《解析幾何》教案

《解析幾何》教案第一章

向量與坐標(biāo)本章教學(xué)目的：通過本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握向量及其運(yùn)算的概念，熟練掌握線性運(yùn)算和非線性運(yùn)算的基本性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)律和分量表示，會利用向量及其運(yùn)算建立空間坐標(biāo)系和解決某些幾何問題，為以下各章利用代數(shù)方法研究空間圖形的性質(zhì)打下基礎(chǔ).本章教學(xué)重點(diǎn)：（1）向量的基本概念和向量間關(guān)系的各種刻劃。（2）向量的線性運(yùn)算、積運(yùn)算的定義、運(yùn)算規(guī)律及分量表示.本章教學(xué)難點(diǎn)：

（1）向量及其運(yùn)算與空間坐標(biāo)系的聯(lián)系；（2）向量的數(shù)量積與向量積的區(qū)別與聯(lián)系；（3）向量及其運(yùn)算在平面、立體幾何中的應(yīng)用.本章教學(xué)內(nèi)容：

§1.1向量的基本概念

一、定義：既有大小又有方向的量稱為向量，如力、速度、位移等.二、表示：在幾何上，用帶箭頭的線段表示向量，箭頭表示向量的方向，線段長度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（長度）.始點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B的向量，記作，其模記做.注：為方便起見，今后除少數(shù)情形用向量的始、終點(diǎn)字母標(biāo)記向量外，我們一般用小寫黑體字母a、b、c……標(biāo)記向量，而用希臘字母λ、μ、ν……標(biāo)記數(shù)量.三、兩種特殊向量：1、零向量：模等于0的向量為零向量，簡稱零向量，以0記之.注：零向量是唯一方向不定的向量.2、單位向量：模等于1的向量稱為單位向量.特別地，與非0向量同向的單位向量稱為的單位向量，記作.四、向量間的幾種特殊關(guān)系：1、平行（共線）：向量a平行于向量b，意即a所在直線平行于b所在直線，記作a∥b，規(guī)定：零向量平行于任何向量.

2、相等：向量a等于向量b，意即a與b同向且模相等，記作a=b.注：二向量相等與否，僅取決于它們的模與方向，而與其位置無關(guān)，這種與位置無關(guān)的向量稱為自由向量，我們以后提到的向量都是指自由向量.3、反向量：與向量a模相等但方向相反的向量稱為a的反向量，記作-a，顯然，

，零向量的反向量還是其自身.4、共面向量：平行于同一平面的一組向量稱為共面向量.易見，任兩個向量總是共面的，三向量中若有兩向量共線，則三向量一定共面，零向量與任何共面向量組共面.注意：應(yīng)把向量與數(shù)量嚴(yán)格區(qū)別開來：

①向量不能比較大小，如沒有意義；

②向量沒有運(yùn)算，如類似的式子沒有意義.

§1.2向量的加法一

向量的加法：定義1

設(shè)、，以與為鄰邊作一平行四邊形，取對角線向量，記，如圖1-1，稱為與之和，并記作

（圖1-1）這種用平行四邊形的對角線向量來規(guī)定兩個向量之和的方法稱作向量加法的平行四邊形法則.如果向量與向量在同一直線上，那么，規(guī)定它們的和是這樣一個向量：若與的指向相同時，和向量的方向與原來兩向量相同，其模等于兩向量的模之和.若與的指向相反時，和向量的模等于兩向量的模之差的絕對值，其方向與模值大的向量方向一致.由于平行四邊形的對邊平行且相等，可以這樣來作出兩向量的和向量：定義2作，以的終點(diǎn)為起點(diǎn)作，聯(lián)接（圖1-2）得

（1-2）該方法稱作向量加法的三角形法則.

（圖1-2）向量加法的三角形法則的實質(zhì)是：將兩向量的首尾相聯(lián)，則一向量的首與另一向量的尾的連線就是兩向量的和向量.據(jù)向量的加法的定義，可以證明向量加法具有下列運(yùn)算規(guī)律：定理1向量的加法滿足下面的運(yùn)算律：1、交換律

,

（1.2-2）2、結(jié)合律

.

（1.2-3）證交換律的證明從向量的加法定義即可得證.下證結(jié)合律.自空間任一點(diǎn)O開始依次作則有

，所以

.由定理1知，對三向量相加，不論其先后順序和結(jié)合順序如何，結(jié)果總是相同的，可以簡單的寫作.二

向量的減法定義3

若，則我們把叫做與的差，記為顯然，

,特別地，

.由三角形法則可看出：要從減去，只要把與長度相同而方向相反的向量加到向量上去.由平行四邊形法可如下作出向量.設(shè)、，以與為鄰邊作一平行四邊形，則對角線向量.例1設(shè)互不共線的三向量、與，試證明順次將它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個三角形的充要條件是它們的和是零向量.證必要性設(shè)三向量、、可以構(gòu)成三角形（圖1-3），

（圖1-3），

那么,

即

.

充分性設(shè)，作那么，所以，從而，所以、、可以構(gòu)成三角形.例2用向量法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.證設(shè)四邊形的對角線、交于點(diǎn)且互相平分（圖1-4）因此從圖可看出：，

所以，∥，且，即四邊形為平行四邊形.

