二次函數(shù)知識點總結(jié)與典型例題講解

二次函數(shù)知識點總結(jié)與典型例題講解二次函數(shù)知識點總結(jié)及典型例題講解一、二次函數(shù)的概念和圖像1、二次函數(shù)的概念一般地，如果，那么y叫做x的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。3、二次函數(shù)圖像的畫法五點法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線與坐標軸的交點：當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。二、二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：（2）頂點式：（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根和存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。三、二次函數(shù)的性質(zhì)1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y0xy0x性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當(dāng)x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當(dāng)x=時，y有最大值，2、二次函數(shù)中，的含義：表示開口方向：>0時，拋物線開口向上<0時，拋物線開口向下與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，）3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標。因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點。當(dāng)>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)<0時，圖像與x軸沒有交點。補充：1、兩點間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）如圖：點A坐標為（x1，y1）點B坐標為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長度為yAxB02、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間）左加右減、上加下減四、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時，，當(dāng)時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時，，當(dāng)時，。典型例題1.已知函數(shù)，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D2.如圖為拋物線的圖像，A、B、C為拋物線與坐標軸的交點，且OA=OC=1，則下列關(guān)系中正確的是A．a(chǎn)＋b=－1B．a(chǎn)－b=－1C．b<2aD．a(chǎn)c<0【答案】B3.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象是（）.【答案】D4.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（－1，0），（1，－2），當(dāng)隨的增大而增大時，的取值范圍是．（1,（1,-2）-1【答案】5.在平面直角坐標系中，將拋物線繞著它與y軸的交點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式（）．A．B．C．D．【答案】B6.已知二次函數(shù)的圖像如圖，其對稱軸，給出下列結(jié)果①②③④⑤，則正確的結(jié)論是（）A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤【答案】D7．拋物線上部分點的橫坐標，縱坐標的對應(yīng)值如下表：x…－2－1012…y…04664…從上表可知，下列說法中正確的是．（填寫序號）①拋物線與軸的一個交點為（3,0）；②函數(shù)的最大值為6；③拋物線的對稱軸是；④在對稱軸左側(cè)，隨增大而增大．【答案】①③④8.如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（－2，4），過點A作AB⊥y軸，垂足為B，連結(jié)OA．(1)求△OAB的面積；(2)若拋物線經(jīng)過點A．①求c的值；②將拋物線向下平移m個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在△OAB的內(nèi)部（不包括△OAB的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）．解：(1)∵點A的坐標是（－2，4），AB⊥y軸，∴AB=2，OB＝4，∴(2)①把點A的坐標（－2，4）代入，得，∴c＝4②∵，∴拋物線頂點D的坐標是(－1，5)，AB的中點E的坐標是（－1，4），OA的中點F的坐標是（－1，2），∴m的取值范圍為l<m<3．9．已知二次函數(shù)y=eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x的圖像如圖．（1）求它的對稱軸與x軸交點D的坐標；（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸、y軸的交點分別為A、B、C三點，若∠ACB=90°，求此時拋物線的解析式；（3）設(shè)（2）中平移后的拋物線的頂點為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關(guān)系，并說明理由．解：（1）二次函數(shù)y=-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x的對稱軸為x=3，∴D（3，0）．（2）設(shè)拋物線向上平移h個單位（h＞0），則平移后的拋物線解析式為y=-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+h．∵∠ACB=90°，∴OC2=OA·OB．設(shè)點A、B的橫坐標分別為x1、x2，則h2=-x1·x2．∵x1、x2是一元二次方程-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+h=0的兩個根，∴x1·x2=-4h，∴h2=4h，∴h=4，∴拋物線的解析式為y=-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+4．（3）CM與⊙D相切，理由如下：連結(jié)CD、CM，過點C作CN⊥DM于點D，如下圖所示：∵AB是⊙D的直徑，∠ACB=90°，∴點C在⊙D上．根據(jù)平移后的拋物線的解析式y(tǒng)=-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+4可得：OD=3，OC=4，DM=eq\f(25,4)，CD=5．∴CN=3，MN=eq\f(9,4)，∴CM=eq\f(15,4)．∵CM=eq\f(15,4)，CD=5，DM=eq\f(25,4)，∴△CDM是直角三角形且∠DCM=90°，∴CM與⊙D相切．∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴∴8(BF＋5)＝5(BF＋10)，∴，∴．設(shè)直線DC的解析式為，則，即∴．由得頂點E的坐標為．將代入直線DC的解析式中，右邊左邊.∴拋物線的頂點E在直線CD上．11.如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點M，且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標分別是A（-1，0），B(-1，2)，D(3，0)，連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON，若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點D、M、N．（1）求拋物線的解析式（2）拋物線上是否存在點P．使得PA=PC．若存在，求出點P的坐標；若不存在．請說明理由。（3）設(shè)拋物線與x軸的另—個交點為E．點Q是拋物線的對稱軸上的—個動點，當(dāng)點Q在什么位置時有最大？并求出最大值。ABABCDOENMxy圖（1）解：由\o"歡迎登陸全品高考網(wǎng)!"題意可得M（0，2），N（-3，2）∴，解得：∴y=（2）∵PA=PC，∴P在AC的垂直平分線上，依\o"歡迎登陸全品高考網(wǎng)!"題意，AC的垂直平分線經(jīng)過B（-1，2），（1，0），這條直線為y=－x+1．解得：，∴P1（），P2（）．（3）D為E關(guān)于對稱軸x=1．5對稱，CD所在的直線y=－x+3．∴yQ=4．5， ∴Q（-1．5，4．5）．最大值為CD==．個單位/秒．（3）（）,．當(dāng)時，有最大值為，此時．12．如圖，拋物線y=x2+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．⑴求拋物線的解析式及頂點D的坐標；⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；⑶點M(m，0)是x軸上的一個動點，當(dāng)CM+DM的值最小時，求m的值．（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x2+bx-2上，∴×(-1)2+b×(-1)–2=0，解得b=∴拋物線的解析式為y=x2-x-2.y=x2-x-2=(x2-3x-4)=(x-)2-,∴頂點D的坐標為(,-).（2）當(dāng)x=0時y=-2,∴C（0，-2），OC=2．當(dāng)y=0時，x2-x-2=0，∴x1=-1,x2=4,∴B(4,0)∴OA=1,OB=4,AB=5.∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.（3）作出點C關(guān)于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC=2，連接CD交x軸于點M，根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最?。O(shè)直線CD的解析式為y=kx+n,則，解得n=2,.∴.∴當(dāng)y=0時，，.∴13.（2011浙江金華，10分）在平面直角坐標系中，如圖1，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過矩形頂點B、C.（1）當(dāng)n＝1時，如果a=－1，試求b的值；（2）當(dāng)n＝2時，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式；（3）將矩形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使得點B落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時經(jīng)過原點O，①試求出當(dāng)n=3時a的值；②直接寫出a關(guān)于n的關(guān)系式.yxOyxOCAB圖1圖2圖3……解：（1）由\o"