2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)素養(yǎng)提升第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第8講函數(shù)與方程

一、嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)的零點(diǎn)是命題的熱點(diǎn)，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問(wèn)題交匯．對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，設(shè)中間函數(shù)為t，通過(guò)換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解．1.已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))則函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)5__.[解析]令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝eq\f(1,2)，作出f(x)的簡(jiǎn)圖：由圖象可得當(dāng)f(x)＝1或f(x)＝eq\f(1,2)時(shí)，分別有3個(gè)和2個(gè)交點(diǎn)，則關(guān)于x的函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.2．(2024·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))則函數(shù)y＝f[f(x)＋1]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(D)A．2 B．3C．4 D．5[解析]令t＝f(x)＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)＋1，x>0，,x＋12，x≤0.))當(dāng)t>0時(shí)，f(t)＝lnt－eq\f(1,t)，則函數(shù)f(t)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(1)＝－1<0，f(2)＝ln2－eq\f(1,2)>0，所以由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，存在t1∈(1,2)，使得f(t1)＝0；當(dāng)t≤0時(shí)，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象，直線t＝t1，t＝－2，t＝0如圖所示，由圖象可知，直線t＝t1與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線t＝0與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線t＝－2與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)．綜上，函數(shù)y＝f[f(x)＋1]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.【變式訓(xùn)練】1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x>0，))則函數(shù)y＝f[f(x)]－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A)A．3 B．2C．0 D．4[解析]y＝f[f(x)]－1＝0，即f[f(x)]＝1.當(dāng)f(x)≤0時(shí)，f(x)＋1＝1，即f(x)＝0時(shí)，此時(shí)log2x＝0，計(jì)算得出x＝1，或者x＋1＝0，計(jì)算得出x＝－1.當(dāng)f(x)>0時(shí)，log2f(x)＝1，即f(x)＝2時(shí)，若x＋1＝2，計(jì)算得出x＝1(舍去)，若log2x＝2，計(jì)算得出x＝4.綜上所述，函數(shù)y＝f[f(x)]－1的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選A.2．(2023·河南名校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x＋3，x≤0))則函數(shù)g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(D)A．5 B．4C．3 D．6[解析]函數(shù)g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4＝[3f(x)－2][f(x)－2]的零點(diǎn)，即方程f(x)＝eq\f(2,3)和f(x)＝2的根．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x＋3，x≤0))的圖象如圖所示，由圖可得方程f(x)＝eq\f(2,3)和f(x)＝2共有6個(gè)根，即函數(shù)g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4有6個(gè)零點(diǎn)．二、函數(shù)零點(diǎn)的綜合問(wèn)題(2022·黑龍江大慶三模)已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足f(2－x)＝f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝e1－x－1，則方程f(x)＝eq\f(1,|x－1|)在區(qū)間[－3,5]上所有解的和為(A)A．8 B．7C．6 D．5[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(2－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù)，又g(x)＝eq\f(1,|x－1|)的圖象也關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，作出函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[－3,5]上的圖象，如圖所示：由圖可知，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在區(qū)間[－3,5]上有8個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以方程f(x)＝eq\f(1,|x－1|)在區(qū)間[－3,5]上所有解的和為4×2×1＝8，故選A.名師點(diǎn)撥：以函數(shù)圖象、圖象的變換方法及函數(shù)的零點(diǎn)等相關(guān)知識(shí)為基礎(chǔ)，通過(guò)作圖、想象，發(fā)現(xiàn)該問(wèn)題的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)及其聯(lián)系，快速解決該問(wèn)題．【變式訓(xùn)練】(2024·山西五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x≤0，,－x2＋x，x>0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－a恰有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是(A)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,32)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,32))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))[解析]解法一：顯然x≤0時(shí)，－2x＝a，有一根不妨記為x1，則x1＝－eq\f(a,2)(a≥0)，當(dāng)x>0時(shí)－x2＋x＝a即x2－x＋a＝0有兩個(gè)不等正根，不妨記為x2，x3，則Δ＝1－4a>0，即a<eq\f(1,4)，從而－a2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)，0))且x2x3＝a.∴x1x2x3＝－eq\f(a2,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,32)，0))，故選A.解法二：作出y＝f(x)及y＝a的