人教版專 題 3.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

專題3.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

【題型目錄】

題型一對數(shù)的運(yùn)算

題型二換底公式的應(yīng)用

題型三對數(shù)函數(shù)的概念

題型四對數(shù)函數(shù)的圖象問題

題型五對數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題

題型六對數(shù)函數(shù)的定義域和值域問題

題型七利用對數(shù)的單調(diào)性解不等式或比較大小

題型八由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

題型九對數(shù)函數(shù)的最值問題

題型十對數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

題型十一反函數(shù)

【典型例題】

題型一對數(shù)的運(yùn)算

例1.（2023,山東淄博?統(tǒng)考二模）設(shè)p>0,g>0,滿足log4P=bg64=bg9（2p+4）,

則八.

q

Q

例2.（2023?天津?統(tǒng)考二模）已知2，=3,log25=y,則2x+y=（）

A.3B.5C.2log,3D.23

舉一反三

練習(xí)1.（2021秋?高三課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：log43xE|=

練習(xí)2.計(jì)算:

Ig8+lgl25-lg2-lg5

igVioxigo.i

(2)(log62)2+(log63y+31og62x

練習(xí)3.（2021秋?高三課時(shí)練習(xí)）（多選）下列正確的是（）

A.3扣B.9^+lne=4

C.若log3（lgx）=l,則x=1000D.若log“插=c,則=

2

log2x+l,x>0

練習(xí)4.（2023春?湖北?高一校聯(lián)考期中）已知/（》）=,Qj+]x<0,則/（/㈠））

的值為.

練習(xí)5.（2023?天津?yàn)I海新?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知

5"=2&，4〃=",若成=|,貝！1〃的值為（）

A.>/5B.5C.575D.25

題型二換底公式的應(yīng)用

例3.求下列各式的值.

OS25

(l)4)'+ln-+log15xlogM9+lg4+2lg5.

2e

⑵已知lg2=a,lg3=6,求logzlZ的值.

2

-2log430.5

例4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）log,3-log,2-

舉一反三

練習(xí)6.（2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若12〃=3"=〃?，且則

ab

練習(xí)7.（2022秋?新疆喀什?高三?？茧A段練習(xí)）若2"=3〃=36,則當(dāng)殳=

練習(xí)8.（2023秋?福建廈門?高三統(tǒng)考期末）已知Ig2=a,lg3=b,則電12=（）

練習(xí)9.（2022秋?江西景德鎮(zhèn)?高三景德鎮(zhèn)一中校考期末）（多選）已知a>0,b>0,

且滿足b"=9,a+log3b=3,則方的可能取值為（）

A.B.3C.2D.9

39

練習(xí)10.（2022秋?山東青島?高三?？计谥校┤簟?1暇3/嗚4.?…log刈82019,則〃

的范圍是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.(10,11)D.(11,12)

題型三對數(shù)函數(shù)的概念

例5.（2022秋.高三課時(shí)練習(xí)）（多選）下列函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的是（）

A..f（x）=log（“i）x（m>1,且加力2）B./（司=炮/

C./（x）=lnxD./（x）=lnx+e

例6.（2023秋?遼寧?高三遼河油田第二高級中學(xué)校考期末）若對數(shù)函數(shù)的圖象過

點(diǎn)尸（8,3）,則.

舉一反三

練習(xí)11.（2022.高三課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=log2xB.y=ln（x+l）C.y=log.,eD.y=log*x

練習(xí)12.（2021?高三課時(shí)練習(xí)）給出下列函數(shù)：

（1）y=log/X；（2）y=log,x；（3）y=log“>x；（4）y=e-k>g“x；（5）y=log,x2；

（6）y=log2（x+l）.其中是對數(shù)函數(shù)的是.（將符合的序號全填上）

練習(xí)13.（2022.高三單元測試）下列函數(shù)中，是對數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=logxa（x>0且*1）

B.y=log2X—1

C.y=lgx2

D.y=logsx

練習(xí)14.（2022.江蘇鹽城.江蘇省濱海中學(xué)?？寄M預(yù)測）寫出滿足條件“函數(shù)

產(chǎn)”司在（0,+功上單調(diào)遞增，且/（?）=/（x）+/（y）”的一個(gè)函數(shù)

.f（x）=-

練習(xí)15.（2023.高三課時(shí)練習(xí)）若對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)（4,-2）,則此函數(shù)的表達(dá)

式為.

