浙江省臺州市三門縣2023-2024學年九年級上學期第一次月考數(shù)學試題（含答案解析）

2023學年第一學期9年級數(shù)學階段性練習一親愛的考生：歡迎參加考試！請你認真審題，仔細答題，發(fā)揮最佳水平．答題時，請注意以下幾點：1．全卷共4頁，滿分120分，考試時間120分鐘．2．答案必須寫在答題紙相應的位置上，寫在試題卷、草稿紙上無效．3．答題前，請認真閱讀答題紙上的“注意事項”，按規(guī)定答題．4．本次考試不得使用計算器．一．選擇題（共30分，每個3分）1.下列標志中，可以看作是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念：把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B、是中心對稱圖形，符合題意；C、軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，解題的關鍵是掌握把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．2.拋物線的對稱軸是（）A.直線 B.直線 C.直線 D.直線【答案】A【解析】【分析】二次函數(shù)的頂點式“”的頂點為，對稱軸為，所以可根據(jù)題中給出的表達式直接得出結果．【詳解】拋物線已經(jīng)是頂點式，頂點坐標為為該拋物線的對稱軸故選：A【點睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點式與圖象的關系，掌握如何利用頂點式找到函數(shù)圖象的特征是解決本題的關鍵．3.已知的半徑為，點在內，則的長可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查點與圓的位置關系，根據(jù)點在圓內，點到圓心的距離小于圓的半徑進行判斷．解題的關鍵是掌握點與圓的位置關系：設的半徑為，點到圓心的距離，則有：點在圓外；點在圓上；點在圓內．【詳解】解：∵的半徑為，點在內，∴，即長可能是．故選：D．4.用配方法解一元二次方程時，下列變形正確的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)配方法的原理，湊成完全平方式即可.【詳解】解：，，，故選D．【點睛】本題主要考查配方法的掌握，關鍵在于一次項的系數(shù)等于2倍的二次項系數(shù)和常數(shù)項的乘積.5.如圖，在中，，則度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理即可得出答案．【詳解】解：∵，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了求圓周角的度數(shù)，掌握圓周角定理是解題的關鍵.即同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角度數(shù)的一半．6.如圖，在中，，，將三角形ABC繞點A按順時針方向旋轉到三角形的位置，使得點、、在一條直線上，那么旋轉角等于（）A.145° B.130° C.135° D.125°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形內角和定理求出∠BAC的度數(shù)，根據(jù)旋轉變換的性質求出∠BAC1=80°，得到∠CAC的度數(shù)即可．【詳解】解：∵∠C=90°，∠B=40°，∴∠BAC=50°，由旋轉的性質可知，∠B1AC1=∠BAC=50°，∴∠BAC1=80°，∴∠CAC1=130°，故選：B．【點睛】本題考查的是旋轉變換的性質、三角形內角和定理的應用，旋轉變換的性質：對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，旋轉前、后的圖形全等．7.某漁具店銷售一種魚餌，每包成本價為元，經(jīng)市場調研發(fā)現(xiàn)：售價為元時，每天可銷售包，售價每上漲元，銷量將減少包．如果想獲利元，設這種魚餌的售價上漲元，根據(jù)題意可列方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設這種魚餌的售價上漲元，根據(jù)題意，列出方程即可求解，根據(jù)題意，找到等量關系，列出方程是解題的關鍵．【詳解】解：設這種魚餌的售價上漲元，由題意可得，，故選：．8.如圖，在中，弦和相交于點E，甲同學說：若，則．乙同學說：若，則．他們的說法中（）A.僅甲正確 B.僅乙正確C.甲、乙都正確 D.甲、乙都不正確【答案】C【解析】【分析】本題考查了弧、弦、圓心角、圓周角的關系．由弦等得到，可推出；連接，得到，推出；據(jù)此即可判斷．【詳解】證明：，，，即；甲同學說法正確；連接，∵，∴，∴；乙同學說法正確；綜上，甲、乙的說法都正確，故選：C．