彈塑性力學習題題庫加答案(一)

1、第二章應力理論和應變理論23.試求圖示單元體斜截面上的0- 30和。30。斜截面應力為公式應用于彈性力學的應力計算時， 正負值應作何修正。（應力單位為其符號及解：在右圖示單元體上建立 xoy坐標，則知(T x = -10 (T y= -4 T xy = -2（以上應力符號均按材力的規(guī)定） 代入材力有關公式得:CT + CT CT CT二- =x y . x y cos2： - sin 2： 3022-10 -4-10 41 一cos60” 2sin 60 = -7 -3 2 2MPa）并說明使用材料力學求題1-3圖=-6.7681-6.77(MPa)T ，30ysin2ji：XvCs2=-0-

2、4sin60-2cos60 xy2-21=-3.598L-3.60(MPa)代入彈性力學的有關公式得:己矢口 C x = -10(Ty= -4 T xy = +2CT u 30CT +(J x yCJ(一CTy、)cos2 Txysin2： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark16 o Current Document -10-4-10411,3cos602sin60-7-3-2-6.768L-6.77(MPa) HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 、-y.104T -30sin21rxvCos2二-sin602c

3、os60 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document xy2 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document =3二21=3.59813.60(MPa)22由以上計算知，材力與彈力在計算某一斜截面上的應力時，所使用的公式是不同的，所得結(jié)果剪應力的正負值不同，但都反映了同一客觀實事。2-6.懸掛的等直桿在自重W作用下（如圖所示）。材料比重為丫彈性模量為E,橫截面面積為A。試求離固定端Z處一點C的應變ez與桿的總伸長量Al。解：據(jù)題意選點如圖所示坐標系xoz,在距下端（原點）為z處的c點取一截面考慮下半段桿的平衡得：c截面

4、的內(nèi)力：Nz=YAz;C截面上的應力：仃zNz所以離下端為z處的任意一點c的線應變z為:則距下端（原點）為 z的一段桿件在自重作用下，其伸長量為:I _ z .z. z z ,z .|_lz= ; d：. Ll = :;zdz= E dz= E ； zdyz22E，顯然該桿件的總的伸長量為（也即下端面的位移）1 = d (1)=2EA 1 l W 1/、=；(W= yAI)2EA 2EAxo題16圖500300-80029.己知物體內(nèi)一點的應力張量為：（Tij =300-300800-3001100應力單位為kcm2試確定外法線為ni/,1=,1=（也即三個方向余弦都相等）的微分斜截面上的總:

5、3、3,3應力R、正應力bn及剪應力Pn。解：首先求出該斜截面上全應力Pn在x、y、Z三個方向的三個分量：n7=nx=ny=nzPx=（仃x +xy + 三 xz ）n721=153-8）10=Py=yx 二 y - yzJn7 = 3+0+（-3）1父102Pz=zx - yz .二z n78 -8-3 11 102173所以知，該斜截面上的全應力百及正應力bn、剪應力。n均為零，也即:Pn=（Tn=Pn=0215.如圖所示三角形截面水壩材料的比重為丫，水的比重為丫1。己求得應力解為:crx=ax+by,cry=cx+dy-yy,txy=-dx-ay;試根據(jù)直邊及斜邊上的邊界條件，確定常數(shù)a

6、、b、c、d。解：首先列出OA、OB兩邊的應力邊界條件：OA邊：li=-1；12=0;Tx=丫iy;Ty=0則dx=-丫iy;zxy=0代入：o-x=ax+by;txy=-dx-ay并注意此時：x=0得：b=-丫i；a=0;OB邊：1i=cos3;12=-sin3,Tx=Ty=0 xcosPsinB=0則：Jx口x口（a）yxcosP+ysinP=0將己知條件：。x=-丫iy;pxy=-dx;dy=cx+dy-丫y代入（a）式得：-1ycosdxsin:=0|HHHI川川WIHH仙b-dxcos:-cxdy-ysin:=01HHHHHIHIIHHIHHHc化簡（b）式得：d=丫ictg23；化

