第05講 古典概型與概率的基本性質(zhì)（八大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）（解析版）

第第頁(yè)第05講古典概型與概率的基本性質(zhì)目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）理解古典概型及其概率計(jì)算公式．（2）會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率．2023年乙卷（文）第9題，5分2023年甲卷（文）第4題，5分2022年I卷第5題，5分2020年II卷第4題，5分本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查形式可以是選擇填空題，也可以在解答題中出現(xiàn)．經(jīng)常出應(yīng)用型題目，與生活實(shí)際相結(jié)合，要善于尋找合理的數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)化語(yǔ)言描述，凸顯數(shù)學(xué)關(guān)系，通過(guò)分析隨機(jī)事件的關(guān)系，找到適合的公式計(jì)算概率．但整體而言，本節(jié)內(nèi)容在高考中的難度處于中等偏易．知識(shí)點(diǎn)1、隨機(jī)事件的概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率，事件的概率用表示．知識(shí)點(diǎn)2、古典概型（1）定義一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．（2）古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率．知識(shí)點(diǎn)3、概率的基本性質(zhì)（1）對(duì)于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對(duì)立事件的概率：若事件與事件互為對(duì)立事件，則，，且．（5）概率的單調(diào)性：若，則．（6）若，是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則．【解題方法總結(jié)】1、解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)與事件中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件是什么．2、解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；（4）利用公式求出事件的概率．3、解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．①任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個(gè)基本事件概率的和．②求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹(shù)狀圖法．題型一：簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題例1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（

）①?gòu)膮^(qū)間內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②從1，2，3，…，10中任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；③在正方形ABCD內(nèi)畫(huà)一點(diǎn)P，求點(diǎn)P恰好為正方形中心的概率；④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】古典概型的特征是樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的，并且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，故②是古典概型；①和③中的樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是有限的，故不是古典概型；④由于硬幣質(zhì)地不均勻，因此樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性不相等，故④不是古典概型.故選：A.例2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于古典概型的說(shuō)法正確的是（

）①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則.A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【解析】在①中，由古典概型的概念可知：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，故①正確；在②中，由古典概型的概念可知：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，故②錯(cuò)誤；在③中，由古典概型的概念可知：每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，故③正確；在④中，基本事件總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個(gè)基本事件，則由古典概型及其概率計(jì)算公式知，故④正確．故選：D．例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列有關(guān)古典概型的四種說(shuō)法：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④已知樣本點(diǎn)總數(shù)為，若隨機(jī)事件包含個(gè)樣本點(diǎn)，則事件發(fā)生的概率.其中所正確說(shuō)法的序號(hào)是（

）A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④【答案】D【解析】根據(jù)古典概型的基本概念及概率公式，即可得出結(jié)論②中所說(shuō)的事件不一定是樣本點(diǎn)，所以②不正確；根據(jù)古典概型的特點(diǎn)及計(jì)算公式可知①③④正確.故選:D.變式1．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選6只小白鼠，隨機(jī)地將其中3只分配到試驗(yàn)組且飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，另外3只分配到對(duì)照組且飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：）.則指定的兩只小鼠分配到不同組的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】指定的兩只小鼠分配到相同組的概率為，所以指定的兩只小鼠分配到不同組的概率為.故選：D變式2．（2023·青海西寧·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）乒乓球是中國(guó)的國(guó)球，擁有廣泛的群眾基礎(chǔ)，老少皆宜，特別適合全民身體鍛煉．某小學(xué)體育課上，老師讓小李同學(xué)從7個(gè)乒乓球（其中3只黃色和4只白色）中隨機(jī)選取2個(gè)，則他選取的乒乓球恰為1黃1白的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)古典概型，從7個(gè)乒乓球中隨機(jī)選取2個(gè)，基本事件總數(shù)有個(gè)，其中恰為1黃1白的基本事件有個(gè)，所以概率．故選：A．變式3．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）三位同學(xué)參加某項(xiàng)體育測(cè)試，每人要從跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個(gè)項(xiàng)目中選出兩個(gè)項(xiàng)目參加測(cè)試，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】三個(gè)同學(xué)選擇兩個(gè)項(xiàng)目的試驗(yàn)的基本事件數(shù)有個(gè)，它們等可能，有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的事件含有的基本事件數(shù)有個(gè)，所以有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率.故選：C變式4．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）將2個(gè)不同的小球隨機(jī)放入甲、乙、丙3個(gè)盒子，則2個(gè)小球在同一個(gè)盒子的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將2個(gè)不同的小球隨機(jī)放入甲、乙、丙3個(gè)盒子，共有：種方法，2個(gè)小球在同一個(gè)盒子有種情況，所以2個(gè)小球在同一個(gè)盒子的概率為.故選：D.題型二：古典概型與向量的交匯問(wèn)題例4．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正九邊形，從中任取兩個(gè)向量，則它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】可以和向量構(gòu)成數(shù)量積有一共8個(gè)向量，其中數(shù)量積為的正數(shù)的向量有：一共4個(gè)，由對(duì)稱性可知，任取兩個(gè)向量，它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為：.