2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識(shí)梳理第5章平面向量與復(fù)數(shù)第3講平面向量的數(shù)量積

第三講平面向量的數(shù)量積知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一向量的夾角兩個(gè)非零向量a與b，過O點(diǎn)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，范圍是[0，π].a與b的夾角為eq\f(π,2)時(shí)，則a與b垂直，記作a⊥b.知識(shí)點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1．定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.2．幾何意義：設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量，即eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示1．設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).(4)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).(5)已知兩非零向量a與b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0；a∥b?a·b＝±|a||b|(或|a·b|＝|a|·|b|)．(6)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)).2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．歸納拓展1．兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)．∴0·a＝0而0·a＝0.2．?dāng)?shù)量積不滿足結(jié)合律(a·b)·c≠a·(b·c)．3．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.4．兩向量a與b的夾角為銳角?a·b>0且a與b不共線；兩向量a與b的夾角為鈍角?a·b<0，且a與b不共線．當(dāng)a、b為非零向量時(shí)a、b同向?a·b＝|a||b|；a、b反向?a·b＝－|a||b|.5．投影向量的表示：(1)a在b上的投影向量為eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(2)a在b上的投影向量的模為eq\f(|a·b|,|b|).雙基自測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在等邊三角形ABC中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為60°.(×)(2)a·b>0，則a與b的夾角為銳角；a·b<0，則a與b的夾角為鈍角．(×)(3)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.(×)(4)若a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.(×)(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)題組二走進(jìn)教材2．(必修2P36T2改編)向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(A)A．6 B．5C．1 D．－6[解析]由題意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故選A.3．(必修2P20T3改編)已知|a|＝5，|b|＝eq\r(2)，a·b＝5，則a與b的夾角θ等于(A)A．45° B．135°C．－45° D．30°[解析]由題意知cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,5×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝45°.4．(必修2P36T3改編)已知向量|a|＝2，|b|＝1，|a＋b|＝eq\r(3)，則|a－b|＝(C)A.eq\r(5) B．eq\r(6)C．eq\r(7) D．2eq\r(2)[解析]利用平面向量的模的運(yùn)算求解．因?yàn)橄蛄縷a|＝2，|b|＝1，|a＋b|＝eq\r(3)，所以a2＋b2＋2a·b＝3，解得a·b＝－1，所以|a－b|＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(7)，故選C.5．(必修2P24T2改編)在圓O中，長(zhǎng)度為eq\r(2)的弦AB不經(jīng)過圓心，則eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值為1.[解析]設(shè)向量eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))的夾角為θ，則eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|·cosθ＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|cosθ·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝1.題組三走向高考6．(2023·全國乙文，6,5分)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，則eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝(B)A.eq\r(5) B．3C．2eq\r(5) D．5[解析]解法一：由題意知，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\o(BC,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝22－eq\f(1,4)×22＝3.故選B.解法二：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則E(1,2)，C(2,0)，D(0,0)，∴eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(ED,\s\up6(→))＝(－1，－2)，∴eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3.故選B.7．(2022·全國乙卷)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a－2b|＝3，則a·b＝(C)A．－2 B．－1C．1 D．2[解析]由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，所以a·b＝1，故選C.8．(2021·全國乙，14,5分)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，則λ＝eq\f(3,5).[解析]根據(jù)(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0，再轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，得到關(guān)于λ的方程求解即可．解法