2022年北京平谷初二（上）期末數學試卷及答案

1/12022北京平谷初二（上）期末數學2022.1考生須知：1.本試卷共6頁，共三道大題，28道小題．2.在試卷和答題卡上認真填寫學校、班級、姓名、考號．3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5.考試結束，請將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回．一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1.下列交通標志中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.若最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，則a的值是（）A.a＝1 B.a＝－1 C.a＝2 D.a＝－23.下列分式中最簡分式是（）A. B. C. D.4.將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，若含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則的度數是（）

A.45° B.60° C.75° D.85°5.下列事件中，屬于隨機事件的是（）A.用長度分別是1cm，2cm，3cm的細木條首尾順次相連可組成一個三角形B.用長度分別是3cm，4cm，5cm細木條首尾順次相連可組成一個直角三角形C.如果一個三角形有兩個角相等，那么兩個角所對的邊也相等D.有兩組對應邊和一組對應角分別相等的兩個三角形全等6.等腰三角形的一個角是80°，則它的一個底角的度數是（）A.50° B.80° C.50°或80° D.100°或80°7.下列命題是假命題的是（）A.直角三角形兩銳角互余 B.有三組對應角相等的兩個三角形全等C.兩直線平行，同位角相等 D.角平分線上的點到角兩邊的距離相等8.如圖，五根小木棒，其長度分別為5，9，12，13，15，現將它們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（）A. B.C. D.二、填空題（本題共24分，每小題3分）9.若分式的值為零，則x的值等于_____．10.16的算術平方根是___________．11.如圖，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，請寫出一個正確的結論________．12.比較大?。篲____（填“>”、“=”或“<”）．13.只有1和它本身兩個因數且大于1的自然數叫做質數，我國數學家陳景潤在有關質數的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界領先的成果．從3，5，7，11，13，23這6個質數中隨機抽取一個，則抽到個位數是3的可能性是________．14.如圖，將兩個含30°角的全等的三角尺擺放在一起，可以證得△ABD是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半如果BC＝2，那么點C到AB的距離為________．15.已知a，b是有理數，且滿足，那么a＝________，b＝________．16如圖，∠AOB＝90°，按以下步驟作圖：①以O為圓心，任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D；②分別以C、D為圓心，以大于的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點P；③作射線OP．如圖，點M在射線OP上，過M作MH⊥OB于H，若MH＝2，則OM＝________．三、解答題17.計算：18.計算：19.計算：20.已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求證：AC＝DC．21.解分式方程：（1）（2）22.已知：如圖△ABC求作：點P，使得點P在AC上，且PC＝PB．作法：①分別以B，C為圓心，大于BC的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于M，N；②作直線MN，與AC交于P點，與BC交于H．（1）利用直尺和圓規(guī)依做法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵BM＝CM，BN＝CN，∴M、N在線段BC的垂直平分線上．（）（填推理的依據）即MN是AB的垂直平分線．∴點P在直線MN上．∴PC＝PB．（）（填推理的依據）23.先化簡，再代入求值：，其中24.在《開學第一課》中，東京奧運會的奧運健兒們向新開學的同學們送上了“希望你們能像運動員一樣，努力奔跑，刻苦學習，實現你們的夢想”的祝福．為了提高學生的體育鍛煉的意識和能力，豐富學生的體育鍛煉的內容，學校準備購買一批體育用品．在購買跳繩時，甲種跳繩比乙種跳繩的單價低10元，用1600元購買甲種跳繩與用2100元購買乙種跳繩的數量相同，求甲乙兩種跳繩的單價各是多少元？25.已知數a，b，c在數軸上的位置如圖所示：

