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甘肅省白銀市平川區(qū)中恒學(xué)校2024年高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.2.已知,則的大小關(guān)系為A. B. C. D.3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中,存在兩項(xiàng),使得,,則的最小值是()A. B. C. D.4.如圖在一個(gè)的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn),線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于棱,且,則的長(zhǎng)為()A.4 B. C.2 D.5.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn),且∠POQ=120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則k的值為()A. B. C.或- D.和-6.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),若三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.12 B. C. D.107.閱讀如圖的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的的值為()A. B. C. D.8.已知是虛數(shù)單位,若,,則實(shí)數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.9.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如:)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A. B. C. D.10.一小商販準(zhǔn)備用元錢在一批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買甲、乙兩種小商品,甲每件進(jìn)價(jià)元,乙每件進(jìn)價(jià)元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購(gòu)買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件11.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.12.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示,下列說法中錯(cuò)誤的是().A.收入最高值與收入最低值的比是B.結(jié)余最高的月份是月份C.與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D.前個(gè)月的平均收入為萬元二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.14.已知等比數(shù)列滿足公比,為其前項(xiàng)和,,,構(gòu)成等差數(shù)列,則_______.15.如圖,在平行四邊形中,,,則的值為_____.16.設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求B;(2)若,求的面積的最大值.18.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若函數(shù)的定義域?yàn)?求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程(2)設(shè)函數(shù),對(duì)于任意,恒成立,求的取值范圍.20.(12分)在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷,得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:試銷價(jià)格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.(1)試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確?(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過,則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個(gè),求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)在和之間插入個(gè)實(shí)數(shù),使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)求證:在上存在唯一的極大值;(Ⅲ)直接寫出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)集合的混合運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】,故可得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】
分析:由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解:由題意可知:,即,,即,,即,綜上可得:.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時(shí)候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí),若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準(zhǔn)確.3、C【解析】
由已知求出等比數(shù)列的公比,進(jìn)而求出,嘗試用基本不等式,但取不到等號(hào),所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】,,或(舍).,,.當(dāng),時(shí);當(dāng),時(shí);當(dāng),時(shí),,所以最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算及最小值,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
由,兩邊平方后展開整理,即可求得,則的長(zhǎng)可求.【詳解】解:,,,,,,.,,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.5、C【解析】
直線過定點(diǎn),直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn),且∠POQ=120°(其中O為原點(diǎn)),可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小,求得結(jié)果.【詳解】如圖,直線過定點(diǎn)(0,1),∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°,?∠1=120°,∠2=60°,∴由對(duì)稱性可知k=±.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查過定點(diǎn)的直線系問題,以及直線和圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.6、C【解析】
取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圓半徑,然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖,取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,的外接圓直徑為,球O的半徑R滿足,所以球O的表面積S=4πR2=,故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系,及球的表面積公式,解題時(shí)要注意審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.7、C【解析】
根據(jù)給定的程序框圖,計(jì)算前幾次的運(yùn)算規(guī)律,得出運(yùn)算的周期性,確定跳出循環(huán)時(shí)的n的值,進(jìn)而求解的值,得到答案.【詳解】由題意,,第1次循環(huán),,滿足判斷條件;第2次循環(huán),,滿足判斷條件;第3次循環(huán),,滿足判斷條件;可得的值滿足以3項(xiàng)為周期的計(jì)算規(guī)律,所以當(dāng)時(shí),跳出循環(huán),此時(shí)和時(shí)的值對(duì)應(yīng)的相同,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出問題,其中解答中認(rèn)真審題,得出程序運(yùn)行時(shí)的計(jì)算規(guī)律是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力.8、B【解析】
由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有,,,共有個(gè),根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有,,,共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎(chǔ)題.10、D【解析】
由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù),數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設(shè)購(gòu)買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別,利潤(rùn)為元,由題意,畫出可行域如圖所示,顯然當(dāng)經(jīng)過時(shí),最大.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題,解決此類問題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負(fù)數(shù),并準(zhǔn)確的畫出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.11、B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),不成立,排除,故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì),利用排除法,將不合題意選項(xiàng)一一排除.12、D【解析】由圖可知,收入最高值為萬元,收入最低值為萬元,其比是,故項(xiàng)正確;結(jié)余最高為月份,為,故項(xiàng)正確;至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同,故項(xiàng)正確;前個(gè)月的平均收入為萬元,故項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上,故選.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計(jì)算時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案?!驹斀狻恳?yàn)?,所以,因?yàn)?,所?當(dāng),即時(shí),,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當(dāng),即時(shí),因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.14、0【解析】
利用等差中項(xiàng)以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由,,是等差數(shù)列可知因?yàn)?,所以,故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)ABCD是平行四邊形可得出,然后代入AB=2,AD=1即可求出的值.【詳解】∵AB=2,AD=1,∴=1﹣4=﹣1.故答案為:﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,相等向量和相反向量的定義,向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為常數(shù),故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為常數(shù),需滿足,且,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理邊化角化簡(jiǎn)已知條件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面積的最大值.【詳解】(1),,所以,所以,,,,.(2)由余弦定理得.,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,.所以的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了三角形面積的最值問題,難度較易.18、(1)(2)【解析】
(1)分類討論,去掉絕對(duì)值,化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組,求得每個(gè)不等式組的解集,再取并集即可.(2)要使函數(shù)的定義域?yàn)镽,只要的最小值大于0即可,根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求得最小值即可得到答案.【詳解】(1)不等式或或,解得或,即x>0,所以原不等式的解集為.(2)要使函數(shù)的定義域?yàn)镽,只要的最小值大于0即可,又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,只需最小值,即.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法,考查利用絕對(duì)值三角不等式求最值,屬基礎(chǔ)題.19、(1);(2)【解析】
(1)求出,即可求出切線的點(diǎn)斜式方程,整理即可;(2)的取值范圍滿足,,求出,當(dāng)時(shí)求出,的解,得到單調(diào)區(qū)間,極小值最小值即可.【詳解】(1)由于,此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為所以切線方程為.(2)由已知,故.由于,故,設(shè)由于在單調(diào)遞增同時(shí)時(shí),,時(shí),,故存在使得且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),取得極小值,也是最小值,故由于,所以,.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問題,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1)乙同學(xué)正確(2)分布列見解析,【解析】
(1)由已知可得甲不正確,求出樣本中心點(diǎn)代入驗(yàn)證,即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)(1)中得到的回歸方程,求出估值,得到“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù),確定“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的可能值,并求出概率,得到分布列,即可求解.【詳解】(1)已知變量具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系,故甲不正確,,代入兩個(gè)回歸方程,驗(yàn)證乙同學(xué)正確,故回歸方程為:(2)由(1)得到的回歸方程,計(jì)算估計(jì)數(shù)據(jù)如下表:“理想數(shù)據(jù)”有3個(gè),故“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的取值為:.,,于是“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列【點(diǎn)睛】本題考查樣本回歸中心點(diǎn)與線性回歸直線方程關(guān)系,以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ),,兩式相減化簡(jiǎn)整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.(Ⅱ)由題設(shè)可得,可得,利用錯(cuò)位相減法即可得出.【詳解】解:(Ⅰ)因?yàn)?,故,兩式相減可得,,故,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,∴,又,所以,故,所以;(Ⅱ)由題設(shè)可得,所以,所以,①則,②①-②得:,所以,得證.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式、錯(cuò)位相
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