2021年九年級數(shù)學中考復習專題：四邊形綜合(考察全等證明、長度與面積計算等)(四)

2021年九年級數(shù)學中考復習專題：四邊形綜合（考察全等證明、長度與面積計算等）（四）1．在△ABC中，過A作BC的平行線，交∠ACB的平分線于點D，點E是BC上一點，連接DE，交AB于點F，∠DEB+∠CAD＝180°．（1）如圖1，求證：四邊形ACED是菱形；（2）如圖2，G是AD的中點，H是AC邊中點，連接CG、EG、EH，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中與△CEH全等的三角形（不含△CEH本身）．2．已知：平行四邊形ABCD中，∠ABC＝45°，對角線AC⊥CD．（1）如圖1，若AD＝6，求平行四邊形ABCD的面積．（2）如圖2，連接BD交AC于O點，過點A作AE⊥BD于E，連接EC．求證：ED＝AE+EC．3．定義：至少有一組對邊相等的四邊形為“等對邊四邊形”．（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是“等對邊四邊形”的名稱；（2）如圖1，四邊形ABCD是“等對邊四邊形”，其中AB＝CD，邊BA與CD的延長線交于點M，點E、F是對角線AC、BD的中點，若∠M＝60°，求證：EF＝AB；（3）如圖2，在△ABC中，點D、E分別在邊AC、AB上，且滿足∠DBC＝∠ECB＝∠A，線段CE、BD交于點，①求證：∠BDC＝∠AEC；②請在圖中找到一個“等對邊四邊形”，并給出證明．4．我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．例如：某三角形三邊長分別是2，4，，因為，所以這個三角形是奇異三角形．（1）根據(jù)定義：“等邊三角形是奇異三角形”這個命題是命題（填“真”或“假”）；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；（3）如圖，以AB為斜邊分別在AB的兩側做直角三角形，且AD＝BD，若四邊形ADBC內存在點E，使得AE＝AD，CB＝CE．①求證：△ACE是奇異三角形；②當△ACE是直角三角形時，求∠DBC的度數(shù)．5．在長方形紙片ABCD中，點E是邊CD上的一點，將△AED沿AE所在的直線折疊，使點D落在點F處．（1）如圖1，若點F落在對角線AC上，且∠BAC＝54°，則∠DAE的度數(shù)為°．（2）如圖2，若點F落在邊BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的長．（3）如圖3，若點E是CD的中點，AF的沿長線交BC于點G，且AB＝6，AD＝10，求CG的長．6．綜合實踐：問題情境數(shù)學活動課上，老師和同學們在正方形中利用旋轉變換探究線段之間的關系探究過程如下所示：如圖1，在正方形ABCD中，點E為邊BC的中點．將△DCE以點D為旋轉中心，順時針方向旋轉，當點E的對應點E'落在邊AB上時，連接CE'．“興趣小組”發(fā)現(xiàn)的結論是：①AE'＝C'E'；“卓越小組”發(fā)現(xiàn)的結論是：②DE＝CE'，DE⊥CE'．解決問題（1）請你證明“興趣小組”和“卓越小組”發(fā)現(xiàn)的結論；拓展探究證明完“興趣小組”和“卓越小組”發(fā)現(xiàn)的結論后，“智慧小組”提出如下問題：如圖2，連接CC'，若正方形ABCD的邊長為2，求出CC'的長度．（2）請你幫助智慧小組寫出線段CC'的長度．（直接寫出結論即可）7．問題背景若兩個等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點關于這條底邊互為頂點；若再滿足兩個頂角和是180°，則稱這個兩個頂點關于這條底邊互為勾股頂針點．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB＝AC，DB＝DC，則點A與點D關于BC互為頂針點；若再滿足∠A+∠D＝180°，則點A與點D關于BC互為勾股頂針點．初步思考（1）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E為△ABC外兩點，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC為等邊三角形．①點A與點關于BC互為頂針點；②點D與點關于BC互為勾股頂針點，并說明理由．實踐操作（2）在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．①如圖3，點E在AB邊上，點F在AD邊上，請用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點E、F，使得點E與點C關于BF互為勾股頂針點．（不寫作法，保留作圖痕跡）思維探究②如圖4，點E是直線AB上的動點，點P是平面內一點，點E與點C關于BP互為勾股頂針點，直線CP與直線AD交于點F，在點E運動過程中，線段BE與線段AF的長度是否會相等？若相等，請直接寫出AE的長，若不相等，請說明理由．8．在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN的兩邊分別與AB，AC相交于M，N兩點，且DM＝DN．（1）如圖甲，若∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝9，∠MDN＝120°，ND∥AB．①寫出∠MDA＝°，AB的長是．②求四邊形AMDN的周長．（2）如圖乙，過D作DF⊥AC于F，先補全圖乙再證明AM+AN＝2AF．9．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點M、N分別是邊AC、AB上的動點，連接MN，將△AMN沿MN所在直線翻折，翻折后點A的對應點為A′．