化簡：26.針對于等腰三角形三線合一的這條性質，老師帶領同學們做了進一步的猜想和證明，提問：如果一個三角形中，一個角的平分線和它所對的邊的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形．已知：在△ABC中，AD平分∠CAB，交BC邊于點D，且CD＝BD，求證：AB＝AC．以下是甲、乙兩位同學的作法．甲：根據角平分線和中線的性質分別能得出一組角等和一組邊等，再加一組公共邊，可證△ACD≌△ABD，所以這個三角形為等腰三角形；乙：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，可證△ACD≌△EBD，依據已知條件可推出AB＝AC，所以這個三角形為等腰三角形（1）對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）；A.兩人都正確B.甲正確，乙錯誤C.甲錯誤，乙正確（2）選擇一種你認為正確的作法，并證明．27.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點直線上（與點，不重合），點關于直線的對稱點為點，連接，，．（1）如圖1，當點為線段的中點時，猜想：的形狀并證明；（2）當點在線段延長線上時，連接、、．①根據題意在圖2中補全圖形；②用等式表示線段、、的數量關系，并證明．28.我們已經學過如果關于x的分式方程滿足（a，b分別為非零整數），且方程的兩個跟分別為．我們稱這樣的方程為“十字方程”．例如：可化為∴再如：可化為∴應用上面的結論解答下列問題：（1）“十字方程”，則，；（2）“十字方程”兩個解分別為，求的值；（3）關于“十字方程”的兩個解分別為，求的值．

參考答案考生須知：1.本試卷共6頁，共三道大題，28道小題．2.在試卷和答題卡上認真填寫學校、班級、姓名、考號．3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5.考試結束，請將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回．一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1.下列交通標志中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，進行判斷即可．【詳解】解：解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C、是軸對稱圖形，故本選項正確；D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；故選C．【點睛】本題考查了軸對稱圖形知識，屬于基礎題，掌握軸對稱的定義是關鍵．2.若最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，則a的值是（）A.a＝1 B.a＝－1 C.a＝2 D.a＝－2【答案】A【解析】【分析】兩個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，則稱它們是同類二次根式，根據此定義即可得到關于a的方程，從而可求得a的值．【詳解】∵最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式∴a+1=2a解得：a=1故選：A【點睛】本題考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的概念是關鍵．3.下列分式中最簡分式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據最簡分式的定義：在化簡結果中，分子和分母已沒有公因式，這樣的分式稱為最簡分式逐項判斷即得答案．【詳解】解：A、∵，∴不是最簡分式，故本選項不符合題意；B、∵，∴不是最簡分式，故本選項不符合題意；C、是最簡分式，故本選項符合題意；D、∵，∴不是最簡分式，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了分式的約分和最簡分式的定義，屬于基本題型，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．4.將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，若含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則的度數是（）

A.45° B.60° C.75° D.85°【答案】C【解析】【分析】先根據三角形的內角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．【詳解】解：如圖:∵∠ACD=90°、∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，∴∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°．故選C．