9.已知函數(shù)，當0≤x≤m時，有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是（）A.m≥1 B.0≤m≤2 C.1≤m≤2 D.1≤m≤3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的圖象及性質可知函數(shù)最小值為2，然后利用拋物線圖象關于對稱軸對稱的性質判定即可．【詳解】由題意可知拋物線對稱軸為，開口向上，在對稱軸左側，對稱軸左側函數(shù)圖象為單調遞減，在對稱軸左側時有最大值3上有最大值3，最小值2，當時，，的取值范圍必須大于或等于1，拋物線的圖象關于對稱，．．故選C．【點睛】本題考查了求二次函數(shù)最值的問題，解決本題的關鍵是根據(jù)對稱軸求出頂點坐標．10.如圖，△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，D是AB上的動點，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°，得到線段CE，連接BE，則BE的最小值是（）A.-1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】過點C作CK⊥AB于點K，將線段CK繞點C逆時針旋轉90°得到CH，連接HE,延長HE交AB的延長線于點J；通過證明△CKD≌△CHE(ASA)，進而證明所構建的四邊形CKJH是正方形，所以當點E與點J重合時，BE的值最小，再通過在Rt△CBK中已知的邊角條件，即可求出答案.【詳解】解：如圖,過點C作CK⊥AB于點K，將線段CK繞點C逆時針旋轉90°得到CH，連接HE,延長HE交AB延長線于點J∵將線段CD繞點C逆時針旋轉90°,得到線段CE∴∠DCE=∠KCH=90°∵∠ECH=∠KCH-∠KCE，∠DCK=∠DCE-∠KCE∴∠ECH=∠DCK又∵CD=CE，CK=CH∴在△CKD和△CHE中∴△CKD≌△CHE(ASA)∴∠CKD=∠H=90°，CH=CK∴∠CKJ=∠KCH=∠H=90°∴四邊形CKJH是正方形∴CH=HJ=KJ=C'K∴點E在直線HJ上運動，當點E與點J重合時，BE的值最小∵∠A=30°∴∠ABC=60°在Rt△CBK中，BC=2∴CK=BCsin60°=，BK=BCcos60°=1∴KJ=CK=所以BJ=KJ-BK=BE的最小值為故選A．【點睛】本題主要考查了以線段旋轉為載體的求線段最短問題，正方形的構建是快速解答本題的關鍵．二．填空題（共24分，每個4分）11.在平面直角坐標系中，若點與點關于原點對稱，則點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特點，即可求得．【詳解】解：在平面直角坐標系中，點與點關于原點對稱，則點的坐標為．故答案為：．【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特點，熟練掌握和運用關于原點對稱的點的坐標特點是解決本題的關鍵．12.若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】由方程有兩個相等的實數(shù)根，根據(jù)根的判別式可得到關于m的方程，則可求得m的值．【詳解】∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，即，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式以及解一元一次方程的知識，理解并正確運用一元二次方程的根的判別式是解題關鍵．13.將二次函數(shù)向左平移4個單位，向下平移2個單位，所得到的新函數(shù)關系式為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的方法：左加右減，上加下減，可得答案．【詳解】解：拋物線向左平移4個單位可得，再向下平移2個單位可得，故答案為：【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，準確掌握平移方法是解題的關鍵．14.如圖，是由繞點O順時針旋轉后得到的圖形，若點D恰好落在上，且，則的度數(shù)是________．【答案】##40度【解析】【分析】本題考查旋轉性質，等腰三角形性質及判定，三角形內角和定理．根據(jù)題意可得是等腰三角形，，，利用等腰三角形性質可知，繼而得到，再利用三角形內角和定理即可得到本題答案．【詳解】解：∵是由繞點O順時針旋轉后得到的圖形，∴，，∴等腰三角形，∵，∴，∴，，∴，故答案為：．15.二次函數(shù)圖象經(jīng)過點，且圖象對稱軸為直線，則方程的解為________．