第6講函數(shù)零點找點方法講義-高三數(shù)學一輪復習

高三上第6講“找點”方法【引言引例】“找點”問題在高考模考中出現(xiàn)的較多，出現(xiàn)的形式常為利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點情況、恒成立問題中找矛盾區(qū)間等等，很多人遇上了往往就嘗試著猜幾個特殊的值，可行，但并不是每次都很湊效.2022南京二模第22題：設函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，.⑴若，求證：函數(shù)有唯一零點；⑵若函數(shù)有唯一零點，求的取值范圍.⑴【解】，在上單調(diào)遞減.因為，所以需要找到一個“負數(shù)”，是其函數(shù)值.因為，解得，取，所以（這就是找點問題）綜上，函數(shù)在上有唯一零點.⑵【解】由⑴知，當時，函數(shù)有唯一零點，符合題意；當時，令，得，構造函數(shù)，轉化為“在上有唯一零點”，；再構造函數(shù)，，所以在上遞減，；當時，，增；當時，，減，；若即，則，在上無零點，不合題意；若即，則，在上有唯一零點；若即，則，此時①證存在使，因為，且分子為負，所以將分母放大為，即，顯見只要取即可，；②證存在使，因為分子為正，所以將分母縮小（證明略），即，即解，解得，可以取得大點，即將“根”放大，便于“使用”：，取，所以在和上各有一個零點，不合題意.綜上，的取值范圍是.【評】熟悉基本的操作流程、熟悉找點的基本套路.由于只需要找到遠離零點的“點”，所以可將表達式進行放縮，其實對和的放縮的同時，還可將問題簡化處理，事實上這類問題的處理方式具有很大的套路化.今天的任務就是研究這些套路.處理這類問題，大致分為兩步走：第一步是弄清函數(shù)的變化情況，增函數(shù)？減函數(shù)？當時函數(shù)值的趨勢，也就是函數(shù)的極限情況，使得對問題的答案了然于胸.第二步“放縮取點”，然后再對所取點的函數(shù)值的正、負進行嚴謹?shù)淖C明.【知識儲備】在導數(shù)問題中，我們有兩個常見的切線放縮，即和，利用這兩個不等式及其變形，基本上能處理絕大多數(shù)的問題了.但常常會舍掉部分元素進一步放縮，即和.利用和，我們再作一些簡單的代換（其中），得到下列形式：⑴對放大：（當時）；；；；…⑵對縮?。海ó敃r）；；；；…⑶對縮?。海ó敃r）；；；；…⑷對放大：（當時）；；；；…如果我們能夠限定變量的范圍，就能將其中的某些項放縮成具體的常數(shù)，比如當時有；再者，常數(shù)也可以放縮為變量，比如例1⑺中因為，所以將“”縮小為“”；還有，當所給的函數(shù)表達式比較復雜時，也可以將其分成多個部分分別進行處理，比如例1⑶.找“點”不好找，本質上就是不等式不好解，但由于這樣的“點”有無窮多個，我們只需要找到其中部分，所以我們可以適當?shù)赝艘徊?，放縮一下，將不好解的不等式轉化為好解的不等式.【經(jīng)典例題】例1⑴已知，，是否存在使得.【分析】由于參數(shù)的不確定性，直接利用縮小明顯不行.考慮；（也可以縮小為等，要保證趨于正無窮時，放縮的結果也要趨于正無窮，即次數(shù)要比1大）所以，只要讓即可，解得，所以.⑵已知，，是否存在使得．【分析】同上題，讓，這個不等式不難解，但因需要分類討論有點煩，所以可以對常數(shù)繼續(xù)放縮，解礙．所以．⑶已知，．，是否存在使得．【分析】利用，所以，讓，三次不等式同樣不好解.這時候我們得再放縮調(diào)整一下，反正“點”有很多，主要目的還是為了不等式好解.由，此處的縮小有點“高級”，其目的是為了便于解.再讓，得，取，則有.雖說取的“點”的形式難看了點，但總歸是很輕易地算出來了，想好看一點可以自己重新調(diào)整下系數(shù).⑷已知，，是否存在使得.【分析】當時，有，讓，解得，所以．

