第08講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（四大題型6個(gè)方向）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）（解析版）

第第②焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類(lèi)似，不在贅述．（2）拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時(shí)，特殊地，當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)的時(shí)候，即，，因?yàn)闉橥◤降臅r(shí)候也滿(mǎn)足該式，根據(jù)此時(shí)A、B坐標(biāo)來(lái)記憶．拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時(shí)，注意：在直線與拋物線的問(wèn)題中，設(shè)直線的時(shí)候選擇形式多思考分析，往往可以降低計(jì)算量．開(kāi)口向上選擇正設(shè)；開(kāi)口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們?cè)谔幚砝缦蛄繂?wèn)題，面積問(wèn)題，三點(diǎn)共線問(wèn)題，角度問(wèn)題等?？純?nèi)容的時(shí)候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞剑R(shí)點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理與聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為．該式可以看成一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡(jiǎn)單記．同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為，，可簡(jiǎn)記．與C相離；與C相切；與C相交．注意：（1）由韋達(dá)定理寫(xiě)出，，注意隱含條件．（2）求解時(shí)要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．（3）如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類(lèi)似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過(guò)聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，因?yàn)榇饲闆r下往往會(huì)有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點(diǎn)問(wèn)題的時(shí)候，使用畫(huà)圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo)．知識(shí)點(diǎn)三、弦長(zhǎng)公式設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式．（1）若在直線上，代入化簡(jiǎn)，得；（2）若所在直線方程為，代入化簡(jiǎn)，得（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長(zhǎng)，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．注意：（1）上述表達(dá)式中，當(dāng)為，時(shí)，；（2）直線上任何兩點(diǎn)距離都可如上計(jì)算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡(jiǎn)得到的式子記為，判別式為，時(shí)，，利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡(jiǎn)的時(shí)候可以大大提高效率．（4）直線和圓相交的時(shí)候，過(guò)圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長(zhǎng)會(huì)更加簡(jiǎn)單．（5）直線如果過(guò)焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長(zhǎng)公式．知識(shí)點(diǎn)四、已知弦的中點(diǎn)，研究的斜率和方程（1）是橢圓的一條弦，中點(diǎn)，則的斜率為，運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率；設(shè)，，，都在橢圓上，所以，兩式相減得所以即，故（2）運(yùn)用類(lèi)似的方法可以推出；若是雙曲線的弦，中點(diǎn)，則；若曲線是拋物線，則．題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，點(diǎn)滿(mǎn)足，則直線與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．不確定，與P點(diǎn)的位置有關(guān)【答案】A【解析】因?yàn)椋?，由可得，所以，所以直線與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.故選：A.例2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若直線被圓所截的弦長(zhǎng)不小于2，則l與下列曲線一定有公共點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，圓的圓心為，半徑為.設(shè)直線方程為，直線到圓心的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以.由點(diǎn)到直線的距離公式得，，即.對(duì)于選項(xiàng)A，直線到該圓圓心的距離為，取，滿(mǎn)足條件，而，直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，故A排除；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線有，，，聯(lián)立橢圓方程得，所以必有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，所以必有公共點(diǎn)；故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，聯(lián)立直線與拋物線方程得，若時(shí)，則，有解；若時(shí)，，取，則，方程無(wú)解，此時(shí)無(wú)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線有，，，聯(lián)立雙曲線方程得，取，則直線：，與雙曲線不存在公共點(diǎn)，故D排除.故選：B.例3．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)和雙曲線，過(guò)點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．無(wú)數(shù)條【答案】A【解析】由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn).①若直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，合乎題意；②若直線的斜率存在，則當(dāng)直線平行于漸近線時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).若直線的斜率為，則直線的方程為，此時(shí)直線為雙曲線的一條漸近線，不合乎題意.綜上所述，過(guò)點(diǎn)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有條.