（圖1-4）§1.3數(shù)量乘向量

定義1.3.1

設(shè)是一個數(shù)量，向量與的乘積是一向量，記作，其模等于的倍，即；且方向規(guī)定如下：當(dāng)時，向量的方向與的方向相同；當(dāng)時，向量是零向量，當(dāng)時，向量的方向與的方向相反.特別地，取，則向量的模與的模相等，而方向相反，由負(fù)向量的定義知：.據(jù)向量與數(shù)量乘積的定義，可導(dǎo)出數(shù)乘向量運(yùn)算符合下列運(yùn)算規(guī)律：定理1.3.1.數(shù)量與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律：1)

1·=2)結(jié)合律

,

(1.3-1)3)分配律,

(1.3-2)4)

.

(1.3-3)證1)據(jù)定義顯然成立.2)顯然，向量、、的方向是一致，且

=

==.3）分配律如果或中至少有一個為0，等式顯然成立；反之ⅰ)若

,顯然同向，且

所以ⅱ）若不妨設(shè)若則有由ⅰ)可得，所以對的情形可類似證明.一個常用的結(jié)論：定理3.若(為數(shù)量)，則向量與向量平行，記作；反之，若向量與向量平行且，則(是數(shù)量).設(shè)是非零向量，用表示與同方向的單位向量.由于與同方向，從而與亦同方向，而且,即

.我們規(guī)定：若，.于是

.這表明：一個非零向量除以它的模是一個與原向量同方向的單位向量.請注意：向量之間并沒有定義除法運(yùn)算，因此決不能將式子改寫成形式

.十分顯然，這種錯誤是受實數(shù)運(yùn)算法則的“慣性作用”所造成.例1設(shè)AM是三角形ABC的中線，求證

.（圖1-5）證如圖1-5，因為，所以

但

因而，即.例2用向量法證明：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證

設(shè)△ABC兩邊AB,AC中點(diǎn)分別為M，N，則所以，且.§1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解定義1.4.1由向量與數(shù)量所組成的向量叫做向量的線性組合,或稱可以用向量線性表示,或稱可以分解成向量的線性組合.定理1.4.1

如果向量，那么向量與向量共線的充要條件是可用向量線性表示，即存在實數(shù)使得

，

(1.4-1)并且系數(shù)被，唯一確定.證若成立，那么由定義1.3.1知向量與向量共線.反之，如果向量與向量共線，那么一定存在實數(shù)使得（見1.3節(jié)中1.3.5的證明）.再證的唯一性：如果，那么，而，所以，.定理1.4.2

如果向量不共線，那么向量與共面的充要條件是可用向量線性表示，即

，

(1.4-2)并且系數(shù)被，唯一確定.證：

（圖1-6）因與不共線，由定義1.1.4知.設(shè)與中之一共線，那么由定理1.4.1有，其中中有一個為零；如果與都不共線，把它們歸結(jié)共同的始點(diǎn)，并設(shè)，，，那么經(jīng)過的終點(diǎn)分別作的平行線依次交直線于（圖1-6），因，由定理

1.4.1，可設(shè)，所以由平行四邊形法則得，即.反之，設(shè)，如果中有一個為零，如，那么與共線，因此與共面.如果，那么，從向量加法的平行四邊形法則知與都共面，因此與共面.最后證的唯一性.因為=，那么

，如果，那么，將有，這與假設(shè)矛盾，所以.同理，這就證明了唯一性.定理1.4.3

如果向量不共面，那么空間任意向量可以由向量線性表示，即存在一組實數(shù)使得

，

(1.4-3)并且系數(shù)x,y,z被，唯一確定.證明方法與定理1.4.2類似.定義1.4.2對于個向量，若存在不全為零的實數(shù)，使得，

(1.4-4)則稱向量線性相關(guān).不是線性相關(guān)的向量叫做線性無關(guān)，即向量線性無關(guān)：.定理1.4.4在時，向量線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量是其余向量的線性組合.證設(shè)向量線性相關(guān)，則存在不全為零的實數(shù)使得，且中至少有一個不等于0，不妨設(shè)，則

；反過來，設(shè)向量中有一個向量，不妨設(shè)為，它是其余向量的線性組合，即

，即

.因為數(shù)，-1不全為0，所以向量線性相關(guān).定理1.4.5

如果一組向量中的部分向量線性相關(guān)，那么這一組向量就線性相關(guān).證

設(shè)中有一部分，不妨設(shè)前r個向量線性相關(guān)，即存在不全為零的實數(shù)，使得.則有，因為不全為零，所以線性相關(guān).推論

如果一組向量中含有零向量，那么這一組向量就線性相關(guān)類似地可證明下面的定理：定理1.4.6

兩向量與共線線性相關(guān).定理1.4.7

三向量與共面線性相關(guān).定理1.4.8

空間任意四個或四個以上的向量總是線性相關(guān)的.例1試證明：點(diǎn)在線段上的充要條件是：存在非負(fù)實數(shù)，，使得，且，其中是任意取定的一點(diǎn).證（先證必要性）設(shè)在線段上，則與同向，且，所以，.任取一點(diǎn)所以，所以，.取，，則，，.（充分性）若對任一點(diǎn)有非負(fù)實數(shù)，，使得，且

