離散時(shí)間信號的傅里葉變換

第五章離散時(shí)間傅立葉變換本章內(nèi)容：離散時(shí)間傅立葉變換的表示；常用信號的傅立葉變換；傅立葉變換的性質(zhì)；傅立葉變換的收斂；周期信號的傅立葉變換；對偶性；卷積性與相乘性；LTI系統(tǒng)的頻域響應(yīng)與系統(tǒng)的頻域分析；通過對離散時(shí)間傅立葉變換的學(xué)習(xí)，掌握信號在頻域的分析思想、物理含義及系統(tǒng)在頻域分析的方法，理解信號通過系統(tǒng)傳輸?shù)牟皇д鏃l件。1可編輯ppt5.1非周期信號的表示：離散時(shí)間傅里葉變換一、從DFS到DTFT讓我們先來觀察周期性矩形脈沖信號，取其周期N=10、20與40時(shí)，其頻譜的變化情況如下圖所示。2可編輯ppt在討論離散時(shí)間周期性矩形脈沖信號的頻譜時(shí),我們看到:當(dāng)信號周期N增大時(shí),頻譜的包絡(luò)形狀不變,幅度減小,而頻譜的譜線變密。當(dāng)時(shí),有,而從時(shí)域看,當(dāng)周期信號的周期時(shí),就變成了一個(gè)非周期的有限長序列.可以預(yù)見,對一個(gè)非周期的有限長序列,它的頻譜應(yīng)該是一個(gè)連續(xù)的頻譜.（如動(dòng)畫5-1所示）對周期信號由DFS有3可編輯ppt當(dāng)時(shí)，，令有————DTFT顯然，對是以為周期的。參看動(dòng)畫5-24可編輯ppt將其與表達(dá)式比較有：于是：當(dāng)時(shí)，，，，

。5可編輯ppt當(dāng)k在一個(gè)周期范圍內(nèi)變化時(shí)，在范圍內(nèi)變化，所以積分區(qū)間是。表明:離散時(shí)間序列可以分解為頻率在區(qū)間上連續(xù)分布的、幅度為的復(fù)指數(shù)分量的線性組合。結(jié)論：離散時(shí)間非周期信號的傅立葉變換對為：6可編輯ppt二.常用信號的離散時(shí)間傅立葉變換1.,通常是復(fù)函數(shù)。的模和相位：信號的幅頻特性如下：7可編輯ppt由圖可以得到:時(shí),信號表現(xiàn)為低通特性,為單調(diào)指數(shù)衰減;時(shí),信號表現(xiàn)為高通特性,為擺動(dòng)指數(shù)衰減。8可編輯ppt2、9可編輯pptDTFT的收斂問題三、當(dāng)序列是無限長序列時(shí),由于

表達(dá)式是無窮項(xiàng)級數(shù),當(dāng)然會存在收斂問題.

，則

存在，且級數(shù)一致收斂于

。

，則級數(shù)以均方誤差最小準(zhǔn)則收斂于

。10可編輯ppt5.2周期信號的DTFT對連續(xù)時(shí)間信號,有

由此推斷對離散時(shí)間信號或許有相似的情況.但由于DTFT一定是以為周期的,因此,頻域的沖激應(yīng)該是周期性的沖激串:

對其作反變換有:11可編輯ppt可見：

由DFS，有

，

因此,周期信號

可表示為DTFT12可編輯ppt從上式可以看出與連續(xù)時(shí)間傅立葉變換中的形式是完全一致的.例：

不一定是周期的,當(dāng)

時(shí)，

才是周期的.

的頻譜如圖所示：13可編輯ppt14可編輯ppt5.3離散時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)通過對DTFT性質(zhì)的討論,目的在于揭示信號時(shí)域和頻域特性之間的關(guān)系。一.周期性:若

，則

。二.線性15可編輯ppt三.時(shí)移與頻移若

，

則：四.時(shí)間反轉(zhuǎn)若

，則

。五.共軛對稱性若

，則

。16可編輯ppt六.時(shí)域差分與求和例：

，

∴

17可編輯ppt七.時(shí)域內(nèi)插定義：

∴

18可編輯ppt信號時(shí)頻域的約束關(guān)系可參見動(dòng)畫619可編輯ppt八.頻域微分20可編輯ppt九.Parseval定理:對非周期離散時(shí)間信號：

稱為

的能量譜密度函數(shù)。對周期離散時(shí)間信號：稱為周期信號的功率譜。21可編輯ppt5.4卷積特性若

，則

。即是系統(tǒng)的頻率特性。說明:該特性提供了對LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析的理論基礎(chǔ)。例:求和特性的證明22可編輯ppt5.5相乘性質(zhì)如果:

則:23可編輯ppt由于

和

都是以

為周期的，因此上述卷積稱為周期卷積。例：y(n)=x(n)·c(n)，其中

24可編輯ppt調(diào)制信號的過程可見動(dòng)畫725可編輯ppt5.7對偶性

一.DFS的對偶性，

由于

本身也是以N為周期的序列,當(dāng)然也可以將其展開成DFS形式

即：

或

這表明

序列的DFS系數(shù)就是

26可編輯ppt即：利用對偶性可以很方便的將DFS在時(shí)域得到的性質(zhì)對偶到頻域得到相應(yīng)的性質(zhì).例1:從時(shí)移到頻移，

利用時(shí)移性質(zhì)有:27可編輯ppt由對偶性有:∴

∵

∴

即是頻移特性。28可編輯ppt二.DTFT與CFS間的對偶由

知

是一個(gè)以

為周期的連續(xù)函數(shù)。若在時(shí)域構(gòu)造一個(gè)以

為周期的連續(xù)時(shí)間信號

則可將其表示為CFS:，

比較

和

的表達(dá)式可以看出

，這表明：29可編輯ppt若

則

利用這一對偶關(guān)系,可以將DTFT的若干特性對偶到CFS中去;或者反之。

例:從CFS的時(shí)域微分到DTFT的頻域微分————CFS的時(shí)域微分特性∵若

，則

∴

————DTFT的頻域微分特性30可編輯ppt例:從CFS的卷積特性到DTFT的相乘特性由CFS的卷積特性：由對偶性：31可編輯ppt如圖所示對偶關(guān)系示意圖可參看動(dòng)畫5-85-932可編輯ppt例：求

的

?！?/p>

，

∴

33可編輯ppt5.8由LCCDE表征的系統(tǒng)

工程中使用相當(dāng)廣泛的一類離散時(shí)間LTI系統(tǒng)可以由一個(gè)線性常系數(shù)差分方程LCCDE來表征:一.系統(tǒng)的頻域響應(yīng)對LCCDE描述的系統(tǒng)，有以下的方法可求得系統(tǒng)的頻域響應(yīng)。

方法一:

可以從求解

時(shí)的差分方程得到

,而將

變換而求得

。方法二:

可以通過求出

時(shí)方程的解而得到

因?yàn)?/p>

是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù),此時(shí)的。34可編輯ppt方法三:

對方程兩邊進(jìn)行DTFT變換,可得到:通過反變換求得

。35可編輯ppt例：36可編輯ppt本章與第4章平行的討論了DTFT,討論的基本思路和方法與第4章完全對應(yīng),許多結(jié)論也很類似通過對DTFT性質(zhì)的討論揭示了離散時(shí)間信號時(shí)域與頻域特性的關(guān)系.不僅看到許多性質(zhì)與特性在CTFT中都有相對應(yīng)的結(jié)論,而且它們也存在一些差別,例如DTFT總是以2π為周期的.通過卷積的討論,對LTI系統(tǒng)建立了頻域分析的方法.