7、簡（C）式彳c:c=Yctg3-2丫ictg331260217.己知一點處的應力張量為6100M103Pa000_試求該點的最大主應力及其主方向。解：由題意知該點處于平面應力狀態(tài)，且知：bx=12Xl03by=10Xl03Pxy=6Xl03,；T.2且該點的主應力可由下式求得：17,083 1033 Pa4.91724 103巴10十厄國762Li032K2JI-J11_,37103f11_6.082810333則顯然：二1二17.08310PaO2=4.91710Pa二3二00-1與x軸正向的夾角為：（按材力公式計算）tg2u-2-6 _ 1212 -10sin 2 cos21顯然20為第I

8、象限角：20=arctg(+6)=+80.5376貝U:0=+40.2688J4016/或(-13944)219.己知應力分量為：（Tx=（Ty=（Tz=Txy=0,Tzy=a,Tzx=b,試計算出主應力（T1、b2、（T3并求出b2的主方向。解：由211題計算結(jié)果知該題的三個主應力分別為：c1=Ja2+b2；/a2+b2；設b2與三個坐標軸x、y、z的方向余弦為：121、122、123,于是將方向余弦和b2值代入下式即可求出（T2的主方向來。l21-x-二2122yxl23xz=l23xz=0IHHIHI1121yxl220y-：2123yz=l23-zy=01MIH2l21zxl22zyI

9、230z一二2=Lyx-122zy=0|HHIHI3以及：121122123=11川IIH4由（1）（2）得：123=0由（3）得：區(qū)=一旦；展=;122b121a將以上結(jié)果代入（4）式分別得:12-bl221 22 = 一a a2 b2同理121 =.a2 b2于是主應力b2的一組方向余弦為：（十；a,+A=,0）；.a2b2a2b2b 3的一組方向余弦為（士嚴2% a2 b2.2a一 21a2=b2di2 220.證明下列等式:一、 ,1 , 2(1) ： J2=I 2+ 11 ；3,1(3): I2 =2 . CJ I O -i CJ I ,ii kk ikik /, TOC o 1-5

10、 h z 1O12證明(1)：等式的右漏為：I2+-I1=-(xy及yx又都是坐標的函數(shù)，所以這是一個平面應變問題。：2；x二-2- 2y :x將ex、ey、exy代入二維情況下，應變分量所應滿足的變形協(xié)調(diào)條件知:-2:xy,一一，一-也即：2c+0=2c知滿足。xy所以說，該應變狀態(tài)是可能的。解（2）:將己知各應變分量代入空間問題所應滿足的變形協(xié)調(diào)方程得:-2：2.：2二；x：y:xy2-2-二:y二x二x：y2：2；zyz2二_y二y:z一2一一一-z：zx.:xy.:z0zx+xy_cz=2以xyczex)cycz丸十-爭zx二2-2y%役漢yczcx1)2ax+2ay=00+0=00+

11、0=0八，得：不滿足，因此該應變狀態(tài)是不可能的。0=02b#00=0,解（3）:將己知應變分量代入上（1）式得：2cz+0=2cz、0+0#00=0不滿足，因此該點的應變狀態(tài)是不可能的。2cy=2cy2cx-二0第三章：彈性變形及其本構(gòu)方程V的上下限為03-5.試依據(jù)物體三向受拉，體積不會縮小的體積應變規(guī)律，來證明泊松比V0,E0,G0。12112一口。u0uoruod11,J2=三keGejej18k2G2我們知道體積變形e與形狀變化部分，這兩部分可看成是相互獨立的，因此由u的正定性可推知：k0,G0。而又知：E=9kG所以：E0O3kG我們將（1）式變化為：_2c2c2GV2G1-2V6G

