2020-2021學年江蘇省常州市高一年級下冊期末數(shù)學試卷及答案解析

2020-2021學年江蘇省常州市高一下期末數(shù)學試卷

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）

1.（5分）已知復數(shù)2=割M是虛數(shù)單位），貝泛的虛部為（）

1555

A.-4B.-C.一2D.~i

2222

2.（5分）演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9

個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始

評分相比，不變的數(shù)字特征是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差

3.（5分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若28=A+C,且廬=m,

則△ABC一定是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

4.（5分）魔方又叫魯比克方塊（Rubk'sCube）,是由匈牙利建筑學教授暨雕塑家魯比克?艾

爾內(nèi)于1974年發(fā)明的機械益智玩具，與華容道、獨立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為

智力游戲界的三大不可思議.三階魔方可以看作是將一個各面上均涂有顏色的正方體的

棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為

中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從

這些小正方體中任取一個，恰好抽到邊角方塊的概率為（）

2841

A.-B.——C.一D.-

92792

5.（5分）已知sina+cosa=可（0,n）,則sina-cosa的值為（）

V17V17

A.±—C.—D.

3B--孚3

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6.（5分）①垂直于同一直線的兩條不同的直線平行;

②垂直于同一平面的兩條不同的直線平行；

③平行于同一平面的兩條不同的直線平行；

④平行于同一直線的兩條不同的直線平行；

以上4個關(guān)于空間直線與平面的命題中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

7.（5分）如圖，在三棱錐0-ABC中,點P,Q分別是04,8。的中點，點。為線段PQ

上一點，且PD=2DQ,若記。4=看OB=b,OC=c則亦=（

ITLITITLITITLITITLIT

A.—a+~b+-cB.-a+-h+~cC.-a+~b-\--cD.-a+~b-\--c

633333363336

8.（5分）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，已知B4_L底面ABC。，ABLBC,ADLCD,且N

BAD=120°,PA=AB=AD=2,則該四棱錐外接球的表面積為（）

l20V5

A.8irB.20TlC.20V5TTD.-------n

3

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.在每小題給出的四個選項中,

至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）

（多選）9.（5分）在復平面內(nèi)，下列說法正確的是（）

A.若復數(shù)z滿足JeR,則ZCR

B.若復數(shù)z=H（i為虛數(shù)單位），則/⑼二刀

C.若復數(shù)z=m+〃i（m,nGR）,則z為純虛數(shù)的充要條件是根=0

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D.若復數(shù)z滿足條件2W|z|W3,則復數(shù)z對應點的集合是以原點。為圓心，分別以2

和3為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，且包括圓環(huán)的邊界

（多選）10.（5分）黃種人群中各種血型的人所占的比例見如表:

血型ABAB0

該血型的人所占0.280.290.080.35

比例

已知同種血型的人可以輸血，O型血可以給任何一種血型的人輸血，任何血型的人都可

以給血型的人輸血，其他不同血型的人不能互相輸血.下列結(jié)論正確的是（）

A.任找一個人，其血可以輸給8型血的人的概率是0.64

B.任找一個人，8型血的人能為其輸血的概率是0.29

C.任找一個人，其血可以輸給。型血的人的概率為1

D.任找一個人，其血可以輸給A8型血的人的概率為1

（多選）11.（5分）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，P,。分別為棱BC和CC1的中點,

則下列說法正確的是（）

A.4￡>_L平面尸

B.8cl〃平面AQP

C.異面直線4c與PQ所成角為90°

D.平面AQP截正方體所得截面為等腰梯形

（多選）12.（5分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,E,F

—>—>—>—>

分別為AB,AC上的動點，設力E=AF=iiAC,其中入，（0,1）,則下列說法

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正確的是（）

A.若|薪|=\AF\,貝IJ入十四=1

->—>

B.若入=中貝懷尸與BC不共線

1

C.若入+四=1,記三角形AEF的面積為S,則S的最大值為］

D.若入2+「=1,且〃，N分別是ERBC邊的中點，則的最小值為a―1

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.請把答案填寫在答題卡相應位置

上）

13.（5分）已知樣本數(shù)據(jù)xi,xi,尤3,X4,X5的方差為2,則樣本數(shù)據(jù)3尤1-2,3x2-2,3x3

-2,3x4-2,3元5-2的方差為.