（1）如圖1，若點A′恰好落在邊AB上，且AN＝AC，求AM的長；（2）如圖2，若點A′恰好落在邊BC上，且A′N∥AC．①試判斷四邊形AMA′N的形狀并說明理由；②求AM、MN的長；（3）如圖3，設線段NM、BC的延長線交于點P，當且時，求CP的長．10．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點P是射線BC上一動點（點P不與點B重合），連接AP、DP，點E是線段AP上一點，且∠ADE＝∠APD，連接BE．（1）求證：AD2＝AE?AP；（2）求證BE⊥AP；（3）直接寫出的最小值．參考答案1．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEB，∵∠DEB+∠DEC＝180°，∠DEB+∠CAD＝180°，∴∠DEC＝∠DAC，∴ADE+∠DAC＝180°，∴DE∥AC，∴四邊形ACED是菱形；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴菱形ACED是正方形，∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，AC＝AD＝CE，∵G是AD的中點，H是AC邊中點，∴AG＝DG＝CE，∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS），∵BC＝2AC，∴BE＝CE＝AD，∵AD∥BE，∴∠B＝∠DAF，∵∠AFE＝∠BFE，∴△BFE≌△AFD（AAS），∵AD＝CE＝BE，∴△BEF≌△ECH，∴圖中與△CEH全等的三角形有△ADF，△EDG，△CAG，△EBF．2．解：（1）∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AD＝6，∴AC＝CD＝AD＝3，∴平行四邊形ABCD的面積＝33＝18；（2）過C作FC⊥BD于F，∵AE⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∵平行四邊形ABCD中，AO＝CO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF，OE＝OF，∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，∴△ACD是等腰直角三角形，設AC＝AB＝2x，∴AD＝BC＝2x，∴AO＝x，∴BO＝DO＝＝x，∵S△AOB＝AB?AO＝BO?AE，∴AE＝＝＝，∴OE＝OF＝＝x，∴EF＝CF＝x，∴CE＝EF＝x，∵DE＝＝x，AE+EC＝x+x＝x，∴ED＝AE+EC．3．解：（1）如：平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形等．（2）證明：如圖1，取BC的中點N，連結EN，F(xiàn)N，∴EN＝CD，F(xiàn)N＝AB，∴EN＝FN，∵∠M＝60°，∴∠MBC+∠MCB＝120°，∵FN∥AB，EN∥MC，∴∠FNC＝∠MBC，∠ENB＝∠MCB，∴∠ENF＝180°﹣120°＝60°，∴△EFN為等邊三角形，∴EF＝FN＝AB．（3）①證明：∵∠BOE＝∠BCE+∠DBC，∠DBC＝∠ECB＝∠A，∴∠BOE＝2∠DBC＝∠A，∵∠A+∠AEC+∠ADB+∠EOD＝360°，∠BOE+∠EOD＝180°，∴∠AEC+∠ADB＝180°，∵∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠AEC；②解：此時存在等對邊四邊形，是四邊形EBCD．如圖2，作CG⊥BD于G點，作BF⊥CE交CE延長線于F點．∵∠DBC＝∠ECB＝∠A，BC＝CB，∠BFC＝∠BGC＝90°，∴△BCF≌△CBG（AAS），∴BF＝CG，∵∠BEF＝∠ABD+∠DBC+∠ECB，∠BDC＝∠ABD+∠A，∴∠BEF＝∠BDC，∴△BEF≌△CDG（AAS），∴BE＝CD，∴四邊形EBCD是等對邊四邊形．4．（1）解：“等邊三角形是奇異三角形”這個命題是真命題，理由如下：設等邊三角形的邊長為a，則a2+a2＝2a2，符合“奇異三角形”的定義，∴“等邊三角形是奇異三角形”這個命題是真命題；故答案為：真；（2）解：∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2①，∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，∴a2+c2＝2b2②，由①②得：b＝a，c＝a，∴a：b：c＝1：：；（3）①證明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2，∵AD＝BD，∴2AD2＝AB2，∵AE＝AD，CB＝CE，∴AC2+CE2＝2AE2，∴△ACE是奇異三角形；②解：由①得：△ACE是奇異三角形，∴AC2+CE2＝2AE2，當△ACE是直角三角形時，由（2）得：AC：AE：CE＝1：：，或AC：AE：CE＝：：1，當AC：AE：CE＝1：：時，AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∵AD＝BD，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝75°；當AC：AE：CE＝：：1時，AC：CE＝：1，即AC：CB＝：1，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵AD＝BD，∠ADB＝90°，∴∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝105°；綜上所述，∠DBC的度數(shù)為75°或105°．