故選：A例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若向量，，則向量與所成的角為銳角的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】向量與所成的角為銳角等價(jià)于，且與的方向不同，即，則滿足條件的向量有，其中或時(shí)，與同向，故舍去，故共有4種情況滿足條件，又的取法共有種，則向量與所成的角為銳角的概率是．故選：B．例6．（2023·甘肅武威·甘肅省武威第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m，n，則向量與向量的夾角的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)，向量的可能組合有36種，要使向量與向量的夾角，則，即，滿足條件的情況如下：時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，綜上，共有15種，故向量與向量的夾角的概率是.故選：D變式5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出組成向量的個(gè)數(shù)和與向量垂直的向量個(gè)數(shù)，計(jì)算所求的概率值．從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，可以組成向量的個(gè)數(shù)是（個(gè)；其中與向量垂直的向量是和，共2個(gè)；故所求的概率為．故選：B．變式6．（2023·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，則向量與向量垂直的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】計(jì)算出所有的基本事件數(shù)，記事件，列舉出事件所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可計(jì)算出事件的概率.從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，基本事件總數(shù).記事件，當(dāng)向量與向量垂直時(shí)，，則事件包含的基本事件有：、（形如），共個(gè)，因此，.故選：D.變式7．（2023·湖北·高考真題）連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，即，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè)，所有的基本事件數(shù)為，因此，事件“”的概率為.故選：C.題型三：古典概型與幾何的交匯問(wèn)題例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，他們將1，3，6，10，15，…，，稱為三角形數(shù)；將1，4，9，16，25，…，，稱為正方形數(shù)．現(xiàn)從200以內(nèi)的正方形數(shù)中任取2個(gè)，則其中至少有1個(gè)也是三角形數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，∵，故200以內(nèi)的正方形數(shù)有14個(gè)：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，其中是三角形數(shù)的僅有1與36，故所求概率.故選：A．例8．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）把腰底比為（比值約為，稱為黃金比）的等腰三角形叫黃金三角形，長(zhǎng)寬比為（比值約為，稱為和美比）的矩形叫和美矩形.樹(shù)葉、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黃金比.在中國(guó)唐、宋時(shí)期的單檐建筑中存在較多的的比例關(guān)系，常用的紙的長(zhǎng)寬比為和美比.圖一是正五角星（由正五邊形的五條對(duì)角線構(gòu)成的圖形），.圖二是長(zhǎng)方體，，.在圖一圖二所有三角形和矩形中隨機(jī)抽取兩個(gè)圖形，恰好一個(gè)是黃金三角形一個(gè)是和美矩形的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在如下圖所示的正五角星中，該圖中共有個(gè)三角形，且等腰的腰底之比大于，等腰的腰底之比小于，且，則等腰的腰底之比為，則在該五角星中，黃金三角形的個(gè)數(shù)為，在如下圖所示的長(zhǎng)方體中，，，則，，，所以，矩形、均為和美矩形，所以，長(zhǎng)方體中共個(gè)矩形，其中和美矩形的個(gè)數(shù)為，所以，圖一和圖二中共個(gè)三角形，個(gè)矩形，在圖一圖二所有三角形和矩形中隨機(jī)抽取兩個(gè)圖形，恰好一個(gè)是黃金三角形一個(gè)是和美矩形的概率為.故選：B.例9．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，這是第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的大致圖案，它是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.現(xiàn)用紅色和藍(lán)色給這4個(gè)三角形區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將四塊三角形區(qū)域編號(hào)如下，由題意可得總的涂色方法有種，若相鄰的區(qū)域所涂顏色不同，即12同色，34同色，故符合條件的涂色方法有2種，故所求概率.故選：A變式8．（2023·江西·校聯(lián)考二模）圓周上有8個(gè)等分點(diǎn)，任意選這8個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則四邊形為梯形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，從8個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成有個(gè)四邊形，構(gòu)成梯形就只有以下兩種情況：以某相鄰兩個(gè)點(diǎn)（如點(diǎn)A，B）構(gòu)成的線段為邊的梯形有2個(gè)，共有個(gè)，以某間隔一個(gè)點(diǎn)的兩點(diǎn)（如點(diǎn)A，C）構(gòu)成的線段為邊的梯形有1個(gè)，共有個(gè)，于是構(gòu)成的四邊形中梯形有個(gè)，所以四邊形為梯形的概率是.故選：B變式9．（2023·廣東深圳·高三深圳市福田區(qū)福田中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)巨著，大約成書(shū)于公元前300年．漢語(yǔ)的最早譯本是由中國(guó)明代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書(shū)于1607年.該書(shū)前6卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章，幾乎包含現(xiàn)今平面幾何的所有內(nèi)容．某高校要求數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里任選4章進(jìn)行選修，則學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里任選4章進(jìn)行選修共有：種選法；學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章共有：種選法，故學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為：.故選：B.變式10．（2023·河北張家口·張家口市宣化第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，將正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，截取后的剩余部分稱為“阿基米德多面體”，它是一個(gè)24等邊半正多面體．從它的棱中任取兩條，則這兩條棱所在的直線為異面直線的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)一條直線位置于上（或下）底面，另一條不在底面時(shí)，共有對(duì)異面直線，當(dāng)兩條直線都位于上下底面時(shí)，有對(duì)異面直線，當(dāng)兩條直線都不在上下底面時(shí)，有對(duì)異面直線，所以，兩條棱所在的直線為異面直線的概率為故選：B變式11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》指出“斜解立方，得兩壍堵.斜解壍堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑.陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣.”意為將一個(gè)正方體斜切，可以得到兩個(gè)壍堵，將壍堵斜切，可得到一個(gè)陽(yáng)馬，一個(gè)鱉臑（四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐），如果從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)頂點(diǎn)得到三棱錐，則得到的三棱錐是鱉臑的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)頂點(diǎn)，共有（種）情況，其中4點(diǎn)在同一平面的情況共有兩種，第一種是當(dāng)取正方體的一個(gè)面上的4個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有6種情況；第二種是當(dāng)取上下?左右?