則

，所以與共線，即在直線上.又，所以在線段上.例2設(shè)為兩不共線向量，證明，共線的充要條件是.證共線,線性相關(guān)，即存在不全為0的實數(shù)，使，

(1.4-5)即

.又因為不共線即線性無關(guān)，故方程有非零解

.§1.5標(biāo)架與坐標(biāo)一空間點(diǎn)的直角坐標(biāo):平面直角坐標(biāo)系使我們建立了平面上的點(diǎn)與一對有序數(shù)組之間的一一對應(yīng)關(guān)系，溝通了平面圖形與數(shù)的研究.為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們用類似于平面解析幾何的方法，通過引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來實現(xiàn).1、空間直角坐標(biāo)系過空間一定點(diǎn)，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們以為原點(diǎn)，且一般具有相同的長度單位，這三條軸分別叫軸(橫軸)、軸(縱軸)、軸(豎軸)，且統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.通常把軸，軸配置在水平面上，而軸則是鉛垂線，它們的正方向要符合右手規(guī)則：

(圖1-7)右手握住軸，當(dāng)右手的四個指頭從軸的正向以角度轉(zhuǎn)向軸正向時，大拇指的指向就是軸正向.三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫做坐標(biāo)原點(diǎn).注：為使空間直角坐標(biāo)系畫得更富于立體感，通常把軸與軸間的夾角畫成左右.當(dāng)然，它們的實際夾角還是.2、坐標(biāo)面與卦限三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面.由軸與軸所決定的坐標(biāo)面稱為面，另外還有面與面.三個坐標(biāo)面把空間分成了八個部分，這八個部分稱為卦限.

(圖1-8)3、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)取定空間直角坐標(biāo)系之后，我們就可以建立起空間點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系.設(shè)為空間的一已知點(diǎn)，過點(diǎn)分別作垂直于軸、軸、軸的三個平面，它們與軸、軸、軸的交點(diǎn)依次為，這三點(diǎn)在軸、軸、軸的坐標(biāo)依次為，于是：空間點(diǎn)就唯一地確定了一個有序數(shù)組，這組數(shù)叫點(diǎn)的坐標(biāo).依次稱，，為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，記為.反過來，若已知一有序數(shù)組，我們可以在軸上取坐標(biāo)為的點(diǎn)，在軸上取坐標(biāo)為的點(diǎn)，在軸取坐標(biāo)為的點(diǎn)，然后過、、分別作軸、軸、軸的垂直平面，這三個平面的交點(diǎn)就是以有序數(shù)組為坐標(biāo)的空間點(diǎn).這樣，通過空間直角坐標(biāo)系，我們建立了空間點(diǎn)和有序數(shù)組之間的一一對應(yīng)關(guān)系.定義1

我們把上面有序數(shù)組叫點(diǎn)在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，記為.二空間兩點(diǎn)間的距離公式定理1

設(shè)、為空間的兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離為

(1.5-1)證過、各作三個分別垂直于三坐標(biāo)軸的平面，這六個平面圍成一個以為對角線的長方體，如圖所示

(圖1-9)是直角三角形，故，因為是直角三角形，故，從而

；而

，，，故

.特別地，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.三空間向量的坐標(biāo)定義2

設(shè)是與坐標(biāo)軸，同向的單位向量，對空間任意向量都存在唯一的一組實數(shù)，使得，那么我們把這組有序的實數(shù)，叫做向量在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，記為或.定理2

設(shè)向量的始終點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，那么向量的坐標(biāo)為.

(1.5-2)證由點(diǎn)及向量坐標(biāo)的定義知，所以

=.由定義知

.定理3

兩向量和的分量等于兩向量對應(yīng)的分量的和.證設(shè)，，那么=+=，所以

.

(1.5-3)類似地可證下面的兩定理：定理4

設(shè)，則.定理5

設(shè)，，則共線的充要條件是

.

(1.5-4)定理6

三非零向量，，共面的充要條件是

.

(1.5-5)證因為不共面，所以存在不全為0的實數(shù)使得，由此可得

因為不全為0，所以.

§1.6向量在軸上的射影

一、空間點(diǎn)在軸上的投影：設(shè)已知點(diǎn)及軸，過點(diǎn)作軸的垂直平面，則平面與軸的交點(diǎn)叫做點(diǎn)在軸上的投影.

(圖1-10)二、向量在軸上的投影：定義1設(shè)向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)在軸的投影分別為、，那么軸上的有向線段的值叫做向量在軸上的投影，記作，軸稱為投影軸.

(圖1-11)這里，的值是這樣的一個數(shù)：(1)即，數(shù)的絕對值等于向量的模.(2)當(dāng)?shù)姆较蚺c軸的正向一致時，；當(dāng)?shù)姆较蚺c軸的正向相反時，.三、空間兩向量的夾角：設(shè)有兩向量、交于點(diǎn)(若、不相交，可將其中一個向量平移使之相交)，將其中一向量繞點(diǎn)在兩向量所決定的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，使它的正方向與另一向量的正方向重合，這樣得到的旋轉(zhuǎn)角度(限定)稱為、間的夾角，記作.

