【數(shù)學(xué)】隨機變量及其分布測試-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第1頁（共1頁）隨機變量及其分布測試卷一．選擇題（共8小題）1．現(xiàn)從含甲、乙在內(nèi)的6名特種兵中選出3人去參加搶險，則在甲被選中的前提下，乙也被選中的概率為（）A． B． C． D．2．元宵節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，當天人們會吃湯圓、賞花燈、猜燈謎．小華爸爸手里有6個燈謎，其中4個事物謎，2個字謎，小華隨機抽取2個燈謎，事件A為“取到的2個為同一類燈謎”，事件B為“取到的2個為事物謎”，則P（B|A）＝（）A． B． C． D．3．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X＜3）＝0.37，則P（X＜3）＝（）A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.874．某人壽保險公司規(guī)定，投保人沒活過65歲時，保險公司要賠償100萬元．活過65歲時，保險公司不賠償，但要給投保人一次性支付5萬元．已知購買此種保險的每個投保人能活過65歲的概率都是0.9，隨機抽取3個投保人，設(shè)其中活過65歲的人數(shù)為X，保險公司要賠償給這三個人的總金額為Y萬元．則P（Y＜200）＝（）A．0.972 B．0.729 C．0.486 D．0.2435．已知隨機變量X的分布列如下所示，且E（X）＝，則m＝（）X123PnmA． B． C． D．6．一份新高考數(shù)學(xué)試卷中有8道單選題，小胡對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路．有思路的題做對的概率是0.9，沒有思路的題只能猜一個答案，猜對答案的概率為0.25，則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為（）A． B． C． D．7．已知一批沙糖桔的果實橫徑（單位：mm）服從正態(tài)分布N（45，52），其中果實橫徑落在[40，55]的沙糖桔為優(yōu)質(zhì)品，則這批沙糖桔的優(yōu)質(zhì)品率約為（）（若X～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ?X?μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ?X?μ+2σ）≈0.9545）A．0.6827 B．0.8186 C．0.8413 D．0.95458．若隨機變量ξ的分布列如表所示，則D（1﹣3ξ）＝（）ξ﹣101Pa2A． B．2 C． D．二．多選題（共4小題）（多選）9．下列說法正確的是（）A．若隨機變量X服從兩點分布且，則 B．若隨機變量X～N（μ，σ2）滿足P（X＜1）＝0.22，P（X＜3）＝0.78，則μ＝2 C．若隨機變量，則 D．設(shè)隨機變量X～B（n，p），若D（X）≤3恒成立，則n的最大值為12（多選）10．某中藥材盒中共有包裝相同的7袋藥材，其中黨參有3袋，黃芪有4袋，從中取出兩袋，下列說法正確的是（）A．若有放回抽取，則取出一袋黨參一袋黃花的概率為 B．若有放回抽取，則在至少取出一袋黨參的條件下，第2次取出黨參的概率為 C．若不放回抽取，則第2次取到黨參的概率算法可以是 D．若不放回抽取，則在至少取出一袋黨參的條件下，取到一袋黨參一袋黃芪的概率為（多選）11．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約去電影院看春節(jié)檔熱映的《熱辣滾燙》，《飛馳人生2》，《第二十條》三部電影，每人都要看且限看其中一部．記事件A為“恰有兩名同學(xué)所看電影相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人看《飛馳人生2》”，則（）A．四名同學(xué)看電影情況共有34種 B．“每部電影都有人看”的情況共有72種 C． D．“四名同學(xué)最終只看了兩部電影”的概率是（多選）12．已知某地區(qū)十二月份的晝夜溫差X～N（μ，σ2），，該地區(qū)某班級十二月份感冒的學(xué)生有10人，其中有6位男生，4位女生，則下列結(jié)論正確的是（）A．E（X）＝8 B．若，則 C．從這10人中隨機抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率為 D．從這10人中隨機抽取2人，其中女生人數(shù)ξ的期望為三．填空題（共4小題）13．