前后斜切面的4個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有6種情況，所以從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)選4個(gè)頂點(diǎn)得到三棱錐共有（種）.因?yàn)轺M臑是四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，所以以為例，與下底面組成的鱉臑有和，與上底面構(gòu)成的鱉臑也有兩個(gè)，鱉臑共有（個(gè)）.又與側(cè)面組成的4個(gè)鱉臑有兩個(gè)與前面得到的重復(fù)，有2個(gè)不重合，故有（個(gè)），所以一共有24個(gè)鱉臑，所以得到的三棱錐是鱉臑的概率為，故選：C.題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問(wèn)題例10．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知，從這四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，使函數(shù)有兩不相等的實(shí)數(shù)根的概率為.【答案】/【解析】函數(shù)有兩不相等的實(shí)數(shù)根，則，解得或.，，.因?yàn)?，所?即從這四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，使函數(shù)有兩不相等的實(shí)數(shù)根的概率為.故答案為：例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四個(gè)函數(shù)：（1），（2），（3），（4），從中任選個(gè)，則事件“所選個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為.【答案】【解析】如圖所示，與，與，與，與均有多個(gè)公共點(diǎn)，令，則，∴在上單調(diào)遞增，又∵，∴有唯一零點(diǎn)，∴與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；令，則，∴在上單調(diào)遞增，又∵，∴存在，使，且是的唯一零點(diǎn)，∴與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).∴從四個(gè)函數(shù)中任選個(gè)，共有種可能，“所選個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的有與和與共種可能，∴“所選個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為.故答案為：.例12．（2023·河南信陽(yáng)·河南省信陽(yáng)市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）在，，0，1，2的五個(gè)數(shù)字中，有放回地隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)字分別作為函數(shù)中a，b的值，則該函數(shù)圖像恰好經(jīng)過(guò)第一、三、四象限的概率為．【答案】/0.2【解析】五個(gè)數(shù)字任取一個(gè)作數(shù)字作系數(shù)a，放回后隨機(jī)任取一個(gè)數(shù)作為b，有種不同取法.當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像為一條直線，若圖像恰好經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則，即有，；，兩組數(shù)滿足；時(shí)，二次函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限則開(kāi)口向下，又圖像過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)必在第一象限，即滿足，，，有，；，；，三組數(shù)滿足．故共有5組滿足，所求概率為．故答案為：變式12．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考一模）若函數(shù)的定義域和值域分別為和，則滿足的函數(shù)概率是．【答案】【解析】因函數(shù)的定義域和值域分別為和，則函數(shù)有6個(gè)，它們是：；；；；；，滿足的函數(shù)有2個(gè)數(shù)，它們是或，因此滿足的函數(shù)有4個(gè)，所以滿足的函數(shù)概率是.故答案為：變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)盒子中裝有六張卡片，上面分別寫(xiě)著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：，，，，，．現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片并判函數(shù)的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一張寫(xiě)有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，設(shè)抽取次數(shù)為X，則的概率為．【答案】/0.8【解析】易判斷，，為偶函數(shù)，所以寫(xiě)有偶函數(shù)的卡片有3張，的取值范圍是．，，所以．故答案為：變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)都有，則稱函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域?yàn)?，則函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是．【答案】/0.04【解析】基本事件總數(shù)為：把D中的5個(gè)數(shù)分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,則總共有種，求函數(shù)是“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的情況，等價(jià)于在1，2，3，4，5中間有4個(gè)空，插入2塊板分成3組，分別從小到大對(duì)應(yīng)6,7,8共有種情況，函數(shù)是“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是故答案為：.變式15．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）從3個(gè)函數(shù)：和中任取2個(gè)，其積函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是.【答案】【解析】從三個(gè)函數(shù)中任取兩個(gè)函數(shù)共有3種取法，若取，積函數(shù)為，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增；若取和，積函數(shù)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減；若取和，積函數(shù)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增；故滿足題意的有2個(gè)積函數(shù)，所以概率值為，故答案為：.題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問(wèn)題例13．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.因n趨向于無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，若從該數(shù)列前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取2項(xiàng)，則抽取的2項(xiàng)至少有1項(xiàng)是奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意可知，數(shù)列的前10項(xiàng)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，其中偶數(shù)有3個(gè)，所以從該數(shù)列前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取2項(xiàng)，則抽取的2項(xiàng)都是偶數(shù)的概率為，所以至少有1項(xiàng)是奇數(shù)的概率為.故選：D.例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，也叫“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，先從該數(shù)列前12項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，是質(zhì)數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系可知，前12項(xiàng)分別為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，所以基本事件數(shù)共有12，其中質(zhì)數(shù)有2，3，5，13，89，共5種，故是質(zhì)數(shù)的概率為.故選：A.例15．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎吵楠?jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)率為，每次抽獎(jiǎng)互不影響．構(gòu)造數(shù)列，使得，記，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，抽獎(jiǎng)5次，出現(xiàn)3次中獎(jiǎng)2次未中獎(jiǎng)或2次中獎(jiǎng)3次未中獎(jiǎng)，故的概率為．故選:A.變式16．