題型四對數(shù)函數(shù)的圖象問題

例7.（2023秋?山東德州?高一統(tǒng)考期末）華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然

成績早為世人所推崇.他曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.告知我們

把"數(shù)''與"形"，“式''與"圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑.若函數(shù)

〃x)=10g“(x+6)(4>0且"LbeR)的大致圖象如圖，貝|函數(shù)g(x)=a「*的大

例8.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)=］與g(x)=-l°g4x的大致圖像是()

舉一反三

練習(xí)16.（2023秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高三鐵路一中?？计谀ǘ噙x）如圖是三個(gè)

B.0<b<i

C.2h<2c<2aD.c<b

練習(xí)17.（2022秋.江西鷹潭.高三貴溪市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知

與的

log2a+log,/?=0(a>0且awl,%>0且分Hl),則函數(shù)f(x)g(x)=logAX

圖像可能是（）

練習(xí)18.（2021秋?陜西漢中?高三校聯(lián)考期中）已知1印=-慟*0,則函數(shù)/（力=Q

與函數(shù)g（x）=log〃x的圖像可能是（）

練習(xí)19.（2021秋.陜西漢中?高三校聯(lián)考期中）函數(shù)k］愴（》+1）|的圖像是（）

練習(xí)20.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測)若函數(shù)”》)=1。氏|。+可的圖象不過第四

象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

題型五對數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題

例9.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)〃x)=log--l)+2的圖象恒過定點(diǎn)()

A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(2,0)

例10.(2023?安徽安慶?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(》)=1臉(6+彷(。＞0力＞0)恒

過定點(diǎn)(2,0),則2+1的最小值為().

ab

A.2&+1B.2V2C.3D.夜+2

舉一反三

練習(xí)21.(2022秋.上海金山.高三上海市金山中學(xué)?？计谀?已知a＞0且

若函數(shù)/(x)=優(yōu)+c與g(x)=log?(x+1)+4的圖象經(jīng)過同一個(gè)定點(diǎn)，則c=.

練習(xí)22.(2022秋?高三單元測試)已知函數(shù)/(x)=ln(ar-a+l)+x“，則無論“取

何值，"X)圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo).

練習(xí)23.(2022秋?河南開封?高一校考階段練習(xí))函數(shù)y=log“(2x-3)+8的圖象恒

過定點(diǎn)A,且點(diǎn)A在基函數(shù)/(x)的圖象上，則/(3)=.

練習(xí)24.(2023春糊南?高三校聯(lián)考期中)基函數(shù)y=y的圖象過點(diǎn)則函

數(shù)/(X)=log,,(x+〃2)恒過定點(diǎn).

練習(xí)25.(2022秋?青海西寧?高三西寧五中校考期末)已知函數(shù)y=log〃(x-2)+l,

(?>0,且4H1)恒過定點(diǎn)A(Xo，%),且滿足〃/+伙=1,其中加，〃是正實(shí)數(shù),

則上+L的最小值是()

mn

A.16B.6C.273D.石

題型六對數(shù)函數(shù)的定義域和值域問題

例11.(2023.湖北?校聯(lián)考三模)函數(shù)/(x)=Jog2(l-x)的定義域是()

A.(-oo,DB.(0,內(nèi))C.(0,1)D.(-8,0]

例12.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)/>，+l)=log“(4-x4)(a>l),則/(x)值域是

舉一反三

練習(xí)26.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知集合4={川>=>/-2+2彳+15}，

B={x|y=ln(x2-x-6)},則AB=()

A.[-3,-2)<J(3,5]B.[-3,5]

C.RD.(-<=0,-2)o(3,+oo)

練習(xí)27.(2023秋.湖北武漢.高三武漢外國語學(xué)校(武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校)?？?/p>

期末)函數(shù)，(x)=lg(-d+4x-3)的值域?yàn)?

練習(xí)28.(2023秋?山西朔州?高三懷仁市第一中學(xué)校?？计谀?已知函數(shù)

/（jc）=log2^j-log2（8x）,則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-9,0]B.[-9,y）C.（-8,-9]D.[-12,0]

練習(xí)29.（2023.山東棗莊.統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)y=Jlog05（3x-2）的定義域是（）

A.|,1）B.（|,+"C.（0,1]D.（|/

練習(xí)30.（2023春?河南信陽?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）（多選）已知函數(shù)〃x）=ln#，

則（）

A.的定義域?yàn)椋?2,2）B.〃x）的圖象關(guān)于），軸對稱

c.C—的值域?yàn)镽D.f（x）是減函數(shù)

題型七利用對數(shù)的單調(diào)性解不等式或比較大小

例13.（浙江省S9聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知,

a=log3G,b=log473,c=O.3T,則（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>hD.c>b>a

例14.(2023?天津?高三專題練習(xí))集合4=*€2及=后亞1},8={-1,0,2,3,5},

則AB=()

A.{2,3}B.{0,2,3)

C.{-1,0,5}D.0

舉一反三

練習(xí)31.（2022秋?高三課時(shí)練習(xí)）已知bg°,6（x+2）>lo&.6（l-x）,則實(shí)數(shù)x的取值

范圍是.

