浙江省Z20名校聯(lián)盟（名校新高考研究聯(lián)盟）高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名，考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.請(qǐng)保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第I卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出對(duì)應(yīng)集合，再利用交集的定義求解即可.【詳解】令，解得，則，故，故選：C2.已知是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)相等可求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，所以，整理得到:即，故選：D.3.已知向量，向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量投影向量的定義求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚韵蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄?，故選：C4.已知直線交圓于兩點(diǎn)，設(shè)甲：，乙：，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系，判斷甲：和乙：之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，當(dāng)時(shí)，直線，則到直線的距離為，此時(shí)，而，即為正三角形，故；當(dāng)時(shí)，為正三角形，則C到的距離為，即圓心C到直線距離為，解得或，即當(dāng)時(shí)，不一定推出，故甲是乙的充分條件但不是必要條件，故選：A5.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可證明為等差數(shù)列，即可求解.【詳解】，所以，，所以為等差數(shù)列，且公差為1，首項(xiàng)為1，故，即，故選：B6.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再令，解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D7.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角的范圍，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得的值，利用兩角差的余弦公式即可求得，繼而利用二倍角余弦公式求得答案.【詳解】由于，則，而，故，由，可得，則，故，故選：D8.假設(shè)變量與變量的對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)為，兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模型.要利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計(jì)，即求使取最小值時(shí)的的值，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)為二次函數(shù)形式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】因?yàn)椋鲜绞顷P(guān)于的二次函數(shù)，因此要使取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)娜≈禐?故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)為二次函數(shù)形式，利用其性質(zhì)得到最值時(shí)的.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小顆5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.為了了解某公路段汽車通過的時(shí)速，隨機(jī)抽取了200輛汽車通過該公路段的時(shí)速數(shù)據(jù)，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），繪制成頻率分布直方圖，“根據(jù)直方圖，以下說法正確的是（）A.時(shí)速在的數(shù)據(jù)有40個(gè)B.可以估計(jì)該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是65C.時(shí)速在的數(shù)據(jù)的頻率是0.07D.可以估計(jì)汽車通過該路段的平均時(shí)速是【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A，直接由對(duì)應(yīng)的頻率乘以200即可驗(yàn)算；對(duì)于B，由百分位數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于C，由對(duì)應(yīng)的長方形面積之和即可判斷；對(duì)于D，由平均數(shù)的計(jì)算公式即可得解.【詳解】對(duì)于A，，即時(shí)速在的數(shù)據(jù)有40個(gè)，故A正確；對(duì)于B，，所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)位于不妨設(shè)為，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，時(shí)速在的數(shù)據(jù)的頻率是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，可以估計(jì)汽車通過該路段的平均時(shí)速是，故D正確.故選：AD.10.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】首先由抽象函數(shù)的形狀判斷函數(shù)的周期，并求的值，即可求解.【詳解】由條件，可知，所以，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；由條件，可知，所以，故C正確；由函數(shù)的周期為4，且，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.曲線的法線定義：過曲線上的點(diǎn)，且垂直于該點(diǎn)處切線的直線即為該點(diǎn)處的法線.已知點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)處的法線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與交于另一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)是B.的方程是C.D.過點(diǎn)的的法線（包括）共有兩條【答案】BCD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，進(jìn)而確定切線方程判斷A，利用法線的定義判斷B，利用兩點(diǎn)間距離公式判斷C，分類討論判斷D即可.【詳解】對(duì)A，將點(diǎn)代入，得，則，當(dāng)時(shí)，故的方程為，令，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，的方程為，整理得，故B正確；對(duì)C，易得與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立，解得或.與的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故C正確；對(duì)D，易得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)是原點(diǎn)時(shí)，處的法線為軸，顯然不過點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，則處的法線方程為，將點(diǎn)代入得，，又，則，故或過點(diǎn)的的法線（包括）共有兩條，故D正確.故選：BCD12.已知棱長為1的正方體是空間中一個(gè)動(dòng)平面，下列結(jié)論正確的是（）A.設(shè)棱所在的直線與平面所成的角為，則B.設(shè)棱所在的直線與平面所成的角為，則C.正方體的12條棱在平面上的射影長度的平方和為8D.四面體的6條棱在平面上的射影長度的平方和為8【答案】ACD【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的法向量為，利用向量法求線面角和射影問題.【詳解】對(duì)于A，以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,得，，設(shè)的法向量為，則，同理可得，，故A正確；對(duì)于B，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，這3條棱在平面上的射影長度的平方和為，條棱在平面上的射影長度的平方和為8，故C正確；對(duì)于D，，設(shè)與平面所成角為與平面所成角為，則，，在平面上的射影長度的平方和為，則四面體的6條棱在平面上的射影長度的平方和為，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的法向量為，向量法求線面角的正弦值和余弦值，向量法求射影長度，結(jié)果用表示，化簡(jiǎn)即可.第II卷三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.的展開式中的系數(shù)是__________.【答案】8【解析】【分析】寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為1，解出，可得結(jié)果.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，(其中)，令，解得，即二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為.故答案為：814.已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上，的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則的離心率是__________.【答案】【解析】【分析】由題意，將代入橢圓方程，得，結(jié)合正方形性質(zhì)可得，即可得齊次式，即可求得答案.【詳解】不妨設(shè)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，由題意知軸，軸，且經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)，，則，將代入橢圓方程，得，故，由，得，結(jié)合，得，即，解得（負(fù)值舍），故的離心率是，故答案為：15.設(shè)函數(shù)，若存在使成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意確定時(shí)，，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)找到當(dāng)時(shí)，離最近且使得的x值，由此列出不等式，即可求得答案.【詳解】由于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，離最近且使得的x值為,故存在，使成立，需滿足，即的取值范圍為，故答案為：16.已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是__________.【答案】##【解析】【分析】參變分離可得有解，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.【詳解】由得，顯然，所以有解，令，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，則，即最小值是.