八sml5°cos5°-sm20°

14.（5分）------------------=.

coslScos5°-cos20

15.（5分）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取三場二勝制（當一隊贏得二場勝利時，該隊獲

勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主客主”.設甲隊主場

取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊最終獲勝

的概率是.

16.（5分）在△A8C中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,asinB=y/3bcosA,a=3,

若點P在邊BC上，并且BP=2PC,O為△ABC的外心，則OP之長為.

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四、解答題（本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）甲、乙兩人玩一種猜數(shù)游戲，每次由甲、乙各出1到4中的一個數(shù)，若兩個數(shù)

的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.

（1）若事件A表示“兩個數(shù)的和為5”，求尸（A）；

（2）現(xiàn)連玩三次，若事件2表示“甲至少贏一次”，事件C表示“乙至少贏兩次”，試

問B與C是不是互斥事件？為什么？

（3）這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由.

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—>—>—>

18.(12分)已知。是坐標原點，向量。4=(2,3),0B=(6,1),OP=(x,0).

(1)若總上而，求實數(shù)X的值；

—>—>

(2)當P4-PB取最小值時，求AAB尸的面積.

19.(12分)如圖，在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos(A-C)+cosB=

ln

V2sinA,且ce(0,

2

(1)求角C；

(2)若。為BC邊上的一點，且AO=5,AB=7,DB=3,求AC的長.

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20.(12分)如圖，42是圓。的直徑，點C是圓。上異于A,2的點，尸。垂直于圓。所

在的平面，且尸。=08=2.

(1)若O為線段AC的中點，求證：平面平面尸OD；

(2)若AC=BC,點E是線段P8上的動點，求CE+OE的最小值.

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21.（12分）螃蟹是金壇長蕩湖的特產(chǎn).小劉從事螃蟹養(yǎng)殖和批發(fā)多年，有著不少客戶.小

劉把去年采購螃蟹的數(shù)量x（單位：箱）在[100,200）的客戶稱為“大客戶”，并把他們

去年采購的數(shù)量制成如表：

采購數(shù)x[100,120）[120,140）[140,160）[160,180）[180,200）

客戶數(shù)10105205

已知去年“大客戶”們采購的螃蟹數(shù)量占小劉去年總的銷售量的j.

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)完善右邊的頻率分布直方圖，并估計采購數(shù)在168箱以上（含168

箱）的''大客戶"人數(shù)；

（2）估算小劉去年總的銷售量（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（3）小劉今年銷售方案有兩種：

①不在網(wǎng)上銷售螃蟹，則按去年的價格銷售，每箱利潤為20元,預計銷售量與去年持平；

②在網(wǎng)上銷售螃蟹，則需把每箱售價下調(diào)山元（2W〃zW5）,銷售量可增加1000根箱.問

哪一種方案利潤最大？并求出今年利潤Y（單位：元）的最大值.

22.（12分）如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面ABC。為直角梯形，AD//BC,ZADC=

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90°,AD=CD=3,BC=4,△PBC為正三角形，點Af,N分別在線段4。和PC上，且

DMCN.i

--=—=2.設二面角P-AD-B為。,且cos。=于

AMPN3

(1)求證：PM〃平面BON；

(2)求直線PM與平面PBC所成角的正弦值;

(3)求三棱錐尸-ABN的體積.

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2020-2021學年江蘇省常州市高一下期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）

1.（5分）已知復數(shù)z=^（，是虛數(shù)單位），則，的虛部為（)

55

A.B.C.一D.-i

22

【解答】解:_2-3i_(2-3j)(l-i)_-l-5i

?z=1+F=(l+i)(l-i)=-2-)

.*.z=T+

故選：B.

2.（5分）演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9

個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始

評分相比，不變的數(shù)字特征是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差

【解答】解：根據(jù)題意，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效

評分，

7個有效評分與9個原始評分相比，最中間的一個數(shù)不變，即中位數(shù)不變，

故選：A.

3.（5分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,若22=A+C,且戶=收,

則△A8C一定是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【解答】解：由28=A+C,A+B+C=180°,可得8=60°,

由余弦定理可得，b2=a1+c2-2accosB=a2+c2-ac,

因為廿=ac,所以

故（A-c）2=0,

則a=c,

綜上所述，△ABC是等邊三角形.

