江西省景德鎮(zhèn)市歷居山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

江西省景德鎮(zhèn)市歷居山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知的左、右焦點，是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，點也在橢圓上，且滿足（為坐標(biāo)原點），，若橢圓的離心率等于,則直線的方程是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A2.已知函數(shù)：①，②，③.則以下四個命題對已知的三個函數(shù)都能成立的是（）命題是奇函數(shù)；

命題在上是增函數(shù)；命題；

命題的圖像關(guān)于直線對稱 A．命題 B．命題 C．命題 D．命題參考答案：C略3.（理）已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，點B到平面EFG的距離為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B4.函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），對?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）=e2，則不等式f（x）＞ex的解是（）A．（2，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，ln2）參考答案：A【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，再根據(jù)f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，繼而求出答案【解答】解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，則有g(shù)（x）在R上單調(diào)遞增，∵不等式f（x）＞ex，∴g（x）＞1，∵f（2）=e2，∴g（2）==1，∴x＞2，故選：A．5.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.已知函數(shù)f（x）=log（x2+）﹣||，則使得f（x+1）＜f（2x﹣1）的x的范圍是（）A．（0，2） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（2，+∞）參考答案：A【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將問題轉(zhuǎn)化為|x+1|＞|2x﹣1|，解出即可．【解答】解：x＞0時，f（x）=log（x2+）﹣是減函數(shù)，x＜0時，f（x）=log（x2+）+是增函數(shù)，且f（﹣x）=f（x）是偶函數(shù)，若f（x+1）＜f（2x﹣1），則|x+1|＞|2x﹣1|，解得：0＜x＜2，故選：A．7.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值是（

）A．1

B．

C.2

D．4參考答案：B8.定義域為的函數(shù)有四個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)滿足（

）A.且

B.

C.

D.

參考答案：C此函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，如圖，只要頂點在y軸的右面，f(x)就有四個單調(diào)區(qū)間，所以，選C.【答案】【解析】9.按下列程序據(jù)圖來計算：

如果輸入的x=10，應(yīng)該運算的次數(shù)為 A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C第一次循環(huán)：，不滿足條件，再次循環(huán)；第二次循環(huán)：，不滿足條件，再次循環(huán)；第三次循環(huán)：，不滿足條件，再次循環(huán)；第四次循環(huán)：，不滿足條件，再次循環(huán)；第五次循環(huán)：，滿足條件，結(jié)束循環(huán)，因此循環(huán)次數(shù)為5次。10.設(shè)全集，集合,集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x|＋bx＋c，給出下列四個命題：①c＝0時，y＝f(x)是奇函數(shù)；②b＝0，c>0時，方程f(x)＝0只有一個實數(shù)根；③y＝f(x)的圖象關(guān)于點(0，c)對稱；④方程f(x)＝0最多有兩個實根．其中正確的命題是________(寫出序號)．參考答案：①②③12.設(shè)向量滿足：則向量的夾角為

．參考答案：13.（理）已知，且，則．參考答案：略14.以線段AB：為直徑的圓的方程為

參考答案：15.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其中f（1）=0，且當(dāng)x＞0時，有＞0，則不等式f（x）＞0的解集是_________．參考答案：（﹣1，0）∪（1，+∞）略16.已知，滿足且的最大值為7，最小值為1，則

參考答案：略17.執(zhí)行如圖程序框圖，如果輸入的依次為3，5，3，5，5，4，4，3，4，4，則輸出的s為．參考答案：4考點：程序框圖．

專題：算法和程序框圖．分析：框圖的功能是求數(shù)據(jù)3、5、3、5、5、4、4、3、4、4的平均數(shù)，利用平均數(shù)公式計算可得答案．解答：解：由程序框圖知：算法的功能是求數(shù)據(jù)3、5、3、5、5、4、4、3、4、4的平均數(shù)，∴輸出的S==4．故答案為：4．點評：本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)雙曲線，是它實軸的兩個端點，是其虛軸的一個端點.已知其一條漸近線的一個方向向量是，的面積是，為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線C相交于、兩點，且．

（1）求雙曲線的方程；

（2）求點的軌跡方程,并指明是何種曲線.參考答案：（理）由題意，雙曲線的漸近線方程為，則有又的面積是，故

，得（3分）所以雙曲線的方程為.

