2024年初中升學(xué)考試模擬測試湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請把你認(rèn)為符合題目要求的選項填涂在各個選項和應(yīng)題號填涂在答題卡上相應(yīng)題下的方框里）1．（3分）2023的倒數(shù)是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．2．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2?a4＝a8 B．a(chǎn)2+3a＝4a2 C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 D．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b33．（3分）新時代我國教育事業(yè)取得了歷史性成就，目前我國已建成世界上規(guī)模最大的教育體系，教育現(xiàn)代化發(fā)展總體水平跨入世界中上國家行列，其中高等教育在學(xué)總規(guī)模達(dá)到4430萬人，處于高等教育普及化階段．4430萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．443×105 B．4.43×107 C．4.43×108 D．0.443×1084．（3分）一個小組7名同學(xué)的身高（單位：cm）分別為：175，160，158，155，168，151，170．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．151 B．155 C．158 D．1605．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．6．（3分）將直線y＝2x+1向右平移2個單位后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣37．（3分）從，3.1415926，3.，，，﹣，中隨機(jī)抽取一個數(shù)，此數(shù)是無理數(shù)的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）一個長方體物體的一頂點所在A、B、C三個面的面積比是3：2：1，如果分別按A、B、C面朝上將此物體放在水平地面上，地面所受的壓力產(chǎn)生的壓強分別為PA、PB、PC（壓強的計算公式為P＝），則PA：PB：PC＝（）A．2：3：6 B．6：3：2 C．1：2：3 D．3：2：19．（3分）如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O的半徑為2，過圓心O的兩條直線l1、l2的夾角為60°，則圖中的陰影部分的面積為（）?A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣10．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③a﹣b＞m（am+b）（m為任意實數(shù)）；④若點（﹣3，y1）和點（3，y2）在該圖象上，則y1＞y2；其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④11．（3分）從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示，＝（n≥m，n、m為正整數(shù)）；例如：＝，＝，則+＝（）A． B． C． D．（多選）12．（3分）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的△ABC的面積為S△ABC＝，△ABC的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA．下列結(jié)論中正確的是（）A．cosC＝ B．cosC＝﹣ C．cosC＝ D．cosC＝二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是．14．（3分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，則m2+＝．15．（3分）如圖，點E在矩形ABCD的邊CD上，將△ADE沿AE折疊，點D恰好落在邊BC上的點F處，若BC＝10，sin∠AFB＝，則DE＝．16．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC邊上的高AD＝2，將△ABC繞著BC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為．?17．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當(dāng)CD∥x軸時，CD＝．18．（3分）若干個同學(xué)參加課后社團(tuán)——舞蹈活動，一次排練中，先到的n個同學(xué)均勻排成一個以O(shè)點為圓心，r為半徑的圓圈（每個同學(xué)對應(yīng)圓周上一個點），又來了兩個同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調(diào)整位置，使這（n+2）個同學(xué)之間的距離與原來n個同學(xué)之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長）相等．