12、V2G1V21VEEk=G=-G=331-2V31-2V31-2V31-2V21V31-2V2)2G(1+V)31-2V由（2）式及k0,G0,E0知：1+V0,1-2V0O一1斛佝：-1wVwo2，,1但是由于到目前為止，還沒有發(fā)現(xiàn)有VV0的材料，而只發(fā)現(xiàn)有V值接近于其極限值-2的材料（例如：橡膠、石臘）和V值幾乎等于零的材料（例如：軟木）。因此，一般認為泊松比V的上、下限值為1和0,所以得：0VVV1或-0WVW1；2223-10.直徑為D=40mm的鋁圓柱體，緊密地放入厚度為2=2mm的鋼套中，圓柱受軸向壓力P=40KN。若鋁的彈性常數(shù)據(jù)E1=70Gpa.V1=0.35,鋼的彈性常數(shù)E=

13、210GPa。試求筒內(nèi)的周向應力。解：設鋁塊受壓；二1 =；=2 - _q而；:3 =3-40 101,24一二 4 104100兀則周向應變1 一(齒呂=-l-q -r -qE鋁一0,1+v0.得：v-1o由于到目前為止還沒有v03-16.給定單向拉伸曲線如圖所示，es、E、E均為已知，當知道B點的應變?yōu)闀r，試求該點的塑性應變。解：由該材料的d曲線圖可知，該種材料為線性強化彈塑性材料。由于B點的應變已進入彈塑性階段，故該點的應變應為：b=e+p故：p=-e=；三二.；：-：1%E.；e）=E|E；sE.；sEi3-19.已知藻壁圓筒承受拉應力=z=屢及扭矩的作用，若使用Mises條件，試求屈

14、服時扭2轉(zhuǎn)應力應為多大？并求出此時塑性應變增量的比值。解：由于是藻壁圓筒，所可認圓筒上各點的應力狀態(tài)是均勻分布的。據(jù)題意圓筒內(nèi)任意一點的應力狀態(tài)為：（采用柱坐標表示）s仃日=,。=,仃z=2；和日=0,7伊P及扭矩M (遂漸增大,于是據(jù)miess屈服條件知，當該藻壁圓筒在軸向拉力(固定不變)直到材料產(chǎn)生屈服)的作用下，產(chǎn)生屈服時，有：1212s 6.2二s=$卜r-三.一ZIf+1I72LI2Jl2J解出。得：T=掾；T就是當圓筒屈服時其橫截面上的扭轉(zhuǎn)應力。任意一點的球應力分量bm為：Cm應力偏量為：s1-；1-；m二 s_ ； sr Cr -m6crc cr c a cc- 一 = s -

15、-s = -s -Z m _，263s0=srz=Tg-rz-0；szQ-zQ由增量理論知：d=sijd,于是得：dwp=dus9=2sd九；d&rp=d，usr=2sd九；dw；=d九sz=2sd九；663d=d，S9=0；dTZ=d?usrz=0；d吟=九胡二d九所以此時的塑性應變增量的比值為:d玷：d針：d引：d略:d露Z： d喝CTCT于 0 0 21一一；2也即：d略:drP：da-zp：d/：d，Z：d喝=(-1)：(-1)：2：0：0：6；3-20.一藻壁圓筒平均半徑為r,壁厚為t,承受內(nèi)壓力p作用，且材料是不可壓縮的，v討論下列三種情況：(1):管的兩端是自由的；(2):管的兩

16、端是固定的；(3):管的兩端是封閉的；分別用mises和Tresca兩種屈服條件討論p多大時，管子開始屈服，如已知單向拉伸試驗br值。解：由于是藻壁圓筒，若采用柱坐標時,(Tr-0,據(jù)題意首先分析三種情況下，圓筒內(nèi)任意一點的應力狀態(tài):/八pr八c(1) ,仃8 = t- =仃1 ；仃 r =0=Oz =仃2 =仃3 = 0（2）：仃學=仃1,=0=。3； 3=v 口牛=仃2；pr _ 八 _二仃1 ； 仃=0 =仃3pr -； 仃z =仃2 ；2t顯然知，若采用 Tresca條件討論時，（1）、（2）、（3）三種情況所得結(jié)果相同，也即:T maxcr k = s =二3pr二s=:2 2t2解

