奧數(shù)：整式的證明

絕密★啟用前

OO

奧數(shù)：整式的證明

熬郛注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息；

2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上；

OO

卷II(非選擇題)

一、解答題(本題共計(jì)12小題，每題10分，共計(jì)120分，)

1.若％+y=a+/?,且％2+y2=a2+b2,求證：%1997+y1997=a1997+61997.

2.已矢口％2—yz=y2-xz=z2—%y,求證：x=y=z或％+y+z=0.

疑

忠

OO3.化簡(jiǎn)(1+%)[1-％-…+(_久尸-1],其中幾為大于1的整數(shù).

4.已知Q+b+c=0.求證：2(a4+匕4+c4)=(a2+爐+c2)2.

0

5.已知14(Q2+廬+c2)=(Q+2b+3c)2,求證：a\b\c=1:2:3.

盤期4444

6.已知：a+b+c4-d=4abcdf且a,b,c,d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d.

7.證明：(y+z—2x)3+(z+%—2y尸+(%4-y-2z)3=3(y+z—2x)(z4-%—

2y)(x+y-2z).

OO8.已知(c—a)?—4(Q—b)(b—c)=0,求證：2b=a+c.

9.設(shè)a、b、c、d是正實(shí)數(shù)且滿足a?+62=02+=1,ad=be,求證：QC+bd=

1.

10.已知cm—bmHO,a。0,ax2+bx+c=0,mx24-nx4-p=0,求證：(cm-

氐-E

ap)2=(bp—cn)(an—bm).

11.已知x+y+z=xyz,證明：x(l—y2)(l—z2)+y(l—x2)(l—z2)4-z(l—

x2)(l-y2)=4xyz.

OO12.證明：(%+y+z)3xyz—(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y34-z3)—(y3z3+z3x3+

x3y3).

居

......o.....內(nèi)...............o.....裝...............o.....訂...............o.....線...............o.....

※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※

......o.....夕卜...............o.....裝...............o.....訂...............o.....線...............o.....

參考答案與試題解析

oO

奧數(shù)：整式的證明

一、解答題（本題共計(jì)12小題，每題10分，共計(jì)120分）

1.

熬郛【答案】

解：

…（x+y=a+b

依題意得：2,22-2，

U+y/=Q/+/

由①2-②得：2xy=2ab③

②-③得：（％-y）2=（口一b）2,

O

o?'.\x-y\=\a-b\,

即％—y=a—b或x—y=b—a,

分別聯(lián)立①解之得

（X=a（%=b

ly=b或|y=a

x1997+y1997=a1997+h1997.

【考點(diǎn)】

整式的等式證明

【解析】

首先聯(lián)立已知兩個(gè)等式組成方程組，然后解方程組可以得到％、與、的關(guān)系，接著

疑yab

忠代入證明的等式即可解決問題.

oO【解答】

解：

%+y=a+b

依題意得:

%2+y2=Q2+匕2

0

由①2一②得：2xy=2ab③

盤期②—③得：(x-y)2=(a-h)2,

\x-y\=\a-b\,

即％—y=a—b或％—y=b—a,

分別聯(lián)立①解之得

fX=a(x=b

ly=b或1y=a

oO：.爐997+^1997=。1997+/997.

2.

【答案】

證明：x2-yz=y2-xz=z2-xy

x2—yz—y24-xz=0

氐-Ex2—y2=yz—xz

x2—yz—z2+xy=0

y2—xz—z2+xy=0

xz—xy=z2—y2整理得：z2—%24-yz—%y=0

yz-xy=xy-yz

2yz—2xy=0

oOyz=xy

z2-x2=0

Z=X

:??

同理可證％=yOo

x=y=z..

x+y+z=0..

..

【考點(diǎn)】.

..

整式的等式證明.

..

嵐

【解析】圖

本題需先根據(jù)已知條件進(jìn)行整理，把式子/—yz=y2-XZ=z2-孫分別進(jìn)行移項(xiàng),..

..

然后再進(jìn)行抵消，即可得出它們各自的值，最后證得結(jié)果...

..

【解答】..

..

證明：?.,x2—yz=y2-xz=z2-xy..

..

「?x2—yz—y2+xz=0..

Oo

x2—y2=yz-xz

22.※.

x—yz—z-hxy=0.※.

22.

y—xz-z+xy=0.品

..

xz—xy=z2—必整理得：—/+yz-xy=0※.

.※

..

yz—xy=xy—yz趣.

※

2yz—2xy=0區(qū)

n※

yz=xy.

..

?0.z2—%2=0-※￡.

.※.

Z=X..

然.

.※.

同理可證％=y..

※.

?'?x=y=z..

區(qū)o

x+y+z=0O※

※

3..

.塘.

【答案】.※.

.※.

