊的長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù)；（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出符合（2）中條件的等腰三角形ABC的頂點(diǎn)C的個(gè)數(shù)．【分析】（1）由題意，AB為直角三角形的斜邊，故AB＝＝．（2）此類(lèi)題要求學(xué)生對(duì)問(wèn)題分情況討論，AB為腰，AB邊為底兩種情況．（3）AB邊為腰，在左邊有可以找出兩點(diǎn)，右邊也有4個(gè)．共6個(gè)．【解答】解：（1）由勾股定理，易知；（2）要使△ABC為等腰三角形，且另兩邊長(zhǎng)度均為無(wú)理數(shù)，①若AB為底邊，則頂點(diǎn)在線段AB的中垂線上，易知這種情況不成立．故AB邊應(yīng)為腰．②若AB為腰，經(jīng)觀察可知有C點(diǎn)滿(mǎn)足條件，此時(shí)，BC的長(zhǎng)度也為無(wú)理數(shù)，如下圖所示：（3）6．【點(diǎn)評(píng)】要求學(xué)生對(duì)三角形的深刻認(rèn)識(shí)，本題要求學(xué)生具有一定的發(fā)散性思維．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）八年級(jí)期末）如圖，在上分別截取，使，再分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，作射線就是的角平分線．這是因?yàn)檫B結(jié)，可得到，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，可得．在這個(gè)過(guò)程中，得到的條件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由作圖可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS證明三角形全等即可．【詳解】解：由作圖可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），∴∠COD=∠COE，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．2．（2021·浙江八年級(jí)期末）如圖是用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖，說(shuō)明的依據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根據(jù)SSS可得到三角形全等．【詳解】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依據(jù)SSS可判定△COD≌△C'O'D'，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理．3．（2020·浙江八年級(jí)期末）內(nèi)找一點(diǎn)P，使P到B、C兩點(diǎn)的距離相等，并且P到C的距離等于A到C的距離．下列尺規(guī)作圖正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)P到A、C兩點(diǎn)的距離相等，可知P在AC的垂直平分線上，根據(jù)P到C和A到C的距離相等，可知A、P在以C為圓心，AC為半徑的圓上，由此判定即可.【詳解】解：∵P到A、C兩點(diǎn)的距離相等∴P在AC的垂直平分線上又∵P到C和A到C的距離相等∴A、P在以C為圓心，AC為半徑的圓上故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握垂直平分線的定義.4．（2020·浙江八年級(jí)期末）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過(guò)點(diǎn)、作、的垂線，交點(diǎn)為，畫(huà)射線，則平分的依據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用判定方法“HL”證明Rt△OMP和Rt△ONP全等，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP=∠NOP，∴OP是∠AOB的平分線．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用以及基本作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法并讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵．5．（2020·浙江八年級(jí)期末）如圖，已知，求作一點(diǎn)P，使P到的兩邊的距離相等，且、下列確定P點(diǎn)的方法正確的是（）A．P為兩角平分線的交點(diǎn) B．P為兩邊上的高的交點(diǎn)C．P為兩邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．P為的角平分線與的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】首先根據(jù)P到∠A的兩邊的距離相等，應(yīng)用角平分線的性質(zhì)，可得P為∠A的角平分線；然后根據(jù)PA=PB，應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)，可得P為AB的垂直平分線，所以P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：∵P到∠A的兩邊的距離相等，∴P為∠A的角平分線；∵PA=PB，∴P為AB的垂直平分線，∴P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，以及線段垂直平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．二、填空題6．（2019·浙江八年級(jí)期末）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算∠α=________°．【答案】56．【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度數(shù)，由角平分線的定義求出∠EAF的度數(shù)，再由EF是線段AC的垂直平分線得出∠AEF的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AFE的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】如圖，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB=68°．