（2023·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）數(shù)列共有10項(xiàng)，且滿足：，，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為或，從滿足上述條件的所有數(shù)列中任取一個(gè)數(shù)列，則取到的數(shù)列滿足每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為的項(xiàng)都相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，從至，“”或“”共次，所以“”共次，“”共次，基本事件的總數(shù)有種，“每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為的項(xiàng)都相鄰”的事件有種，故取到的數(shù)列滿足每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為的項(xiàng)都相鄰的概率為.故選：A變式17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．因n趨向于無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，若從該數(shù)列前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，則抽取項(xiàng)是奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意可知，數(shù)列的前項(xiàng)為：，其中奇數(shù)有個(gè)，所以從該數(shù)列前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，則抽取項(xiàng)是奇數(shù)的概率為.故選：D變式18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，在數(shù)集中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為，在數(shù)集中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為.在這些不同數(shù)列中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)列，則是遞增數(shù)列的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即，即，所有樣本點(diǎn)有：、、、、、、、、，共個(gè)，其中，滿足是遞增數(shù)列的樣本點(diǎn)有：、，共個(gè)，故所求概率為.故選：B.變式19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若數(shù)列滿足，從中任取兩個(gè)數(shù)，則至少一個(gè)數(shù)滿足的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于①，當(dāng)時(shí)，得，解得；當(dāng)時(shí)，②，①-②化簡(jiǎn)可得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；因?yàn)?，所以，令得，解得或，從中任取兩個(gè)數(shù)共有，，，，，，，，，，，，，，15種，其中至少一個(gè)6或7的有9種，所以至少一個(gè)數(shù)滿足的概率為，故選：B.變式20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為-2，在該數(shù)列的前六項(xiàng)中隨機(jī)抽取兩項(xiàng)，，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：，，，，，，由，則m，n奇偶相同，若m，n都為偶數(shù)時(shí)，符合題意，情況數(shù)為種；若m，n都為奇數(shù)時(shí)，僅有不符題意，情況數(shù)為種，綜上，符合題意的情況數(shù)為種，而總情況數(shù)為種，∴概率．故選：C.題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合例16．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考二模）2022年中國(guó)新能源汽車銷量繼續(xù)蟬聯(lián)全球第一，以比亞迪為代表的中國(guó)汽車交出了一份漂亮的“成績(jī)單”，比亞迪新能源汽車成為2022年全球新能源汽車市場(chǎng)銷量冠軍，為了解中國(guó)新能源車的銷售價(jià)格情況，隨機(jī)調(diào)查了10000輛新能源車的銷售價(jià)格，得到如圖的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)一輛中國(guó)新能源車的銷售價(jià)格位于區(qū)間（單位：萬(wàn)元）的概率，以及中國(guó)新能源車的銷售價(jià)格的眾數(shù)；(2)現(xiàn)有6輛新能源車，其中2輛為比亞迪新能源車，從這6輛新能源車中隨機(jī)抽取2輛，求至少有1輛比亞迪新能源車的概率.【解析】（1）一輛中國(guó)新能源車的銷售價(jià)格位于區(qū)間的概率中國(guó)新能源車的銷售價(jià)格的眾數(shù)為（2）記2輛比亞迪新能源車為，其余4輛車為，從6輛新能源車中隨機(jī)抽取2輛的情況有：，，共15種情況.其中至少有1輛比亞迪新能源車的情況有：，，共有9種情況.至少有1輛比亞迪新能源車的概率例17．（2023·北京西城·高三北京市第三十五中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）為了解某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的(1)班(8)班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（2）班和高一（4）班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（）．寫(xiě)出方差的大小關(guān)系（不必寫(xiě)出證明過(guò)程）．【解析】（1）從高一年級(jí)（1）班~（8）班學(xué)生中抽測(cè)了80人，其中身體素質(zhì)檢測(cè)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)有人，所以，優(yōu)秀的概率是

因?yàn)槭请S機(jī)抽樣，所以用樣本估計(jì)總體，可知從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)一人，該生身體素質(zhì)檢測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率是（2）因?yàn)楦咭唬?）班抽出的10名同學(xué)中，身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)有6人，不優(yōu)秀的有4人，因?yàn)楦咭唬?）班抽出的10名同學(xué)中，身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)有4人，不優(yōu)秀的有6人，所以從中抽出2人，的可能取值為，，，所以的分布列為數(shù)學(xué)期望（3），理由：由于且服從二點(diǎn)分布，所以，由于在單調(diào)遞減，所以.例18．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某重點(diǎn)大學(xué)為了解準(zhǔn)備保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間，隨機(jī)抽取了名這類大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：）整理后得到如下表格：課余學(xué)習(xí)時(shí)間人數(shù)(1)估計(jì)這名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)；(2)根據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在和，這兩組中抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，求抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在的概率．【解析】（1），，這名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)位于之間，則中位數(shù)為.（2）由題意知：從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在這一組抽取人，分別記為，從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在這一組抽取人，分別記為；從這人中隨機(jī)抽取人，所有的基本事件為：，共個(gè)基本事件；其中“抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在”包含的基本事件為：，共個(gè)基本事件；抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在的概率.變式21．（2023·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）為促進(jìn)全民健身更高水平發(fā)展，更好地滿足人民群眾的健身和健康需求，國(guó)家相關(guān)部門(mén)制定發(fā)布了《全民健身計(jì)劃（2021—2025年）》.相關(guān)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了我國(guó)2018年至2022年（2018年的年份序號(hào)為1，依此類推）健身人群數(shù)量（即有健身習(xí)慣的人數(shù)，單位：百萬(wàn)），所得數(shù)據(jù)如圖所示：