練習(xí)32.（吉林省長春市2023屆高一下學(xué)期5月四模數(shù)學(xué)試題）已知a=logq*,

匕=悖］,c=ln（,則a,b,c的大小關(guān)系為.

練習(xí)33.(安徽省皖北縣中聯(lián)盟2023屆高三5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知集合

M={x|-3<x<l},A^=jx|log4|x|<ij,則集合McN=()

A.[-2,1]B.卜2,0)50,1]

C.13,；D.(-3,0)(0,1]

a

練習(xí)34.(2023?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知a=log0j0.2,琉Iga,c=2,則a,

b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB,a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

練習(xí)35.（2018?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知函數(shù)/（幻=@-b）.川，若實(shí)數(shù)機(jī)滿足

/（logV2W）-/dog^/n）＜2/（1）,則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是.

題型八由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

例15.（2023春?內(nèi)蒙古呼和浩特?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知

logax,（x＞l）（a＞。且。w1）

（4-怖卜一2，。叫是R上的單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù)。的值可以是（）

A.4B.log?271C.2D.8

例16.（2023春?河南平頂山.高三汝州市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函

數(shù).f（x）=lg（2x2-or+5a-l）在［2,”）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

舉一反三

練習(xí)36.（2023秋?湖南常德?高三漢壽縣第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)

f（x）=lo與任-以+4”）在區(qū)間［2,e）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（—2,4］B.［-2,4）C.（y,4］D.艮”）

練習(xí)37.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）已知/（x）=log.（3-詞在［0,2］上是嚴(yán)格減函數(shù),

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

練習(xí)38.（2023春?安徽?高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)

"x）=.加r-gxG,且滿足對任意的實(shí)數(shù)x產(chǎn)々，都有"為｝“"2）<0成立,

iog?x-i,x>i

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

練習(xí)39.（2023秋?山東濟(jì)寧?高三統(tǒng)考期末）已知a>0且"1,若函數(shù)

y=log?（4-ar）在［L2］上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（1,2］D.（1,4）

練習(xí)40.（2023春?新疆阿克蘇.高三?？茧A段練習(xí)）已知a>0且awl,函數(shù)

”》）=八2,3a+3,x<l,滿足士工當(dāng)時(shí)，恒有玉/⑷+9/⑷工/⑷+耳/區(qū)）成立,

［logax,x>l

那么實(shí)數(shù)〃的取值范圍（）

A.（1,2）B.0,|C.（1收）D.Q

題型九對數(shù)函數(shù)的最值問題

例17.（2022秋?江蘇常州.高三常州市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知

/（x）=l+log2x,xi[1,8],設(shè)函數(shù)g（x）=/2（x）+/（x2）,g（x）raK-g（x）niin=.

例18.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（X）=log”（-3x2+4ox-l）有最小值，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.日」）B.（1,6）

C.D.（73,+oo）

舉一反三

練習(xí)41.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)），=1叫式*+3*+4）的最小值是.

練習(xí)42.（2023春?四川達(dá)州?高二四川省萬源中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知x>0,y>0

且x+2y=20應(yīng)，則Igx+lgy的最大值為.

練習(xí)43.（2023秋?山東青島?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)

/（X）=log,,（2x-4）+log?（5-x）（a>0且的圖象過點(diǎn)P（3,-2）.

⑴求”的值及.f（x）的定義域；

（2）求.f（x）在3,|上的最大值；

⑶若23=/(j<r<3),比較"2%)與"3")的大小.

(x+l)2+ln^vx2+1+x

練習(xí)44.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃x）=的最大值

x2+1

為M,最小值為N,則M+N的值為

2二

練習(xí)45.（2022秋.湖南邵陽.高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=】ogi荒p則

f(x)有()

A.最小值Togs3B.最大值Tog?3

C.最小值-|D.最大值

題型十對數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例19.（2023春.四川宜賓?高三?？茧A段練習(xí)）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地

震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解.例如，地震時(shí)釋放出的能量E（單

位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為：1gE=4.8+1.5M.2008年5月12日，

我國汶川發(fā)生了里氏8.0級大地震，它所釋放出來的能量約是2022年9月5日我國

瀘定發(fā)生的里氏6.8級地震釋放能量的（）倍.（參考數(shù)據(jù)：10"。32,砂屋63,

1019a79）

A.32B.63C.79D.100

例20.（2021秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考期末）噪聲污染已經(jīng)成為影

