2023屆江蘇省蘇州外國語學(xué)校高三上學(xué)期第二次階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題

蘇州外國語學(xué)校2022-2023第一學(xué)期高三年級(jí)第二次階段測(cè)試一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．1D．32.已知集合，集合，則（）AB.C. D.3.今天是二十四節(jié)氣中的大雪，二十四節(jié)氣歌體現(xiàn)著我國古代勞動(dòng)人民的智慧。四句詩歌“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩歌包含了這個(gè)季節(jié)中的6個(gè)節(jié)氣.若從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為（）A.B.C.D.4.已知為遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.D.5.已知向量，為平面內(nèi)的一組基底，，，則“”是“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”的（）條件.A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要6.若過可作函數(shù)的兩條切線，則（）A. B.C.D.7.設(shè)，則（）A. B.C.D.8.2022世界杯足球賽在卡塔爾舉行，某中學(xué)在全校學(xué)生中開展“迎新杯”足球賽獎(jiǎng)杯的創(chuàng)意設(shè)計(jì)征集活動(dòng).同學(xué)甲設(shè)計(jì)的創(chuàng)意獎(jiǎng)杯如圖1所示，從其軸截面中抽象出來的平面圖形如圖2所示，若圓O的半徑為10cm，，，甲在獎(jiǎng)杯的設(shè)計(jì)與制作的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OB越長(zhǎng)時(shí)，該獎(jiǎng)杯越美觀，則當(dāng)該獎(jiǎng)杯最美觀時(shí)，(

)A.10cmB.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.存在使得直與直線垂直C.對(duì)于任意，直線與圓相交D.若直線過第一象限，則10.若，，且，則（）A.B.C.D.11.已知直線：與圓：相交于兩點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為，則（）A. B.存在，使C.D.存在，使12.已知函數(shù)和，有相同的極小值，若存在，使得成立，則（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，若的所有根記為，，，，且，則三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.二項(xiàng)式的展開式中含的系數(shù)為___________.14．已知，滿足①，且，②兩個(gè)條件中的一個(gè)，則的一個(gè)值可以為__________.15.在三棱錐中，已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面，、分別是、的中點(diǎn)，若異面直線、所成角的余弦值為，則的長(zhǎng)為______，三棱錐的外接球表面積為______．16.已知A，B為橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)T，則__________．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.如圖，中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角的大?。唬?）已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，求的最大值.18.如圖所示，C為半圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐底面圓心，BD為底面直徑，A為弧BD中點(diǎn)．是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，弦AD上點(diǎn)E使得二面角的大小為30°，且．（1）求t的值；（2）對(duì)于平面ACD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P總有平面BEC，請(qǐng)指出P的軌跡，并說明該軌跡上任意點(diǎn)P都使得平面BEC的理由．19.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)．（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）設(shè)圓與曲線的兩交點(diǎn)為M，N，求線段MN的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)C在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．20.已知二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和構(gòu)成數(shù)列，數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為（），且當(dāng)時(shí)，有（）（1）求證：為等差數(shù)列；并求和；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知的橢圓C：的左，右頂點(diǎn)分別是A，B，過右焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，的面積最大值為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AM與定直線交于點(diǎn)T，記直線TF，AM，BN的斜率分別是，，，若，，成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值．22.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．蘇州外國語學(xué)校2022-2023高三年級(jí)第二次階段測(cè)試答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．1D．3【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的定義，即可求解．【解析】解：數(shù)的實(shí)部與虛部相等，，解得．故選：．2.已知集合，集合，則（）A B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得集合，再結(jié)合集合的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由題意，可得集合，即集合，又由集合，可得，所以.故選：D.3.今天是二十四節(jié)氣中的大雪，二十四節(jié)氣歌體現(xiàn)著我國古代勞動(dòng)人民的智慧。四句詩歌“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩歌包含了這個(gè)季節(jié)中的6個(gè)節(jié)氣.若從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【分析】直接由組合結(jié)合古典概型求解即可.【詳解】由題意知：從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為.故選：C.4已知為遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.D.【答案】D【分析】由題意先算，再利用，求出時(shí)的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)列的單調(diào)性，即可解決問題【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由為遞增數(shù)列，只需滿足，即8>4+λ，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D.5.已知向量，為平面內(nèi)的一組基底，，，則“”是“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”的（）條件.A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】B6.若過可做的兩條切線，則（）A. B.C.D.【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程為：，把點(diǎn)代入可得：，則此方程有大于0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，列出不等式組，求解即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率，則切線方程為：，把點(diǎn)代入可得，化為：，則此方程有大于0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．則，即，則，故選：A．7.設(shè)，則（）A. B.C.D.【答案】B【分析】由可得到，利用作差法得到，，構(gòu)造，分別求出在上的單調(diào)性，即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，又，令，，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，即；又，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，即，故故選：B8.2022世界杯足球賽在卡塔爾舉行，某中學(xué)在全校學(xué)生中開展“迎新杯”足球賽獎(jiǎng)杯的創(chuàng)意設(shè)計(jì)征集活動(dòng).同學(xué)甲設(shè)計(jì)的創(chuàng)意獎(jiǎng)杯如圖1所示，從其軸截面中抽象出來的平面圖形如圖2所示，若圓O的半徑為10cm，，，甲在獎(jiǎng)杯的設(shè)計(jì)與制作的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OB越長(zhǎng)時(shí)，該獎(jiǎng)杯越美觀，則當(dāng)該獎(jiǎng)杯最美觀時(shí)，(