(1)若每年健身人群中放棄健身習(xí)慣的人數(shù)忽略不計(jì)，從2022年的健身人群中隨機(jī)抽取5人，設(shè)其中從2018年開(kāi)始就有健身習(xí)慣的人數(shù)為X，求；(2)由圖可知，我國(guó)健身人群數(shù)量與年份序號(hào)線性相關(guān)，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明.附：相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，，.【解析】（1）由圖中數(shù)據(jù)可知從2018年開(kāi)始就有健身習(xí)慣的人數(shù)有232百萬(wàn)，2022年的健身人數(shù)為324百萬(wàn)，故從2022年的健身人群中隨機(jī)抽取1人，其中從2018年開(kāi)始就有健身習(xí)慣的人被抽到的概率為，則，故；（2）由題意知，，故我國(guó)健身人群數(shù)量與年份序號(hào)正線性相關(guān)且相關(guān)性很強(qiáng).變式22．（2023·江西宜春·高三江西省豐城拖船中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）某市教師進(jìn)城考試分筆試和面試兩部分，現(xiàn)把參加筆試的40名教師的成績(jī)分組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100].得到頻率分布直方圖如圖所示.

(1)分別求成績(jī)?cè)诘?，5組的教師人數(shù)；(2)若考官?zèng)Q定在筆試成績(jī)較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名進(jìn)入面試，①已知甲和乙的成績(jī)均在第3組，求甲和乙同時(shí)進(jìn)入面試的概率；②若決定在這6名考生中隨機(jī)抽取2名教師接受考官D的面試，設(shè)第4組中有X名教師被考官D面試，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）由題意，結(jié)合頻率分布直方圖，可得第4組的教師人數(shù)為人，第5組的教師人數(shù)為人，所以第4，5組的教師人數(shù)分別為人和人.（2）（2）①由頻率分布直方圖，可得第3組的教師人數(shù)為，因?yàn)榈?，4，5組中用分層抽樣抽取6名進(jìn)入面試，所以第3，4，5組中抽取的人數(shù)分別是，則甲，乙同時(shí)進(jìn)入面試的概率為.②由①知，隨機(jī)變量的所有可能取值為，且服從超幾何分布，可得，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望.變式23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）插花是一種高雅的審美藝術(shù)，是表現(xiàn)植物自然美的一種造型藝術(shù)，與建筑、盆景等藝術(shù)形式相似，是最優(yōu)美的空間造型藝術(shù)之一。為了通過(guò)插花藝術(shù)激發(fā)學(xué)生對(duì)美的追求，某校舉辦了以“魅力校園、花香溢校園”為主題的校園插花比賽。比賽按照百分制的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)委由10名專業(yè)教師、10名非專業(yè)教師以及20名學(xué)生會(huì)代表組成，各參賽小組的最后得分為評(píng)委所打分?jǐn)?shù)的平均分.比賽結(jié)束后，得到甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，如下所示：

分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)151214431定義評(píng)委對(duì)插花作品的“觀賞值”如下所示：分?jǐn)?shù)區(qū)間觀賞值123(1)估計(jì)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(2)若該校擬從甲、乙兩組插花作品中選出1個(gè)用于展覽，從這兩組插花作品的最后得分來(lái)看該校會(huì)選哪一組，請(qǐng)說(shuō)明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(3)從40名評(píng)委中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)其對(duì)乙組插花作品的“觀賞值”比對(duì)甲組插花作品的“觀賞值”高的概率.【解析】（1）設(shè)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為，由頻率分布直方圖可得甲組得分在前三個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間的頻率之和為0.3，在最后三個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間的頻率之和為0.26，故，所以，解得.即估計(jì)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為85.82（2）由頻率分布直方圖可知，甲組插花作品的最后得分約為由乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，得下表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)頻率10.02550.125120.300140.35040.10030.07510.025所以乙組插花作品的最后得分約為.因?yàn)?，所以該校?huì)選擇甲組插花作品用于展覽（3）設(shè)“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’比對(duì)甲組插花作品的‘觀賞值’高”為事件，“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’為2”為事件，“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’為3”為事件，“對(duì)甲組插花作品的‘觀賞值’為1”為事件，“對(duì)甲組插花作品的‘觀賞值’為2”為事件，則.，，由頻數(shù)分布表得，，.因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，其中，，所以，所以估計(jì)該評(píng)委對(duì)乙組插花作品的“觀賞值”比對(duì)甲組插花作品的“觀賞值”高的概率為0.225【解題方法總結(jié)】求解古典概型的交匯問(wèn)題的步驟（1）將題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件；（2）判斷事件是否為古典概型；（3）選用合適的方法確定樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；（4）代入古典概型的概率公式求解．題型七：有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率例19．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有3個(gè)紅色球，2個(gè)白色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則第2次摸到紅色球的概率為.【答案】【解析】由題意，袋子中有相同的5個(gè)球，3個(gè)紅球，2個(gè)白球，不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，∴第1次可能摸到1白色球或1紅色球∴第2次摸到紅色球的概率為：，故答案為：.例20．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預(yù)測(cè)）已知紅箱內(nèi)有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，白箱內(nèi)有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，以此類推，第次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去．則第3次取出的球是紅球的概率為．【答案】/0.504【解析】3次取出的結(jié)果共有8種，分別為：（紅，紅，紅）、（紅，紅，白）、（紅，白，紅）、（紅，白，白）、（白，紅，紅）（白，紅，白）、（白，白，紅）、（白，白，白），其中第3次取出的球是紅球的情況為（紅，紅，紅）、（紅，白，紅）、（白，紅，紅）、（白，白，紅）、共4種.根據(jù)題意，，，，所以，第3次取出的球是紅球的概率.故答案為：【答案】/0.75則，故答案為：．例21．（2023·湖北·校聯(lián)考三模）袋中有形狀和大小相同的兩個(gè)紅球和三個(gè)白球，甲、乙兩人依次不放回地從袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的結(jié)果，則乙摸出紅球的概率是．【答案】/0.4【解析】有兩種情況：①甲摸到紅球乙再摸到紅球得概率為：