響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題.實(shí)踐證明，聲音強(qiáng)度。（分貝）由公式

D=a\SI+b（。，匕為非零常數(shù)）給出，其中/（W/cn?）為聲音能量.當(dāng)聲音強(qiáng)度加

2,2滿足R+2鼻=3D,時(shí)，聲音能量/,,12,滿足的等量關(guān)系式為;

當(dāng)人們低聲說話，聲音能量為lO^w/cn?時(shí)，聲音強(qiáng)度為30分貝；當(dāng)人們正常說

話，聲音能量為lO^W/cm?時(shí)，聲音強(qiáng)度為40分貝，當(dāng)聲音強(qiáng)度大于60分貝時(shí)

屬于噪音.火箭導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)的噪音分貝數(shù)在（150,160）區(qū)間內(nèi)，此時(shí)聲音能量數(shù)值的

范圍是.

舉一反三

練習(xí)46.（2021秋?黑龍江雞西?高三雞西市第一中學(xué)校?？计谥校ǘ噙x）聲強(qiáng)級

Li（單位：dB）與聲強(qiáng)/（單位：3/mD之間的關(guān)系是：Li=101g；,其中/。指

的是人能聽到的最低聲強(qiáng)，對應(yīng)的聲強(qiáng)級稱為聞閾.人能承受的最大聲強(qiáng)為

心/m。對應(yīng)的聲強(qiáng)級為120dB，稱為痛閾.某歌唱家唱歌時(shí)，聲強(qiáng)級范圍為［60,70］

（單位：dB）.下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.聞閾的聲強(qiáng)級為OdB

B.此歌唱家唱歌時(shí)的聲強(qiáng)范圍［10工10-5］（單位：a）/m2）

C.如果聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?倍，對應(yīng)聲強(qiáng)級也變?yōu)樵瓉淼?倍

D.聲強(qiáng)級增加10dB,則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?0倍.

練習(xí)47.（2023?全國?高三專題練習(xí)）中西方音樂的不同發(fā)展與其對音階的研究

有密切的關(guān)系，中國傳統(tǒng)音階是五聲音階：宮、商、角、徵、羽；西方音階是七聲音

階“Re、Mi、Fa、Sol、La、Si”.它們雖然不同，卻又極其相似，最終發(fā)展的結(jié)果均

是將一個(gè)完整的八度音階分成了12個(gè)半音，即“十二平均律”.從數(shù)學(xué)的角度來看,

這12個(gè)半音的頻率成公比為蚯的等比數(shù)列.已知兩個(gè)音高4,4的頻率分別為

力，九且滿足函數(shù)關(guān)系：務(wù)（啦）"，已知兩個(gè)純五度音高的頻率比!弓

J\J\/

則它們相差的半音個(gè)數(shù)|4-4卜.（其中l(wèi)g3念048,1g2?0.30,結(jié)果四舍五

入保留整數(shù)部分）.

練習(xí)48.（2021秋.高三課時(shí)練習(xí)）《千字文》是我國傳統(tǒng)的啟蒙讀物，相傳是南

北朝時(shí)期梁武帝命人從王羲之的書法作品中選取1000個(gè)不重復(fù)的漢字，讓周興

嗣編纂而成的，全文為四字句，對仗工整，條理清晰，文采斐然.已知將1000

個(gè)不同漢字任意排列，大約有4.02x102的種方法,設(shè)這個(gè)數(shù)為N,則IgN的整數(shù)

部分為（）

A.2566B.2567C.2568D.2569

練習(xí)49.（2022秋.遼寧大連.高三大連八中?？茧A段練習(xí)）我國的5G通信技術(shù)

領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一是著名的香農(nóng)（Shanncm）公式，香農(nóng)提出并

嚴(yán)格證明了“在被高斯白噪聲干擾的信道中，計(jì)算最大信息傳送速率C的公式

C=w.i°g2（i+得），其中w是信道帶寬（赫茲），s是信道內(nèi)所傳信號的平均功率

（瓦），N是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率（瓦），其中三叫做信噪比.根據(jù)此公式,

在不改變W的前提下，將信噪比從99提升至4,使得C大約增加了60%,則2的

值大約為（）（參考數(shù)據(jù)：10°2。1.58）

A.1559B.3943C.1579D.2512

練習(xí)50.（2022.高三單元測試）人們常用里氏震級區(qū)表示地震的強(qiáng)度，心表示

地震釋放出的能量，其關(guān)系式可以簡單地表示為1g耳-4.8,2021年1月4

日四川省樂山市犍為縣發(fā)生里氏4.2級地震，2021年9月16日四川省瀘州市瀘縣

發(fā)生里氏6。級地震，則后者釋放的能量大約為前者的（）倍.（參考數(shù)據(jù)：

1003~2.00,10°'=5.01）

A.180B.270C.500D.720

題型十一反函數(shù)