這（n+2）個同學(xué)排成圓圈后，又有一個同學(xué)要加入隊伍，重復(fù)前面的操作，則每人須往后移米（請用關(guān)于a的代數(shù)式表示），才能使得這（n+3）個同學(xué)之間的距離與原來n個同學(xué)之間的距離相等．三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）19．（6分）計算：（π﹣2023）0+|1﹣|+﹣tan60°．20．（6分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中x滿足x2﹣3x﹣4＝0．四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）21．（8分）某區(qū)教育局為了了解某年級學(xué)生對科學(xué)知識的掌握情況，在全區(qū)范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名個學(xué)生進(jìn)行科學(xué)知識測試，按照測試成績分優(yōu)秀，良好、合格與不合格四個等級，并繪制了如圖所示兩幅不完整統(tǒng)計圖．（1）參與本次測試的學(xué)生人數(shù)為，m＝；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）若全區(qū)該年級共有5000名學(xué)生，請估計該年級對科學(xué)知識掌握情況較好（測試成績能達(dá)到良好及以上等級）的學(xué)生人數(shù)．?22．（8分）幾位同學(xué)在老師的指導(dǎo)下到某景區(qū)進(jìn)行戶外實踐活動，在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風(fēng)景優(yōu)美，但路陡難行，為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A、B兩點，并過點B架設(shè)一水平線型軌道CD（如圖所示），使得∠ABC＝α，從點B出發(fā)按CD方向前進(jìn)20米到達(dá)點E，即BE＝20米，測得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B兩點間的距離．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）23．（9分）為落實“五育并舉”，綠化美化環(huán)境，學(xué)校在勞動周組織學(xué)生到校園周邊種植甲、乙兩種樹苗，已知購買甲種樹苗3棵，乙種樹苗2棵共需12元；購買甲種樹苗1棵，乙種樹苗3棵共需11元．（1）求每棵甲、乙樹苗的價格；（2）本次活動共種植了200棵甲、乙樹苗，假設(shè)所種的樹苗若干年后全部長成了參天大樹，并且平均每棵樹的價值（含生態(tài)價值、經(jīng)濟(jì)價值等）均為原來樹苗價的100倍，要想獲得不低于5萬元的價值，請問乙種樹苗種植數(shù)量不得少于多少棵？24．（9分）如圖1，點G為等邊△ABC的重心，點D為BC邊的中點，連接GD并延長至點O，使得DO＝DG，連接GB，GC，OB，OC．（1）求證：四邊形BOCG為菱形．（2）如圖2，以O(shè)點為圓心，OG為半徑作⊙O．①判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并予以證明．②點M為劣弧BC上一動點（與點B、點C不重合），連接BM并延長交AC于點E，連接CM并延長交AB于點F，求證：AE+AF為定值．?六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）25．（10分）鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，為了增強學(xué)生的國家榮譽感、民族自豪感等，數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生對五角星進(jìn)行了較深入的研究，延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個標(biāo)準(zhǔn)五角星，如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長線相交于點F，∠EAF的平分線交EF于點M．（1）求證：AE2＝EF?EM；（2）若AF＝1，求AE的長；（3）求的值．26．（10分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c過點A（﹣1，0）、點B（5，0），交y軸于點C．（1）求b，c的值．（2）點P（x0，y0）（0＜x0＜5）是拋物線上的動點．①當(dāng)x0取何值時，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值；②過點P作PE⊥x軸，交BC于點E，再過點P作PF∥x軸，交拋物線于點F，連接EF，問：是否存在點P，使△PEF為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．?

