提分微課(05)-將軍飲馬問題

提分微課（五）將軍飲馬問題第七單元圖形的變化

將軍飲馬問題解決的是線段和差最值問題,解決的方法是通過軸對稱,化折為直,把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段的長,利用兩點之間線段最短的性質(zhì)解決問題.常見的幾種類型如下:類型一一定直線,同側(cè)兩定點

點A,B是直線l外同側(cè)兩點,在直線l上求作一點P,使AP+BP最小.

解決方法:作點A關(guān)于直線l的對稱點A'.連接A'B,交直線l于點P,則點P使AP+BP最小.圖W5-11.如圖W5-2,∠BAC=30°,M為AC上一點,AM=2,點P是AB上一動點,PQ⊥AC,垂足為點Q,則PM+PQ的最小值為

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圖W5-2

2.如圖W5-3,在矩形ABCD中,AD=4,∠DAC=30°,點P,E分別在AC,AD上,則PE+PD的最小值是

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圖W5-3

3.如圖W5-4,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,點P,Q,K分別為線段BC,CD,BD上的任意一點,則PK+QK的最小值為

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圖W5-4圖W5-55.[2018·遵義]如圖W5-6,拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點P是拋物線對稱軸上任意一點,若點D,E,F分別是BC,BP,PC的中點,連接DE,DF,則DE+DF的最小值為

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圖W5-6圖W5-7類型二一定點,兩定直線

P是∠AOB內(nèi)一點,分別在OA,OB上求作點Q,R,使得PQ+PR+QR(即△PQR的周長)最小.

解決方法:分別作點P關(guān)于直線OA,OB的對稱點P',P″,連接P'P″,與OA,OB的交點即為所求點Q,R,此時PQ+PR+QR(即△PQR的周長)最小.圖W5-87.如圖W5-9,點P是∠AOB內(nèi)任意一點,OP=5cm,點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點,若△PMN周長的最小值是5cm,則∠AOB的度數(shù)是 (

)A.25° B.30° C.35° D.40°圖W5-9[答案]B8.如圖W5-10,四邊形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F分別是BC,DC上的點,當(dāng)△AEF的周長最小時,∠EAF的度數(shù)為 (

)A.50° B.60° C.70° D.80°圖W5-10[答案]D[解析]分別作A關(guān)于BC和CD的對稱點A',A″,連接A'A″,交BC于E,交CD于F,則A'A″長即為△AEF周長的最小值.作DA延長線AH,易知∠DAB=130°,∠HAA'=50°.又∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,且∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A″=∠AFE,所以∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A″=2(∠AA'E+∠A″)=2∠HAA'=100°,所以∠EAF=180°-100°=80°,故選D.9.如圖W5-11,在△ABC中,點D,E,F分別在AB,AC,BC上,試求作周長最小的△DEF.圖W5-11解:將D視為定點,分別作出點D關(guān)于AC,BC的對稱點D',D″,連接D'D″交AC,BC于點E,F.此時△DEF的周長等于D'D″長.無論點D的位置如何變化,點C對線段D'D″的張角不變,即∠D'CD″=2∠ACB,因此為使D'D″最小,只需CD'=CD″=CD的值最小即可,顯然當(dāng)CD⊥AB時,CD最小,從而△DEF的周長最小.10.如圖W5-12,矩形OABC的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點B的坐標(biāo)為(10,8),沿直線OD折疊矩形,使點A正好落在BC上的E處,E點坐標(biāo)為(6,8),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O,A,E三點.(1)求此拋物線的解析式;(2)求AD的長;(3)點P是拋物線對稱軸上的一動點,當(dāng)△PAD的周長最小時,求點P的坐標(biāo).圖W5-1210.如圖W5-12,矩形OABC的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點B的坐標(biāo)為(10,8),沿直線OD折疊矩形,使點A正好落在BC上的E處,E點坐標(biāo)為(6,8),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O,A,E三點.(2)求AD的長;圖W5-12(2)由折疊得DE=AD,BE=10-6=4,BD=8-AD,在Rt△DBE中,DE2=BE2+BD2,∴AD2=42+(8-AD)2,解得AD=5.10.如圖W5-12,矩形OABC的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點B的坐標(biāo)為(10,8),沿直線OD折疊矩形,使點A正好落在BC上的E處,E點坐標(biāo)為(6,8),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O,A,E三點.(3)點P是拋物線對稱軸上的一動點,當(dāng)△PAD的周長最小時,求點P的坐標(biāo).圖W5-12類型三兩定點,兩直線圖W5-13

P,Q是∠AOB內(nèi)兩定點,分別在邊OA,OB上尋找點M,N,使得四邊形PQMN的周長最小.

解決方法:分別作P關(guān)于直線OB的對稱點P',Q關(guān)于OA的對稱點Q',連接P'Q',與OA,OB的交點即為所求點M,N,使得四邊形PQMN的周長最小.11.如圖W5-14,四邊形OMCN是矩形臺球桌面,有黑白兩球分別位于B,A兩點的位置上,試問怎樣撞擊白球,使白球依次碰撞球臺邊OM,ON后,反彈擊中黑球?圖W5-14解:作法:(1)作點A關(guān)于OM的對稱點A',點B關(guān)于ON的對稱點B';(2)連接A'B',交OM于P,交ON于Q.則沿AP方向撞擊白球即可.類型四兩動兩定型(造橋選址問題)圖W5-15

已知A,B是兩個定點,直線m∥n,m,n之間的距離為d,分別在直線m,n上找點M,N,使得AM+MN+BN的值最小.

解決方法(平移原理):將點A向下平移d個單位長度至A',連接A'B,交n于點N,過點N作NM⊥m于點M,連接AM,此時AM+MN+BN的值最小.12.如圖W5-16,已知A,B是兩個定點,在定直線l上找兩個動點M與N,且MN等于定長d(動點M位于動點N左側(cè)),使AM+MN+NB最小.圖W5-16解:如圖所示,點M,N即為所求.類型五線段差的絕對值最大圖W5-17 (1)如圖W5-17①,A,B兩點在直線l的同側(cè),在直線l上找一點P,使|PA-PB|最大.

解決方法:連接AB并延長交直線l于點P,點P即為所求. (2)如圖②,A,B兩點在直線l的異側(cè),在直線l上找一點P,使|PA-PB|最大.

解決方法:作其中一點關(guān)于直線l的對稱點,轉(zhuǎn)化為點在直線同側(cè)的線段差最大問題.13.如圖W5-18,A,B兩點在直線l的兩側(cè),點A到直線l的距離AM=4,點B到直線l的距離BN=1,且MN=4,P為直線l上的動點,則|PA-PB|的最大值為

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圖W5-18[答案]5

[解析]作點B關(guān)于直線l的對稱點B',連接AB'并延長交直線l于P.∴B'N=BN=1,作B'D⊥AM于D,利用勾股定理求出AB'=5,∴|PA-PB|的最大值為5.14.已知:如圖W5-19,把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中,OC=3,BC=2,取AB的中點M,連接MC,把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO.(1)直接寫出點D的坐標(biāo).(2)已知點B與點D在經(jīng)過原點的拋物線上,點P在第一象限內(nèi)的拋物線上移動,過點P作PQ⊥x軸于點Q,連接OP.試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T,使得|TO-TB|的值最大?若存在,求出點T的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.圖W5-1914.已知:如圖W5-19,把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中,O