故選：A.變式1．（1999·全國(guó)·高考真題）給出下列曲線方程：①；②；③；④．其中與直線有交點(diǎn)的所有曲線方程是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④【答案】D【解析】直線和的斜率都是兩直線平行，不可能有交點(diǎn)；把直線與聯(lián)立消去得，，直線與②中的曲線有交點(diǎn)；把直線與聯(lián)立消去得，，直線與③中的曲線有交點(diǎn)；把直線與聯(lián)立消去得，，直線與④中的曲線有交點(diǎn)．故選：D．變式2．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）命題p：直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，命題q：直線與拋物線相切，則命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】C【解析】∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為軸，∴一條直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線與拋物線相切或者該直線與軸垂直，∵直線存在斜率，與軸不垂直，∴“直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)于“直線與拋物線相切”，則命題p是命題q的充要條件.故選：C.變式3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線，使它與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，代入拋物線方程可，故直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)．不滿(mǎn)足要求，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，消得，，當(dāng)時(shí)，解得，直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，可得，即當(dāng)時(shí)，符合題意．綜上，滿(mǎn)足條件的直線有2條．故選：B.【解題方法總結(jié)】（1）直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可通過(guò)判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到．（2）直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行，或直線與圓錐曲線相切．題型二：中點(diǎn)弦問(wèn)題方向1：求中點(diǎn)弦所在直線方程問(wèn)題；例4．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條恰好被點(diǎn)平分的弦，則這條弦所在直線的方程是【答案】【解析】橢圓即，設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為,，,，則，則，，兩式作差可得：，．直線過(guò)點(diǎn)，這條弦所在直線的方程是，即．故答案為：．例5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：，圓O：，直線l與圓O相切于第一象限的點(diǎn)A，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．若，則直線l的方程為．【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接,由于,所以,進(jìn)而,設(shè)，設(shè)直線上任意一點(diǎn)，由于是圓的切線，所以,所以，令則，所以，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，設(shè),則，兩式相減可得，所以,又，,所以，解得，進(jìn)而故直線l的方程為，即，故答案為：例6．（2023·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為.【答案】/2.25【解析】設(shè)，則兩式相減得，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，.故答案為：變式4．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線的一條弦的中點(diǎn)為，則此弦所在的直線方程為.【答案】【解析】由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可得此弦所在的直線斜率存在，設(shè)弦的兩端分別為，，則有，兩式相減得，所以，又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，故直線斜率，則所求直線方程為，整理得，由得，，故該直線滿(mǎn)足題意，故答案為：變式5．（2023·陜西寶雞·高二校聯(lián)考期末）拋物線：與直線交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的斜率為.【答案】【解析】已知的中點(diǎn)為，設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則，可得，即，即又，所以.故答案為：.變式6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為．【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為，所以易得拋物線的方程為，設(shè)，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，故，則，由，兩式相減得，所以，故直線的方程為，即．故答案為：.方向2：求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；變式7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，已知直線的斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【解析】設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．由題意知，則，∴點(diǎn)的軌跡方程為．又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，∴，解得：，故答案為：.變式8．（2023·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，弦過(guò)點(diǎn)，則弦中點(diǎn)的軌跡方程是.【答案】【解析】設(shè)，中點(diǎn)，則，相減得，斜率存在時(shí)，∴，又是中點(diǎn)，且直線過(guò)點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，斜率不存在時(shí)，方程為，中點(diǎn)為適合上述方程．∴點(diǎn)的軌跡方程是．故答案為：．變式9．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】(或).【解析】設(shè)直線為，與雙曲線交點(diǎn)為，聯(lián)立雙曲線可得：，則，即或，所以，故，則弦中點(diǎn)為，所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為(或).故答案為：(或)變式10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線（是參數(shù)）與拋物線的相交弦是，則弦的中點(diǎn)軌跡方程是.【答案】【解析】設(shè)，中點(diǎn)，則.，過(guò)定點(diǎn)，.又，（1），（2）得：，.