2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請把你認(rèn)為符合題目要求的選項填涂在各個選項和應(yīng)題號填涂在答題卡上相應(yīng)題下的方框里）1．（3分）2023的倒數(shù)是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．【答案】D【分析】乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，由此即可得到答案．【解答】解：2023的倒數(shù)是．故選：D．2．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2?a4＝a8 B．a(chǎn)2+3a＝4a2 C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 D．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式，同底數(shù)冪的乘法的法則，合并同類項的方法，冪的乘方的法則計算即可．【解答】解：A、a2?a4＝a6，故不符合題意；B、a2+3a不對同類項不能合并，故不符合題意；C、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故不符合題意；D、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故符合題意；故選：D．3．（3分）新時代我國教育事業(yè)取得了歷史性成就，目前我國已建成世界上規(guī)模最大的教育體系，教育現(xiàn)代化發(fā)展總體水平跨入世界中上國家行列，其中高等教育在學(xué)總規(guī)模達(dá)到4430萬人，處于高等教育普及化階段．4430萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．443×105 B．4.43×107 C．4.43×108 D．0.443×108【答案】B【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時，n是負(fù)整數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．【解答】解：4430萬＝44300000＝4.43×107．故選：B．4．（3分）一個小組7名同學(xué)的身高（單位：cm）分別為：175，160，158，155，168，151，170．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．151 B．155 C．158 D．160【答案】D【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得．【解答】解：把這些數(shù)從小到大排列為：151、155、158、160、168、170、175，排在中間的數(shù)為160，故中位數(shù)為160．故選：D．5．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤1，∴原不等式組的解集為：﹣2＜x≤1，∴該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：故選：C．6．（3分）將直線y＝2x+1向右平移2個單位后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則進(jìn)行解答即可．【解答】解：直線y＝2x向右平移2個單位后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝2（x﹣2）+1，即y＝2x﹣3．故選：D．7．（3分）從，3.1415926，3.，，，﹣，中隨機(jī)抽取一個數(shù)，此數(shù)是無理數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用概率公式計算得出答案．【解答】解：從，3.1415926，3.，，，﹣，中隨機(jī)抽取一個數(shù)，抽到的無理數(shù)的有，這2種可能，∴抽到的無理數(shù)的概率是，故選：A．8．（3分）一個長方體物體的一頂點所在A、B、C三個面的面積比是3：2：1，如果分別按A、B、C面朝上將此物體放在水平地面上，地面所受的壓力產(chǎn)生的壓強分別為PA、PB、PC（壓強的計算公式為P＝），則PA：PB：PC＝（）A．2：3：6 B．6：3：2 C．1：2：3 D．3：2：1【答案】A【分析】根據(jù)A、B、C三個面的面積比是3：2：1，設(shè)出A、B、C三個面的面積分別是3a，2a，a，再根據(jù)壓強的計算公式為P＝表示PA＝，PB＝，PC＝，計算化簡PA：PB：PC即可．【解答】解：設(shè)A、B、C三個面的面積分別是3a，2a，a，則PA＝，PB＝，PC＝，∴PA：PB：PC＝：：＝：：1＝：：＝2：3：6，故選：A．9．（3分）如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O的半徑為2，過圓心O的兩條直線l1、l2的夾角為60°，則圖中的陰影部分的面積為（）?A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣【答案】C【分析】連接AD，OC，由⊙O是正六邊形的外接圓可求得∠COD＝60°，△COD是等邊三角形，根據(jù)扇形面積公式可求S扇形COD，根據(jù)三角形面積公式可求S△COD，利用三角形全等將兩塊陰影部分拼接，轉(zhuǎn)化為弓形，根據(jù)S陰影＝S扇形COD﹣S△COD即可求解．