【點睛】本題主要考查三角形的外角的性質，掌握三角形的內角和定理和三角形外角的性質是解答本題的關鍵．5.下列事件中，屬于隨機事件的是（）A.用長度分別是1cm，2cm，3cm的細木條首尾順次相連可組成一個三角形B.用長度分別是3cm，4cm，5cm的細木條首尾順次相連可組成一個直角三角形C.如果一個三角形有兩個角相等，那么兩個角所對的邊也相等D.有兩組對應邊和一組對應角分別相等的兩個三角形全等【答案】D【解析】【分析】根據三角形三邊關系判斷A選項；根據勾股定理判斷B選項；根據等腰三角形的性質：等邊對等角判斷C選項；根據全等三角形的判定即可判斷D選項．【詳解】A.因為，所以用長度分別是1cm，2cm，3cm的細木條首尾順次相連可組成一個三角形為不可能事件，故此選項錯誤；B.因為滿足勾股定理，所以用長度分別是3cm，4cm，5cm的細木條首尾順次相連可組成一個直角三角形為必然事件，故此選項錯誤；C.因為三角形有兩個角相等則這個三角形是等腰三角形，故等腰三角形等角對等邊，所以如果一個三角形有兩個角相等，那么兩個角所對的邊也相等為必然事件，故此選項錯誤；D.根據SAS可以判斷兩三角形全等，但ASS不能判斷兩三角形全等，所以有兩組對應邊和一組對應角分別相等的兩個三角形全等為隨機事件，故此選項正確．故選：D．【點睛】本題考查隨機事件，隨機事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不發(fā)生，掌握隨機事件的定義是解題的關鍵．6.等腰三角形的一個角是80°，則它的一個底角的度數是（）A.50° B.80° C.50°或80° D.100°或80°【答案】C【解析】【分析】已知給出一個角的的度數為80o，沒有明確是頂角還是底角，要分類討論，聯(lián)合內角和求出底角即可．【詳解】解：等腰三角形的一個角是80°，當80o為底角時，它的一個底角是80o，當80o為頂角時，它的一個底角是，則它的一個底角是50o或80o．故選：C．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，內角和定理，掌握分類討論的思想是解決問題的關鍵．7.下列命題是假命題的是（）A.直角三角形兩銳角互余 B.有三組對應角相等的兩個三角形全等C.兩直線平行，同位角相等 D.角平分線上的點到角兩邊的距離相等【答案】B【解析】【分析】根據直角三角形的性質，全等三角形的判定方法，平行線的性質，角平分線的性質逐項分析．【詳解】A.直角三角形兩銳角互余，正確，是真命題；B.有三組對應角相等的兩個三角形，因為它們的邊不一定相等，所以不一定全等，故錯誤，是假命題；C.兩直線平行，同位角相等，正確，是真命題；D.角平分線上的點到角兩邊的距離相等，正確，是真命題；故選B．【點睛】此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的定義、性質定理及判定定理．8.如圖，五根小木棒，其長度分別為5，9，12，13，15，現將它們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據勾股定理的逆定理逐一判斷即可．【詳解】A、對于△ABD，由于，則此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合題意；B、對于△ABC，由于，則此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合題意；C、對于△ABC，由于，則此三角形是直角三角形，同理△BDC也是直角三角形，故符合題意；D、對于△ABC，由于，則此三角形不是直角三角形，同理△BDC也不是直角三角形，故不合題意．故選：C【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，其內容是：兩條短邊的平方和等于長邊的平方，則此三角形是直角三角形，為便于利用平方差公式計算，常常計算兩條長邊的平方差即兩條長邊的和與這兩條長邊的差的積，若等于最短邊的平方，則此三角形是直角三角形．二、填空題（本題共24分，每小題3分）9.若分式的值為零，則x的值等于_____．【答案】2【解析】【詳解】根據題意得：x﹣2=0，解得：x=2．此時2x+1=5，符合題意，故答案為2．10.16的算術平方根是___________．【答案】4【解析】【詳解】解：∵∴16的平方根為4和-4∴16的算術平方根為411.如圖，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，請寫出一個正確的結論________．【答案】BC＝BD【解析】【分析】根據HL證明△ACB和△ADB全等解答即可．【詳解】解：在Rt△ACB和Rt△ADB中，，∴△ACB≌△ADB（HL），∴BC＝BD，故答案為：BC＝BD（答案不唯一）．