（6分）

（2）設(shè)，直線：與雙曲線聯(lián)立消去，得由題意，

（2分）且

（4分）

又由知而所以

化簡得①

由可得②

由①②可得

（6分）故點P的軌跡方程是

（8分）

19.已知函數(shù).（1）設(shè)，，求函數(shù)的極值；（2）若，且對任意恒成立，求k的最大值.參考答案：（1）極小值為，無極大值；（2）－1【分析】（1）由題意可得，則在上遞減，在上遞增，據(jù)此可得函數(shù)的極值.（2）原問題等價于，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可知存在唯一的使得，據(jù)此可得的最大值為.【詳解】（1），，∵在上恒成立，∴當(dāng)，，當(dāng)，，∴在上遞減，在上遞增，∴在取得極小值，極小值為，無極大值；（2）即：，令，在上遞增，∵，，故存在唯一的使得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∵，∴，∵，，∴最大值為-1.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)處理恒成立問題的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20.已知R上的不間斷函數(shù)g（x）滿足：①當(dāng)x＞0時，g'（x）＞0恒成立；②對任意的x∈R都有g(shù)（x）=g（﹣x）．又函數(shù)f（x）滿足：對任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x）成立，當(dāng)x∈[0，]時，f（x）=x3﹣3x．若關(guān)于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），對于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，則a的取值范圍為．參考答案：（﹣∞，0]∪[1，+∞）【考點】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】由于函數(shù)g（x）滿足：①當(dāng)x＞0時，g'（x）＞0恒成立（g'（x）為函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)）；②對任意x∈R都有g(shù)（x）=g（﹣x），這說明函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)且在[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且有g(shù)|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）?|f（x）|≤|a2﹣a+2|對x∈[2﹣，2+3]恒成立，只要使得|f（x）|在定義域內(nèi)的最大值小于等于|a2﹣a+2|的最小值，然后解出即可【解答】解：因為函數(shù)g（x）滿足：當(dāng)x＞0時，g'（x）＞0恒成立，且對任意x∈R都有g(shù)（x）=g（﹣x），則函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)且在[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且有g(shù)（|x|）=g（x），∵關(guān)于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），對于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，∴|f（x）|≤|a2﹣a+2|對于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，故只要使得定義域內(nèi)|f（x）|max≤|a2﹣a+2|，∵對任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x）成立，當(dāng)x∈[0，]時，f（x）=x3﹣3x，∴設(shè)x∈[﹣，0]，則+x∈[0，]，故f（+x）=∴f（x）=﹣f（+x）=∴當(dāng)x∈[﹣，0]時，，令f'（x）=0，得，或（舍去）∴f（x）在上單調(diào)遞增，則[，0]上單調(diào)遞減，，當(dāng)x時，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f'（x）=0，得x=1∴f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，在[1，]單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（1）=﹣2，∵對任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x），∴，即f（x）為周期函數(shù)且周期為T=，∴x∈[2﹣3，2+3]時，f（x）max=2，∴|a2﹣a+2|≥2，解得a≤0，或a≥1故答案為：（﹣∞，0]∪[1，+∞）．21.已知橢圓C：（a＞b＞0），且橢圓上的點到一個焦點的最短距離為b．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若點M（，）在橢圓C上，不過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，與直線OM相交于點N，且N是線段AB的中點，求△OAB面積的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）由題意，得，然后求解離心率即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，則b2=3c2．將代入橢圓方程，解得c=1．求出橢圓方程，直線OM的方程為．當(dāng)直線l的斜率不存在時，AB的中點不在直線上，故直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），與聯(lián)立消y，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理求出AB的中點，推出﹣，且m≠0，利用弦長公式以及三角形的面積，推出結(jié)果即可．【解答】（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）由題意，得，…則，結(jié)合b2=a2﹣c2，得，即2c2﹣3ac+a2=0，…亦即2e2﹣3e+1=0，結(jié)合0＜e＜1，解得．所以橢圓C的離心率為．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，則b2=3c2．將代入橢圓方程，解得c=1．所以橢圓方程為．…易得直線OM的方程為．當(dāng)直線l的斜率不存在時，AB的中點不在直線上，故直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），與聯(lián)立消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，所以△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，．…由，得AB的中點，因為N在直線上，所以，解得k=﹣．…所以△=48（12﹣m2）＞0，得﹣，且m≠0，|AB|=|x2﹣x1|===．又原點O到直線l的距離d=，…所以．當(dāng)且僅當(dāng)12﹣m2=m2，m=時等號成立，符合﹣，且m≠0．所以△OAB面積的最大值為：．…22.（