)A.10cmB.C.D.【答案】B【解析】解：如圖，過O點(diǎn)作，分別交BC，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)，

則，，由，，

得，

則，，，

當(dāng)，即時(shí)，OB取得最大值，

此時(shí)二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.存在使得直與直線垂直C.對(duì)于任意，直線與圓相交D.若直線過第一象限，則【答案】ABC【分析】對(duì)于A：化簡(jiǎn)成點(diǎn)斜式，利用斜率與傾斜角的關(guān)系得出結(jié)論，C選項(xiàng)首先求出直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，得出結(jié)論，B、C是通過特值得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：∵，∴，∴，故A正確；對(duì)于B：時(shí)符合題意，故B正確；對(duì)于C：化簡(jiǎn)得：∴，解得∴直線過定點(diǎn)，又∵∴該定點(diǎn)在圓內(nèi)，∴直線與圓相交，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)此時(shí)直線為，經(jīng)過第一象限，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.若，，且，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】將變形為和，借助基本不等式與1的代換可解.【詳解】，，，，且.則，且.對(duì)A：，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A錯(cuò)誤；對(duì)B：，解得，B正確；對(duì)C：，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C錯(cuò)誤；對(duì)D：，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D正確.11.已知直線：與圓：相交于兩點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為，則（）A. B.存在，使C.D.存在，使【答案】ABC【分析】運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合面積公式和點(diǎn)到直線距離，兩點(diǎn)間距離，直線與圓弦長(zhǎng)公式即可.【詳解】A.直線：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)閳A心為，所以圓心到直線的距離，所以根據(jù)直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式有，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，即，解得時(shí)取得等號(hào).所以，故A正確.B.直線：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，故B正確.C.直線：過定點(diǎn)在圓內(nèi)，因?yàn)閳A：，圓心為，所以圓心到直線的距離因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，,所以被截得的弦長(zhǎng)最短，所以.故C正確.D.要使，則與重合，此時(shí)的直線方程為不過定點(diǎn)，故D錯(cuò).故選:ABC.12.已知函數(shù)和，有相同的極小值，若存在，使得成立，則（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，若的所有根記為，，，，且，則【答案】ACD【分析】首先根據(jù)兩個(gè)函數(shù)極小值相同，分別求導(dǎo)，求出兩個(gè)函數(shù)的極小值，解出b，然后將兩個(gè)函數(shù)圖像作出，根據(jù)圖像可以判斷出BC，對(duì)于D，首先根據(jù)題意得到對(duì)應(yīng)的等式，然后變形，采用等量替換的方法，即可求解.【詳解】，，，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在處取得極小值，而，且，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在處取得極小值，依據(jù)題意，和有相同的極小值，故，解得，故A正確；作出函數(shù)圖象如下圖所示，若，則與、相交時(shí)，或者，故B錯(cuò)誤.由圖像可知，當(dāng)時(shí)，，所以，C正確；若的所有根記為，，且時(shí)，則有，，可得，即，又，同理可得，，則，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.二項(xiàng)式的展開式中含的系數(shù)為___________.【答案】-2114．已知，滿足①，且，②兩個(gè)條件中的一個(gè)，則的一個(gè)值可以為__________.【答案】或答案只要是與6中的一個(gè)即可【解析】解：若滿足條件①，因?yàn)?，所以，解得或，則或舍去，則，，

