廣東省云浮市羅定素龍第三高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

廣東省云浮市羅定素龍第三高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合A={1，2，4，6，8}，B={1，2，3，5，6，7}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為(

)A．3 B．6 C．8 D．16參考答案：C【考點(diǎn)】子集與真子集．【專題】集合．【分析】先求得A∩B={1，2，6}，再根據(jù)含n的元素的集合的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)，得出結(jié)論．【解答】解：由于A∩B={1，2，6}，含有3個(gè)元素，故它的自己個(gè)數(shù)為23=8，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求兩個(gè)集合的交集，子集個(gè)數(shù)的運(yùn)算，利用含n的元素的集合的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)z=1﹣i（i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)﹣z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，則向量的模是（）A． B．2 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】把z=1﹣i代入﹣z2，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出復(fù)數(shù)﹣z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，的的坐標(biāo)，再由向量模的公式求解．【解答】解：∵z=1﹣i，∴﹣z2=，∴復(fù)數(shù)﹣z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），向量為=（1，3），則||=．故選：D．3.函數(shù)的最大值與最小值之和為(

)

(A)(B)0(C)－1(D)參考答案：A當(dāng)時(shí)，，，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，所以最大值和最小值之和為，選A.4.一只受傷的丹頂鶴在如圖所示（直角梯形）的草原上飛過(guò)，其中，它可能隨機(jī)在草原上任何一處（點(diǎn)），若落在扇形沼澤區(qū)域ADE以外丹頂鶴能生還，則該丹頂鶴生還的概率是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】概率

K3解析：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，易知，梯形的面積,扇形的面積，則丹頂鶴生還的概率，故選【思路點(diǎn)撥】幾何概型，可分別求出各部分的面積再求出概率.5.設(shè)M（，）為拋物線C：上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則的取值范圍是

A．（0，2）

B．[0，2]

C．（2，+∞）

D．[2，+∞）參考答案：C本題考查了拋物線的定義以及轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，難度中等。圓與準(zhǔn)線相交，所以圓心到準(zhǔn)線的距離小于半徑即，所以，故選C。6.函數(shù)的圖象大致是(

)A. B.C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計(jì)算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域?yàn)?，當(dāng)，，單增，當(dāng)，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.7.極坐標(biāo)方程表示的曲線為（

）

A．一條射線和一個(gè)圓

B．兩條直線

C．一條直線和一個(gè)圓

D．一個(gè)圓參考答案：C略8.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是A．

B．

C．

D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性函數(shù)的單調(diào)性與最值，所以為偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，不滿足題意；為開口向下的二次函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱為偶函數(shù)，在上單調(diào)減，不滿足題意；，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不滿足題意，，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，故選D.9.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為0

1

9參考答案：B10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x的值為1，輸出n的值為N，則在區(qū)間[﹣1，4]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)M，M≥N﹣1的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】計(jì)算循環(huán)中不等式的值，當(dāng)不等式的值大于0時(shí)，不滿足判斷框的條件，退出循環(huán)，輸出結(jié)果N，再以長(zhǎng)度為測(cè)度求概率即可．【解答】解：第一次循環(huán)，1﹣4+3=0≤0，x=2，n=1；第二次循環(huán)，﹣1≤0，x=3，n=2；第三次循環(huán)，0≤0，x=4，n=3；第四次循環(huán)，3＞0，不滿足條件，輸出n=3，故N=3，則M≥2，故滿足條件的概率p==，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，注意循環(huán)的結(jié)果的計(jì)算，考查計(jì)算能力，考查概率的計(jì)算，確定N的值是關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從字母a，b，c，d，e中任取兩個(gè)不同字母，則取到字母a的概率為．參考答案：0.4【考點(diǎn)】等可能事件的概率．【分析】求得從字母a，b，c，d，e中任取兩個(gè)不同字母、取到字母a的情況，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：從字母a，b，c，d，e中任取兩個(gè)不同字母，共有=10種情況，取到字母a，共有=4種情況，∴所求概率為=0.4．故答案為：0.4．12.某單位為了了解用電量度與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某四天的用電量與當(dāng)天氣溫，列表如下：氣溫（）181310-1用電量（度）24343864