有一批產(chǎn)品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，其中次品的件數(shù)記為X，則次品件數(shù)X的期望為．14．一個袋子中有9個大小和形狀均相同的小球，其中4個紅球，3個白球，2個黃球．每次從袋子中隨機摸出一個球，摸出的球不再放回，則在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到黃球的概率為．15．已知隨機變量X，Y滿足2X+Y＝4，若，則D（Y）＝．16．甲袋中有3個紅球，2個白球和1個黑球，乙袋中有4個紅球，1個白球和1個黑球（除顏色外，球的大小、形狀完全相同）．先從甲袋中隨機取出1球放入乙袋，再從乙袋中隨機取出1球．分別以A1，A2，A3表示由甲袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件，以B表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則P（B|A1）＝，P（B）＝．四．解答題（共6小題）17．甲同學(xué)參加學(xué)校的答題闖關(guān)游戲，游戲共分為兩輪，第一輪為初試，共有5道題，已知這5道題中甲同學(xué)只能答對其中3道，從這5道題目中隨機抽取3道題供參賽者作答，答對其中兩題及以上即視為通過初試：第二輪為復(fù)試，共有2道題目，甲同學(xué)答對其中每道題的概率均為，兩輪中每道題目答對得6分，答錯得0分，兩輪總分不低于24分即可晉級決賽．（1）求甲通過初試的概率；（2）求甲晉級決賽的概率，并在甲晉級決賽的情況下，記隨機變量X為甲的得分成績，求X的數(shù)學(xué)期望．18．某學(xué)院為了統(tǒng)計學(xué)院往屆畢業(yè)生的薪酬情況，面向?qū)W院部分畢業(yè)生發(fā)放問卷以統(tǒng)計其薪資情況，共有1000名畢業(yè)生填寫了問卷．畢業(yè)生年薪（單位：萬元）以[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分組的頻率分布直方圖如圖所示，已知年薪在[50，60），[60，70），[70，80]內(nèi)的畢業(yè)生人數(shù)成等差數(shù)列．（1）求這1000名畢業(yè)生年薪的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若采用分層抽樣的方式從年薪作[50，60），[60.70），[70，80]內(nèi)的畢業(yè)生中抽取6人，再從抽取的6人中隨機抽取3人作為優(yōu)秀畢業(yè)生代表，抽取的3人中含有年薪在[50，60）內(nèi)的畢業(yè)生的條件下，求抽取的3人中含有年薪在[70，80]內(nèi)的畢業(yè)生的概率；（3）記（2）中抽取的3人中年薪在[50，60）內(nèi)的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．19．今年的賀歲片《第20條》、《飛馳人生》、《熱辣滾燙》引爆了電影市場，某天甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)每人隨機從三部電影中選一部觀看，現(xiàn)知道每部電影至少有一人觀看．（1）求只有甲、乙觀看《熱辣滾燙》電影的概率；（2）求這五個人觀看《熱辣滾燙》電影的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．某校團委組織學(xué)生開展了“全民迎亞運，學(xué)習(xí)當達人”知識競賽活動，現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取了100名，競賽成績（單位：分）分布如下：成績（分）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人數(shù)62830324（1）求抽取的100名學(xué)生競賽成績的平均分（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）在參加該活動的學(xué)生中隨機選取5名學(xué)生，求選取的5名學(xué)生中恰有3名學(xué)生競賽成績在區(qū)間[60，70）∪[80，90）內(nèi)的概率；（3）以頻率估計概率，發(fā)現(xiàn)參賽學(xué)生競賽成績X近似地服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均分近似為樣本方差S2，按比例前16%的參賽學(xué)生可獲得“學(xué)習(xí)達人”稱號，已知甲同學(xué)競賽成績86分，試問他能否獲得“學(xué)習(xí)達人”稱號．