故若滿足條件②，則15.在三棱錐中，已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面，、分別是、的中點(diǎn)，若異面直線、所成角的余弦值為，則的長(zhǎng)為______，三棱錐的外接球表面積為______．【答案】①.②.【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法求出的值，可求得線段的長(zhǎng)，設(shè)三棱錐的外接球球心為，根據(jù)已知條件建立關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)未知數(shù)的值，可得出球心的坐標(biāo)，求出球的半徑，利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】連接，則，又因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、、，，，由已知可得，解得，因此，，則點(diǎn)，設(shè)三棱錐的外接球球心為，由，即，解得，所以，三棱錐的外接球半徑為，因此，該三棱錐外接球的表面積為.故答案為：；.16.已知A，B為橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)T，則__________．【答案】【分析】設(shè),利用焦半徑公式得到,設(shè)，寫出垂直平分線方程，代入，化簡(jiǎn)得到值，最終求出的值.【詳解】首先我們證明橢圓的焦半徑公式左準(zhǔn)線方程為，右準(zhǔn)線方程為，，，，同理可證，因本題橢圓離心率:，設(shè)由焦半徑公式:得:,即中點(diǎn)，，則垂直平分線斜率為根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，則有，，作差化簡(jiǎn)得，則線段的垂直平分線方程為,代入得:,即,則.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.如圖，中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角的大?。唬?）已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）法一：先用正弦定理化邊為角，再用正弦公式化簡(jiǎn)，即可求得的值，最后結(jié)合三角形角的范圍即可求得結(jié)果；法二：先用余弦定理對(duì)化角為邊，化簡(jiǎn)后再用余弦定理化邊為角，即可求得的值，再結(jié)合三角形角的范圍即可求得結(jié)果；（2）法一：設(shè)，先用正弦定理化角為邊，結(jié)合輔助角公式，即可得到關(guān)于的函數(shù)，討論最大值即可；法二：用余弦定理化角為邊，結(jié)合基本不等式得到關(guān)于的不等式，最后討論最大值及其成立的條件.【小問1詳解】法一：∵，由正弦定理得：，∴，∴，∵，∴，又∵，∴.法二：∵，由余弦定理得：，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】由（1）知，，而四邊形內(nèi)角互補(bǔ)，則，法一：設(shè)，則，由正弦定理得：，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.法二：在中，，，由余弦定理得：，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.18.如圖所示，C為半圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐底面圓心，BD為底面直徑，A為弧BD中點(diǎn)．是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，弦AD上點(diǎn)E使得二面角的大小為30°，且．

（1）求t的值；（2）對(duì)于平面ACD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P總有平面BEC，請(qǐng)指出P的軌跡，并說明該軌跡上任意點(diǎn)P都使得平面BEC的理由．【答案】（1）；（2）P的軌跡為過靠近的三等分點(diǎn)及中點(diǎn)的直線，理由見解析【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系，易得面的一個(gè)法向量為，用表示出面的法向量，通過二面角的大小為30°建立方程，解方程即可；（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，證明面平面BEC，結(jié)合面，即可求出P的軌跡.【小問1詳解】易知面，，以所在直線為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，易知面的一個(gè)法向量為，設(shè)面的法向量為，則，令，則，可得，解得或3，又點(diǎn)E在弦AD上，故.【小問2詳解】P的軌跡為過靠近的三等分點(diǎn)及中點(diǎn)的直線，證明如下：取靠近的三等分點(diǎn)即中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)，易知，又面，面，所以平面BEC，又，面，面，所以平面BEC，又，所以面平面BEC，即和所在直線上任意一點(diǎn)連線都平行于平面BEC，又面，故P的軌跡即為所在直線，即過靠近的三等分點(diǎn)及中點(diǎn)的直線。19.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)．（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）設(shè)圓與曲線的兩交點(diǎn)為M，N，求線段MN的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)C在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．【答案】（1）.（2）.（3）.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，求出，，通過點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)化求解中點(diǎn)P的軌跡的方程即可；（2）將圓與圓的方程相減得，求出圓的圓心到直線的距離d，即可求解；（3）由題可得，當(dāng)且僅當(dāng)A在線段且C在線段上時(shí)，取等號(hào)．設(shè)為關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，可得，即，即可求解的最小值.（1）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，所以，，于是有①，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，即：②，把①代入②，得，整理，得，所以點(diǎn)P的軌跡的方程為．（2）解：將圓與圓的方程相減得：，由圓的圓心為，半徑為1，且到直線的距離，則；（3）解：圓是以為圓心，半徑的圓，圓是以為圓心，半徑的圓，所以①，當(dāng)且僅當(dāng)A在線段且C在線段上時(shí)，取等號(hào)．設(shè)為關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，代入①式得：，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，取等號(hào)．所以的最小值為．20.已知二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和構(gòu)成數(shù)列，數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為（），且當(dāng)時(shí)，有（）（1）求證：為等差數(shù)列；并求和；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知的橢圓C：的左，右頂點(diǎn)分別是A，B，離心率為，過右焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，的面積最大值為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AM與定直線交于點(diǎn)T，記直線TF，AM，BN的斜率分別是，，，若，，成等差數(shù)