例21.（2023?河南?高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為，演分別是方程x+e'=3

和x+lnx=3的根，若%+々="+〃，實(shí)數(shù)a,b>0,則絲蟲的最小值為（）

A.1B.1C.￡D.2

39

例22.(2022秋?高三課時(shí)練習(xí))(多選)關(guān)于函數(shù)“力=優(yōu)(。>0,且。制)與函數(shù)

g(x)=logflx(a>0,且。工1)說法正確的有()

A./(x)與g(x)互為反函數(shù)

B.〃x)與g(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱

C.“X)與g(x)必有一交點(diǎn)

D.與g(x)的圖像關(guān)于對稱

舉一反三

練習(xí)51.(2020秋.上海寶山.高三上海市行知中學(xué)校考期中)若關(guān)于x的函數(shù)

y=-^7("0,?GR)的反函數(shù)是其本身，貝

練習(xí)52.(2023秋?北京?高三校考期末)已知函數(shù)y=/(x)的圖像與y=l”的圖像

關(guān)于直線》=工對稱，則/(Ig3).〃lg4)=()

A.Ig7B.10C.12D.107

練習(xí)53.(2021秋.上海黃浦.高三格致中學(xué)校考開學(xué)考試)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)

/(X)、g(x)都有反函數(shù)，且函數(shù)/(x+l)和g\x-2)圖像關(guān)于直線y=x對稱，若

5(5)=2021,則/(6)=_

練習(xí)54.(2022秋?河北邢臺.高三邢臺市第二中學(xué)?？计谀?若函數(shù)〃=

函數(shù)/(x)與函數(shù)g(x)圖象關(guān)于y=x對稱，則g(9-V)的單調(diào)減區(qū)間是()

A.[0,3)B.[-3,0)

C.(0,3]D.(-3,0]

練習(xí)55.(2023秋.山東荷澤?高三山東省東明縣第一中學(xué)?？计谀?若毛，々分

另I」是方程e'+x-2023=0,lnx+x—2023=0的根，則()

A.2022B.2023C.V2023D.72023+1

參考答案與試題解析

專題3.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

【題型目錄】

題型一對數(shù)的運(yùn)算

題型二換底公式的應(yīng)用

題型三對數(shù)函數(shù)的概念

題型四對數(shù)函數(shù)的圖象問題

題型五對數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題

題型六對數(shù)函數(shù)的定義域和值域問題

題型七利用對數(shù)的單調(diào)性解不等式或比較大小

題型八由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

題型九對數(shù)函數(shù)的最值問題

題型十對數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

題型十一反函數(shù)

【典型例題】

題型一對數(shù)的運(yùn)算

例1.(2023?山東淄博?統(tǒng)考二模)設(shè)P>0,4>0,滿足log4P=log64=log9(2p+<7),

則"=__________.

q

【答案】1/0.5

【分析】令log4P=log/log9（2p+4）=3則K根據(jù)2p+q=2-4*+6*=9*即可

q3

求解.

【詳解】令濯4。=令64Tog9（2p+4）=左,則p=4*,q=6?,2p+q=9",

所以2p+q=2W+6*=9。整理得2仔）+^=1,

解得（負(fù)值舍去），所以:4=捺4

故答案為：

Q

例2.（2023?天津?統(tǒng)考二模）已知2，=3,log22=y,則2x+y=（）

A.3B.5C.2log,3D.23

【答案】A

【分析】根據(jù)指對運(yùn)算化簡x=bg23,再根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算2x+y的值.

Q

x

【詳解】2=3<=>x=log23,y=log,-

2x+y=2log23+log21=log2,？x=]og28=3.

故選:A.

舉一反三

練習(xí)1.（2021秋?高三課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：log43x^=

olg9

【答案】）/025

4

【分析】利用對數(shù)換底公式化簡計(jì)算即可.

用牛'際八1g41g9Ig221g3?2lg221g34,

故答案為：-7

4

練習(xí)2.計(jì)算：

Ig8+lgl25-lg2-lg5

⑴Igx/lOxIgO.l

x^logV18-|log2

⑵（Iog62『+（log63）2+31og6266

【答案】（1）-4

（2）1

【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則化簡求值；

（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和對數(shù)的性質(zhì)化簡求值.