(圖1-12)若、平行，當(dāng)它們指向相同時，規(guī)定它們之間的夾角為；當(dāng)它們的指向相反時，規(guī)定它們的夾角為.類似地，可規(guī)定向量與數(shù)軸間的夾角.將向量平行移動到與數(shù)軸相交，然后將向量繞交點(diǎn)在向量與數(shù)軸所決定的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，使向量的正方向與數(shù)軸的正方向重合，這樣得到的旋轉(zhuǎn)角度稱為向量與數(shù)軸的夾角.四

投影定理：定理1.6.1

向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦.即,

(1.6-1)

(圖1-13)證過向量的始點(diǎn)引軸，且軸與軸平行且具有相同的正方向，那未軸與向量的夾角等于軸與向量的夾角，而且有故

由上式可知：向量在軸上的投影是一個數(shù)值，而不是向量.當(dāng)非零向量與投影軸成銳角時，向量的投影為正.定理1.6.2

對于任何向量都有.

(1.6-2)證取，那么，設(shè)分別是在軸上的投影，那么顯然有

，因為

所以

，即

.類似地可證下面的定理：定理1.6.3

對于任何向量與任何實數(shù)有.

(1.6-3)

§1.7兩向量的數(shù)性積

定義1.7.1

對于兩個向量a和b把它們的模|a|,|b|及它們的夾角的余弦的乘積稱為向量和的數(shù)量積記作ab,即

ab=|a||b|cos.由此定義和投影的關(guān)系可得ab|b|Prjba=|a|Prjab.數(shù)量積的性質(zhì)(1)a·a=|a|2,記a·aa2，則a2|a|2.(2)對于兩個非零向量a、b如果a·b=0則ab反之如果ab則a·b0.定理1.7.1

如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直則aba·b0.定理1.7.2

數(shù)量積滿足下面運(yùn)算律：

(1)交換律

a·b=b·a

(2)分配律(ab)cacbc

((3)a)·ba·(b)(a·b)

(a)·(b)(a·b)、為數(shù)證（1）由定義知顯然.(2)的證明

因為當(dāng)c0時上式顯然成立

當(dāng)c0時有

(ab)c|c|Prjc(ab)

|c|(PrjcaPrjcb)

|c|Prjca|c|Prjcb

acbc

（3）可類似地證明.例1試用向量證明三角形的余弦定理證設(shè)在ΔABC中∠BCA||=a||=b||=c

要證

c2a2+b22abcos

記ab=c則有cab從而

|c|2cc(ab)(ab)a2-2ab+b2|a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)即

c2a2+b22abcos數(shù)量積的坐標(biāo)表示:

定理1.7.3

設(shè)a{axayaz}b{bxbybz}則

a·baxbxaybyazbz證

a·b(axiayjazk)·(bxibyjbzk)

axbxi·iaxbyi·jaxbzi·k

aybxj·iaybyj·jaybz

j·k

azbxk·iazbyk·jazbzk·k

axbxaybyazbz定理1.7.4

設(shè)a={},則向量a的模

|a|=.證由定理1.7.2知|a|2=a2=，所以

|a|=.向量的方向角和方向余弦：向量與坐標(biāo)軸所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦.定理1.7.5設(shè)a={}，則a的方向余弦為

cos=,cos,cos；且

，其中分別是向量a與x軸，y軸,z軸的夾角.證因為

ai=|a|cos且ai=，所以

|a|cos=，從而

cos=.同理可證

cos

cos且顯然

兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示

定理1.7.6

設(shè)(a^b)則當(dāng)a0、b0時有.證因為

a·b|a||b|cos，所以.

例2

已知三點(diǎn)M(111)、A(221)和B(212)求AMB

解

從M到A的向量記為a從M到B的向量記為b則AMB就是向量a與b的夾角.

a{110}b{101}因為

ab1110011

所以

從而

.§1.8兩向量的向量積定義1.8.1

兩個向量a與b的向量積(也稱外積)是一個向量,記做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向與a和b垂直并且按a,b,ab確定這個順序構(gòu)成右手標(biāo)架｛O;a,b,ab｝.

從定義知向量積有下列性質(zhì)：

(1)aa0(2)對于兩個非零向量a，b如果ab0則a//b；反之如果a//b則ab0.定理1.8.1兩不共線向量a與b的向量積的模,等于以a與b為邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積.定理1.8.2

兩向量a與b共線的充要條件是ab0.證當(dāng)a與b共線時，由于sin(a、b)=0，所以|ab|=|a||b|sin(a、b)=0，從而ab0；反之，當(dāng)ab0時，由定義知，a=0，或b=0，或a//b，因零向可看成與任向量都共線，所以總有a//b，即a與b共線.定理1.8.3

向量積滿足下面的運(yùn)算律

(1)反交換律

abba，

(2)分配律

(ab)cacbc，

(3)數(shù)因子的結(jié)合律

(a)ba(b)(ab)

(為數(shù)).證（略）.推論:

c(ab)cacb定理1.8.4

設(shè)aaxiayjazkbbxibyjbzk，則

ab(aybzazby)i(azbxaxbz)j（axbyaybx）k證由向量積的運(yùn)算律可得ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)axbxiiaxbyijaxbzikaybxjiaybyjjaybzjkazbxkiazbykazbzkk由于iijjkk0ijkjkikij所以ab(aybzazby)i(azbxaxbz)j（axbyaybx）k.