【解答】解：如圖，連接AD，OC，∵⊙O是正六邊形的外接圓，∴AD必過點O，∠COD＝＝60°，又∵OC＝OD，∴△COD是等邊三角形，OC＝OD＝CD＝2，∵直線l1、l2的夾角為60°，∴∠COD﹣∠KOD＝∠KOH﹣∠KOD，即∠COK＝∠DOH，又∵∠DOH＝∠AOG，∴∠COK＝∠AOG，∵∠OCK＝∠OAG＝60°，OC＝OA，∴△OCK≌△OAG（ASA），S扇形COM＝S扇形AON，∴S扇形COM﹣S△OCK＝S扇形AON﹣S△OAG，∴S陰影＝S扇形COD﹣S△COD，∵S扇形COD＝＝π，S△COD＝＝，∴S陰影＝π﹣．故選：C．10．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③a﹣b＞m（am+b）（m為任意實數(shù)）；④若點（﹣3，y1）和點（3，y2）在該圖象上，則y1＞y2；其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷即可．【解答】解：∵二次函數(shù)開口向下，且與y軸的交點在x軸上方，∴a＜0，c＞0，∵對稱軸為x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①錯誤；∵拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，x＝0時，y＝c＞0，∴當(dāng)x＝﹣2時，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴②正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為：x＝﹣1，∴當(dāng)x＝﹣1時，y有最大值a﹣b+c，∴當(dāng)x＝m時，函數(shù)值不大于a﹣b+c，∴a﹣b+c≥am2+bm+c．∴a﹣b≥m（am+b）（m為任意實數(shù)），∴③錯誤；點（﹣3，y1）到對稱軸的距離為：﹣1﹣（﹣3）＝2，（3，y2）到對稱軸的距離為：3﹣（﹣1）＝4，∵拋物線開口向下，∴y1＞y2，∴④正確．故選：D．11．（3分）從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示，＝（n≥m，n、m為正整數(shù)）；例如：＝，＝，則+＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】對于和正用公式＝，通分后再逆用公式．【解答】解：∵＝，∴+＝+＝+＝2×＝＝，故選：C．（多選）12．（3分）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的△ABC的面積為S△ABC＝，△ABC的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA．下列結(jié)論中正確的是（）A．cosC＝ B．cosC＝﹣ C．cosC＝ D．cosC＝【答案】AB【分析】由S△ABC＝，S△ABC＝absinC，可得出＝absinC，即＝absinC，等式兩邊同時平方后可得出a2b2﹣（）2＝a2b2sin2C，移項、合并同類項后，可得出a2b2（1﹣sin2C）＝（）2，即a2b2（1﹣sin2C）＝（）2，兩邊再開方同時除以ab，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵S△ABC＝，S△ABC＝absinC，∴＝absinC，即＝absinC，∴a2b2﹣（）2＝a2b2sin2C，∴a2b2﹣a2b2sin2C＝（）2，∴a2b2（1﹣sin2C）＝（）2，∴a2b2cos2C＝（）2，∴abcosC＝±，∴cosC＝±．故選：AB．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是x≥﹣1．【答案】x≥﹣1．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：x+1≥0，解得：x≥﹣1，故答案為：x≥﹣1．14．（3分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，則m2+＝6．【答案】6．【分析】把m代入x2﹣2x﹣1＝0得到m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，把m2﹣1＝2m代入變形后的式子計算即可．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，∴m2+＝（m﹣）2+2＝（）2+2＝22+2＝6．故答案為：6．15．（3分）如圖，點E在矩形ABCD的邊CD上，將△ADE沿AE折疊，點D恰好落在邊BC上的點F處，若BC＝10，sin∠AFB＝，則DE＝5．【答案】5．【分析】由矩形的性質(zhì)得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝10，由折疊得AF＝AD＝10，F(xiàn)E＝DE，則＝sin∠AFB＝，所以AB＝AF＝8，BF＝＝6，則CD＝AB＝8，CF＝BC﹣BF＝4，由勾股定理得42+（8﹣DE）2＝DE2，求得DE＝5，于是得到問題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，BC＝10，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝10，由折疊得AF＝AD＝10，F(xiàn)E＝DE，∴＝sin∠AFB＝，∴AB＝AF＝×10＝8，∴BF＝＝＝6，CD＝AB＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，∵CF2+CE2＝FE2，且FE＝DE，CE＝8﹣DE，∴42+（8﹣DE）2＝DE2，解得DE＝5，故答案為：5．