解：原式=1—%+x2—x3+...4-(—x)n-1+%—%24-x3+.x)n-1+(—x)n..

祖.

=l+(-x)n..※

..

說明本例可推廣為一個(gè)一般的形式：※

堞

我

耶

(a—6)(an-1+an-2b+...+abn~2+hn-1)=an—bn..※.

.※.

【考點(diǎn)】..

.長(zhǎng).

整式的等式證明.※.

.※.

【解析】..

猴.

..

用小括號(hào)里兩項(xiàng)分別乘以中括號(hào)里每一項(xiàng)，然后合并同類項(xiàng)即可..冰.

Oo

【解答】※

解：原式=23n-123n-1n..

1—%+X—x+.x)4-%—%+x+.x)+(―x)..

=14-(―x)n...

..

說明本例可推廣為一個(gè)一般的形式：.

..

(a一b)(anT+an-2b+...+abn-2+bf=an-bn...

田

4.氐

【答案】..

..

證明：左?右=2(a4+期+c4)—(a2+b2+c2)2..

..

=a44-64+c4-2a2b2—2b2c?—2c2a2..

..

=(a2-b2-c2)2-4b2c2..

..

=(a2—d2—c24-2hc)(a2—b2—c2—2bc)..

Oo

=[a2—(b—c)2][a2—(b+c)2]

..

=(a-h4-c)(a+b-c)(a一b-c)(a+b+c)..

=0...

試卷第4頁(yè)，總10頁(yè)

所以等式成立.

說明本題證明過程中主要是進(jìn)行因式分解.

oO【考點(diǎn)】

整式的等式證明

【解析】

本題主要用到的方法是比差法，把294+匕4+。4)與(Q2+/+C2)2進(jìn)行相減意，然后

再利用Q+b+C=0的條件，即可證出結(jié)果.

熬鄭【解答】

證明：左-右=2(a4+b，+c4)-(a2+h2+c2)2

=a4+b4+c4-2a2b2—2b2c?—2c2a2

=(a2—&2—c2)2—4b2c2

=(a2—b2—c2+2bc)(q2—h2—c2—2bc)

=[a2—(b—c)2][a2—(b+c)2]

O

o=(a-b+c)(a+b—c)(a—b—c)(a+b+c)

=0.

所以等式成立.

說明本題證明過程中主要是進(jìn)行因式分解.

5.

□r

【答案】

證明：:14(。2+-+c2)=(Q+2b+3C)2,

14a2+14b2+14c2=a24-4b24-9c2+4ab+Gac+12bc,

222

4a—4ab+爐+9a2—gac+c4-9b?-12bc+4c=0,

(2a—bp+(3a—c)2+(3b-2c)2=0,

忠2a—b=3a—c=0,3b—2c=0,

oO??b~~2a,c=3a,

a.b:c=1:2:3.

【考點(diǎn)】

整式的等式證明

【解析】

期首先把14(。2+力2+。2)=(a+2b+3c)2利用完全平方公式展開，然后利用配方法變

為三個(gè)非負(fù)數(shù)的和，最后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】

證明：.「14(Q2+62+。2)=(Q+2b+3C)2,

14a24-14b2+14c2=a24-4b2+9c24-4ab+6ac+12bc,

4a2—4ab4-h2+9a2—6ac4-c24-9Z?2—12bc+4c2=0,

O

o??(2.0,—b)2+(3Q-c)2+(3b-2c)2=0,

2a—Z?=0,3a—c=0,3b-2c=0,

??b—2a,C—3a,

a:b\c=1:2:3.

6.

氐【答案】

證明：由已知可得：a44-b44-c4+d4—4abcd=0,

(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0,

所以(a?-b2)2+(c2—d2)2+2(ab-cd)2=0.

因?yàn)?M—b2)2>0,(c2—d2)2>0,(ab—cd)2>0,

所以小—b2=c2-d2=ab-cd=0,

oO所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)=0.

又因?yàn)閍,b,c,d都為正數(shù)，

??

所以a+bWO,c+dWO,

?:?:

所以a=b,c=d.Oo

22

所以ab—cd=a—c=(a+c)(a—c)=0,..

所以Q=C,.

..

故Q=b=c=d成立...

【考點(diǎn)】.

.

嵐

整式的等式證明公

【解析】.

..

本題需先根據(jù)已知條件得出Q4+b4+c4+d4-4abcd=0,然后再進(jìn)行整理，得出..

..

(a2—h2)2+(c2—d2)2+2(ab—cd)2=0,再根據(jù)a,b,c,d都是正數(shù)這個(gè)條件,..

..

..

得出a=b,c=d,a=cf最后得出結(jié)果即可...

..

【解答】..

Oo

證明：由已知可得：a4+Z?4+c44-d4—4abcd=0,

(a2-b2}2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d?-4abcd=0,.※.