17、出得：p=N；r若采用mises屈服條件討論時，則（2） （3）兩種情況所得結(jié)論一樣。于是得:22二2 .二2 一二3 .二3 一二1t解出得：P=上； r22、（3）： 2仃2=但一匹）+但一0）+|0t 2t 2tPr 12 t解出得：p = 21支;、3r3-22 .給出以下問題的最大剪應力條件與畸變能條件：（1）:受內(nèi)壓作用的封閉藻壁圓管。設內(nèi)壓 q,平均半徑為r,壁厚為t,材料為理想彈塑 性。（2）：受拉力p和旁矩作用的桿。桿為矩形截面，面積bxh,材料為理想彈塑性。解（1）:由于是藻壁圓管且 -1。所以可以認為管壁上任意一點的應力狀態(tài)為平面應力狀r態(tài)，即br=0,且應力均勻分布。那

18、么任意一點的三個主應力為：_ qr _ qr“ = =%； %=0=。3；t2t若采用Tresca屈服條件，則有：max s二 s _二1 -二 322故得：J=qr；或：Ts若采用mises屈服條件，則有:-2-222；=s=6.s-二22-2_二32r3-01222z.二z-二rfr-。日）故得：c飛3qr2t，qr2I2tjIt)2，2t2或：sqrM（受力如圖示）解（2）:該桿內(nèi)任意一點的應力狀態(tài)為單向應力狀態(tài),PMy二x二一-=-1FJz且知，當桿件產(chǎn)生屈服時，首先在桿件頂面各點屈服，故知P6M=rbhbh2若采用Tresca屈服條件，則有:二s 二1 一二3P6M1=II十Ibhb

19、h2222二s =6 s =二 1 -二2-二2 一二3 二3 一二 12“口1故得：；-sPsbh6M或：sP6M2bhh)2=2蜻=2但十*21 bh bh2若采用mises屈服條件，則有:1故得：C-=一Psbh.6M成T=|p+，八.s-P,3bh.6M般以bs為準（拉伸討驗）得：V2V2華=0滿足。a ;.:x；y*3Fxy4c k3c22解：首先將函數(shù) 邛式代入V2邛=0式知，滿足。故該函數(shù)可做為應力函數(shù)求得應力分量為:F2 : 3F 2xfy2 - 4c.23Fq =q -Txy ；仃y2cF2DTT = 0 ；.xT =xy一二二一正；一衛(wèi)8勾 4c、 c212F h222h3

20、、4 yh227-y第五章平面問題直角坐標解答5-2：給出中=axy；（1）：撿查平是否可作為應力函數(shù)。（2）：如以邛為應力函數(shù)，求出應力分量的表達式。（3）：指出在圖示矩形板邊界上對應著什么樣的邊界力。（坐標如圖所示）解：將a=axy代入V4中=0式故知中=axy可作為應力函數(shù)。求出相應的應力分量為：J_/2=；仃丫-2二；三xy.ytx上述應力分量bx=by=0；Txy=出在圖示矩形板的邊界上對應著如圖所示邊界面力，該板處于純剪切應力狀態(tài)。5-4:試分析下列應力函數(shù)對一端固定的直桿可解出什么樣的平面問題。-6F 3 h2 上 6Fh2看7y%不ho 2h一 22F h3h3 4 h3 6F

21、h2、88 J 4h3h * h F * 3Fr -= r ，12 2 J 22顯然上述應力分量在ad邊界及bc邊界上對應的面力分量均為零，而在ad邊界上則切向面力分量呈對稱于原點。的拋物線型分布，指向都朝下，法向面力為均布分布的載荷q。顯然法向均布載荷q在該面上可合成為一軸向拉力p且p=2cq；而切向面力分量在該面上則可合成為一切向集中力：F=Fdy=；-%dy=+6F傳（dyy2dy122h-242而cd邊界則為位移邊界條件要求，u=0,v=0,w=0以及轉(zhuǎn)角條件。由以上分析可知，該應力函數(shù)對于一端固定的直桿（坐標系如圖示），可解決在自由端受軸向拉伸（拉力為p=2cq）和橫向集中力F作用下