為了幫助記憶利用三階行列式符號上式可寫成aybzi+azbxj+axbykaybxkaxbzjazbyi(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k例1設(shè)a(211)b(112)計算ab解

=2ij2kk4jii5j3k

例2

已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A(123)、B(345)、C(247)求三角形ABC的面積

解

根據(jù)向量積的定義可知三角形ABC的面積由于(222)(124)因此4i6j2k于是

例3

設(shè)剛體以等角速度繞l軸旋轉(zhuǎn)計算剛體上一點(diǎn)M的線速度

解

剛體繞l軸旋轉(zhuǎn)時我們可以用在l軸上的一個向量n表示角速度它的大小等于角速度的大小它的方向由右手規(guī)則定出即以右手握住l軸當(dāng)右手的四個手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時大姆指的指向就是n的方向

設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a再在l軸上任取一點(diǎn)O作向量r并以表示n與r的夾角那么a|r|sin設(shè)線速度為v那么由物理學(xué)上線速度與角速度間的關(guān)系可知v的大小為|v||n|a|n||r|sinv的方向垂直于通過M點(diǎn)與l軸的平面即v垂直于n與r又v的指向是使n、r、v符合右手規(guī)則因此有vnr

§1.9三向量的混合積

定義1.9.1

給定空間的三個向量，我們把叫做三向量的混合積，記做或.定理1.9.1

三個不共面向量的混合積的絕對值等于以為棱的平行六面體的體積，并且當(dāng)構(gòu)成右手系時混合積為正；當(dāng)構(gòu)成左手系時混合積為負(fù),也就是=當(dāng)構(gòu)成右手系時,當(dāng)構(gòu)成左手系時.證由于向量不共面，所以把它們歸結(jié)到共同的試始點(diǎn)可構(gòu)成以為棱的平行六面體，它的底面是以為邊的平行四邊形，面積為，它的高為，體積是.根據(jù)數(shù)性積的定義，其中是與的夾角.當(dāng)構(gòu)成右手系時，，，因而可得

.當(dāng)構(gòu)成左手系時，，，因而可得

.定理1.9.2

三向量共面的充要條件是.證若三向量共面，由定理1.9.1知，所以，從而.反過來，如果，即，那么根據(jù)定理1.7.1有，另一方面，有向性積的定義知，所以共面.定理1.9.3

輪換混合積的三個因子，并不改變它的值；對調(diào)任何倆因子要改變混合積符號，即.證當(dāng)共面時，定理顯然成立；當(dāng)不共面時，混合積的絕對值等于以為棱的平行六面體的體積，又因輪換的順序時，不改變左右手系，因而混合積不變，而對調(diào)任意兩個之間的順序時，將右手系變?yōu)樽?，而左變右，所以混合積變號.推論:

.定理1.9.4

設(shè)，，，那么

.證由向量的向性積的計算知

，再根據(jù)向量的數(shù)性積得==

=.推論:

三向量共面的充要條件是

.例1

設(shè)三向量滿足，證明：共面。證明：由兩邊與做數(shù)量積，得：

，且，所以，即共面。例2

已知四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)，，，，求它的體積。解：

，，，所以，§1.10三向量的雙重外積

定義1.10.1

給定空間三向量，先做其中兩個的向量積，再把所得的向量與第三個向量做向量積，那么，最后的結(jié)果仍然是一個向量，叫做三個向量的雙重向量積。就是三向量的一個雙重向量積。且與都垂直，與也垂直，所以和共面。定理1.10.1

（1.10.1）證

若中有一個是零向量，或共線，或與都垂直，則（1.10.1）兩邊都是零向量，定理顯然成立?，F(xiàn)設(shè)都為非零向量，且不共線，為了證明（1.10.1）成立，先證

（1）由于共面，而不共線，故可設(shè)，

（2）（2）式兩邊分別與作數(shù)量積可得，，解得，即（1）式成立。下證（1.10.1）成立。由于不共面，對任意，可設(shè)，則有利用（1）式可得。例1.

試證:證明：

三式相加得。例2．證明：

證明：設(shè)，則

小

結(jié)知識點(diǎn)回顧：

解析幾何的基本思想就是用代數(shù)的方法來研究幾何問題，為了把代數(shù)運(yùn)算引到幾何中來，最根本的做法就是把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)地代數(shù)化，數(shù)量化。因此在本章中主要引入了向量及它的運(yùn)算，并通過向量了坐標(biāo)系，從而使得空間中的點(diǎn)都和三元有序數(shù)組建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，為空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化打好了基礎(chǔ)。通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)掌握向量及其各種運(yùn)算的概念，熟練掌握線性運(yùn)算和非線性運(yùn)算的基本性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)律和分量表示，會利用向量及其運(yùn)算建立空間坐標(biāo)系和解決某些幾何問題，如利用兩向量的數(shù)量積為零來判斷各種垂直關(guān)系，兩向量的向量積為零向量來判斷各種平行問題，三向量的混合積為零來判斷共面問題，以及在空間直角坐標(biāo)系下，利用向量積的模求面積，混合積來求體積等問題。1.向量加法的運(yùn)算規(guī)律：

（1）

,

（2）

.（3）

（4）

2.數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律：

（1）

1·=

（2）

,

（3）

（4）

.