⑸已知，，是否存在使得．【分析】當時，.利用，則，讓，但不符合要求.調(diào)整為，所以，即，（當時，放縮的結果還是趨向于），解得，取，即有．⑹已知，．是否存在使得．【分析】當時，.當時，有，所以讓，解得，取，即有．⑺已知，，是否存在使得．【分析】利用且，讓，解得，所以.⑻已知，，是否存在使得．【分析】先作個變形，由，利用，讓，解得，所以．例2⑴已知，，是否存在使得．【分析】利用，即，讓（同樣還是讓起主導作用，所以放縮的結果次數(shù)應介于之間，另外小于0那就肯定不對了），解得.或者也可以這樣，，讓，解得，取，或，即有.⑵已知，，是否存在使得．【分析】，解得，所以.⑶已知，，是否存在使得．【分析】當時，，所以這次要找的“點”應該靠近于0.利用，即（放縮的結果應比弱一點，這樣才能保證當時，放縮結果還是趨于的），讓，解得，故取，即有.⑷已知，，是否存在使得．【分析】利用，即（根據(jù)趨勢放縮的結果應比弱一點），讓，解得，故取，即有.

【高考模考題精選】例1（2013江蘇20）設函數(shù)，，其中為實數(shù).⑴若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；⑵若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證明你的結論.⑴【解】因為“在上減”，所以在上恒成立，所以；，駐點，在上遞減，在上遞增，最小值點，因為“在上有最小值”，所以，解得的取值范圍是.⑵【解1】由題在恒成立，所以.由分離參數(shù)得：，畫圖見右：當時，有唯一零點；當時，有唯一零點；當時，若，則恒成立，沒有零點；若，則遞增，且，要解決的問題是找，使得，由，解得，故取，即有，據(jù)零點存在性定理，在上有唯一零點，從而在上有唯一零點.當時，因為，所以；因為在上遞增，且，所以在上有唯一零點；在上，利用放大（用放大也可，但不能用，等放大；放縮的結果應該是一個比弱一點的形式，否則改變了整個減數(shù)的變化趨勢，并且所得不等式解的形式明顯不符合），讓，取，即有，所以在上有唯一零點，從而在上有兩個零點.綜上，當或時，有唯一零點；當時，有兩個零點；當時，沒有零點.【點評】【解1】采用的分離參數(shù)法，好處是能得到一個熟悉的確定的函數(shù)，便于處理；下面再作一個不分參的處理解答【另解】.【另解】由，得，其中.當時，，有唯一零點；當時，，在上，且時，；時，；先找一個較小的，使；因為較小，所以不妨假設；對放大：，解得，故取，即有；另一方面，，所以在上有唯一零點；當時，在上，在上，；并且時，；時，.在上，有，讓，解得，故?。ㄔ撊≈当容^容易，可以直接看出來），即有.在上，利用，即，讓，即，取，即有（或者也可以利用，讓，即，取，即有）.綜上，當或時，有唯一零點；當時，有兩個零點；當時，沒有零點.例2（2018全國卷2理21）已知函數(shù).⑴若，證明：當時，；⑵若在上只有一個零點，求實數(shù).⑴【證】（可不講）“”即，，且；所以，當時，，即.⑵【解】若，則在上無零點，所以；的零點等價于的零點；（分離參數(shù)；指數(shù)下沉）先研究函數(shù)，得，在上，在上；，并且當時，，所以的草圍大致如下，所以當或時，無零點；當時，有唯一零點；當時，有兩個零點；以下說明：當時，因為，，所以有唯一零點；當時，利用，得，解得；故取，即有，所以在上有唯一零點；從而在上共有兩個零點.【點評】此題第⑵問和2013年陜西卷理科第21題第⑵問類似，題目如下：已知函數(shù)，.⑴若直線與的反函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)的值；⑵設，討論曲線與曲線公共點的個數(shù)；⑶設，比較和的大小，并說明理由.⑴【解】（可不講）反函數(shù)為，設切點為，則，解得.⑵【解】“兩曲線與公共點的個數(shù)”等價于函數(shù)的零點個數(shù)；求導得：，在上，在上，；當時，只有一個零點，即兩曲線與只有一個公共點；當時，沒有零點，即兩曲線與沒有公共點；當時，，①當時，由，解得，所以；②當時，由，解得，所以；所以，使得；使得；此時，有兩個零點，即兩曲線與有兩個公共點；綜上，若，兩曲線一公共點；若，兩曲線無公共點；若，兩曲線二公共點.⑶【解】（可不講）構造函數(shù)，則；從而在時，，所以；（這也是函數(shù)不等式之一）取，則有，整理得，即；綜上，.例3（2017全國卷1理21）已知函數(shù)．⑴討論的單調(diào)性；⑵若有兩個零點，求的取值范圍．⑴【解】（可不講）；當時，，；當時，由得；當時；當時.⑵【解】，根據(jù)有兩個零點，則需滿足，且，由單調(diào)性得，即，并且當時，；當時，.當時，，由，解得，故取，即有；當時，函數(shù)不等式，由，解得，故取，即有.，例4（2016全國卷Ⅰ理21）已知函數(shù)有兩個零點．⑴求的取值范圍；⑵設是的兩個零點，證明：．⑴【解】，易知不符合（自行說明）；而時，在上遞減，在上遞增，.并且當時，；當時，.當時，，所以讓，解得，故取，即有；當時，直接?。ú辉俜笔觯从?