16．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC邊上的高AD＝2，將△ABC繞著BC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為14π．?【答案】14π．【分析】所得幾何體為圓錐的組合圖形，表面積為底面半徑為2，母線長為3和4的兩個圓錐的側(cè)面積之和．【解答】解：所得到的幾何體的表面積為π×2×3+π×2×4＝14π．故答案為：14π．17．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當(dāng)CD∥x軸時，CD＝4．【答案】4．【分析】先根據(jù)點A和點B的坐標(biāo)求出該拋物線的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)具有對稱性，即可得到點D的橫坐標(biāo)，從而可以求得CD的長．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），∴該拋物線的對稱軸為直線x＝＝2，∵拋物線與y軸相交于點C，點D在拋物線上，CD∥x軸，∴點D的橫坐標(biāo)為：2×2﹣0＝4，∴CD＝4﹣0＝4，故答案為：418．（3分）若干個同學(xué)參加課后社團(tuán)——舞蹈活動，一次排練中，先到的n個同學(xué)均勻排成一個以O(shè)點為圓心，r為半徑的圓圈（每個同學(xué)對應(yīng)圓周上一個點），又來了兩個同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調(diào)整位置，使這（n+2）個同學(xué)之間的距離與原來n個同學(xué)之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長）相等．這（n+2）個同學(xué)排成圓圈后，又有一個同學(xué)要加入隊伍，重復(fù)前面的操作，則每人須往后移米（請用關(guān)于a的代數(shù)式表示），才能使得這（n+3）個同學(xué)之間的距離與原來n個同學(xué)之間的距離相等．【答案】．【分析】首先根據(jù)題意用代數(shù)式表示出n個同學(xué)時和（n+2）個同學(xué)時每個同學(xué)之間的距離，根據(jù)距離相等，計算出n，r，a之間的關(guān)系．再設(shè)向后移x米，表示出（n+3）個同學(xué)時每兩個學(xué)生之間的距離，根據(jù)這個距離與n個同學(xué)時距離相等可以表示出x，最后把其中的n，r代換成a即可．【解答】解：原來n個同學(xué)之間的距離為：，（n+2）個同學(xué)之間的距離為：，由題意可知：＝，整理得，2r＝na，即，設(shè)又有一個同學(xué)要加入隊伍時，每人須向后移x米，這（n+3）個同學(xué)之間的距離為：，由題意得：＝，整理得，x＝，∵，∴x＝＝＝．故答案為：．三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）19．（6分）計算：（π﹣2023）0+|1﹣|+﹣tan60°．【答案】2．【分析】利用零指數(shù)冪，絕對值的性質(zhì)，二次根式的運算法則，特殊銳角的三角函數(shù)值進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式＝1+﹣1+2﹣＝2．20．（6分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中x滿足x2﹣3x﹣4＝0．【答案】x2﹣3x﹣2，原式＝2．【分析】先化簡題目中的式子，然后根據(jù)x2﹣3x﹣4＝0即可求得x2﹣3x＝4，直接代入可以解答本題．【解答】解：（﹣）÷＝[]÷＝?（x+1）（x﹣1）＝x2﹣3x﹣2，∵x2﹣3x﹣4＝0，∴x2﹣3x＝4，∴原式＝4﹣2＝2．四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）21．（8分）某區(qū)教育局為了了解某年級學(xué)生對科學(xué)知識的掌握情況，在全區(qū)范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名個學(xué)生進(jìn)行科學(xué)知識測試，按照測試成績分優(yōu)秀，良好、合格與不合格四個等級，并繪制了如圖所示兩幅不完整統(tǒng)計圖．（1）參與本次測試的學(xué)生人數(shù)為150，m＝30；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）若全區(qū)該年級共有5000名學(xué)生，請估計該年級對科學(xué)知識掌握情況較好（測試成績能達(dá)到良好及以上等級）的學(xué)生人數(shù)．?【答案】（1）150，30；（2）詳見解答；（3）3500．