②甲摸到白球乙再摸到紅球得概率為：，故乙摸到紅球的概率．故答案為：變式24．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）袋中有形狀大小相同的球5個(gè)，其中紅色3個(gè)，黃色2個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)連續(xù)摸球，每次摸1個(gè)，當(dāng)有兩種顏色的球被摸到時(shí)停止摸球，記隨機(jī)變量為此時(shí)已摸球的次數(shù)，則.【答案】【解析】由題意可得若兩次摸到兩種顏色的球，則；若三次摸到兩種顏色的球，則；若四次摸到兩種顏色的球，則；故.故答案為：變式25．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）小穎和小星在玩抽卡游戲，規(guī)則如下：桌面上放有5張背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有兩種顏色的圖案，其中一張為紫色，其余為藍(lán)色.現(xiàn)將這些卡牌背面朝上放置，小穎和小星輪流抽卡，每次抽一張卡，并且抽取后不放回，直至抽到印有紫色圖案的卡牌停止抽卡.若小穎先抽卡，則小星抽到紫卡的概率為.【答案】/【解析】按照規(guī)則，兩人依次抽卡的所有情形如下表所示，小穎小星小穎小星小穎情形一紫情形二藍(lán)紫情形三藍(lán)藍(lán)紫情形四藍(lán)藍(lán)藍(lán)紫情形五藍(lán)藍(lán)藍(lán)藍(lán)紫其中情形二和情形四為小星最終抽到紫卡，則小星抽到紫卡的概率為.故答案為：.變式26．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）袋中有大小質(zhì)地均相同的1個(gè)黑球，2個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取球，每次取一個(gè)，不放回，直到某種顏色的球全部取出為止，則最后一個(gè)球是白球的概率是．【答案】【解析】由題可知，要使直到某種顏色的球全部取出為止，最后一個(gè)球是白球，則摸球次數(shù)可能為2，3，4次.設(shè)兩次取球便結(jié)束，最后一個(gè)球是白球的概率為.兩次取球便結(jié)束，且最后一球?yàn)榘浊虻那闆r為：兩個(gè)球都是白球，情況數(shù)為2種.故設(shè)三次取球便結(jié)束，最后一個(gè)球是白球的概率為.三次取球便結(jié)束，且最后一球?yàn)榘浊虻那闆r為：前兩次為一白一紅，情況數(shù)為：.故.設(shè)四次取球便結(jié)束，最后一個(gè)球是白球的概率為.四次取球便結(jié)束，且最后一球?yàn)榘浊虻那闆r為：前三次為兩紅一白，情況數(shù)為：.故.設(shè)直到某種顏色的球全部取出為止，最后一個(gè)球是白球的概率是，則.故答案為：題型八：概率的基本性質(zhì)例22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)工廠共生產(chǎn)一精密儀器件，其中甲工廠生產(chǎn)了件，乙工廠生產(chǎn)了件，為了解這兩個(gè)工廠各自的生產(chǎn)水平，質(zhì)檢人員決定采用分層抽樣的方法從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件樣品，已知該精密儀器按照質(zhì)量可分為四個(gè)等級(jí)．若從所抽取的樣品中隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，恰好抽到甲工廠生產(chǎn)的等級(jí)產(chǎn)品的概率為，則抽取的三個(gè)等級(jí)中甲工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有件．【答案】【解析】由分層抽樣原則知：從甲工廠抽取了件樣品，設(shè)抽取甲工廠生產(chǎn)的等級(jí)產(chǎn)品有件，則，解得：，抽取的三個(gè)等級(jí)中，甲工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有件.故答案為：.例23．（2023·上海徐匯·高三上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知袋中有（為正整數(shù)）個(gè)大小相同的編號(hào)球，其中黃球8個(gè)，紅球個(gè)，從中任取兩個(gè)球，取出的兩球是一黃一紅的概率為，則的最大值為.【答案】【解析】根據(jù)題意可得，黃球8個(gè)，紅球個(gè)，從中任取兩個(gè)球總共有種，取出的兩球是一黃一紅總共有種；所以從袋中任取兩個(gè)球，取出的兩球是一黃一紅的概率；令，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，但為正整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即當(dāng)或時(shí)，的最小值為，所以，即的最大值為故答案為：例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)口袋里有大小相同的白球個(gè)，黑球個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)一次性取出個(gè)球，若取出的兩個(gè)球都是白球的概率為，則黑球的個(gè)數(shù)為．【答案】5【解析】由題意得，所以，解得或（舍去），即黑球的個(gè)數(shù)為．故答案為：變式27．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）為舒緩高考?jí)毫?，射洪中學(xué)高三年級(jí)開(kāi)展了“葵花心語(yǔ)”活動(dòng)，每個(gè)同學(xué)選擇一顆葵花種子親自播種在花盆中，四個(gè)人為一互助組，每組四人的種子播種在同一花盆中，若盆中至少長(zhǎng)出三株花苗，則可評(píng)為“陽(yáng)光小組”．已知每顆種子發(fā)芽概率為0.8，全年級(jí)恰好共種了500盆，則大概有個(gè)小組能評(píng)為“陽(yáng)光小組”．（結(jié)果四舍五入法保留整數(shù)）【答案】410【解析】由題意知，每一盆至少長(zhǎng)出三株花苗包括“恰好長(zhǎng)出三株花苗”和“長(zhǎng)出四株花苗”兩種情況，其概率為，即一盆花苗能被評(píng)為“陽(yáng)光小組”的概率為，且被評(píng)為“陽(yáng)光小組”的盆數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以500盆花苗中能被評(píng)為“陽(yáng)光小組”的有.故答案為：410變式28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)地抽取6道題，若考生至少能答對(duì)其中的4道即可通過(guò)；若至少能答對(duì)其中的5道就獲得“優(yōu)秀”．已知某考生能答對(duì)其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過(guò)，則他獲得“優(yōu)秀”的概率為．【答案】【解析】設(shè)“他能答對(duì)其中的6道題”為事件A，“他能答對(duì)其中的5道題”為事件B，“他能答對(duì)其中的4道題”為事件C，設(shè)“他考試通過(guò)”為事件D，“他考試獲得優(yōu)秀”為事件E．則由題意可得D＝A∪B∪C，E＝A∪B，且A、B、C兩兩互斥．．又，，∴．故答案為：．變式29．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）餃子是我國(guó)的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好.現(xiàn)鍋中煮有白菜餡餃子4個(gè)，韭菜餡餃子3個(gè)，這兩種餃子的外形完全相同.從中任意舀取3個(gè)餃子，則每種口味的餃子都至少舀取到1個(gè)的概率為.【答案】【解析】由條件可知，舀到的有1個(gè)白菜，2個(gè)韭菜，或是2個(gè)白菜，1個(gè)韭菜，所以概率.故答案為：變式30．（2023·江西南昌·江西師大附中校考三模）城市地鐵極大的方便了城市居民的出行，南昌地鐵1號(hào)線是南昌市最早建成并成功運(yùn)營(yíng)的一條地鐵線.已知1號(hào)地鐵線的每輛列車有6節(jié)車廂，從5月1日起實(shí)行“夏季運(yùn)行模式”，其中2節(jié)車廂開(kāi)啟強(qiáng)冷模式，2節(jié)車廂開(kāi)啟中冷模式，2節(jié)車廂開(kāi)啟弱冷模式.現(xiàn)在有甲、乙、丙3人同一時(shí)間同一地點(diǎn)乘坐同一趟地鐵列車，由于個(gè)人原因，甲不選擇強(qiáng)冷車廂，乙不選擇弱冷車廂，丙沒(méi)有限制，但他們都是獨(dú)立而隨機(jī)的選擇一節(jié)車廂乘坐，則甲、乙、丙3人中恰有2人在同一車廂的概率為．【答案】【解析】因?yàn)榧滓冶谕卉噹母怕蕿?，甲乙在同一車廂的概率為，甲丙在同一車廂的概率為，乙丙在同一車廂的概率為，則甲乙丙恰有人在同一車廂的概率為.故答案為：·【解題方法總結(jié)】求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法（1）直接法（2）間接法（正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解簡(jiǎn)單）．

1．（2023?乙卷）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為A． B． C． D．【答案】【解析】某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，甲、乙兩位參賽同學(xué)構(gòu)成的基本事件總數(shù)，其中甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題包含的基本事件個(gè)數(shù)，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為．故選：．2．（2023?甲卷）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，基本事件總數(shù)，這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)包含的基本事件個(gè)數(shù)，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為．故選：．3．（2022?甲卷）從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】根據(jù)題意，從6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)有，，，，，，共6種情況，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率；故選：．