22、的彎曲問題。（如圖示）5-6:已求得三角形壩體的應力為：工=ax+by0y=cx+dy%=fyx=-dx-ay-/xJxz=7xz=7zy=Wyz=仃z=0其中丫為壩體的材料容重,丫i為水的容重，試據(jù)邊界條件求出常數(shù)a、b、c、d的值。解：據(jù)圖示列出水壩OA邊界和OB邊界面上的應力邊界條件：OB邊：x=0,l=cos(180)=-1,m=0,Tx=ry,Ty=0 x=Tx=iyIHIHIHHHHaxy=Ty=0IHiniHHHHHIbOA邊：x=ytg3,l=cos3,m=cos(90+3)=-sin3,Tx=Ty=0工acos:-xysin-0IHHHHIHHHHcMW:-yxcos一二ys

23、in：=0IHHHHIHHHHd將。*x=o=ax+by=by代入（a）式得：b二一匕；將：*于=ay代入（6式得：ay）=o得a=o；將dx、7xy代入（c）式得：d=ctg2P不；將dy、Eyx代入（d）式得：c=ctgp2%ctg3p；q的作用下，放置在絕對剛性和光滑和基礎上，不計5-7:很長的直角六面體，在均勻壓力體力。試確定其應力分量和位移分量。解：由題意知，該問題為一平面應變問題。由于不計體力所以平面應力與平面應變的變形協(xié)調(diào)方程是一樣的，故可取一單位長度的直角六面體來研究其應力狀態(tài)。當求知應力分量函數(shù)后，再由平面應變的本構(gòu)關系求得應變分量，進一步積分再利用有關位移邊界條件確定積分常

24、數(shù)后求得位移分量。這里我們采用逆解法，首先據(jù)題目設應力函數(shù)=ay2顯然式滿足雙調(diào)和方程式，*=0。相應應力分量為：仃x=2a,仃y=0,-xy-0顯然直角六面體左右兩面的應力邊界條件自動滿足。對于項邊：y=h,l=1,m=0,Tx=-q,Ty=0則可定出：a=q;2對于底邊：y=0,l=-1,m=0,Tx=q,Ty=0同樣定出：a=-q；2因此滿足該問題所有應力邊界條件的解為：0rx =q ,仃y =0,xyyx應這分量為:1 -v2v2 -1xyv2-1u二vqy fi x BE1vv=Ew=0利用位移邊界條件確定積分常數(shù):(1)當x=0,y=0時，u=0則：A=0當x=0,y=0時，v=0

25、則：B=0(3)當x=0時，u=0則：f(y)=0(4)當y=0時，v=0則：fi(x)=0因此知該問題的位移分量為:v2-11vvcu-qx；v-qy；w-05-10:設圖中的三角形懸臂梁只受重力作用。而梁的比重為p,試用純?nèi)问剑篴=ax3+bx2y+cxy2+dy3的應力函數(shù)求解應力分量？解:顯然邛式滿足172cp=0式，可做為應力函數(shù)，相應的應力分量為：x=2cx+6by=_py=6ax+2by-py,(a)ex片中%=一丁T=-2bx-2cyexey邊界條件:ox邊：y=0,l=0,m=-1,Fx=Fy=0則：2bx=0得：b=0;m = cos： ; Fx = Fy = 0-6ax

26、=0得：a=0oa邊：y=xtga,l=cos(90+a)=_sina則-2cx6dxtg二sin二-2cxtg：cos：=0|川I川Ha2cxtg:sin:-pxtg:cos:=0川b由（c）式得：c=pctg；代入（b）式得：d=-pctg2o（；所以（a）式變?yōu)椋?；x=pxctg:-2pyctg-xy=-pyctga第六章平面問題的極坐標解6-3：在極坐標中取平=Alnr+Cr2,式中A與C都是常數(shù)。（i）：檢查中是否可作應力函數(shù)？（ii）:寫出應力分量表達式？（iii）：在r=a和r=b的邊界上對應著怎樣的邊界條件?解：首先將中式代入V45=0式，其中:更.:r1二 A 2Cr;r1

