離散型隨機變量及其分布

一、離散型隨機變量的分布律二、常見離散型隨機變量的概率分布三、小結(jié)第二節(jié)離散型隨機變量

1.定義1

全部可能取值為有限個或無限可列個的隨機變量稱為離散型隨機變量.描述一個離散型隨機變量X必須且只需知道:

X的所有可能取的值,X取每個可能值的概率.2.概率分布(分布律)設(shè)離散型隨機變量X所有可能取值為,且X取各個可能值的概率為一、離散型隨機變量的分布律上式稱為離散型隨機變量X的概率分布(分布律或分布列).3.離散型隨機變量表示方法（1）公式法（2）列表法X(3)矩陣:(4)圖形:在隨機變量每個可能取值的點處畫一長度為相應(yīng)概率值的線段。

4.分布律的性質(zhì):①②[非負性][規(guī)范性]③[分布函數(shù)與分布律關(guān)系]①②是非負數(shù)列為離散隨機變量分布律的充要條件可見,離散型隨機變量的分布律與分布函數(shù)均能完整地描述離散型隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性.分布律的形象化解釋

設(shè)想有一單位質(zhì)量的物質(zhì)(如一克面粉),被分配在隨機變量X的所有可能取值處,其各點物質(zhì)的分配量依次相應(yīng)為個單位,這就是一個概率分布.如何計算離散隨機變量落在一個區(qū)間內(nèi)的概率？5.分布律的求法:◆利用古典概率、條件概率等計算方法及運算性質(zhì)求事件{X=xk}概率;◆利用已知的重要分布的分布律;◆利用分布函數(shù).分布律的應(yīng)用:

◆確定分布列中的待定參數(shù);◆求分布函數(shù)；

◆求隨機事件的概率.解:依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X=k)≥0,

a≥0,從中解得即

【例1】設(shè)隨機變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.典型例題◆由分布律求分布函數(shù)時：用X可能取的值

分(-∞，+∞）為k+1個區(qū)間分別就x落在上述各區(qū)間內(nèi)計算{X≤x}的值概率[累積和]即求出F(x)的值；注意幾點：◆離散型隨機變量X落在區(qū)間I內(nèi)的概率可以利用分布列或分布函數(shù)計算，即含于I內(nèi)點的概率之和或分布函數(shù)在I上的增量，必要時加減端點概率值?！綦x散型隨機變量X的分布函數(shù)是一個右連續(xù)的階梯函數(shù)，其定義域是(-∞,+∞),值域是[0,1]。

【例2】設(shè)隨機變量X的分布律為

【解】由概率可加性與分布函數(shù)定義可得分布函數(shù)求X的分布函數(shù)和概率P{X≤0.5},P{1.5<X≤2.5},P{2≤X≤3}.典型例題解則有

【例3】典型例題

練習(xí)：一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5.在袋中同時取3只,以X表示取出的3只球的最大號碼,寫出隨機變量X的分布律和分布函數(shù)。

【解】由于X表示取出的3只球的最大號碼,故X的所有可能取值為3,4,5。[必取3號球,只能再取1,2號球][必取4號球,再從1,2,3號球中取2只][必取5號球,再從1,2,3,4號球中取2只]由古典概率可得：Xpk3450.10.30.6即所求分布律為:

由分布函數(shù)概念可知：分布函數(shù)是累積和。因此，對離散型隨機變量由分布列求分布函數(shù)時需分段考慮，X的所有可能取值就是分界點，即應(yīng)該就x分別位于區(qū)間（-∞，3），[3，4），[4，5），[5，+∞）來分別計算事件{X≤x}的概率。

①

當(dāng)

時,

②

當(dāng)

時,

③

當(dāng)

時,基本事件互斥

④

當(dāng)

時,

分布函數(shù)的圖形為:右連續(xù)的階梯函數(shù)故X的分布函數(shù)為（一）（0-1）兩點分布如果

的分布律為則稱服從兩點分布,其中為常數(shù)幾種重要的離散型隨機變量

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.說明(0-1)分布的實際背景

200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機抽取一件,那么,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機變量X服從(0—1)分布.例（一）（0-1）兩點分布實例“拋硬幣”試驗,觀察正、反兩面情況.隨機變量X服從(0—1)分布.其分布律為（一）（0-1）兩點分布（二）伯努利試驗與二項分布伯努利試驗：只產(chǎn)生兩個結(jié)果的試驗伯努利試驗產(chǎn)生什么樣的隨機變量？重伯努利試驗：n將伯努利試驗獨立重復(fù)進行

次的試驗例某戰(zhàn)士用步槍對目標(biāo)進行射擊，記擊中目標(biāo)沒擊中目標(biāo)每射擊一次就是一個伯努利試驗,如果對目標(biāo)進行

次射擊,則是一個

重伯努利試驗.例從一批產(chǎn)品中隨機抽取一個產(chǎn)品進行檢驗，記合格不合格每檢驗一個產(chǎn)品就是一個伯努利試驗.