.※

所以(a?—所)2+92_所)22(ab—cd)2=0..

+.品

.

因?yàn)镼2—川)220,(c2-d2)2>0,(ah-cd)2>0,※.

.※

222..

所以a?-b=c-d=ab-cd=0,趣

※

所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c—d)=0.區(qū)

n※

又因?yàn)閍,b,c,d都為正數(shù)，.

..

所以Q+bHO,c+dwO,-※￡.

.※.

所以a=b,c=d...

然.

22.※.

所以ab—cd=a—c=(a+c)(a-c)=0,..

※.

所以a=c,..

區(qū)o

故a=b=c=d成立.O※

7.※.

.塘

【答案】.※.

.※.

證明：令y+z—2x=a,①.

祖

z+x-2y=b,②.※.

.

%+y—2z=c,③※

堞

熬

耶

則要證的等式變?yōu)椤?

..

333※.

a+Z?4-c=3abc...

.長(zhǎng).

聯(lián)想到乘法公式：.※.

.※.

a34-Z734-c3—3abe=(a+b+c)(a2+Z?24-c2—ah—he—ca),..

猴.

..

將①，②，③相加有：Q+b+c=y+z—2x+z+x—2y+x+y—2z=0,

.冰.

O

a34-b3+c3-3abc=0,※o

.0.(y+z-2x)3+(z+%—2y>+(久+y—2z)3=3(y+z—2x)(z+%—2y)(%+..

.

y-2z)...

..

【考點(diǎn)】.

整式的等式證明..

田

對(duì)稱式和輪換對(duì)稱式氐

【解析】.

..

分析與證明此題看起來(lái)很復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，可以使用換元法：令y+z-2x=a,..

..

..

z+%—2y=/?,%+y—2z=c，又由Q3+〃+/=3Q/JC,即可求證得：(y+z—..

..

2x)3+(z+x—2y尸+(x+y—2z)3=3(y+z—2x)(z4-x—2y)(x+y—2z)...

..

【解答】..

O

證明：令y+z-2x=a,①o

z+x—2y=b,②..

.

x4-y-2z=c,③..

試卷第6頁(yè)，總10頁(yè)

則要證的等式變?yōu)?/p>

。3+〃+。3=3a兒.

oO聯(lián)想到乘法公式：

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2b2+c2—ab—be—ca),

將①，②，③相加有：a+b+c=y+z—2x+z+%—2y+%+y—2z=0,

a34-b34-c3-3abc=0,

(y+z—2x)3+(z4-%—2y廠+(%+y—2z)3=3(y+z—2%)(z+%—2y)(x4-

熬鄭y-2z)?

8.

【答案】

解：(c—a)2—4(a—b)(b—c)=0,

c2-2ac+a?+4QC-4ab+4b2-4bc=0,

即(c+a)2—4b(a+c)+4b2=0

oO(c+a—2b)2=0

2b=Q+c

【考點(diǎn)】

整式的等式證明

【解析】

□r

本題需先利用完全平方公式對(duì)(c-a)2-4(a-bXb-c)=0進(jìn)行整理，最后解得(c+

a-2bY=0,即可證出結(jié)果.

【解答】

解：(c—a)2—4(a—b)(b—c)=0,

c2—2ac+a2+4。?！?ab+4Z?2—4bc=0,

忠即(c+a)2—4b(a+c)+4b2=0

oO(c+a—2b)2=0

.，*2b=a+c

9.

【答案】

1=(a2+b2)(c2+d2)=(ac)24-a2xd24-b2xc2+(Z?d)2,

期又「ad=be,

1=(ac)24-a2xd2+62xc24-(bd)2=(ac)2+2xa2xd24-(bd)2=(ac)2+

2acbd+(bd)2.*.1=(ac+fad)2,/a,b,c,d>0,

ac+bd>0

ac+bd=1.

【考點(diǎn)】

oO整式的等式證明

【解析】

本題需先根據(jù)a、b、c、d是正實(shí)數(shù)，得出(a+b+c+d)2大于零，再根據(jù)M+爐=

c2+d2進(jìn)行整理，最后得出結(jié)果即可.

【解答】

氐1=(a2+b2)(c2+d2)=(ac)24-a2xd24-h2xc24-(6d)2,

又ad=be,

1=(ac)24-a2xd2+h2xc2+(bd)2=(ac)2+2xa2xd24-(dd)2=(ac)2+

2acbd4-(hd)2.'.1=(ac+bd)2'.,a,b,c,d>0,

ac4-Z?d>0

ac+bd=1.

oO10.

【答案】

??

證明：?「an—bm。0

?:?:

「?方程aM+b%+c=0和方程m/+九％+p=o有相等的根Oo

方程Q/+bx+。=0可化為/+3%+'=0①..

.

..

方程+%+p=0可化為/+—%4--=0②..

n「mm