故選：D.

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4.(5分)魔方又叫魯比克方塊(Ri/bKsCube),是由匈牙利建筑學教授暨雕塑家魯比克?艾

爾內(nèi)于1974年發(fā)明的機械益智玩具，與華容道、獨立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為

智力游戲界的三大不可思議.三階魔方可以看作是將一個各面上均涂有顏色的正方體的

棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為

中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從

這些小正方體中任取一個，恰好抽到邊角方塊的概率為()

【解答】解：一共有27個小正方體，其中邊角方塊共有8個，故恰好抽到邊角方塊的概

率等于

27

故選：B.

1

5.（5分）已知sina+cosa=可，aG（0,JT）,則sina-cosa的值為（）

V17

A.土——D.-

一3

【解答】解：已知sina+cosa=5，aG(0,n),

14

所以1+2sinacosa=g,即sinacosa=一g，

所以aEg,7r).

所以sina-cosa>0,

所以sina-cosa=yj(sina+cosa)2—4sinacosa=

故選：C.

6.(5分)①垂直于同一直線的兩條不同的直線平行；

②垂直于同一平面的兩條不同的直線平行；

③平行于同一平面的兩條不同的直線平行；

④平行于同一直線的兩條不同的直線平行；

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以上4個關(guān)于空間直線與平面的命題中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：對于①，垂直于同一直線的兩條不同的直線相交、平行或異面，故①錯誤;

對于②，由線面垂直的性質(zhì)得：垂直于同一平面的兩條不同的直線平行，故②正確；

對于③，平行于同一平面的兩條不同的直線相交、平行或異面，故③錯誤；

對于④，由平行公理得：平行于同一直線的兩條不同的直線平行，故④正確.

故選：B.

7.（5分）如圖，在三棱錐。-ABC中,點P，。分別是8C的中點，點。為線段尸。

—>—>—>_?->—>—>__?

則亦=（

上一點，且尸。=2DQ,若記0Z=a,OB—b,OC-c

IT1tITITL1tIT1tITIT1-1t

A.-a+-b-\--cB.-a+-b+-cC.-a+-b-\--cD.-a+-b+~c

63333336336

—?—>—>1TDt-1—?n-1—>—>

【解答】解：因為0D=0P+PD=50a+jQ=&04+^x&(0Q+aQ)

乙。乙。乙

1—>[1—>―>1―>—>

=20A+[I](OB+0C)+2(ZB+XC)]

=5乙0A。+區(qū)乙gOB乙+5OC乙+(OB—OA)乙+(OC-0A)]

>-1—?—>—>-1—>[—]-

=^OA+^(OB+OC-0A)=^OA+^OB-^-^OC

]T1T1-?

=+可力+可(7,

故選：A.

8.（5分）如圖，在四棱錐尸-A3CD中，已知B4_L底面ABC。，AB±BC,ADLCD,且N

BAD=120°,PA=AB^AD=2,則該四棱錐外接球的表面積為（）

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L20V5

A.8irB.207rC.20V57TD.-------n

3

【解答】解：取AC中點E,過￡作出的平行線/,則球心。在直線/上，

如圖所示：

已知B4_L底面AB±BC,ADVCD,且NB4O=120°,P4=A2=AD=2,

△ABD^AADC,

由于/_LAC,

所以/上的點到A、B、C、。的距離都相等，

作AP的中垂線交/于點O,

即。為四棱錐體的外接球的球心，

且能滿足OA=OP,

利用勾股定理：

求得OA=OP=V5,

所以S=4TT（V5）2=207r.

故選：B.

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.在每小題給出的四個選項中,

至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）

（多選）9.（5分）在復平面內(nèi)，下列說法正確的是（）

A.若復數(shù)Z滿足JeR,則ZCR

B.若復數(shù)Z=（，為虛數(shù)單位），則z2°21=-j

C.若復數(shù)z=m+〃i（加，及ER）,則z為純虛數(shù)的充要條件是根=0

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D.若復數(shù)z滿足條件2W|z|W3,則復數(shù)z對應點的集合是以原點。為圓心，分別以2

和3為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，且包括圓環(huán)的邊界

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,若z2=-leR,此時z《R,A錯誤；

對于8,若復數(shù)z=1^,貝則有z2021=（-02020X（7）=-i,8正確；

對于C,若復數(shù)（“2,wCR）,則z為純虛數(shù)的充要條件是m=0,且“W0,故C

錯誤.