參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．21．為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺，激發(fā)干事創(chuàng)業(yè)熱情．某單位組織“學(xué)習(xí)強國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機抽取3道讓參賽者回答．已知小明只能答對其中的6道，試求：（1）抽到他能答對題目數(shù)X的分布；（2）求X的期望和方差．22．我國無人機發(fā)展迅猛，在全球具有領(lǐng)先優(yōu)勢，已經(jīng)成為“中國制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森林消防、搶險救災(zāi)、環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域．某森林消防支隊在一次消防演練中利用無人機進行投彈滅火試驗，消防員甲操控?zé)o人機對同一目標起火點進行了三次投彈試驗，已知無人機每次投彈時擊中目標的概率都為，每次投彈是否擊中目標相互獨立．無人機擊中目標一次起火點被撲滅的概率為，擊中目標兩次起火點被撲滅的概率為，擊中目標三次起火點必定被撲滅．（1）求起火點被無人機擊中次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）求起火點被無人機擊中且被撲滅的概率．

隨機變量及其分布參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【解答】解：現(xiàn)從含甲、乙在內(nèi)的6名特種兵中選出3人去參加搶險，設(shè)甲被選中為事件A，乙被選中為事件B，則P（A）＝＝，P（AB）＝＝，則在甲被選中的前提下，乙也被選中的概率為P（B|A）＝＝．故選：C．2．【解答】解：由題意可得，，，所以．故選：B．3．【解答】解：因為X～N（2，σ2），所以P（X≤2）＝0.5，所以P（X＜3）＝P（X≤2）+P（2＜X＜3）＝0.5+0.37＝0.87．故選：D．4．【解答】解：由題意可知，Y＝5X+100（3﹣X）＝300﹣95X，令Y＜200得，300﹣95X＜200，解得X＞，又因為X～B（3，0.9），且X的所有可能取值為0，1，2，3，所以P（Y＜200）＝P（X＞）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝+0.93＝0.972．故選：A．5．【解答】解：由分布列的性質(zhì)可得，n+m+＝1，∴m+n＝，又∵E（X）＝n+2m+3×＝n+2m+＝，∴n+2m＝，聯(lián)立方程，解得，即m＝．故選：B．6．【解答】解：設(shè)事件A表示“考生答對”，設(shè)事件B表示“考生選到有思路的題”．則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為：P（A）＝P（B）P（A|B）+P（A|）＝＝．故選：C．7．【解答】解：∵X服從正態(tài)分布N（45，52），∴P（40≤X≤50）＝0.6827，P（35≤X≤55）＝0.9545，∴P（50≤X≤55）＝（0.9545﹣0.6827）＝0.1359，∴P（40≤X≤55）＝0.6827+0.1359＝0.8186．故選：B．8．【解答】解：由a++a2＝1，a＞0，化為3a2+a﹣2＝0，a＞0，解得a＝，E（ξ）＝﹣1×+0×+1×＝，∴D（ξ）＝（﹣1）2×+02×+12×﹣＝．∴D（1﹣3ξ）＝（﹣3）2D（ξ）＝9×＝．故選：D．二．多選題（共4小題）9．【解答】解：對于A，∵隨機變量X服從兩點分布且，∴P（X＝1）＝1﹣＝，∴E（X）＝0×＝，故A錯誤；對于B，∵X～N（μ，σ2），且P（X＜1）＝0.22，P（X＜3）＝0.78，∴P（X≥3）＝1﹣0.78＝0.22，∴P（X＜1）＝P（X≥3），∴μ＝＝2，故B正確；對于C，∵，∴P（X＝2）＝＝，故C錯誤；對于D，∵X～B（n，p），∴D（X）＝np（1﹣p）≤3恒成立，∴n恒成立，∵p（1﹣p）＝﹣p2+p＝﹣（p﹣）2+，∴當p＝時，p（1﹣p）取得最大值，∴n＝12，即n的最大值為12，故D正確．故選：BD．10．