變式31．2．1直線的傾斜角與斜率參考答案題型一：點(diǎn)斜式直線方程例1．【解析】直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率，代入點(diǎn)斜式方程得．畫(huà)圖時(shí)，只需再找出直線上的另一點(diǎn)，例如，取，則，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)，兩點(diǎn)的直線即為所求，如圖所示．例2．【解析】（1）根據(jù)已知可得直線l的點(diǎn)斜式方程為，化簡(jiǎn)得；（2）根據(jù)已知可得直線l的點(diǎn)斜式方程為，化簡(jiǎn)得.例3．【解析】（1）由題意可知，將和斜率3直接代入直線點(diǎn)斜式方程可得，直線的點(diǎn)斜式方程為；（2）由傾斜角是可得直線斜率，將代入點(diǎn)斜式方程即為（3）由傾斜角是可得直線斜率，將代入點(diǎn)斜式方程即為變式1．【解析】設(shè)直線的傾斜角分別為由點(diǎn)斜式方程可知直線的斜率為，因?yàn)?，所以，所以，其斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式可得，直線的方程為.變式2．【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，所以該直線傾斜角為，所以所求直線的傾斜角為，其斜率為，所以所求直線的點(diǎn)斜式方程為．變式3．【解析】如圖：因?yàn)椋?，故直線BC的點(diǎn)斜式方程為.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用點(diǎn)斜式求直線方程的步驟是：①判斷斜率是否存在，并求出存在時(shí)的斜率；②在直線上找一點(diǎn)，并求出其坐標(biāo)．（2）要注意點(diǎn)斜式直線方程的逆向運(yùn)用，即由方程可知該直線過(guò)定點(diǎn)且斜率為．題型二：斜截式直線方程例4．【解析】由題意得直線與兩坐標(biāo)軸不垂直,否則構(gòu)不成三角形,設(shè)其斜率為,則直線的方程為,令,得;令,得,于是直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,即.若,則整理得,因?yàn)?所以方程無(wú)解.若,則整理得,解得或,所以直線的方程為或,即或.例5．【解析】（1）由直線方程的斜截式可知，所求直線的斜截式方程為y＝2x＋5.（2）由于直線的傾斜角為150°，所以斜率k＝tan150°＝－，故所求直線的斜截式方程為y＝－x－2.（3）因?yàn)橹本€的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan60°＝．因?yàn)橹本€與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3，所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，故所求直線的斜截式方程為y＝x＋3或y＝x－3.例6．【解析】設(shè)直線方程為：，令，得，令，得，因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是12，所以，解得，所以直線的斜截式方程是或.變式4．【解析】(1)因?yàn)橹本€斜率是，在y軸上的截距是，所以直線的斜截式方程為；（2）因?yàn)橹本€斜率是，在y軸上的截距是4，所以直線的斜截式方程為；變式5．【解析】（1）∵，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴中線的斜率為，∴中線所在直線的方程為，（2）由已知可得的斜率為，所以與直線垂直的直線的斜率為∴與直線垂直的直線為變式6．【答案】或【解析】由題意所求直線l的斜率必存在，且不為，設(shè)其斜率為，則直線l方程為，令，得，令，得，故所圍三角形面積為，即，當(dāng)時(shí)，上式可化為，解得或；當(dāng)時(shí)，上式可化為，方程無(wú)解；綜上：直線的斜截式方程是或.故答案為：或.變式7．【答案】【解析】由直線的斜截式方程得：直線的斜截式方程為：，故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（1）選用斜截式表示直線方程的依據(jù)是知道（或可以求出）直線的斜率和直線在軸上的截距．（2）直線的斜截式方程的好處在于它比點(diǎn)斜式方程少一個(gè)參數(shù)，即斜截式方程只要兩個(gè)參數(shù)、即可確定直線的方程，而點(diǎn)斜式方程則需要三個(gè)參數(shù)、、才能確定，而且它的形式簡(jiǎn)潔明了，這樣當(dāng)我們僅知道直線滿足一個(gè)條件時(shí)，由參數(shù)選用斜截式方程具有化繁為簡(jiǎn)的作用．（3）若直線過(guò)某一點(diǎn)，則這一點(diǎn)坐標(biāo)一定滿足直線方程，這一隱含條件應(yīng)充分利用．題型三：兩點(diǎn)式直線方程例7．【答案】A【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以由方程的兩點(diǎn)式可得直線方程為，即．故選：A例8．【答案】D【解析】因?yàn)椋瑒t線l的方程為，整理得，所以直線l的方程為.故選：D.例9．【答案】C【解析】由直線的兩點(diǎn)式方程可得，直線l的方程為，即．故選：C．變式8．【答案】A【解析】因?yàn)橹本€的兩點(diǎn)式方程為，所以直線過(guò)點(diǎn)，，所以的斜率為．故選：A變式9．【答案】A【解析】根據(jù)直線方程的方法逐個(gè)分析即可.對(duì)①,當(dāng)直線與軸垂直時(shí)不能用方程表示.故①錯(cuò)誤.對(duì)②,直線兩點(diǎn)式方程若要也能表示與軸垂直的直線方程應(yīng)該為.故②錯(cuò)誤.對(duì)③,當(dāng)直線與軸垂直時(shí)不能用方程表示.故③錯(cuò)誤.對(duì)④,當(dāng)直線與軸垂直時(shí)不能用方程表示.故④錯(cuò)誤.故選：A變式10．【答案】B【解析】因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可得：所求直線方程為.故選B.【方法技巧與總結(jié)】當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件，若滿足即可考慮用兩點(diǎn)式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程．題型四：截距式直線方程例10．【答案】或【解析】若直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則方程為；若直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)方程為，故，得，所以方程為.故答案為：或.例11．【答案】或【解析】①當(dāng)截距為0，即直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為；②當(dāng)截距不為0，設(shè)直線的方程為：，代入得：，解得：，所以直線方程為，即；綜上，所求直線方程為或，故答案為：或例12．【答案】或【解析】因?yàn)橹本€l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，所以直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等且不為0.設(shè)直線方程為，則.因?yàn)?，即，所以，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線方程為或.故答案為:或.變式11．【答案】或【解析】設(shè)直線l在y軸上的截距為a，則在x軸上的截距為．當(dāng)時(shí)，直線l過(guò)點(diǎn)，又直線l過(guò)點(diǎn)，故直線l的斜率，故直線l的方程為，即；當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，即，∴直線l過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴直線l的方程為．綜上可知，直線l的方程為或．故答案為：或.變式12．【答案】【解析】解析：由于直線過(guò)A(0，3)，B(－2，0)兩點(diǎn)，所以直線在x軸、y軸上的截距分別為－2，3.由截距式可知，方程為.故答案為：.變式13．【答案】【解析】設(shè)直線在x軸上的截距為a，則在y軸上的截距為，由截距式可得：，將代入直線方程，解得：或3，所以代入直線方程化簡(jiǎn)可得，或.變式14．【答案】B【解析】均為正整數(shù)，可設(shè)直線，將代入直線方程得：，當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)解，，，，，或，或，即滿足題意的直線方程有條.故選：B.變式15．【答案】C【解析】當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入，求得，故方程為；當(dāng)截距不為0時(shí)，①截距相等時(shí)，設(shè)方程為，將代入，即，解得：，故方程為；②截距互為相反數(shù)時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入，即，解得：，故方程為；一條是截距為0，一條是截距相等(不為0)，一條是截距互為相反數(shù)(不為0)，共3條.故選：C【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用截距式求直線方程時(shí)，一定要注意討論截距是否為零．題型五：中點(diǎn)坐標(biāo)公式例13．【解析】不妨設(shè)，且，則直線l的方程為，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，由截距式可知，直線l的方程為，即.例14．【答案】【解析】由題意可得，，所以直線，設(shè)，所以AB的中點(diǎn)C.由點(diǎn)C在直線上，且A，P，B三點(diǎn)共線得解得，所以,又，所以＝，所以，即直線AB的方程為.