對于。，設復數(shù)z=〃z+wi,若復數(shù)z滿足條件2W|z|W3,

2

則有4W"P+"2=（加一0）2+（?_0）^9,故復數(shù)z對應點的集合是以原點。為圓心，

分別以2和3為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，且包括圓環(huán)的邊界，D正確；

故選：BD.

（多選）10.（5分）黃種人群中各種血型的人所占的比例見如表:

血型ABAB0

該血型的人所占0.280.290.080.35

比例

已知同種血型的人可以輸血，。型血可以給任何一種血型的人輸血，任何血型的人都可

以給血型的人輸血，其他不同血型的人不能互相輸血.下列結(jié)論正確的是（）

A.任找一個人，其血可以輸給8型血的人的概率是0.64

B.任找一個人，B型血的人能為其輸血的概率是0.29

C.任找一個人，其血可以輸給。型血的人的概率為1

D.任找一個人，其血可以輸給A8型血的人的概率為1

【解答】解：任找一個人，其血可以輸給8型血的人的概率是0.29+0.35=0.64,故選項

A正確；

任找一個人，8型血的人能為其輸血的概率是0.37,故選項8錯誤；

任找一個人，其血可以輸給。型血的人的概率為0.35,故C錯誤；

任找一個人，其血可以輸給A3型血的人的概率為1,故選項。正確.

故選：AD.

（多選）11.（5分）如圖，正方體A2CD-A131C1D1中，P,。分別為棱2C和CC1的中點,

則下列說法正確的是（）

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A.4￡>_1平面4。尸

B.8cl〃平面AQP

C.異面直線4c與PQ所成角為90°

D.平面AQP截正方體所得截面為等腰梯形

【解答】解：對于A,假設4OLAP,又AiO_LOC,且AP與。C相交，可得AiOJ_平

面ABCD,

而AM,平面A8CZ）,與過一點有且只有一條直線與一個平面垂直矛盾，故4D與A尸不

垂直，

則ALD與平面AQ尸不垂直，故A錯誤；

VP,。分別為棱8C和CC1的中點，：.PQ//BCi,

；PQu平面AQP,BCiU平面AQP,；.BCi〃平面AQP,故2正確；

BiC±BCi,可得21clpQ,而21c是AiC在平面281C1C上的射影，可得AiCLLPQ,

即異面直線4C與PQ所成角為90°,故C正確；

連接AOi,QD1,可得PQ〃AOi,即四邊形APQOi為平面AQP截正方體所得截面，

由正方體的結(jié)構(gòu)特征求得AP=QD,則平面A。尸截正方體所得截面為等腰梯形，故。

正確.

故選：BCD.

（多選）12.（5分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,E,F

—>—>—>—>

分別為AB,AC上的動點，設4E=X4B,AF=nAC,其中入，|1￡（0,1）,則下列說法

正確的是（)

第16頁共25頁

A.若麗=\AF\,則X+n=l

->—>

B.若入=中貝。EF與BC不共線

1

C.若入+p=l,記三角形AEE的面積為S,則S的最大值為&

D.若入2+「=1,且跖N分別是EF,BC邊的中點，則|研的最小值為企一1

【解答】解：選項A,因為AB=AC,BE=AF,所以AE=FC,所以人+—篇+黑=募+

AT

前=1,故A正確；

―?—>

選項B,若入=山則AE=AR所以E尸〃BC,所以EF,BC共線，故B錯誤；

-j-1JA,E+4F

選項C,若入+尸1,貝!IAE+AP=AB=2,所以S=今x(---)2,

1

當且僅當AE=A尸時取得等號.即AE=AP=1,所以S的最大值為一,故C正確；

2

選項。，以A為坐標原點，AB,AC所在的直線分別為x,y軸，建立如圖所示的平面直

角坐標系，

—>—>—>—>

因為A3=AC=2,AE=XAB,AF=\vAC,

所以8(2,0),C(0,2),F(0,2g,E(2入，0),

因為M,N分別是EEBC的中點，

所以M(入，n),N(1,1),

因為M+j=i,

所以Af在單位圓上，|AM|=1,

所以|MN|2|AN|-|AM|=V2-1,

當且僅當A,M,N三點共線時取得等號，

所以|加川的最小值為&-1.故。正確.