5．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝54°，∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，由折疊的性質得：∠DAE＝∠FAE，∴∠DAE＝∠DAC＝18°；故答案為：18；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折疊的性質得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴BF＝＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，設CE＝x，則EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝，即CE的長為；（3）連接EG，如圖3所示：∵點E是CD的中點，∴DE＝CE，由折疊的性質得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，F(xiàn)E＝DE，∴∠EFG＝90°＝∠C，在Rt△CEG和△FEG中，，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG＝FG，設CG＝FG＝y(tǒng)，則AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，解得：y＝，即CG的長為．6．（1）證明：①∵△DE'C'由△DEC旋轉得到，∴DC'＝DC，∠C'＝∠DCE＝90°．又∵四邊形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝90°，∴DA＝DC'，∵DE'＝DE'，∴Rt△DAE≌Rt△DC'E′（HL），∴AE'＝C'E'．②∵點E為BC中點，C'E'＝AE'＝CE，∴點E'為AB的中點．∴BE′＝CE，又∵DC＝BC，∠DCE＝∠CBE'＝90°，∴△DCE≌△CBE'（SAS），∴DE＝CE'，∠CDE＝∠E'CB，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠E'CB+∠CED＝90°，∴DE⊥CE'．（2）解：如圖2中，作C′M⊥CD于M，交AB于N．∵AB∥CD，C′M⊥CD，∴C′M⊥AB，∴∠DMC′＝∠C′NE′＝∠DC′E′＝90°，∴∠MDC′+∠DC′M＝90°，∠DC′M+∠E′CN＝90°，∴∠MDC′＝∠E′C′N，∴△DMC′∽△C′NE′，∴＝＝＝2，設NE′＝x，則AM＝AN＝1+x，C′M＝2x，C′N＝（1+x），∵MN＝AD＝2，∴2x+（1+x）＝2，解得x＝，∴CM＝2﹣（1+）＝，MC＝，∴CC′＝＝＝．7．解：（1）根據(jù)互為頂點，互為勾股頂針點的定義可知：①點A與點D和E關于BC互為頂針點；②點D與點A關于BC互為勾股頂針點，理由：如圖2中，∵△BDC是等邊三角形，∴∠D＝60°，∵AB＝AC，∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠A+∠D＝180°，∴點D與點A關于BC互為勾股頂針點，故答案為：D和E，A．（2）線段BE與線段AF長度會相等①如圖3中，點E，點F即為所求．②如圖4﹣1中，當BE＝AF時，設AE＝x，連接EF．∵BE＝EP＝AF，EF＝EF，∠EAF＝∠FPE＝90°，∴Rt△EAF≌Rt∠FPE（HL），∴PF＝AE＝x，在Rt△DCF中，DF＝10﹣（8﹣x）＝2+x，CD＝8，CF＝10﹣x，∴（10﹣x）2＝82+（2+x）2，解得x＝，∴AE＝如圖4﹣2中，當BE＝BC＝AF時，此時點F與D重合，可得AE＝BE﹣AB＝10﹣8＝2．如圖4﹣3中，當BE＝AF時，設AE＝x，同法可得PF＝AE＝x，在Rt△CDF中，則有（10+x）2＝82+（18﹣x）2，解得x＝，∴AE＝如圖4﹣4中，當BE＝CB＝AF時，點F與點D重合，此時AE＝AB+BE＝AB+BC＝18．綜上所述，滿足條件的AE的值為或2或或18．8．解：（1）①∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∵ND∥AB，∴∠NDA＝∠BAD＝30°，∴∠MDA＝∠MDN﹣∠NDA＝120°﹣30°＝90°，∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB，∴AB＝2AC＝18，故答案為：90，18；②∵∠ABC＝30°，ND∥AB，∴∠NDC＝30°，又∵∠MDN＝120°，∴∠MDB＝30°，∴∠MAD＝∠NAD＝∠ADN＝∠MBD＝30°，∴BM＝MD，DN＝AN，∵DM＝DN，∴BM＝MD＝DN＝AN，在Rt△ADM中，設MD＝x，則AM＝2x，BM＝MD＝DN＝AN＝x，∵AB＝18，∴3x＝18，∴x＝6，∴AM＝12，MD＝DN＝AN＝6，∴四邊形AMDN的周長＝AM+MD+DN+AN＝12+6+6+6＝30；（2）補全圖如圖乙所示：證明：過點D作DE⊥AB于E，如圖丙所示：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠DEM＝∠DFN＝90°，DE＝DF，在Rt△DEA和Rt△DFA中，，∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），∴AE＝AF，在Rt△DEM和Rt△DFN中，，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），∴EM＝FN，∴AM+AN＝AE+EM+AF﹣NF＝2A