3.

兩向量的數(shù)量積（1）ab=|a||b|cos.（2）aba·b0.（3）在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)a{axayaz}b{bxbybz}則

a·baxbxaybyazbz

4．兩向量的向量積

（1）兩個向量a與b的向量積(也稱外積)是一個向量,記做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向與a和b垂直并且按a,b,ab確定這個順序構(gòu)成右手標(biāo)架｛O;a,b,ab｝（2）兩向量a與b共線的充要條件是ab0..（3）在空間直角坐標(biāo)系下設(shè)aaxiayjazkbbxibyjbzk，則

ab(aybzazby)i(azbxaxbz)j（axbyaybx）k（4）兩不共線向量a與b的向量積的模,等于以a與b為邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積

5.三向量的混合積

（1）三個不共面向量的混合積的絕對值等于以為棱的平行六面體的體積，并且當(dāng)構(gòu)成右手系時混合積為正；當(dāng)構(gòu)成左手系時混合積為負(fù),也就是=當(dāng)構(gòu)成右手系時,當(dāng)構(gòu)成左手系時.

（2）三向量共面的充要條件是.

（3）在空間直角坐標(biāo)系下設(shè)，，，那么

.典型習(xí)題1.已知四面體ＡＢＣＤ的頂點(diǎn)坐標(biāo)Ａ（４，３，０），Ｂ（６，０，６），Ｃ（０，０，０），Ｄ。求（１）△ＢＣＤ的面積。（２）四面體ＡＢＣＤ的體積。（３）Ｃ到△ＢＣＤ的距離。解：（1），

-------2分所以

△BCD的面積

（2）四面體ABCD的體積為（3）設(shè)C到BCD平面的距離為h,則

從而有。2.用向量法證明：P是ΔABC重心的充要條件為．證明：設(shè)P為△ABC的重心，D為BC邊中點(diǎn)，則，

又因為PD為△PBC的中線，所以即

所以有。

設(shè)D為BC邊中點(diǎn)，則

又因為，即，

與共線，即P在BC邊的中線上，

同理可得P也在AB，AC邊的中線上，從而有P為△ABC的重心。3.證明：四面體每一個頂點(diǎn)與對面重心所連的線段共點(diǎn)，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對面重心距離的三倍.用四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)把交點(diǎn)坐標(biāo)表示出來.[證明]：設(shè)四面體A1A2A3A4,Ai對面重心為Gi,欲證AiGi交于一點(diǎn)(i＝1,2,3,4).在AiGi上取一點(diǎn)Pi，使＝3,從而＝，設(shè)Ai(xi,yi,zi)(i＝1,2,3,4)，則G1,G2,G3,G4,所以P1(,,)P1(,,).同理得P2P3P4P1，所以AiGi交于一點(diǎn)P，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)距離等于這點(diǎn)到對面重心距離的三倍.4.在四面體中，設(shè)點(diǎn)是的重心（三中線之交點(diǎn)），求矢量對于矢量的分解式。解：是的重心。連接并延長與BC交于P同理

（1）

（2）

（3）

由（1）（2）（3）得

即第二章

軌跡與方程本章教學(xué)目的：通過本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解空間坐標(biāo)系下曲面與空間曲線方程之定義及表示，熟悉空間中一些特殊曲面、曲線的方程.本章教學(xué)重點(diǎn)：空間坐標(biāo)系下曲面與空間曲線方程的定義.本章教學(xué)難點(diǎn)：（1）空間坐標(biāo)系下母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程與平面坐標(biāo)系下有關(guān)平面曲線方程的區(qū)別；（2）空間坐標(biāo)系下，空間曲線一般方程的規(guī)范表示.

本章教學(xué)內(nèi)容：§2.1平面曲線的方程在平面上或空間取定了坐標(biāo)系之后，平面上或空間的點(diǎn)就與有序數(shù)組(坐標(biāo)):或建立了一一對應(yīng)的關(guān)系.曲線、曲面(軌跡)

就與方程或建立一一對應(yīng)的關(guān)系.1.平面上的曲線:具有某種特征性質(zhì)的點(diǎn)的集合(軌跡).曲線的方程:1曲線上的點(diǎn)都具有這些性質(zhì).

2具有這些性質(zhì)的點(diǎn)都在曲線上.2.曲線的方程,方程的圖形定義2.1.1

當(dāng)平面上取定了坐標(biāo)系之后,如果一個方程與一條曲線有著關(guān)系:1滿足方程的必是曲線上某一點(diǎn)的坐標(biāo);2曲線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足這個方程,那么這個方程叫做這條曲線的方程,而這條曲線叫做這個方程的圖形.例1.求圓心在原點(diǎn),半徑為R的圓的方程.解:任意點(diǎn)在圓上.類似地,圓心在,半徑為R的圓的方程為.