故選：ACD.

第17頁共25頁

y

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.請把答案填寫在答題卡相應位置

上）

13.（5分）已知樣本數(shù)據(jù)xi,xi,X3,X4,X5的方差為2,則樣本數(shù)據(jù)3xi-2,3x2-2,3x3

-2,3x4-2,3尤5-2的方差為18.

【解答】解：,樣本數(shù)據(jù)XI,XI,X3,X4,X5的方差為2,

.,.樣本數(shù)據(jù)3X1-2,3X2-2,3X3-2,3x4-2,3x5-2的方差是原來的32倍，即2X3?

=18,

故答案為：18.

sml5°cos5°-sm20°

14.(5分)=--(2+V3).

cosl5°cos5°-cos20°

【解答】解：原式=濡篝篝篙

_sinl50cos5°—sinl5°cos5°—cosl5°sin5°

一cosl50cos5°—cosl5°cos5°+sinl50sin5°

—cosl5°sin5°

sinl5°sin5°

=-cotl5°，

?/tanl5°=tan(45°-30°)=工。嚼=二I=2

H-tan3001,73

1■十T

-cotl5°=——-------=-（2+V3）.

27（2/3）（2+佝

故答案為：—（2+b）.

15.（5分）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取三場二勝制（當一隊贏得二場勝利時，該隊獲

勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主客主”.設甲隊主場

取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊最終獲勝

的概率是Q.6.

第18頁共25頁

【解答】解：甲隊最終獲勝包含3種情況：

①前兩場甲均勝，概率為Pi=0.6X0.5=0.3,

②第一場甲勝，第二場甲負，第三場甲勝，概率為22=0.6X0,5X0.6=0.18,

③第一場甲負，第二場甲勝，第三場甲勝，概率為23=0.4X0.5X0.6=0.12,

...甲隊最終獲勝的概率是尸=21+22+尸3=0.3+0.18+0.12=0.6.

故答案為：0.6.

16.（5分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,asinB=43bcosA,a=3,

若點尸在邊BC上，并且BP=2PC,。為aABC的外心，則。尸之長為1.

【解答】解：：as譏B=V^6cos4

，根據(jù)正弦定理可得，sinAsinB=\[3sinBcosA,

vse（0,it）,

siaBWO,

tanA=y/3,

又,.?AW（0,n）,

：.A=60°,ZBOC=120°,

°：OB=OC,

：.ZOCB=30°,

CL3i-

由正弦定理可得，--=K=2<3=2R（R為三角形ABC外接圓的半徑），

sinA.

2

：.R=OB=OC=V3,

Va=3,BP=2PC,

；.PC=1,

△OCP中，根據(jù)余弦定理可得，oaucoz+cp2-2CO?CP?COS/OC2,

OP2=（V3）2+l2-2xV3xlx^y,解得OP=1.

故答案為：L

四、解答題（本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）甲、乙兩人玩一種猜數(shù)游戲，每次由甲、乙各出1到4中的一個數(shù)，若兩個數(shù)

的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.

第19頁共25頁

(1)若事件A表示“兩個數(shù)的和為5”，求尸G4)；

(2)現(xiàn)連玩三次，若事件8表示“甲至少贏一次”，事件C表示“乙至少贏兩次”，試

問B與C是不是互斥事件？為什么？

(3)這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由.

【解答】解:(1)易知樣本點總數(shù)”=16,且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等.

事件A包含的樣本點共4個：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),

所以P(A)=0.25.

(2)8與C不是互斥事件.

理由：因為事件8與C可以同時發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次.

(3)這種游戲規(guī)則公平.理由如下：

和為偶數(shù)的樣本點有：(1,1),(1,3),(2,2),

(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4),共8個,

所以甲贏的概率為0.5,乙贏的概率為0.5,

所以這種游戲規(guī)則公平.

18.(12分)已知。是坐標原點，向量。力=(2,3),OB=(6,1),OP=(%,0).