于是，即.又弦中點(diǎn)軌跡在已知拋物線內(nèi)，聯(lián)立故弦的中點(diǎn)軌跡方程是變式11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．【解析】直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)其斜率為k，則的方程為記、，化簡(jiǎn)得，，所以，，于是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則，消去參數(shù)k得③當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，也滿(mǎn)足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為方向3：對(duì)稱(chēng)問(wèn)題變式12．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的焦距為，左右焦點(diǎn)分別為、，圓與圓相交，且交點(diǎn)在橢圓E上，直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若，試問(wèn)E上是否存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，若存在，求出直線PQ的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）因?yàn)閳A與圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上，所以，，設(shè)，，的中點(diǎn)，，①－②，，，則橢圓E的方程：；（2）假設(shè)存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線PQ的方程為，，，PQ中點(diǎn)，，，，，即，由N在l上，，此時(shí)，故存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，直線PQ的方程為．變式13．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的離心率為e，且過(guò)點(diǎn)和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個(gè)不同點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求．【解析】（1）由題意知：，∴，∴，所以橢圓；（2）法一

設(shè)及AB中點(diǎn)，由題意知，，以上兩式相減得：，可化為：即，故，又∵M(jìn)在直線上，所以，解得：，即，直線，化簡(jiǎn)為：聯(lián)立整理得：，由韋達(dá)定理知由弦長(zhǎng)公式得：．法二

設(shè)直線，聯(lián)立，整理得：，則中點(diǎn)，滿(mǎn)足直線方程，解得所以AB：聯(lián)立整理得：，由韋達(dá)定理知由弦長(zhǎng)公式得：．變式14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．(1)求C的方程；(2)若，試問(wèn)C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)，則∵在橢圓上，則兩式相減得，整理得∴，即，則又∵點(diǎn)在橢圓C：上，則聯(lián)立解得∴橢圓C的方程為（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l：對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線PQ與直線l的交點(diǎn)為N，則N為線段PQ的中點(diǎn)，連接ON∵，則，即由（1）可得，則，即直線聯(lián)立方程，解得即∵，則在橢圓C外∴假定不成立，不存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)變式15．（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎€C的方程是，其中，，直線l的方程是．(1)請(qǐng)根據(jù)a的不同取值，判斷曲線C是何種圓錐曲線；(2)若直線l交曲線C于兩點(diǎn)M，N，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求a的值；(3)若，試問(wèn)曲線C上是否存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得A，B關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，并說(shuō)明理由．【解析】（1），即，當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；（2）設(shè)，，，則，，兩式相減得到：，即，故，故的中點(diǎn)為，代入直線得到，解得或（舍），故.（3）假設(shè)存在，直線方程為，雙曲線方程為，設(shè)，，中點(diǎn)為，則，，兩式相減得到，即，，又，解得，.此時(shí)直線方程為：，即，，化簡(jiǎn)得到，方程無(wú)解，故不存在.變式16．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）雙曲線C的離心率為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程．（2）雙曲線C上是否存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)（4，1）對(duì)稱(chēng)？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）橢圓：，所以雙曲線.所以雙曲線的方程為.（2）畫(huà)出圖象如下圖所示，設(shè)，，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，所以直線的方程為.變式17．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB恰好被點(diǎn)平分.(1)求直線l的方程；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)C和D，使得C，D關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）依題意，直線l的斜率存在，且不為0，設(shè)直線l的方程為，即，由消去x得：，，設(shè)，則有，由，得，于是直線l的方程，即，所以直線l的方程為.（2）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C，D滿(mǎn)足條件，由（1）設(shè)直線的方程為，由消去x得：，有，解得，設(shè)，則，于是線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)在直線上，即，解得，所以拋物線上不存在點(diǎn)C，D，使得C，D關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng).變式18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l：與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).(1)若，求的面積；(2)若拋物線C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，求a的取值范圍.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，時(shí)，直線，聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，則，．，點(diǎn)到直線的距離距離，的面積．（2）∵點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴直線的斜率為，∴可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，由，可得，設(shè)，，，，則，故的中點(diǎn)為，∵點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴的中點(diǎn)，在直線上，∴，得，∵，∴．綜上，的取值范圍為．方向4：斜率之積問(wèn)題變式19．（2023·云南昭通·高二校考期中）已知斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，所?故選：D.變式20．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線過(guò)橢圓C；的一個(gè)焦點(diǎn)，與C交于A，B兩點(diǎn)，與平行的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，兩式作差得所以若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，同理，所以O(shè)，P，Q三點(diǎn)共線，即，所以，又過(guò)點(diǎn)，即橢圓的焦點(diǎn)，所以解得，所以C的方程為故選：C變式21．（2023·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）橢圓，M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩動(dòng)點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，而，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：A變式22．（2023·山西晉中·高二校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，直線（為原點(diǎn)）的斜率為，則等于（

