行列式按行展開(kāi)和克萊姆法則

行列式按行展開(kāi)和克萊姆法則在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來(lái)的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如第2頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天第3頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即定理證明（分三步）第一步第4頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天得把D的第i行依次與第i+1行，第i+2行,…,第n行對(duì)調(diào)為什么依次對(duì)調(diào)行？第二步第5頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天再把D的第j列依次與第j+1列，第j+2列,…,第n列對(duì)調(diào)第6頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如第7頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天第三步第8頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1第9頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即代數(shù)余子式的重要性質(zhì)推論第10頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天

證用數(shù)學(xué)歸納法例證明范德蒙德(Vandermonde)行列式第11頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天第12頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天n-1階范德蒙德行列式第13頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天例４計(jì)算行列式解第14頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天第15頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天例

計(jì)算階行列式解將第都加到第一列得第16頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天第17頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天例解第18頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天提取第一列的公因子，得將第一列的-a1倍加到第2列，-a2倍加到第3列,…,-an倍加到最后一列，得第19頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時(shí)一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒(méi)有１，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的．評(píng)注第20頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天例６計(jì)算解將行列式的第2、3、4行都加到第1行，并提取第一行的公因子第21頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天按第一行展開(kāi)得把第二行加到第一行，再提取公因子得：第22頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二列減去第一列得按第一行展開(kāi)第23頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）展開(kāi)，每展開(kāi)一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來(lái)為止（一般展開(kāi)成二階行列式）．這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用．

評(píng)注

第24頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天例計(jì)算解拆分最后一列使得行列式等于兩個(gè)行列式的和第25頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天第26頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天由此遞推，得如此繼續(xù)下去，可得即當(dāng)?shù)?7頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天關(guān)于的解法二把第一行的-1被加到第2、3、…、n行，得這是一種典型的行列式,見(jiàn)P17例10當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)第28頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)證明遞推公式：例第29頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)求例第30頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天例求第一行各元素的代數(shù)余子式之和設(shè)n階行列式靈活運(yùn)用行列式的按行或按列展開(kāi)性質(zhì)第31頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天例３設(shè)用行列式的定義證明第32頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明由行列式的定義有第33頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天利用范德蒙行列式計(jì)算例計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。解第34頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式．評(píng)注第35頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天用數(shù)學(xué)歸納法證明第36頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天證對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)對(duì)階數(shù)小于n的行列式結(jié)論成立，下證對(duì)階數(shù)等于N的行列式也成立.現(xiàn)將Dn按最后一行展開(kāi)所以對(duì)一切自然數(shù)成立。第37頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天評(píng)注本例中，為了將Dn展開(kāi)成能用其同型的Dn-1、Dn-2表示，本利必須按第n行或第n列展開(kāi)，否則所得的行列式不是與Dn同型的行列式一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)行列式已告訴其結(jié)果，而我們證明的是與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論時(shí)，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。如果未告訴結(jié)果，也可先猜想其結(jié)果，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明其猜想結(jié)果成立。第38頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用．在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．小結(jié)第39頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天Laplace展開(kāi)定理定義在n階行列式D中，任取k行k列（k≤n），位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素按它們?cè)谠辛惺降南鄬?duì)位置組成的k階行列式（記為N)，稱(chēng)為D的一個(gè)k階子式。在D中劃去N所在的行列，由剩下的元素按原來(lái)的相對(duì)位置組成的n-k階子式（記為M），稱(chēng)為N的余子式，如果N的行標(biāo)和列標(biāo)分別為和稱(chēng)為M的代數(shù)余子式，記為A第40頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理設(shè)在n階行列式中取丁某k行，則D等于這k行的所有k階子式與它們各自對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。例第41頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天行列式的乘法法則兩個(gè)n階行列式的乘積等于一個(gè)n階行列式，與其中第42頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天克萊姆法則音樂(lè)第43頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天克萊姆（Cramer,Gabriel，瑞士數(shù)學(xué)家1704-1752）1704年7月31日生于日內(nèi)瓦，早年在日內(nèi)瓦讀書(shū)，1724年起在日內(nèi)瓦加爾文學(xué)院任教，1734年成為幾何學(xué)教授，1750年任哲學(xué)教授。先后當(dāng)選為倫敦皇家學(xué)會(huì)、柏林研究院和法國(guó)、意大利等學(xué)會(huì)的成員。主要著作是《代數(shù)曲線(xiàn)的分析引論》（1750），首先定義了正則、非正則、超越曲線(xiàn)和無(wú)理曲線(xiàn)等概念，第一次正式引入坐標(biāo)系的縱軸（Y軸），然后討論曲線(xiàn)變換，并依據(jù)曲線(xiàn)方程的階數(shù)將曲線(xiàn)進(jìn)行分類(lèi)。為了確定經(jīng)過(guò)5個(gè)點(diǎn)的一般二次曲線(xiàn)的系數(shù)，應(yīng)用了著名的“克萊姆法則”，即由線(xiàn)性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達(dá)式。該法則于1729年由英國(guó)數(shù)學(xué)家馬克勞林得到，1748年發(fā)表，但克萊姆的優(yōu)越符號(hào)使之流傳。

第44頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天如果線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即那么線(xiàn)性方程組(1)有解，并且解是唯一的，解可以表為第45頁(yè),共50頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即證略.注意：在利用克萊姆法則解方程組時(shí)，系數(shù)行列式不能等于零。另外，方程組中方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)