->—>

(1)若P4LPB,求實數(shù)x的值；

—?—?

(2)當P4-PB取最小值時，求AAB尸的面積.

—>—>—>

【解答】解：(1)因為。4=(2,3),OB=(6,1),OP={x,0),

所以曲=(2-刈3),PB={6-x,1),

又因為P41PB,所以P4-PB=0,即(2-x)(6-尤)+3=0,

也即尤2-8X+15=0,解得尤=3或X=5,則所求實數(shù)x的值為3或5.

—>—>

(2)由(1)知P4-PB=(2-x)(6-尤)+3=f-8x+15=(尤-4)2-1,

當尤=4時，24?8取最小值-1,

此時P4=(-2,3),PB=(2,1),

—>—>V65

則cosVPA,

PB>=—>―>~65,

\PA\x\PB\

第20頁共25頁

—?—>8765

又在AABP中,<PAPB>E(0,7T),則s譏VPA,

f-65-,

17TTt1R/jq

AABP的面積為S=?x\PA\x\PB\xsin<PA,PB〉=^xV13xV5x=4.

19.(12分)如圖，在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos(A-C)+cosB=

V2sinA,且CE(0,-).

2

(1)求角C；

(2)若。為3。邊上的一點，且AZ)=5,AB=7,DB=3,求AC的長.

【解答】解：(1)因為cos(Z—C)+cosB=V^si7M,

所以cos(A—C)+cos\n-(/+C)]=y/2sinA

即cos(4—C)—cos(A+C)=yflsinA,

由兩角和與差的余弦公式得，2sinAsinC=J^s27h4,

又因為在△ABC中，sinAWO,所以sinC=￥，

又因為C6(0,分所以C=1

(2)在△A3。中,

AD2+BD2-AB252+32-72

由余弦定理得cos乙4DB=

2xADxBD2x5x3

又因為乙4。8€(0,IT),貝i]zADB=竽，即4WC=,

ACAD

在△AC。中，由正弦定理得,

sinZ-ADCsinC'

5,.7T576

即-：~五XSITI

AC=3=-2--

sin-4r

20.(12分)如圖，AB是圓。的直徑，點C是圓。上異于A,8的點，尸。垂直于圓。所

在的平面，且尸。=。2=2.

(1)若O為線段AC的中點，求證：平面B4CL平面尸OQ；

(2)若AC=2C,點E是線段PB上的動點，求CE+OE的最小值.

第21頁共25頁

【解答】解：（1）在△AOC中，因為04=。。，。為AC的中點,

所以AC_LOD

又尸。垂直于圓。所在的平面，因為ACu圓。所在的平面，所以PO±AC.

因為。0np0=0,所以ACJ_平面PD0,

因為ACu平面E4C,所以平面E4C_L平面P0D

（2）在△POB中，P0=0B=2,NP0B=9Q°,所以PB=MF+/=2五.

同理PC=2V2,所以PB=PC=BC=2V2.

在三棱錐尸-ABC中，將側(cè)面BC尸繞P8旋轉(zhuǎn)至平面8C'P,使之與平面A8P共面，

如圖所示.當。，E,C共線時，CE+OE取得最小值.

又因為0P=02,CP=C'B,所以。C'垂直平分P8,即E為尸2中點.

從而0C'=0E+EC=y/2+46,

亦即CE+OE的最小值為夜+V6.

21.（12分）螃蟹是金壇長蕩湖的特產(chǎn).小劉從事螃蟹養(yǎng)殖和批發(fā)多年，有著不少客戶.小

劉把去年采購螃蟹的數(shù)量x（單位：箱）在[100,200）的客戶稱為“大客戶”，并把他們

去年采購的數(shù)量制成如表：

采購數(shù)x[100,120）[120,140）[140,160）[160,180）[180,200）

客戶數(shù)10105205

已知去年“大客戶”們采購的螃蟹數(shù)量占小劉去年總的銷售量的，

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)完善右邊的頻率分布直方圖，并估計采購數(shù)在168箱以上（含168

箱）的“大客戶”人數(shù)；

（2）估算小劉去年總的銷售量（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（3）小劉今年銷售方案有兩種：

①不在網(wǎng)上銷售螃蟹，則按去年的價格銷售，每箱利潤為2