）.A． B．2 C． D．【答案】D【解析】設(shè)，由于在橢圓上，所以，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即.故選：D變式23．（2023·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）過(guò)雙曲線內(nèi)一點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，弦恰好被平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，且，又因?yàn)?，所以，即有，所以，所以，所以，所以，所?故選：C.變式24．（2023·福建泉州·高二?？计谥校┻^(guò)雙曲線：（，）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于A，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線為，令由，整理得則，則，由，可得則有，即，則雙曲線的離心率故選：D變式25．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別是，，其中，過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與雙曲線的右支交與A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．弦AB的最小值為B．若，則三角形的周長(zhǎng)C．若AB的中點(diǎn)為M，且AB的斜率為k，則D．若直線AB的斜率為，則雙曲線的離心率【答案】D【解析】A.AB的最小值為通徑為，故A正確；B.由雙曲線的定義得，得，所以三角形的周長(zhǎng)，故B正確；C.設(shè)，，則，兩式相減得，則，則，則，故C正確；D若直線AB的斜率為，所以∴∴∴，所以選D不正確.故選：D【解題方法總結(jié)】直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問(wèn)題，是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題．這類(lèi)問(wèn)題一般有以下3種類(lèi)型：（1）求中點(diǎn)弦所在直線方程問(wèn)題；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；（3）對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，但凡涉及到弦的中點(diǎn)斜率的問(wèn)題．首先要考慮是點(diǎn)差法．即設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)端點(diǎn)在曲線上，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，尋找中點(diǎn)坐標(biāo)與弦的斜率之間的聯(lián)系．除此之外，最好也記住如下結(jié)論：在橢圓中，中點(diǎn)弦的斜率為，滿(mǎn)足．在雙曲線中，中點(diǎn)弦的斜率為，滿(mǎn)足．（其中為原點(diǎn)與弦中點(diǎn)連線的斜率）．在拋物線中，中點(diǎn)弦的斜率為，滿(mǎn)足（為中點(diǎn)縱坐標(biāo)）．題型三：弦長(zhǎng)問(wèn)題例7．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線與圓相切，且交橢圓于兩點(diǎn)，若，則．【答案】/【解析】設(shè)直線，直線與圓相切，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，所以，因?yàn)?，所以，由?duì)稱(chēng)性，不妨取，故答案為：.例8．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為．【答案】【解析】在橢圓中，，，則，故點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，由題意可知，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.故答案為：.例9．（2023·廣西南寧·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則．【答案】【解析】已知橢圓，，則，所以橢圓的左焦點(diǎn)為,因?yàn)橹本€傾斜角為，所以直線的斜率，則直線的方程為.聯(lián)立，消去，整理得，解得．．故答案為：.變式26．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓在第二象限交于兩點(diǎn)，且與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，若，，則的方程為．【答案】【解析】設(shè)，線段的中點(diǎn)為，由，兩式相減可得，即，又由，則，設(shè)直線的方程為，可得，所以，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，可得，解得，所以直線的方程為.故答案為：.變式27．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在生活中，我們經(jīng)?？吹綑E圓，比如放在太陽(yáng)底下的籃球，在地面上的影子就可能是一個(gè)橢圓.已知影子橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的最小值是．【答案】【解析】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理得：，，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，，∴則，當(dāng)且僅當(dāng)故答案為：.變式28．（2023·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，C在橢圓上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，若，則直線AC的方程為.