27、二 r fr工2C;r2C;c9=0,”2=0.A故:今2C0=0;r故：邛式可作為應力函數(shù)。應力分量為:1 ”T =r r Frf2：仃日=：:r21廠工二32c；222 2C ；r r心2C;r1 ?2:bA2+2CA+2C對于右圖所示圓環(huán)，上述應力分量對應著如下邊界條件:當r=a時(內(nèi)環(huán))：(l=-1,m=0.)2c ;一 aFe = -3g =0;r =a當r=b時(外環(huán))：(l=1,m=0.)Fr =C;=0；rzzb26-5：試確te應力函數(shù)中=cr(cos29-cos2a)中的常數(shù)c值。使?m足題6-5圖中的條件:(1)在日=口面上，仃8=048=6在日=t面上，o日=0Trg=

28、s；并證明楔頂不有集中力與力偶作用。解：首先將中式代入V4中=0式，知其滿足，故可做為應力函數(shù)。相應的應力分量為: TOC o 1-5 h z 一秒一2.產(chǎn)丁一-.2=2crcos2i-cos2.二；一=-2crsin2：i;-2-=2ccos2?-cos2:;2=Ycrcos2m丁二r：?:2:.=Ycrsin26；則得：1廠1；：2?一一一；-r=二一r=-2ccos2-cos2-r；:rr2汨2：:2;二日=-2=2ccos2-cos2-：-Fr1 U 1 ；：2;:. r -1 =2- -.r r=2csin 2-邊界條件：當日=時，仃日=0.08=s；則：一2dcos2cos9)=0

29、得0=0.自動滿足2csin2s=s.得：c=s;日=-時.仃日=0,卻日=-s；當一2ccos2口Acos2口】=。.2sin2：s.一因cos(ot)=cosct,則0=0,2csin(2豆)=2csin2a=s得c=；故得:2sin2二2sr=cos21-cos2二2sin2:一s_._s_s_cos2ucos2：;：=cos2-cos2：;=sin2fsin2.：iJsin2jsin2：由（e）式可知，該應力函數(shù)在r=0處并不適用，所以（f）式也不反映o點處的應力狀態(tài)。如果我們以a為半徑截取一部分物體為研究對象（見右圖示），并假設在o點處存在集中力Rx、Ry、及集中力偶Mo,那么這部分

30、物體在Rx、Ry、M。、以及s、CTr和Mg這一力系的作用下應保持平衡狀態(tài)。但事實上，由于s及仃r力的作用線都通過。點，卻日及仃r、s的分布又都對稱為X軸,所以當考慮Mo（F）=0，及zFy=0兩平衡條件時，要求Mo=Ry=0否則該物體將不平衡。Ry=_!：rsiniricosird?-0;Mo-krsinir-icosr2d-0Otot如果存在Rx,則由楔形尖項處承受集中載荷的應力的討論知（8-25）式，在楔形體內(nèi)就一定存在有隨r和8而變化的應力分量0r。然而我們在上述討論中所得結(jié)果（f）中第式中，并不存在隨r而變化的這部分0r應力，所以要求Rx=0。因此知，在楔頂（就題8-5圖所示問題）不存在集中力與集中力偶的作用。Rx=1；*rcos6-卻日sin日Id日=-2srcos（與邊界力s平衡）cc（F*0）和大小等于一2的負的切向面力分重F3=-2.（。以逆時針轉(zhuǎn)向為正）。如aac-2果將內(nèi)圓環(huán)上的切向面力分量%對中心點0取矩，則得：珀24&=方a2=M.故:ac=M；于是上式得：2二二ru0；：-0；則當r=a時，對于內(nèi)環(huán)邊界對應著面力分量:2； Fr = 0；當r=b時，對于外環(huán)邊界對應著面力分量:2；Fr=。；如果：r=a(內(nèi)環(huán))，r=b一8.則為一無限大平板上挖有一半徑為a的圓孔。在孔壁上作用有切向面力分量：Fr =-M如