例15．【答案】【解析】因?yàn)橹本€與直線和的交點(diǎn)分別為，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得，解得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.故答案為：.變式16．【答案】【解析】設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)椋栽谥本€上，由在直線上，聯(lián)立可得，解得，即中點(diǎn)為，所以直線的斜率，所以的方程為，即．故答案為：．變式17．【答案】【解析】線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，,直線垂直于線段，故，故，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得.故答案為：，.變式18．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，，線段PQ的中點(diǎn)為，所以，所以，所以，所以直線PQ的方程為，即，故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（1）中點(diǎn)坐標(biāo)公式是一個(gè)重要的公式，要注意靈活地運(yùn)用它來(lái)解決問(wèn)題．（2）在運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式時(shí)，要注意與“中點(diǎn)”等價(jià)的有關(guān)概念的運(yùn)用．（3）在具體解題時(shí)，還應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)條件運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，如由平面幾何知識(shí)可知，平行四邊形的對(duì)角線相交于一點(diǎn)且互相平分，也就是對(duì)角線上兩頂點(diǎn)的中點(diǎn)重合等．題型六：直線的一般式方程例16．【解析】（1）直線的斜率為，其傾斜角為，因此所求直線的傾斜角為，斜率為，所以所求直線的方程為，即.（2）直線的斜率，所以直線的方程為，即.（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于x軸的直線斜率為0，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于x軸的直線方程為.（4）在x軸，y軸上的截距分別為，的直線方程為，即.例17．【答案】B【解析】由直線方程知：直線方向向量有及它的平行向量均可作為其方向向量.故選：B例18．【答案】C【解析】因?yàn)榉匠瘫硎疽粭l直線，所以，，不能同時(shí)成立，解得．故選：C.變式19．【答案】C【解析】由且，可得同號(hào)，異號(hào)，所以也是異號(hào)；令，得；令，得；所以直線不經(jīng)過(guò)第三象限.故選：C變式20．【答案】A【解析】點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，直線的斜率為，則直線的傾斜角為，則將直線繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后所得直線的傾斜角為，則所求直線的斜率為，所以所求直線的方程為，即．故選：A．變式21．【答案】B【解析】對(duì)于直線，令，解得，故直線恒過(guò)點(diǎn)，一定不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時(shí)直線即為，直線過(guò)二、三象限，當(dāng)時(shí)直線即為，若，則，，直線過(guò)一、二、三象限，若，則，，直線過(guò)二、三、四象限，所以直線一定過(guò)二、三象限，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)橹本€恒過(guò)點(diǎn)，所以直線可表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)的所有直線，故選：B變式22．【答案】D【解析】由，可得，則由，可得，則方程表示的曲線是一條直線.故選：D變式23．【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，且時(shí)，直線斜率不存在，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，且，時(shí)，直線只與軸相交；當(dāng)，且，時(shí)，直線與軸重合，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，且時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，且，且時(shí)，直線方程為，即軸所在直線，故正確.故選：D變式24．【答案】C【解析】由題，將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程可得，所以直線的斜率，因?yàn)?，所以，故選:C.【方法技巧與總結(jié)】讓學(xué)生體會(huì)直線方程的各種形式，以及各種形式向一般式的轉(zhuǎn)化，對(duì)于直線方程的一般式，一般作如下約定：的系數(shù)為正，，的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含項(xiàng)、項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列．求直線方程的題目，無(wú)特別要求時(shí)，結(jié)果寫(xiě)成直線方程的一般式．題型七：直線方程的綜合應(yīng)用例19．【答案】【解析】，直線的方程為，由解得，設(shè)，依題意，的平分線為直線，由正弦定理得，由于，由此整理得,則，設(shè)，則，整理得，解得或（舍去），則，，直線的方程為.故答案為：例20．【答案】【解析】根據(jù)題意，因?yàn)橹本€l與直線垂直，設(shè)l的方程為，又由直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有，解可得，故直線l的方程為.故答案為：．例21．【答案】【解析】若為已知直線傾斜角，將其順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的直線傾斜角為，而，故，所以旋轉(zhuǎn)后直線為，則.故答案為：變式25．【答案】或【解析】由題設(shè)，直線斜率為，則其傾斜角為，所以直線的傾斜角為或，且過(guò)，故直線的方程為或，即或.故答案為：或變式26．【答案】或【解析】由直線方程，可得此直線的斜率為，傾斜角為，則與該直線成角的直線的傾斜角為或，又因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)，所以所求直線方程為或，即或．故答案為：或變式27．【解析】（1）選擇①：由題意可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€的斜率是直線的斜率的2倍，所以，所以直線的方程為，即．

選擇②：由題意可設(shè)直線的方程為，，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得．所以直線的方程為，即．（2）由（1）可知直線的方程為，令，可得，所以直線在軸上的截距為，所以直線在軸上的截距為．故直線過(guò)點(diǎn)，代入，得，解得．變式28．【解析】（1）直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的方程為.（2）線段的中點(diǎn)為，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為.變式29．【解析】設(shè)交于，則為的中點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是三角形的重心，所以，所以，所以，，所以，所以，故，解得.故邊所在直線的方程為，邊所在直線的方程為，即.變式30．【解析】如圖，以為軸，點(diǎn)在軸上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，，則，，同理可得，，所以，，，故，，則，直線的方程為：，即，，，直線的方程為：即，由題意可知，直線可由直線向右平移個(gè)單位而得到，直線可由直線向右平移個(gè)單位而得到，直線的方程為：，即，直線的方程為：，即：.變式31．【解析】（1）依題意，直線的斜率，于是邊上高所在直線的斜率，所以直線方程為，即.（2）依題意，，在向量方向上取，使，而，則，令，顯然平分，于是的平分線所在直線的方向向量為，即直線的斜率為3，所以直線的方程為，即.變式32．【解析】（1）∵的頂點(diǎn)，高CD所在直線方程為，角的平分線BE所在直線方程為，∴直線AB的斜率，∴直線AB的方程為：，即，聯(lián)立，得，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）∵，，角的平分線BE所在直線方程為，∴，∴，解得或（舍），∴直線BC的方程為：，即．變式33．【解析】設(shè)點(diǎn)，則，解得，點(diǎn)．又點(diǎn)，所以直線方程為，傾斜角為又平分線：，傾斜角為，直線的傾斜角為直線的方程為聯(lián)立，解得，點(diǎn)．直線的方程，即變式34．【解析】（1）邊上的高所在的直線的方程為，所以直線上的高的斜率，直線的斜率為．所以直線的方程為，整理得．（2）角的平分線所在直線的方程為．所以，解得故．（3）由于直線的斜率，角的平分線的斜率，設(shè)直線的斜率，利用到角公式：，解得，所以直線的方程為，整理得．【方法技巧與總結(jié)】求直線的方程的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式．題型八：判斷動(dòng)直線所過(guò)定點(diǎn)例22．【答案】A【解析】直線方程可化為，解方程組，得，即定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：