由表中數(shù)據(jù)得到回歸直線方程．據(jù)此預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為時(shí)，用電量為______（單位：度）．參考答案：6813.已知________.參考答案：－1【分析】利用向量垂直時(shí)相乘為0得到等式,解出答案.【詳解】，則【點(diǎn)睛】本題考察了向量的計(jì)算,屬于簡(jiǎn)單題.14.已知的展開式中的系數(shù)為，則常數(shù)的值為______.參考答案：略15.在△ABC中，若sinA=2sinBcosC則△ABC的形狀為________。參考答案：等腰三角形在三角形中，即，所以，所以，即三角形為等腰三角形。16.若實(shí)數(shù)x、y滿足不等式，則的取值范圍是

.參考答案：略17.一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有1件次品．用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽檢以決定是否接受．抽檢規(guī)則如下：至多抽檢3次，每次抽檢一件產(chǎn)品（抽檢后不放回），只要檢驗(yàn)到次品就停止繼續(xù)抽檢，并拒收這箱產(chǎn)品；若3次都沒有檢驗(yàn)到次品，則接受這箱產(chǎn)品，按上述規(guī)則，該用戶抽檢次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是．參考答案：考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：設(shè)ξ表示該用戶抽檢次數(shù)，ξ的取值可能為1，2，3．利用古典概型的概率計(jì)算公式和概率的性質(zhì)、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望即可得出．解答：解：設(shè)ξ表示該用戶抽檢次數(shù)，ξ的取值可能為1，2，3．若抽到第一件產(chǎn)品為次品即停止檢查，則P（ξ=1）=．若抽到第一件產(chǎn)品為正品，第二件品為次品即停止檢查，則P（ξ=2）==．第3次無(wú)論抽到正品還是次品都停止檢查，則P（ξ=3）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）=．故ξ的分布列為∴Eξ==．故答案為．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握古典概型的概率計(jì)算公式和概率的性質(zhì)、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）設(shè)兩曲線與有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，若，試建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）在（1）的條件下求的最大值；（3）若時(shí)，函數(shù)在（0，4）上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。參考答案：1）因?yàn)榕c在公共點(diǎn)處的切線相同。。由題意知即,………………2分解得或（舍去），……4分．

（2）令，則，當(dāng)變化時(shí)，及的變化情況如下表：極大值所以，時(shí)，有最大值．………………7分（3）． 在上恒為單調(diào)函數(shù)，所以, 或恒成立， 或在時(shí)恒成立， （舍）或?qū)愠闪ⅲ?分 對(duì)恒成立，, 或． 綜上，或．………………12分19.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分7分，第3小題滿分8分．對(duì)于函數(shù)與常數(shù)，若恒成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且．?）若是的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，求；（2）若是的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，且當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值與最小值；（3）若是增函數(shù)，且是的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，試比較下列各組中兩個(gè)式子的大小，并說(shuō)明理由．①與；②與．參考答案：解：（1）由題意知恒成立，令，可得，∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，故，又，故．

………………3分（2）當(dāng)時(shí)，，令，可得，由可得，即時(shí)，，

…………………4分可知在上的取值范圍是．

又是的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，故恒成立，當(dāng)時(shí)，，…，

…………………6分故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的取值范圍是；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的取值范圍是．

……………8分由此可得在上的最大值為，最小值為．………………10分（3）由是的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，可知恒成立，即恒成立，

令，可得，

…12分即，又，∴是一個(gè)等比數(shù)列，∴，所以．

…………………15分當(dāng)時(shí)，由是增函數(shù)，故，又，故有．…………………18分

略20.若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．（1）求的極值；（2）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：解(1)，．

…………2分當(dāng)時(shí)，．

…………3分當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．

…………6分(2)解法一：由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的隔離直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)．

…………7分設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

…………8分由，可得當(dāng)時(shí)恒成立．，

由，得．

…………10分下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．令，則，

………Ks5u…………11分當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為．

從而，即恒成立．………13分

∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

………14分解法二：由(Ⅰ)可知當(dāng)時(shí)，

(當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號(hào))．……7分若存在和的隔離直線，則存在實(shí)常數(shù)和，使得和恒成立，令，則且，即．

……Ks5u……………8分后面解題步驟同解法一．21.（本小題滿分14分）參考答案：第二問(wèn)答案中更正：方程有兩個(gè)不等實(shí)根，第二問(wèn)也可二次求導(dǎo)，請(qǐng)酌情給分。22.投擲四枚不同的金屬硬幣，假定兩枚正面向上的概率均為，另兩枚為非均勻硬幣，正面向上的概率均為，把這四枚硬幣各投擲一次，設(shè)表示正面向上的枚數(shù).(Ⅰ