獨立地抽件產(chǎn)品進行檢驗,是否是重伯努利試驗？要求概率保持不變?nèi)绻a(chǎn)品批量很大,可近似看作重伯努利試驗問問在伯努利試驗中，令“獨立”是指各次試驗的結(jié)果互不影響注“重復(fù)”是指在每次試驗中概率保持不變k=0，1，…，n易知①

的分布律剛好是牛頓二項展開式的通項在上一章介紹的n重伯努利試驗中我們已經(jīng)知道，在n次試驗中事件A發(fā)生k次的概率為（二）二項分布定義若的分布律為則稱

服從參數(shù)為

的二項分布,記為特別當(dāng)時就是(0-1)兩點分布，即二項分布兩點分布（二）二項分布二項分布的圖形（二）二項分布

因為元件的數(shù)量很大，所以取20只元件可看作是有放回抽樣一大批電子元件有10%已損壞,若從這批元件中隨機選取20只來組成一個線路,問這線路能正常工作的概率是多少？實際背景：二項分布產(chǎn)生于n重伯努利試驗解例,記

表示20只元件中好品的數(shù)量，則線路正常例設(shè)X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P{X

1}=5/9，試求P{Y

1}．解由P{X

1}=5/9，知P{X=0}=4/9，所以(1–p)2=4/9由此得p=1/3．再由Y～B(3，p)，可得P{Y

1}=1–P{Y=0}=19/27．（二）二項分布練習(xí)：一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備.調(diào)查表明在任一時刻t每個設(shè)備被使用的概率為0.1,問在同一時刻

(1)恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少?(2)至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少?(3)至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少?(4)至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少?

【解】設(shè)X表示“5個設(shè)備中同時被使用的個數(shù)”,則有r.v.X~B(5,0.1).于是，

(1).恰有2個設(shè)備被使用的概率為

(2).至少有三個設(shè)備被使用的概率為

=0.0081+0.00045+0.00001=0.00856.

(3).

至多有三個設(shè)備被使用的概率為

(4).

至少有一個設(shè)備被使用的概率為

=1-0.59049=0.40951.

■

關(guān)于二項分布的近似計算,當(dāng)n≥20,p≤0.05[特別,n≥100,λ=np

≤10]時,如下例題:有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車在一天的某段時間內(nèi),出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?

設(shè)1000輛車通過,出事故的次數(shù)為X,則解例故所求概率為二項分布

泊松分布定義設(shè)的取值為取值概率為其中為參數(shù)，則稱

服從參數(shù)為的,記為泊松分布或泊松分布的性質(zhì):（三）泊松分布泊松分布的圖形（三）泊松分布泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.在二項分布B(n，p)的概率計算中，往往計算量很大，利用下面的泊松定理近似計算，可以大大減少計算量．下面不加證明地給出泊松定理．Poisson定理說明若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小,而適中,則可以用近似公式（泊松定理）設(shè)

>0是一個常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)np

=

（p與n有關(guān)），則對于任一非負整數(shù)k，有（三）泊松分布單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二項分布

泊松分布（三）泊松分布已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某單位共有5000人，問該單位患有這種疾病的人數(shù)不超過5人的概率為多少？例解設(shè)該單位患有這種疾病的人數(shù)為X，則有X～B(5000，0.001)，則所求概率為取

=np=5，用泊松分布近似計算并查附表得（三）泊松分布例解以X表示鑄件的砂眼數(shù)，由題意知X～P(0.5)，則該種鑄件上至多有1個砂眼的概率為至少有2個砂眼的概率為P{X

2}=1–P{X

1}=0.09某種鑄件的砂眼（缺陷）數(shù)服從參數(shù)為0.5的泊松分布,試求該鑄件至多有一個砂眼（合格品）的概率和至少有2個砂眼（不合格品）的概率。（三）泊松分布離散型隨機變量的分布兩點分布二項分布泊松分布二項分布泊松分布兩點分布小結(jié)

【練習(xí)】設(shè)某地區(qū)每年發(fā)表有關(guān)“利用圓規(guī)與直尺三等分一個角”的文章的篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分布,求明年沒有此類文章的概率.

【解】因為r.v.X~P(6),所以其分布律為：

從而，所求概率為：■為了保證設(shè)備