【分析】（1）從兩個統(tǒng)計圖可知，樣本中學(xué)生測試成績?yōu)椤傲己谩钡挠?0人，占調(diào)查人數(shù)的40%，由頻率＝即可求出調(diào)查人數(shù)，進(jìn)而求出成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生所占的百分比，確定m的值；（2）求出樣本中成績?yōu)椤昂细瘛钡膶W(xué)生人數(shù)即可補全條形統(tǒng)計圖；（3）求出樣本中學(xué)生測試成績達(dá)到良好及以上等級的人數(shù)所占的百分比，估計總體中學(xué)生測試成績達(dá)到良好及以上等級的人數(shù)所占的百分比，進(jìn)而求出相應(yīng)的學(xué)生人數(shù)即可．【解答】解：（1）60÷40%＝150（人），45÷150×100%＝30%，即m＝30，故答案為：150，30；（2）樣本中成績?yōu)椤昂细瘛钡膶W(xué)生人數(shù)為150﹣45﹣60﹣5＝40（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）5000×＝3500（人），答：全區(qū)該年級5000名學(xué)生中對科學(xué)知識掌握情況較好（測試成績能達(dá)到良好及以上等級）的學(xué)生人數(shù)大約有3500人．22．（8分）幾位同學(xué)在老師的指導(dǎo)下到某景區(qū)進(jìn)行戶外實踐活動，在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風(fēng)景優(yōu)美，但路陡難行，為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A、B兩點，并過點B架設(shè)一水平線型軌道CD（如圖所示），使得∠ABC＝α，從點B出發(fā)按CD方向前進(jìn)20米到達(dá)點E，即BE＝20米，測得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B兩點間的距離．【答案】A、B兩點間的距離為500米．【分析】過點A作AF⊥CD于點F，根據(jù)sinα的值設(shè)AF＝24x米，AB＝25x米，根據(jù)勾股定理求出BF的長，再根據(jù)tanβ的值即可求出x的值，從而求出A、B兩點間的距離．【解答】解：過點A作AF⊥CD于點F，∴∠AFB＝90°，在Rt△ABF中，，∴設(shè)AF＝24x米，AB＝25x米，則由勾股定理得米，在Rt△AFE中，，∵BE＝20米，∴，解得x＝20，∴AB＝25x＝500米．答：A、B兩點間的距離為500米．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）23．（9分）為落實“五育并舉”，綠化美化環(huán)境，學(xué)校在勞動周組織學(xué)生到校園周邊種植甲、乙兩種樹苗，已知購買甲種樹苗3棵，乙種樹苗2棵共需12元；購買甲種樹苗1棵，乙種樹苗3棵共需11元．（1）求每棵甲、乙樹苗的價格；（2）本次活動共種植了200棵甲、乙樹苗，假設(shè)所種的樹苗若干年后全部長成了參天大樹，并且平均每棵樹的價值（含生態(tài)價值、經(jīng)濟(jì)價值等）均為原來樹苗價的100倍，要想獲得不低于5萬元的價值，請問乙種樹苗種植數(shù)量不得少于多少棵？【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)甲種樹苗的價格為x元/棵，乙種樹苗的價格為y元/棵，根據(jù)“購買甲種樹苗3棵，乙種樹苗2棵共需12元；購買甲種樹苗1棵，乙種樹苗3棵共需11元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)種植乙種樹苗m棵，則種植甲種樹苗（200﹣m）棵，根據(jù)要獲得不低于5萬元的價值，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)甲種樹苗的價格為x元/棵，乙種樹苗的價格為y元/棵，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲種樹苗的價格為2元/棵，乙種樹苗的價格為3元/棵；（2）設(shè)種植乙種樹苗m棵，則種植甲種樹苗（200﹣m）棵，根據(jù)題意得：2×100（200﹣m）+3×100m≥50000，解得：m≥100，∴m的最小值為100．答：乙種樹苗種植數(shù)量不得少于100棵．24．（9分）如圖1，點G為等邊△ABC的重心，點D為BC邊的中點，連接GD并延長至點O，使得DO＝DG，連接GB，GC，OB，OC．（1）求證：四邊形BOCG為菱形．（2）如圖2，以O(shè)點為圓心，OG為半徑作⊙O．①判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并予以證明．②點M為劣弧BC上一動點（與點B、點C不重合），連接BM并延長交AC于點E，連接CM并延長交AB于點F，求證：AE+AF為定值．?【答案】（1）見解答；（2）①AB與⊙O相切；②見解答．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出GO⊥BC，且BD＝DC即可得證；（2）①直線AB與⊙O的位置關(guān)系是相切，先由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABG＝∠GBO＝30°，再結(jié)合菱形的性質(zhì)即可得證；②先求出∠BMC，再說明△BEC≌△FCA（ASA），從而得出AF＝CE，結(jié)合AE+CE＝AC可得AE+AF＝AE+CE＝AC，即AE+AF為定值．