例2.已知兩點(diǎn)和,求滿足條件的動點(diǎn)的軌跡方程.解:動點(diǎn)在軌跡上即

平方整理得

再平方整理得

.

為所求軌跡方程.注:在求曲線的方程時,化簡過程中可能造成范圍的變化,得到的方程所代表曲線上的點(diǎn)與條件并不完全相符,必須補(bǔ)上或除去.

3.曲線的參數(shù)方程變向量:

隨的變化而變化的向量.

向量函數(shù)=:對每一個都唯一確定的一個.

定義2.1.2

在坐標(biāo)系上,向量函數(shù)==

()叫做曲線的向量式參數(shù)方程.

曲線的坐標(biāo)式參數(shù)方程:

曲線的普通方程:.

例3.一個圓在一直線上無滑動地滾動,求圓周上一點(diǎn)的軌跡.

(圖2-3)

解:取直角坐標(biāo)系,設(shè)半徑為的圓在軸上滾動,開始時點(diǎn)P恰好在原點(diǎn)O(圖2-3),經(jīng)過一段時間的滾動,圓與直線軸的切點(diǎn)移到A點(diǎn),圓心移到C點(diǎn),這時有.設(shè)為到的有向角,則到的角為,則.又

,

,這即是P點(diǎn)軌跡的向量式參數(shù)方程.其坐標(biāo)式參數(shù)方程為:取時,消去參數(shù),得其在的一段的普通方程:這種曲線叫做旋輪線或稱為擺線.例4.已知大圓半徑為,小圓半徑為,設(shè)大圓不動,而小圓在大圓內(nèi)無滑動地滾動,動圓周上某一點(diǎn)P的軌跡叫做內(nèi)旋輪線(或稱內(nèi)擺線),求內(nèi)旋輪線的方程.解:

設(shè)運(yùn)動開始時動點(diǎn)P與大圓周上的A點(diǎn)重合，并取大圓中心O為原點(diǎn)，OA為x軸，過O與OA垂直的直線為y軸建立坐標(biāo)系，經(jīng)過某一過程后，小圓與大圓的接觸點(diǎn)為B，小圓中心為C，則C一定在OB上，且有，設(shè)為到的有向角，為到的有向角，則有又由弧AB等于弧BP可得，從而有到的有向角為，所以，.即為P點(diǎn)的向量式參數(shù)方程，其坐標(biāo)式參數(shù)方程為（-∞﹤<+∞）例5把線繞在一個固定的圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉(zhuǎn)，以把線從圓周上解放出來，使放出來的部分成為圓的切線，求線頭的軌跡.

解設(shè)圓的半徑為，線頭的最初位置是圓周上的點(diǎn)，如右圖，建立坐標(biāo)系，那么

，設(shè)，那么

，且矢量對軸所成的有向角為

，所以

=，從而得

，這就是所求點(diǎn)軌跡的矢量式參數(shù)方程.由上式可得該軌跡的坐標(biāo)式參數(shù)方程為該曲線叫漸伸線或切展線.§2.2

曲面的方程一、曲面的方程：

1定義2.2.1

設(shè)Σ為一曲面，F(xiàn)（x，y，z）=0或為一三元方程，空間中建立了坐標(biāo)系以后，若Σ上任一點(diǎn)P（x,y,z）的坐標(biāo)都滿足F（x，y，z）=0或，而且凡坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲面Σ上，則稱F（x，y，z）=0或為曲面Σ的方程，而曲面Σ叫做方程F（x，y，z）=0或的圖形.不難看出，一點(diǎn)在曲面Σ上〈═〉該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足Σ的方程，即曲面上的點(diǎn)與其方程的解之間是一一對應(yīng)的

∴Σ的方程的代數(shù)性質(zhì)必能反映出Σ的幾何性質(zhì).2三元方程的表示的幾種特殊圖形：空間中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空間中的一個曲面呢？一般而言這是成立的，但也有如下特殊情況

1°若F（x，y，z）=0的左端可分解成兩個（或多個）因式F1（x，y，z）與F2（x，y，z）的乘積，即F（x，y，z）≡F1（x，y，z）F2（x，y，z），則F（x，y，z）=0〈═〉F1（x，y，z）=0或F2（x，y，z）=0，此時F（x，y，z）=0表示兩葉曲面與，它們分別以F1（x，y，z）=0，F(xiàn)2（x，y，z）=0為其方程，此時稱F（x，y，z）=0表示的圖形為變態(tài)曲面.如

即為三坐標(biāo)面.

20方程

僅表示坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（1，2，3）

3°方程可能表示若干條曲線，如

即表示z軸和x軸

4°方程不表示任何實圖形，如

，

此時，稱所表示的圖形為虛曲面

3

求法：

例1：求平行于坐標(biāo)面的平面的方程.

解：設(shè)平行于面的平面為π，π與z軸的交點(diǎn)為，則

∈π〈═〉共面

=0

即

同理，平行于其他兩坐標(biāo)面的平面的方程為

例2：求作兩定點(diǎn)A（1，-2，1），B（0，1，3）等距離的點(diǎn)的軌跡.