【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據HL證明△ACB和△ADB全等解答．12.比較大小：_____（填“>”、“=”或“<”）．【答案】<.【解析】【詳解】試題分析：∵∴故答案是：＜．考點：實數大小比較．13.只有1和它本身兩個因數且大于1的自然數叫做質數，我國數學家陳景潤在有關質數的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界領先的成果．從3，5，7，11，13，23這6個質數中隨機抽取一個，則抽到個位數是3的可能性是________．【答案】【解析】【分析】先利用列舉法求出個位數字是3的所有結果數，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：從3，5，7，11，13，23這6個質數中隨機抽取一個數一共有6種等可能性的結果數，其中抽到個位是3的有3，13，23三種結果數，∴抽到個位數字是3的概率是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了概率的計算，熟練掌握列舉法進行概率的計算是解決本題的關鍵．14.如圖，將兩個含30°角的全等的三角尺擺放在一起，可以證得△ABD是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半如果BC＝2，那么點C到AB的距離為________．【答案】【解析】【分析】根據題干所給結論和勾股定理可求得AB和AC，再根據等面積法即可求得h．【詳解】解：依據題意可得，根據勾股定理可得，設點C到AB的距離為h，則，即，解得，即點C到AB的距離為．故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質，勾股定理，含30°角的直角三角形，掌握等面積法是解題關鍵．15.已知a，b是有理數，且滿足，那么a＝________，b＝________．【答案】①－2②.－1【解析】【分析】利用平方與算術平方根的非負性即可解決．【詳解】∵，，且∴，∴，故答案為：－2，－1【點睛】本題考查了有理數的平方的非負性質及算術平方根的非負性質，即幾個非負數的和為零，則這幾個數都為零．掌握這個性質是本題的關鍵．16.如圖，∠AOB＝90°，按以下步驟作圖：①以O為圓心，任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D；②分別以C、D為圓心，以大于的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點P；③作射線OP．如圖，點M在射線OP上，過M作MH⊥OB于H，若MH＝2，則OM＝________．【答案】【解析】【分析】先根據題意發(fā)現OP是∠AOB的角平分線，可得△OMH是等腰直角三角形，可得OH=MH=2,最后根據勾股定理解答即可．【詳解】解：由題意可得OP是∠AOB的角平分線，即∠MOH=∠AOB=45°∵MH⊥OB∴∠OMH=45°∴△OMH是等腰直角三角形∴OH=MH=2,∴OM=．故答案是．【點睛】本題主要考查了角平分線的做法、運用勾股定理解直角三角形，根據題意發(fā)現OP是∠AOB的角平分線是解答本題的關鍵．三、解答題17.計算：【答案】【解析】【分析】根據零指數冪，立方根，絕對值的性質，二次根式的混合運算，逐一化簡合并同類項即可．【詳解】解：，＝，＝．【點睛】本題主要考查了實數的混合運算，涉及的知識點有二次根式的混合運算，零指數冪，立方根，絕對值等知識點，熟悉掌握化簡的方法是解題的關鍵．18.計算：【答案】【解析】【分析】由題意利用二次根式的性質結合完全平方差公式進行運算即可得出答案．【詳解】解：，＝，＝．【點睛】本題考查二次根式的運算，熟練掌握算術平方根化簡以及完全平方差公式是解題的關鍵．19.計算：【答案】【解析】【分析】先計算括號里的減法，同時把除法變?yōu)槌朔?，最后約分即可．【詳解】＝＝＝＝【點睛】本題考查了分式的混合運算，注意運算順序及符號．20.已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求證：AC＝DC．【答案】見解析【解析】【分析】證明△BAC≌△BDC即可得出結論．【詳解】解：∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠DBC，在△BAC和△BDC中，∴△BAC≌△BDC，∴AC＝DC．【點睛】本題考查角平分線的意義及全等三角形的判定與性質，解題關鍵是掌握角平分線的性質及全等三角形的判定與性質．21解分式方程：（1）（2）【答案】（1）x＝－3；（2）x＝－1【解析】【分析】按照解分式方程的步驟進行即可，但一定要檢驗．【詳解】（1）方程兩邊同乘得：2（x＋1）＝x－1去括號得：2x＋2＝x－1解得：x＝－3檢驗：當x＝－3時，方程左右兩邊相等，所以x＝－3是原方程的解．所以原方程的解是x＝－3．（2）方程兩邊同乘得：去括號得：移項、合并同類項得：解得：x＝－1檢驗：x＝1是原方程的解．