例5（2018浙江22）已知函數(shù).⑴若在處導數(shù)相等，證明：；⑵若，證明：對任意，直線與曲線有唯一公共點.⑴【證】因為，所以由得：，即；由基本不等式得，所以；據(jù)題意，構造函數(shù)，則，在上，在上；因為，所以.⑵【證】等價于證明函數(shù)有唯一零點；等價于證明函數(shù)有唯一零點；（由，這樣的范圍可能會起作用）而，分子，所以，在上遞減，所以至多有一個零點，從而至多有一個零點；并且當時，；當時，；（但此說法不能作為證明?。┤?，則，解得；取，則有；若，則，該不等式不難解，但因可正可負需討論，故再作改變，解得，故??；則有.

【精選練習】1．設函數(shù).若方程有解，求的取值范圍．【解】方程有解函數(shù)有零點．．時，（函數(shù)不等式），所以無零點；時，（觀察?。鞠乱徊椒治觯喝绾钨x值,使得？當時,，解得，說明:若不能確保所得到的，則改用兩點式,即（參閱(二)例2分析3）】又且，由零點定理，有零點．時，，所以令，解得（易知是的最大值點）【下一步分析：令，得,無零點．于是剩下，得，又經(jīng)觀察，所以有零點】①時，，所以無零點；②時，，又經(jīng)觀察，所以有零點．綜上所述或．2．為正常數(shù)，函數(shù)，．證明：，使得當時，恒成立．【證1】由函數(shù)不等式，用替換得：，即而.今取，當時，.獲證．【證2】易證時，①；②；③在上遞減（證略）.于是當時，，成立；當時，?。@然），當時，，即，成立．綜上，使得當時，恒成立．3．已知，．⑴⑵略⑶當，，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在使得，求實數(shù)的取值范圍．【解】易得在上遞增，在上遞減，故，又，，所以的取值范圍（即值域）為．而過定點，．【分析：分別令（無解），……】當時，在上，，單調(diào)減，不合題意；當時，由得，當時減，當增，并注意到（函數(shù)不等式），從而有．【下一步分析：需證在及上的取值范圍均應包含，所以兩段上的“賦值”回避不了】事實上，一方面在上，須，即；另一方面在上，存在，使，所以當時，在兩個單調(diào)區(qū)間上的取值范圍均包含，所以，必存在，，使.綜上，所求取值范圍是．

（2023全國甲卷21）已知，.（22題時選做題）⑴若，討論的單調(diào)性；⑵若恒成立，求的取值范圍.⑴【解】；換元，結合，構造函數(shù)；當時，；即當時，，；當時，；即當時，，；綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.⑵【解1】構造函數(shù)，；1t1t0a3t1t1t0a3t再構造函數(shù)，；所以，；若，則，，，所以，即成立；若，可以證明：當時，，即可以“找到”較小的，使；在時，；由，解得，取，則；所以，存在，使得；且時；時；即存在，使得；且時；時；所以，當時，，，不合題意.綜上，的取值范圍是.⑵【解2】構造函數(shù)，；若換元，則；再構造函數(shù)，則；所以，在時，，即（同增異減）；注意到；當即時，，在時，恒成立，符合題意；當即時，，令，解得，令且，；因為，所以存在使，且時，，；此時，，這與對恒成立矛盾.綜上，的取值范圍是.（2023全國乙卷21）已知函數(shù).⑴當時，求曲線在點處的切線方程；⑵是否存在，使曲線關于直線對稱，若存在，求的值，若不存在，說明理由；⑶若在存在極值，