【答案】1或3【解析】【分析】本題考查根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應方程根的情況，明確題意，運用二次函數(shù)的對稱性是解題關鍵．由拋物線圖象經(jīng)過點，對稱軸是直線，則拋物線一定經(jīng)過點關于直線的對稱點，從而可得答案．【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可得，拋物線圖象經(jīng)過點，對稱軸是直線，則拋物線一定經(jīng)過點關于直線的對稱點，當時，關于x的方程的兩個解為：，．∴方程的解為，；故答案為：1或3．16.如圖，四邊形內接于以為直徑的，平分，若四邊形ABCD的面積是，則________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了圓周角定理和圓內接四邊形的性質，全等三角形的性質和判定，關鍵在于運用轉化思想，將四邊形的面積轉化為的面積．過A點作，交的延長線與點E，證明，從而得到四邊形的面積等于的面積，然后證明出是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式即可求出的長度．【詳解】如圖，過A點作，交的延長線與點E．∵為的直徑∴∵平分∴∴∴∵∴∴又∵∴又∵在中，∴∴∴∴∴故答案為：．三．解答題（共66分，第17~20題毎題6分，笰21題8分，第22題10分，第23題，24每題12分，共66分）17.解方程：．【答案】或【解析】【分析】由十字相乘法即可求出答案．【詳解】解：，，或，或．【點睛】本題考查了解一元二次方程，靈活運用解一元二次方程的方法是解題的關鍵．18.在如圖所示的方格紙中建立平面直角坐標系，小正方形的邊長為1，的三個頂點都格點上．（1）畫出于原點對稱的；（2）畫出關于軸對稱的；（3）求出的面積．【答案】（1）作圖見解析（2）作圖見解析（3）的面積是【解析】【分析】（1）根據(jù)中心對稱變換的性質，找出對應點，即可求解，（2）根據(jù)軸對稱變換的性質，找出對應點，即可求解，（3）根據(jù)割補法，即可求解，本題考查了作圖，中心對稱變換，軸對稱變換，割補法求面積，解題的關鍵是：熟練掌握相關變換法則．【小問1詳解】解：如圖所示：即為所求，【小問2詳解】解：如圖所示：即為所求，【小問3詳解】解：，故答案為：的面積是．19.已知拋物線．（1）求拋物線與y軸交點的坐標；（2）點P在拋物線上，且點P到y(tǒng)軸的距離為1，求點P的坐標．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)與y軸的交點坐標，二次函數(shù)圖象上的點的坐標特點：（1）求出當時，即可得到答案；（2）根據(jù)到y(tǒng)軸距離為橫坐標的絕對值得到點P的橫坐標為，據(jù)此求出當時和當時，y的值即可得到答案．【小問1詳解】解：在中，當時，，∴拋物線與y軸交點的坐標為；【小問2詳解】解：∵點P到y(tǒng)軸的距離為1，∴點P的橫坐標為，在中，當時，，當時，，∴點P的坐標為或．20.“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學語言可表達為：“如圖，為的直徑，弦于點E，寸，寸，則直徑的長為多少？【答案】寸【解析】【分析】此題考查了學生對垂徑定理的運用與掌握，注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心距所構成的直角三角形來解決實際問題，連接構成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由垂直得到點E為的中點，由可求出的長，再設出設圓O的半徑的長為x，表示出，根據(jù)勾股定理建立關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案．【詳解】解：連接，∵∴，設圓O的半徑的長為x，則∵，∴，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：，化簡得：，即，解得：所以（寸）．21.2022北京冬奧會期間，冰墩墩和雪融融受到人們的廣泛喜愛．由于銷售火爆，某網(wǎng)店的銷售單價經(jīng)過兩次的調整，從每套150元上漲到每套216元．（1）若銷售價格每次上漲的百分率相同，求每次上漲的百分率為多少？（2）按同樣的上漲百分率，預計第三次調價后的銷售價為多少？【答案】（1）（2）元【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題關鍵．（1）設每次上漲的百分率為，由題意列方程并求解，可得答案；（2）由（1）可知每次上漲百分率為，再按照相同利率上調可得第三次調價后銷售價．【小問1詳解】解：設每次上漲的百分率為，根據(jù)題意得解得：（不合題意，舍去）故每次上漲百分率為【小問2詳解】解：由（1）可知每次上漲百分率為則按同樣的上漲百分率，預計第三次調價后的銷售價為元22.