22

(2)(log52)+(log63)+31og62xhog

22

=(log62)+(log63)+310g62xlog6繆

2

=(嘀,2)2+(log(,3)+31og62xlog6\/9

2

=(log62)+(logs3)2+21og62xlog63

2

=(log62+log63)

練習(xí)3.（2021秋.高三課時(shí)練習(xí)）（多選）下列正確的是（）

A.3產(chǎn)"4=292+lne=4

C.若log3(lgx)=l,則x=1000D.若log“揚(yáng)=c,則6=。

【答案】BCD

【分析】利用對數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算可判斷AB選項(xiàng)；利用指數(shù)與對數(shù)的互化可判斷

CD選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，32"=32=（6）'=4,A錯(cuò)；

對于B選項(xiàng)，1+lne=3+l=4，B對；

3

對于C選項(xiàng),因?yàn)閘og.3（lgx）=l,則lgx=3,所以，x=10=1000,C對;

對于D選項(xiàng)，因?yàn)閘og“揚(yáng)=c,則四=〃。，所以，h=alc,D對.

故選：BCD.

2

log2x+l,x>0

練習(xí)4.(2023春?湖北?高一校聯(lián)考期中)已知/3=仆丫?°,則〃/㈠))

⑴+1/<0

的值為.

【答案】5

【分析】代入求解分段函數(shù)的函數(shù)值.

【詳解】?.,/(-1)=(；尸+1=3+1=4,

24

/(/(-D)=/(4)=log24+1=log,2+l=4+l=5

故答案為：5.

練習(xí)5.(2023?天津?yàn)I海新.天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知

5。=20,4%=〃，若她=?，則〃的值為()

A.y/5B.5C.50D.25

【答案】D

【分析】利用指對數(shù)互化，及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得而=；整，結(jié)合已知列方程求

4In5

n值.

【詳解】由題設(shè)。=1叫2&=見逑=網(wǎng)史，3=log"=罟=F^,

In5In5ln441n，2

所以==T,則ln〃=21n5,即〃=25.

故選：D

題型二換底公式的應(yīng)用

例3.求下列各式的值.

⑴(3啕5+ln-+log,5Xlog”9+lg4+21g5.

2e

(2)已知】g2=a,lg3=6,求log/2的值.

【答案］⑴？

⑵2+9

a

【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算規(guī)則以及換底公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）

+ln-+log5xlog,9+lg4+lg25=2''O825+lne-|+^^x9

35+lg（4x25）

e"■logs3log525

=*i寢*舒+lg*5』+卷x竽+2=］；

22

（2）log,12=log2（2x3）=log,2+log23=2+^|=2+-..

Si，0.5

例4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）log23.log32-^p+^j

【答案】-1

【分析】利用指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可求解.

1_32

【詳解】原式=1一22崛3+（［y+^p

=l-22log43+—+—

1616

=1-3+1

故答案為：-1.

舉一反三

練習(xí)6.（2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若12"=3〃=加，且,-1=2,則

ab

tn=.

【答案】2

【分析】將條件中的指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，求出匕［,代入工-〈=2,利用對數(shù)

abab

的運(yùn)算性質(zhì)可得〃?.

【詳解】42"=3"=加，且1-：=2,

ab

二.m>0且機(jī)工1,

a=logl2m,b=log3m,

?■--=log?,12,-=log?,3,

ab

---T=l°g〃J2一log,"3=log4=2,

abw

m=2.

故答案為：2.

練習(xí)7.（2022秋?新疆喀什?高三?？茧A段練習(xí)）若2"=3"=36,則生普=一.

【答案】1

【分析】先由2"=3〃=36求出再根據(jù)換底公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?"=3"=36,所以a=log?36,b=log,36,因止匕Llog'e2,^-=log163,

ab

所以2""*==20°g363+1嗝＜,2）=2log366=1.

故答案為：L

練習(xí)8.（2023秋?福建廈門?高三統(tǒng)考期末）已知電2=凡電3=久則10氏12=（）

【答案】C

【分析】根據(jù)換底公式將logJ2寫為詈，再用對數(shù)運(yùn)算法則展開，將】g2="g3=〃

代入即可.

【詳解】解:因?yàn)閘g23g3=比而1嗚12=臂=_^^=^1^=*.

1g21g2lg2a

故選:C

練習(xí)9.（2022秋.江西景德鎮(zhèn).高三景德鎮(zhèn)一中?？计谀ǘ噙x）己知a>0,b>0,

且滿足A"=9,a+\og}b=3,則。的可能取值為（）

1

3C9

B.9-D.