【答案】【解析】連接，，，，四邊形為平行四邊形，.設(shè)直線的斜率為k，，直線的方程為.聯(lián)立方程，得，整理得，點(diǎn)A在第一象限，，同理可得.，得，，則，直線AC的方程為.變式29．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，已知，若這樣的直線有條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】記，若直線與軸重合，此時(shí)，；若直線軸時(shí)，將代入雙曲線方程可得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，；當(dāng)，可得，則，所以，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和通徑長(zhǎng)不可能同時(shí)為；當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，記，則點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由題意可得，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，即，所以，關(guān)于的方程由四個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，可得，可得，整理可得，因?yàn)?，解得；?dāng)時(shí)，即當(dāng)，可得，可得，整理可得，可得.綜上所述，.故答案為：.變式30．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，分別在雙曲線的左支與右支上，且點(diǎn)，與點(diǎn)共線，若，則.【答案】【解析】因?yàn)?，設(shè)，，由雙曲線定義可得，所以，即，，即.故答案為：.變式31．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長(zhǎng)為．【答案】【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線l的方程為．由，得．設(shè)，，則，，所以．故答案為：變式32．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？级＃└鶕?jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點(diǎn)Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線于B點(diǎn)，則.【答案】【解析】由條件可知AQ與x軸平行，令，可得，故A點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榻?jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)，所以方程為，整理得，聯(lián)立，得，，所以，又，所以，，所以.故答案為：.變式33．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線分別與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），，直線的傾斜角為銳角，且滿(mǎn)足，則.【答案】12【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由拋物線的定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故，同理，則，故，，則，可得，則，所以.故答案為：12.變式34．（2023·人大附中?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則．【答案】【解析】由拋物線定義知：，而AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，即，所以，即.故答案為：【解題方法總結(jié)】在弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題中，一般有三類(lèi)問(wèn)題：（1）弦長(zhǎng)公式：．（2）與焦點(diǎn)相關(guān)的弦長(zhǎng)計(jì)算，利用定義；（3）涉及到面積的計(jì)算問(wèn)題．題型四：面積問(wèn)題方向1：三角形問(wèn)題例10．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，且焦距為.點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn)，若直線與的斜率之積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線的方程為：，過(guò)點(diǎn)作垂直于直線，交于點(diǎn).求面積的最大值.【解析】（1）由題意知：，，設(shè)，則，，又，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)直線，，則，由得：，顯然，，，，又，直線方程為：，令，則，直線過(guò)定點(diǎn)；而，則，令，有在上單調(diào)遞增，則，即時(shí)，取最小值4，于是當(dāng)時(shí)，，所以面積的最大值是.例11．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為．(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，直線與圓E：的另一交點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，求與面積之比的最小值．【解析】（1）依題意得，解得，所以拋物線方程為.（2）拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，所以，所以.，由，而，故解得.同理可求得.，同理，所以，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為.例12．（2023·河南·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）橢圓的左右頂點(diǎn)分別為是栯圓上一點(diǎn)，．(1)求橢圓方程；(2)動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積取最大時(shí)的的值．【解析】（1）在橢圓中，，而在橢圓上，且，因此，解得，顯然，則，所以橢圓方程為.（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則，把代入方程得：，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，得的面積，令，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，而，，顯然，于是當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)面積取得最大值，所以當(dāng)面積取最大時(shí)，.變式35．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為第一象限，且縱坐?為，求的面積.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)得：所以的方程為：.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；設(shè)，，直線方程為，與聯(lián)立得：，由且，解得且，由韋達(dá)定理得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為，所以，解得或（舍去），所以直線為，所以，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以.變式36．（2023·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)在橢圓C：上，點(diǎn)在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，B為C的短軸的上、下端點(diǎn)，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.【解析】（1）設(shè)，依題意，，可得，整理可得，又橢圓C過(guò)點(diǎn)，所以，故橢圓C的方程為；（2）依題意，可知AM：，代入橢圓方程，整理得，從而得到，又BM：，代入橢圓方程，整理得，從而得到，所以，，則,由于，所以，解得.變式37．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在橢圓上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．(1)求直線的斜率；(2)求的面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．【解析】（1）由題意得，解得，代入橢圓方程中，，解得或6（舍去），故，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)有對(duì)稱(chēng)性可知，直線，的斜率之和不為0，舍去；設(shè)，聯(lián)立橢圓方程得，，則，則，設(shè)，則，，故，即，故，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線，顯然直線恒過(guò)，矛盾，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足題意，故直線的斜率為1；（2）設(shè)，聯(lián)立橢圓方程得，，，解得，，點(diǎn)到直線的距離為，故，故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為.變式38．（2023·廣東佛山·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和M到定直線l：的距離的比是．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；(2)當(dāng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為，動(dòng)直線m與拋物線：相切，且與曲線交于點(diǎn)A，B．求面積的最大值．【解析】（1）設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，，當(dāng)時(shí)，，軌跡為一條直線；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；綜上：當(dāng)時(shí)，軌跡方程為，軌跡為一條直線，當(dāng)時(shí)，軌跡方程為，軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡方程為，軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，又與相切，故此時(shí)直線，此時(shí)三點(diǎn)共線，不合要求，舍去，設(shè)直線，聯(lián)立得，由得，顯然，聯(lián)立得，，由，結(jié)合，解得，設(shè)，則，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則，則，將代入得，因?yàn)椋?，則，，設(shè)，則設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，故最大值為.圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．方向2：四邊形問(wèn)題變式39．（2023·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）類(lèi)似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質(zhì)：不過(guò)橢圓中心的一條弦的中點(diǎn)為，當(dāng)，斜率均存在時(shí)，，利用這一結(jié)論解決如下問(wèn)題：已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，使，求四邊形的面積.【解析】（1）設(shè)，因?yàn)?，，代入橢圓得：，點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)，由（1）則，①當(dāng)直線不與坐標(biāo)軸重合時(shí)，由，知為中點(diǎn)，，直線：，代入橢圓：的方程得：即：，設(shè)，，由根與系數(shù)關(guān)系，，設(shè)表示點(diǎn)到直線的距離，表示點(diǎn)到直線的距離，；它法：利用比例關(guān)系轉(zhuǎn)化：，酌情給分.②當(dāng)直線與坐標(biāo)軸重合時(shí)，不妨取，，，或，，，綜上所述：四邊形的面積是.變式40．（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．(1)求橢圓的方程；(2)已知A是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，直線分別與軸交于，求四邊形面積的最大值．【解析】（1）由題意知，則，又，則，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，可得，則，直線的方程：，所以，同理，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為4．變式41．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖．已知圓，圓．動(dòng)圓與這兩個(gè)圓均內(nèi)切．