如圖，點M，N分別在正方形的邊上，且．把繞點A順時針旋轉得到．（1）求證：．（2）若，求正方形的邊長．【答案】（1）見解析（2）6【解析】【分析】本題考查旋轉性質，全等三角形判定及性質，勾股定理，等腰三角形判定．（1）根據(jù)題意可知，再證明即可；（2）設，則，，由（1）中全等可得，再利用勾股定理即可得到本題答案．【小問1詳解】解：由旋轉的性質得，，∴，∴，∴點E，點B，點C三點共線，∵，∴，∴，∵，∴．【小問2詳解】解：設，則，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，解得，或（舍棄），∴正方形的邊長為6．23.二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．（1）當時，判斷與的大小．（2）當時，求的取值范圍．（3）若此函數(shù)圖象還經(jīng)過點，且b滿足時，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，掌握二次函數(shù)的性質，是解題的關鍵．（1）根據(jù)，用含的代數(shù)式表示，判斷函數(shù)值大小即可；（2）將點，代入解析式，根據(jù)，列出不等式進行求解即可；（3）根據(jù)對稱性，求出，將轉化為二次函數(shù)求最值即可．【小問1詳解】解：當時，，【小問2詳解】，又；【小問3詳解】二次函數(shù)的對稱軸為直線，∵二次函數(shù)經(jīng)過，兩點，∴，∴，，∵，∴當，有最小值為2；當時，有最大值為．24.旋轉與等腰直角三角形、正方形：把共頂點的一個等腰直角三角形和正方形中的一個繞一點旋轉到一定位置，探究圖形的幾何性質，為我們提供一個動態(tài)的數(shù)學環(huán)境．已知等腰直角三角形ABC和正方形BDEF有一個公共的頂點B，AB＞BD．（1）如圖1，AF與CD的數(shù)量關系為，位置關系為；（2）將正方形BDEF繞著點B順時針旋轉α角（0°＜α＜360°），①如圖2，第（1）問的結論是否仍然成立？請說明理由．②若AB＝4，BD＝2，當正方形BDEF繞著點B順時針旋轉到點A、D、F三點共線時，連接CD，則CD的長度為；（在備用圖中補全圖形求解）③如圖3，若BC＝2，AC＝4AD，當正方形BDEF繞著點B順時針旋轉，當點D在AC上時，延長CB交AF的延長線于點G，連接GE，則GE的長度為．【答案】（1）AF＝CD，AF⊥CD；（2）①成立，理由見解析；②2+2或2﹣2；③．【解析】【分析】（1）先證△ABF≌△CBD（SAS），得AF=CD，∠BAF=∠BCD，再證出∠CHF=90°，即可得出AF⊥CD；（2）①設AF交BC于點M，交CD于點N，證△ABF≌△CBD（SAS），得AF=CD，∠FAB=∠DCB，再證出∠CNM=∠ABM=90°，即可得出AF⊥CD；②分兩種情況，連接BE交DF于O，求出DF=BE=BD=4，OB=OD=OF=DF=2，再由勾股定理求出AO=2，分別求出AF，即可得出答案；③過B作BH⊥AC于H，過E作EM⊥DA于M，EN⊥AF于N，則BH=AH=AC=2，∠BHD=∠DME=90°，證△DME≌△BHD（AAS），得DM=BH=2，EM=DH=1，再證矩形AMEN是正方形，得AN=EN=AM=1，然后證△BFG≌△BDA（ASA），得GF=AD=1，則AG=AF+GF=4，求出GN=AG-AN=3，由勾股定理即可得出答案．【詳解】解：（1）AF與CD的數(shù)量關系為：AF＝CD，位置關系為：AF⊥CD，理由如下：延長AF交CD于H，如圖1所示：∵等腰直角三角形ABC和正方形BDEF有一個公共的頂點B，∴AB＝CB，BF＝BD，∠ABF＝∠CBD＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，在△ABF和△CBD中，，∴△ABF≌△CBD（SAS），∴AF＝CD，∠BAF＝∠BCD，∵∠CFH＝∠AFB，∴∠BCD+∠CFH＝∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠CHF＝90°，∴AF⊥CD；故答案為：AF＝CD，AF⊥CD；（2）①第（1）問的結論仍然成立，理由如下：設AF交BC于點M，交CD于點N，如圖2所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵四邊形BDEF是正方形，∴BD＝BF，∠FBD＝90°，∴∠ABC+∠CBF＝∠FBD+∠CBF，即∠ABF＝∠DBC，∴△ABF≌△CBD（SAS），∴AF＝CD，∠FAB＝∠DCB，∵∠AMB＝∠NMC，∴∠CNM＝∠ABM＝90°，∴AF⊥CD；②分兩種情況：a、如圖4所示：連接BE交DF于O，∵四邊形BDEF是正方形，∴BD＝DE＝EF，BE⊥DF，∠DEF＝90°，O