∵由作法可知，AF是∠DAC的平分線，

∴∠EAF=∠DAC=34°．

∵由作法可知，EF是線段AC的垂直平分線，

∴∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°-34°=56°，

∴∠α=56°．

故答案為：56.7．（2019·浙江杭州·八年級(jí)月考）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如下，則要說(shuō)明，需要證明，則兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是________（寫(xiě)出全等簡(jiǎn)寫(xiě)）．【答案】SSS【分析】1、以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑用圓規(guī)畫(huà)弧，分別交、于點(diǎn)、；2、任意畫(huà)一點(diǎn)’，畫(huà)射線，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；3、以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交弧于點(diǎn)；4、過(guò)點(diǎn)畫(huà)射線，就是與相等的角．則通過(guò)作圖我們可以得到，，，從而可以利用判定其全等．【詳解】解：，，，從而可以利用判定其全等．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對(duì)常用的作圖方法及全等三角形的判定方法的掌握情況．由作法找已知條件，結(jié)合判定方法進(jìn)行思考．8．（2018·浙江全國(guó)·）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是_______．【答案】SSS【分析】連接NC，MC，根據(jù)SSS證△ONC≌△OMC，即可推出答案．【詳解】解：連接NC，MC，

在△ONC和△OMC中

，

∴△ONC≌△OMC（SSS），

∴∠AOC=∠BOC，

故答案為SSS．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題型較好，難度適中．9．（2020·浙江高照實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，在ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則∠ADB＝_____度．【答案】120【分析】由作圖可知AD是∠CAB的角平分線，利用角平分線的性質(zhì)可以推知∠CAD＝30°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，由作圖可知AD是∠CAB的角平分線，∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝30°，∴∠ADB＝90°+30°＝120°，故答案為：120；【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．10．（2019·浙江杭州市·）尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OA，OB于C，D，再分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP.由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是_________．【答案】SSS【解析】解：∵以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OA，OB于C，D，即OC=OD．以點(diǎn)C，D為圓心，以大于CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，即CP=DP．在△OCP和△ODP中，∵OC=OD，OP=OP，CP=DP，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故答案為SSS．點(diǎn)睛：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．三、解答題11．（2019·浙江八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°．（1）用直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分線BD后，求∠BDC的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）66°【分析】（1）直接利用角平分線的作法得出答案；（2）直接利用角平分線的定義分析得出答案．【詳解】解：（1）如圖所示：BD即為所求；（2）∵AB＝AC，∠ABC＝76°，∴∠C＝76°，∵∠ABC的平分線BD，∴∠DBC＝×76°＝38°，∴∠BDC＝180°﹣76°﹣38°＝66°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖以及三角形內(nèi)角和定理，正確掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．12．（2021·浙江八年級(jí)期末）電信部門(mén)要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的電網(wǎng)必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置，從圖中標(biāo)出．（保留作圖痕跡，說(shuō)明理由）【分析】作出AB的垂直平分線，它上面的點(diǎn)到A，B的距離相等，再作出∠MON或其鄰補(bǔ)角∠QON的平分線，它上面的點(diǎn)到m，n的距離相等，即可得出它們的交點(diǎn)P就是所求的發(fā)射塔應(yīng)修建的位置．【詳解】解：如圖，作AB的垂直平分線與∠MON或∠QON的平分線，交點(diǎn)P1，P2即為所求發(fā)射塔應(yīng)修建的位置．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用垂直平分線和角平分線的作法來(lái)確定點(diǎn)P的位置．13．（2020·浙江）已知，用尺規(guī)作圖：（1）作邊上的中線；（2）畫(huà)邊上的高．【分析】（1）作AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，連接BD即可；（2）延長(zhǎng)AB，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E即可．【詳解】解：（1）如圖所示，BD即為所作圖形；（2）如圖所示，CE即為所作圖形．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的作法，過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，都是基本作圖，需熟練掌握．14．（2019·浙江寧波·八年級(jí)期中）某小區(qū)為方便M、N兩幢住宅樓的住戶(hù)投放分類(lèi)后的垃圾，擬在小區(qū)主路的交叉