(1)求圓心的軌跡的方程；(2)若、是曲線上的兩點(diǎn)，是曲線C上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值．【解析】（1）如圖，設(shè)動(dòng)圓與兩個(gè)已知圓的切點(diǎn)分別為，由，，所以點(diǎn)的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為：；（2）設(shè)，，直線的方程為，代入中，整理得，，解得，，，

四邊形的面積，當(dāng)時(shí)，，所以四邊形面積的最大值為；變式42．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線與相交，所得弦長(zhǎng)為.(1)求的方程；(2)若在上，且，分別以為切點(diǎn)，作的切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好在上，直線分別交軸于兩點(diǎn).求四邊形面積的取值范圍.【解析】（1）由題知過(guò)點(diǎn)，則，解得，.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，則，而，則，故以為切點(diǎn)的切線為，即，同理以為切點(diǎn)的切線為，則，由，故兩式作差得：，所以，兩式求和得：，所以點(diǎn)由在橢圓上，即.點(diǎn)到直線的距離，所以，，，而、在上遞增且恒正，則在上遞增，.變式43．（2023·山東濰坊·三模）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，且在坐標(biāo)平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得（定值），其中分別是直線的斜率，分別是直線的斜率．①求的值；②求四邊形面積的最大值．【解析】（1）由題意得，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①設(shè)，把與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，消去，可得，注意到為方程的兩根，故有恒等式，則，同理，把與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，消去，可得，注意到為方程的兩根，故有恒等式，則，則，所以，若為定值，則必有，計(jì)算可得或，故．②不妨設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離分別是，因?yàn)椋?，，所以，四邊形面積（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以四邊形面積的最大值是．變式44．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓，橢圓．點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)以點(diǎn)為切點(diǎn)作橢圓的切線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，問(wèn)：四邊形的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，求出面積的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，從而即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）法一：設(shè)，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為，即，，即，代入得直線的方程為

聯(lián)立，消去得注意到化簡(jiǎn)得

又，所以點(diǎn)到直線的距離為

所以點(diǎn)到直線的距離為

故

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即，若，則：，則，，，，所以同理可得，若，綜上，四邊形的面積為定值．

法二：設(shè)，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

注意到化簡(jiǎn)得，

原點(diǎn)到直線的高為，

又因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離，由對(duì)稱(chēng)性可知，，所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離的三倍，故．

當(dāng)斜率不存在時(shí)，同法一．變式45．（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)最大值為8．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，P，Q是橢