【解答】解：對于A，∵是有放回抽取，抽到一袋黨參的概率為，抽到一袋黃芪的概率為，∴取出一袋黨參一袋黃芪的概率為＝，故A正確；對于B，第二次取出黨參的概率為＝，至少抽到一袋黨參的概率為＝，∴有放回抽取，則在至少取出一袋黨參的條件下，第2次取出黨參的概率為＝，故B正確；對于C，∵不放回抽取，抽兩次有種抽法，第二次抽到黨參的取法為+，第二次取到黨參的概率為：，故C錯誤；對于D，至少取出一袋黨參的概率為＝，取到一袋黨和一袋黃芪的概率為＝，∴在至少取出一袋黨參的條件下，取到一袋黨參和一代黃芪的概率為＝，故D正確．故選：ABD．11．【解答】解：對于A，四名同學(xué)看電影情況共有3×3×3×3＝34種，故A正確；對于B，“每部電影都有人看”的情況共有＝36種，故B錯誤；對于C，P（A）＝＝，P（AB）＝＝，所以P（B|A）＝＝＝，故C正確；對于D，“四名同學(xué)最終只看了兩部電影”的情況有：（）＝42種，所以“四名同學(xué)最終只看了兩部電影”的概率是＝，故D正確．故選：ACD．12．【解答】解：對于A，∵X～N（μ，σ2），，∴E（X）＝μ＝8，故A正確；對于B，∵，∴，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝4，n＝2，∴，故D正確．故選：ABD．三．填空題（共4小題）13．【解答】解：由題意知隨機變量X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，于是次品件數(shù)X的期望．故答案為：1.2．14．【解答】解：設(shè)事件A表示“第一次摸到紅球”，事件B表示“第二次摸到黃球”，則P（A）＝，P（AB）＝＝＝，所以P（B|A）＝＝＝．故答案為：．15．【解答】解：隨機變量X，Y滿足2X+Y＝4，，∴D（X）＝9×＝2，∵Y＝4﹣2X，∴D（Y）＝4D（X）＝4×2＝8．故答案為：8．16．【解答】解：甲袋中有3個紅球，2個白球和1個黑球，乙袋中有4個紅球，1個白球和1個黑球（除顏色外，球的大小、形狀完全相同）．先從甲袋中隨機取出1球放入乙袋，再從乙袋中隨機取出1球．分別以A1，A2，A3表示由甲袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件，以B表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則P（A1）＝＝，P（A1B）＝×＝，∴P（B|A1）＝＝＝，P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝，P（A1B）＝×＝，P（A2B）＝＝，P（A3B）＝＝，∴P（B|A1）＝＝＝，P（B|A2）＝＝＝，P（B|A3）＝＝＝，∴P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝++＝．故答案為：，．四．解答題（共6小題）17．【解答】解：（1）甲要通過初試，則需要答對2道或3道題目，所以甲通過初試的概率為．（2）①若甲初試答對2道題目，則甲晉級決賽，復(fù)試需要答對2題，此時甲晉級決賽的概率為，②若甲初試答對3道題目，則甲晉級決賽，復(fù)試需要答對1題或2題，當復(fù)試答對1題時，甲晉級決賽的概率為，當復(fù)試答對2題時，甲晉級決賽的概率為，綜上所述，甲晉級決賽的概率為，在甲晉級決賽的情況下，隨機變量X可取24，30，，，所以．18．【解答】解：（1）∵年薪在[70，80]內(nèi)的人數(shù)為1000×0.005×10＝50（人），年薪在[60，70）內(nèi)的人數(shù)為1000×0.01×10＝100（人），年薪在[50，60）內(nèi)的人數(shù)為1000×y×10＝10000y（人），又∵年薪在[50，60），[60，70），[70，80]內(nèi)的畢業(yè)生人數(shù)成等差數(shù)列，∴10000y+50＝200，解得y＝0.0150，∴年薪在[50，60）內(nèi)的人數(shù)為10000y＝150．∵10（x+0.005+0.01+0.015+0.019+0.02+0.027）＝1，即0.096+x＝0.1，解得x＝0.004，∴畢業(yè)生年薪的平均數(shù)為＝15×10×（0.004+25×0.019+35×0.02+45×0.027+55×0.015+65×0.01+75×0.005）＝43；（2）易知采用分層抽樣抽取的6人中年薪在[50，60），[60，70），[70，80]內(nèi)的分別有×6＝3，×6＝2，×6＝1人．記事件A為“抽取的3人中含有年薪在[50，60）內(nèi)的畢業(yè)生”，事件B為“抽取的3人中含有年薪在[70，80]內(nèi)的畢業(yè)生”，則，∴；（3）隨機變量X可以取0，1，2，3，，，∴X的分布列為X0123P∴．19．【解答】解：（1）由于5個人選3場電影看，且每部電影至少一個觀看，所以將5個人分三組