所以原方程的解是x＝－1【點睛】本題考查了解分式方程，其基本思想是把分式方程轉化為整式方程，注意：解分式方程一定要驗根．22.已知：如圖△ABC求作：點P，使得點P在AC上，且PC＝PB．作法：①分別以B，C為圓心，大于BC的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于M，N；②作直線MN，與AC交于P點，與BC交于H．（1）利用直尺和圓規(guī)依做法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵BM＝CM，BN＝CN，∴M、N在線段BC的垂直平分線上．（）（填推理的依據）即MN是AB的垂直平分線．∴點P在直線MN上．∴PC＝PB．（）（填推理依據）【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）按照題中的作法完成即可；（2）讀懂每步推理及推理的依據即可完成．【詳解】（1）補全的圖形如下：（2）證明：∵BM＝CM，BN＝CN，∴M、N在線段BC的垂直平分線．（到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上）（填推理的依據）即MN是BC的垂直平分線．∴點P在直線MN上．∴PC＝PB．（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）（填推理的依據）【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質定理與判定定理、用尺規(guī)作線段的垂直平分線，掌握這些知識是解題的關鍵．23.先化簡，再代入求值：，其中【答案】，2【解析】【分析】原式去括號合并得到最簡結果，把變形為代入計算即可求出值．【詳解】解：，＝，＝，＝，＝x（x－2），＝，，變形為，原式＝＝2．【點睛】此題考查了分式化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．24.在《開學第一課》中，東京奧運會的奧運健兒們向新開學的同學們送上了“希望你們能像運動員一樣，努力奔跑，刻苦學習，實現你們的夢想”的祝福．為了提高學生的體育鍛煉的意識和能力，豐富學生的體育鍛煉的內容，學校準備購買一批體育用品．在購買跳繩時，甲種跳繩比乙種跳繩的單價低10元，用1600元購買甲種跳繩與用2100元購買乙種跳繩的數量相同，求甲乙兩種跳繩的單價各是多少元？【答案】乙種跳繩的單價為42元，甲種跳繩的單價為32元【解析】【分析】設乙種跳繩的單價為元，則甲種跳繩的單價為元，根據題意列出方程求解即可【詳解】設乙種跳繩的單價為元，則甲種跳繩的單價為元，依據題意列出方程為：，解得：，經檢驗：是所列方程的解，并且符合實際意義，∴，答：乙種跳繩的單價為42元，則甲種跳繩的單價為32元．【點睛】本題考查分式方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵，分式方程注意檢驗．25.已知數a，b，c在數軸上的位置如圖所示：

化簡：【答案】0【解析】【分析】由三個數在數軸上的位置即可確定它們的符號及大小關系，從而可確定a－b及c－a的符號，最后可化簡絕對值與二次根式，從而可求得結果．【詳解】由數軸知：∴，∴＝－b－（a－b）－（c－a）－（－c）＝－b－a＋b＋a－c＋c＝0【點睛】本題考查了算術平方根的性質、絕對值的化簡、數軸上數的大小關系等知識，注意：當a為負數時，．26.針對于等腰三角形三線合一的這條性質，老師帶領同學們做了進一步的猜想和證明，提問：如果一個三角形中，一個角的平分線和它所對的邊的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形．已知：在△ABC中，AD平分∠CAB，交BC邊于點D，且CD＝BD，求證：AB＝AC．以下是甲、乙兩位同學的作法．甲：根據角平分線和中線的性質分別能得出一組角等和一組邊等，再加一組公共邊，可證△ACD≌△ABD，所以這個三角形為等腰三角形；乙：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，可證△ACD≌△EBD，依據已知條件可推出AB＝AC，所以這個三角形為等腰三角形（1）對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）；A.兩人都正確B.甲正確，乙錯誤C.甲錯誤，乙正確（2）選擇一種你認為正確的作法，并證明．【答案】（1）C；（2）見解析【解析】【分析】（1）甲同學證明的兩個三角形全等，沒有邊邊角的判定，故錯誤，而乙的證明則正確，因此可作出判斷；（2）按照乙的分析方法進行即可．【詳解】（1）甲同學證明的兩個三角形全等，邊邊角不能判定兩個三角形全等，故錯誤，而乙的證明則正確，故選C；（2）依據題意，延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖．∵D為BC中點．∴．在△CAD和△BED中∴△CAD≌△BED(SAS)．∴，∵AD平分∠BAC，∴∴∴∴AB＝AC∴△ABC為等腰三角形【點睛】本題考查了全等三角形