故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是參變分離得到有解，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出.四?解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】17.，18.【解析】【分析】（1）根據(jù)得到和的關(guān)系式，同理得到和的關(guān)系式，根據(jù)是等比數(shù)列和是等比數(shù)列求出和的通項(xiàng)；（2）令，對(duì)分偶數(shù)和奇數(shù)討論即可.【小問1詳解】得：，或，同理：或，是等差數(shù)列，，是等比數(shù)列；【小問2詳解】令，其前項(xiàng)和為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，.18.如圖，已知三棱錐平面，點(diǎn)是點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，點(diǎn)在棱上，且滿足.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，先判斷是正三角形，再求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量的垂直關(guān)系即可證明；（2）先求平面的法向量，再利用向量法即可求解.【小問1詳解】連結(jié)，平面平面，又兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：不妨設(shè)，可得，.，所以是正三角形，點(diǎn)為正三角形的中心，所以，,所以.，又，.【小問2詳解】，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得：，則，設(shè)與平面所成角為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.19.在中，角所對(duì)邊分別為，.（1）求的值；（2）若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理和二倍角的余弦公式得；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，再利用余弦定理求出值，最后利用三角形面積公式即可.【小問1詳解】由正弦定理得：，，則，，不等于0，.【小問2詳解】，，所以，聯(lián)立，，在中，由余弦定理得：①在中，由余弦定理得：②由①②式得：故，.20.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的漸近線上，且滿足.（1）求的方程；（2）點(diǎn)為的左頂點(diǎn)，過的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助向量垂直的坐標(biāo)表示及雙曲線漸近線方程求出即可得解.（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及向量共線的坐標(biāo)表示求出的中點(diǎn)縱坐標(biāo)即可得解.【小問1詳解】設(shè)，，由，得，解得，即，而曲線的漸近線方程為，由點(diǎn)在的漸近線上，得，即，因此，所以的方程為.【小問2詳解】由（1）知，設(shè)直線為，由消去y得：，則，，由三點(diǎn)共線，得，同理，因此，所以的中點(diǎn)為定點(diǎn).21.某商場(chǎng)推出購物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：①顧客在商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)每滿100元，可獲得1張抽獎(jiǎng)券；②顧客進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)需消耗1張抽獎(jiǎng)券，抽獎(jiǎng)規(guī)則為：從放有5個(gè)白球，1個(gè)紅球的盒子中，隨機(jī)摸取1個(gè)球（每個(gè)球被摸到的可能性相同），若摸到白球，則沒有中獎(jiǎng)，若摸到紅球，則可獲得1份禮品，并得到一次額外抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（額外抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)不消耗抽獎(jiǎng)券，抽獎(jiǎng)規(guī)則不變）；③每位顧客獲得的禮品數(shù)不超過3份，若獲得的禮品數(shù)滿3份，則不可繼續(xù)抽獎(jiǎng)；（1）顧客甲通過在商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)獲得了2張抽獎(jiǎng)券，求他通過抽獎(jiǎng)至少獲得1份禮品的概率；（2）顧客乙累計(jì)消耗3張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿3份，則他在消耗第2張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)的過程中，獲得禮品的概率是多少？（3）設(shè)顧客在消耗張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿3份，要獲得張抽獎(jiǎng)券，至少要在商場(chǎng)中消費(fèi)滿元，求的值.（重復(fù)進(jìn)行某個(gè)伯努利試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)的成功概率均為.隨機(jī)變量表示當(dāng)恰好出現(xiàn)次失敗時(shí)已經(jīng)成功的試驗(yàn)次數(shù).則服從參數(shù)為和的負(fù)二項(xiàng)分布.記作.它的均值，方差）【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）確定一次摸獎(jiǎng)摸到白球的概率，根據(jù)對(duì)立事件的概率計(jì)算，即可得答案；（2）分別求出顧客乙累計(jì)消耗3張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿3份，以及顧客乙在消耗第2張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)的過程中，獲得禮品的概率，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，即可求得答案；（3）由題意確定，結(jié)合負(fù)二項(xiàng)分布的均值和方差公式，即可求得答案.【小問1詳解】由題意可知一次摸獎(jiǎng)摸到紅球的概率為，摸到白球的概率為，故甲至少獲得1份禮品的概率；【小問2詳解】設(shè)“顧客乙累計(jì)消耗3張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿3份”，“顧客乙在消耗第2張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)的過程中，獲得禮品”，，；【小問3詳解】由題意可知?jiǎng)t，.22.已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，易得在上單調(diào)遞增求解