【答案】BD

【分析】根據(jù)指對互化得和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得a=21og〃3,代入得到關(guān)于log,。的

方程，解出即可.

【詳解】a>0,b>09

貝由=9可得。=log,9=2log,3,

2

a+log,b=2log〃3+log：6=----+log：b=3,

BP(log3Z?)--31og3/?+2=0,

解得log,b=l或log,b=2,

."=3或b=9.

故選：BD.

練習(xí)10.(2022秋?山東青島?高三?？计谥?若a=1鳴3/嗎4??…*12019,則〃

的范圍是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(10,11)D.(11,12)

【答案】C

【分析】利用換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】?=log,3-logl4??…log,1m2019=蛆、0x.?…xJg?2!2=JgZ2!2=1og,2019,

k“昕/-3-OISlg2lg3lg2018lg2-

l0,(,

V2=1024,2"=2048,log22<log22019<log22",ae(10,l1),

故選：C.

題型三對數(shù)函數(shù)的概念

例5.(2022秋.高三課時(shí)練習(xí))(多選)下列函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的是()

A./(x)=log(m_1)x(加>1,且加/2)B./(x)=lgj?

C.f(x)=lnxD./(x)=lnx+e

【答案】AC

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】形如y=iog〃x(?>0,且4H1)的函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，

對于A,由m>1,且可知1>0,且m-lwl,故A符合題意；

對于B,不符合題意；

對于C,符合題意；

對于D,不符合題意；

故選：AC.

例6.(2023秋?遼寧?高三遼河油田第二高級中學(xué)?？计谀?若對數(shù)函數(shù)的圖象過

點(diǎn)P(8,3),則/&)=.

【答案】-2

【分析】首先求解對數(shù)函數(shù)，再代入求值.

【詳解】設(shè)對數(shù)函數(shù)〃x)=log“x(。＞0,且awl),因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)尸(8,3),

所以log“8=3,得a=2,

所以/(;)=log2：=-2.

故答案為：-2

舉一反三

練習(xí)11.(2022.高三課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()

A.y=log2XB.y=ln(x+l)C.y=log,,eD.y=k＞g*x

【答案】A

【詳解】對數(shù)函數(shù)y=l。及X(。＞0且a*l),其中a為常數(shù)，X為自變量.

對于選項(xiàng)A,符合對數(shù)函數(shù)定義；

對于選項(xiàng)B,真數(shù)部分是x+1,不是自變量x,故它不是對數(shù)函數(shù)；

對于選項(xiàng)C,底數(shù)是變量x,不是常數(shù)，故它不是對數(shù)函數(shù)；

對于選項(xiàng)D,底數(shù)是變量x,不是常數(shù)，故它不是對數(shù)函數(shù).

故選:A.

練習(xí)12.(2021.高三課時(shí)練習(xí))給出下列函數(shù)：

2

(1)y=log.x；(2)y=log,x；(3)y=log|oX；(4)y=e-\ogax；(5)y=log2x；

(6)y=log2(x+l).其中是對數(shù)函數(shù)的是.(將符合的序號全填上)

【答案】(1)(2)(3)

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義判斷.

【詳解】(4)的系數(shù)不是1,(5)的真數(shù)不是尤，(6)的真數(shù)不是x.

故答案為：(1)(2)(3).

練習(xí)13.（2022.高三單元測試）下列函數(shù)中，是對數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=logxa（x〉0且同）

B.y=log2X-1

C.八蚊

D.y=log爐

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義判斷.

【詳解】A、B、C都不符合對數(shù)函數(shù)的定義，只有D滿足對數(shù)函數(shù)定義.

故選：D.

練習(xí)14.（2022.江蘇鹽城?江蘇省濱海中學(xué)?？寄M預(yù)測）寫出滿足條件“函數(shù)

y=/（x）在（0,+功上單調(diào)遞增，且/3）=f（x）+/（y）”的一個(gè)函數(shù)

〃可=?

【答案】bg?x

【分析】根據(jù)已知確定函數(shù)形式，再結(jié)合單調(diào)性舉練習(xí).

【詳解】〃孫）=/（小/（力是對數(shù)函數(shù)模型，/（力=陛〃滿足條件.

故答案為：log?》.

練習(xí)15.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）若對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)（4,-2）,則此函數(shù)的表達(dá)

式為.

【答案】y=iogix（x>o）

2

【分析】將點(diǎn)（4,-2）代入對數(shù)解析式求出底數(shù)，即可求解.

【詳解】設(shè)對數(shù)函數(shù)為y=log,X,因?yàn)閷?shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)（4,-2）,所

以-2=log“4,即/=4=22,解得所以yTogiMx>0）.