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，G是重心，點D為BC邊的中點，∴連接點A、G、D，其所在直線是BC的垂直平分線，∴GO⊥BC，且BD＝DC，∵DO＝DG，∴GO與BC互相垂直且平分，∴四邊形BOCG是菱形；（2）①解：直線AB與⊙O的位置關(guān)系是相切，證明：∵等邊△ABC中，∠ABC＝60°，BG為∠ABC的角平分線，∴∠ABG＝∠GBO＝30°，∵四邊形BOCG是菱形，∴∠CBO＝∠GBC＝30°，∵∠ABO＝∠ABG+∠GBC+∠CBO＝90°，∴AB⊥OB，即AB與⊙O相切；②證明：∵∠BGC與∠BMG對應(yīng)的弦為BC，∴∠BMC＝∠BGC＝180°﹣60°＝120°，∴∠MBC＝180°﹣120°﹣∠MCB＝60°﹣∠MCB，∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°﹣∠MCB，∴∠ACF＝∠MBC，∵∠BCE＝∠A＝60°，BC＝AC，∴△BEC≌△FCA（ASA），∴AF＝CE，∵AE+CE＝AC，∴AE+AF＝AE+CE＝AC，即AE+AF為定值．六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）25．（10分）鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，為了增強學(xué)生的國家榮譽感、民族自豪感等，數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生對五角星進(jìn)行了較深入的研究，延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個標(biāo)準(zhǔn)五角星，如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長線相交于點F，∠EAF的平分線交EF于點M．（1）求證：AE2＝EF?EM；（2）若AF＝1，求AE的長；（3）求的值．【答案】（1）證明過程見解答；（2）AE的長為；（3）的值為．【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得∠BAE＝∠AED＝108°，從而利用平角定義可得∠FAE＝∠AEF＝72°，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分線的定義可得∠FAM＝∠MAE＝36°，從而可得∠F＝∠MAE，進(jìn)而可證△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算，即可解答；（2）設(shè)AE＝x，利用（1）的結(jié)論可得：∠F＝∠FAM＝36°，從而可得FM＝AM，在利用（1）的結(jié)論可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，從而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠AME＝∠AEF＝72°，從而可得AM＝AE，進(jìn)而可得AM＝AE＝FM＝x，再利用線段的和差關(guān)系可得ME＝1﹣x，最后利用（1）的結(jié)論可得：AE2＝EF?EM，從而可得x2＝1?（1﹣x），進(jìn)行計算即可解答；（3）連接BE，CE，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，從而可得△ABE≌△DCE，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，從而可得∠EBC＝∠ECB＝72°，然后利用（1）的結(jié)論可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，從而可證利用ASA可證△FAE≌△EBC，再利用（2）的結(jié)論可得：＝，從而可得＝，進(jìn)而可得＝，最后設(shè)△ABE的面積為（﹣1）k，則△AEF的面積為2k，從而可得△ABE的面積＝△DEC的面積＝（﹣1）k，△AEF的面積＝△BCE的面積＝2k，進(jìn)而可求出五邊形ABCDE的面積＝2k，再進(jìn)行計算即可解答．【解答】（1）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝∠AED＝108°，∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，∵AM平分∠FAE，∴∠FAM＝∠MAE＝∠FAE＝36°，∴∠F＝∠MAE，∵∠AEM＝∠AEF，∴△AEM∽△FEA，∴＝，∴AE2＝EF?EM；（2）解：設(shè)AE＝x，由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，∴FM＝AM，由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，∴FA＝FE＝1，∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，∴∠AME＝∠AEF＝72°，∴AM＝A