故答案為：y=iogjx（x>o）

2

題型四對數(shù)函數(shù)的圖象問題

例7.（2023秋?山東德州?高一統(tǒng)考期末）華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然

成績早為世人所推崇.他曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.告知我們

把“數(shù),，與,，形“式，，與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑.若函數(shù)

/(x)=log?(x+/7)的大致圖象如圖，則函數(shù)g(x)=「-6的大

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求得0＜。＜1,0＜方＜1,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及圖象

變換，即可求解.

【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)〃x)=log“(x+勿的圖象，可得

根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=「(0＜a＜1)的圖象與性質(zhì)，

結(jié)合圖象變換向下移動(dòng)6個(gè)單位，可得函數(shù)g(x)=，L-人的圖象只有選項(xiàng)C符合.

故選：C.

例8.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/⑴"：，與g(x)=-log4x的大致圖像是()

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；

【詳解】解：因?yàn)樵诙x域R上單調(diào)遞減，

又gU）=-log4x=log4.,x=log;，所以8⑶在定義域（o,+8）上單調(diào)遞減,

故符合條件的只有A；

故選：A

舉一反三

練習(xí)16.（2023秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高三鐵路一中?？计谀ǘ噙x）如圖是三個(gè)

B.0</?<1

C.2*<2f<TD.c<b

【答案】ABC

【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象可判斷出再判斷各選項(xiàng)即可得.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)圖象得。＞1，0＜瓦c＜l,令y=l,log^=logfe=l,由已知圖象

得b<c,.?.Accca；而y=2*是增函數(shù)，二2"<2,’<2".

故選：ABC.

練習(xí)17.（2022秋.江西鷹潭.高三貴溪市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知

log2a+log,fo=0(q>0且”1,Z?>0且6/1),則函數(shù)/(x)=與g(x)=log〃X的

圖像可能是（）

【分析】先由1嗎。+1%。=。求得b=L再將g（x）=log,x轉(zhuǎn)化為g（x）=Mg/,再

a?

利用反函數(shù)的性質(zhì)即可得到正確選項(xiàng)B

【詳解】Slog,a+log,*=0(。>0且awl,b>0且bwl),

可得loga（必）=O，則仍=1,貝=：

貝ljg(x)=k)g〃x=k)g，x,又八幻=則g（x）與/（X）互為反函數(shù),

a

則g（x）與f（x）單調(diào)性一致，且兩圖像關(guān)于直線y=x軸對稱

故選：B

練習(xí)18.（2021秋?陜西漢中?高三校聯(lián)考期中）己知物=-磔工0,則函數(shù)

與函數(shù)g（x）=log〃的圖像可能是（）

【分析】根據(jù)參數(shù)對于指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的影響，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，逐項(xiàng)

檢驗(yàn)，可得答案.

【詳解】對于A、B、C,由圖像可知，對于函數(shù)f（x）=1=（￡|',可知:>1,

即Ova<1,

由lga=-lg"O,則匕>1,即函數(shù)g（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，故A、B錯(cuò)誤，C

正確；

對于D,由圖像可知，對于函數(shù)/（x）=f=O可知即a>l,

由lga=-lgg0,則0<-1,即函數(shù)g（x）在（0,+e）上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

練習(xí)19.（2021秋?陜西漢中?高三校聯(lián)考期中）函數(shù)k旭（*+1）|的圖像是（）

【分析】由函數(shù)y=igx的圖象與x軸的交點(diǎn)是a，。）結(jié)合函數(shù)的平移變換得函數(shù)

y=|ig*+i）l的圖象與x軸的公共點(diǎn)是（o,o）,即可求解.

【詳解】由于函數(shù)y=ig（x+D的圖象可由函數(shù)y=igx的圖象左移一個(gè)單位而得到,

函數(shù)y=igx的圖象與x軸的交點(diǎn)是a，。），

故函數(shù)y=ig（x+D的圖象與x軸的交點(diǎn)是（o,o）,即函數(shù)y=|ig（x+D|的圖象與x軸的

公共點(diǎn)是（o,o）,顯然四個(gè)選項(xiàng)只有A選項(xiàng)滿足.

故選：A.

練習(xí)20.（2023.浙江紹興.統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)〃x）=log2|a+x|的圖象不過第四

象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】［1,同

【分析】作出函數(shù)/（司=1。氏|。+乂的大致圖象，結(jié)合圖象可得/⑼即可得

解.

【詳解】函數(shù)/3=1%|。+耳的圖象關(guān)于X=F對稱，其定義域?yàn)?/p>

作出函數(shù)/（x）=log2|a+M的大致圖象如