解：

（圖2.1）

設(shè)所求軌跡為Σ，則

=

〈═〉-2x+4y-2z+6=-2y-6z+10

〈═〉2x-6y-4z+4=0〈═〉x-3y-2z+2=0

即所求軌跡為x-3y-2z+2=0

例3：求半徑為R的球面的方程

解：建立直角坐標(biāo)系{O；i,j,k}，并設(shè)球心（a,b,c），則

P（x,y,z）球面Σ〈═〉∣∣=R〈═〉

特別地，若M.（a,b,c）為坐標(biāo)原點(diǎn)，則球面Σ的方程為

x2+y2+z2=R2

綜合上述條例，可歸納出求曲面方程的一般步驟如下：

1°建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（方程易求且求出的方程簡單）

2°設(shè)動點(diǎn)Σ坐標(biāo)為P（x,y,z），并根據(jù)已知條件，推出曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的方程；

3°對方程作同解化簡.

二、曲面的參數(shù)方程：

定義2.2.2

設(shè)DR2為有序數(shù)對集，若對任意（u，v）∈D，按照某對應(yīng)規(guī)則，有唯一確定的向量r與之對應(yīng)，稱這種對應(yīng)關(guān)系為D上的一個二元向量函數(shù)，記作

r=r（u，v），（u，v）∈D

定義2.2.3設(shè)Σ為一曲面，r=r（u，v），（u，v）∈D為一二元向量函數(shù)，在空間坐標(biāo)系下，若對任意（u，v）∈D，徑向

=r（u，v）的終點(diǎn)P總在曲面Σ上，而且對任意P∈Σ，也必能找到（u，v）∈D，使=r

（u，v），則稱r=r（u，v）為Σ的向量式參數(shù)方程，記作Σ：r=r（u，v），（u，v）∈D.

若令

r（u，v）={x（u，v），y（u，v），z（u，v）}，

則稱

（u，v）∈D

為Σ的坐標(biāo)式參數(shù)方程，記作Σ：

（u，v）∈D

(圖2.2)

(圖2.3)例：建立球面的參數(shù)方程：

解：為簡單起見，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于球心，球面半徑為R，如圖

對任意M（x,y,z）∈球面Σ；令P為M在x.y面上投影，

并令=∠（，），則

r=

=

=∣∣cosi+∣∣sin

j+∣∣cos

=∣∣sin

cos

i+∣∣sin

sinj+∣∣cos

=Rsin

cos

i+Rsin

sinj+Rcos

∴球面的參數(shù)方程為：

0π

0<2π

三、球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系

定義2.2.4

空間中建立了直角坐標(biāo)系之后，對空間中任一點(diǎn)M（x,y,z），設(shè)∣OM∣=ρ

則M在以O(shè)為中心，以ρ為半徑的球面上，從而存在φ，θ，使

（*）

反之，對任意ρ（ρ≥0），φ（0π），θ（0<2π），通過（*）也能確定空間中一點(diǎn)M（x,y,z），我們稱有序三數(shù)組ρ，φ，θ為M點(diǎn)的球坐標(biāo)（空間極坐標(biāo)），記作M（ρ，φ，θ）

注：1°空間中的點(diǎn)與其球坐標(biāo)間并非一一對應(yīng).

2°已知M點(diǎn)的球坐標(biāo)，通過（*）可求其直角坐標(biāo)，而若已知M的直角坐標(biāo)，則（**）便可求其球坐標(biāo).

定義2.2.5

空間中建立了直角坐標(biāo)系之后，對M（x,y,z），設(shè)其到z軸的距離為ρ，則M落在以z軸為中心軸，以ρ為半徑的圓柱面上，從而θ，u，使

（*）

反之，對給的ρ（ρ≥0），θ（0≦θ<2π），u（∣u∣<）,依據(jù)（*）式也可確定空間中一點(diǎn)M（x,y,z），稱有序三數(shù)組ρ，θ，u為M點(diǎn)的柱坐標(biāo)，記作M（ρ，θ，u）.

注：1°空間中的點(diǎn)與其柱坐標(biāo)并非一一對應(yīng).

2°由柱面坐標(biāo)求直角坐標(biāo),利用(*)即可,而由直角坐標(biāo)求柱坐標(biāo),則需按下式進(jìn)行.

例：在直角坐標(biāo)系下，圓柱面，雙曲柱面，平面和拋物柱面的圖形如下：

(圖2.4)

(圖2.5)

(圖2.6)

(圖2.7)§2.3

空間曲線的方程

一、空間曲線的一般方程

1.定義2.3.1

設(shè)L為空間曲線,為一三元方程組,空間中建立了坐標(biāo)系之后,若L上任一點(diǎn)M(x,y,z)的坐標(biāo)都滿足方程組,而且凡坐標(biāo)滿足方程組的點(diǎn)都在曲線L上,則稱為曲線L的一般方程,又稱普通方程,記作L:

(圖2.8)

注:

1°在空間坐標(biāo)系下,任一曲線的方程定是兩方程聯(lián)立而成的方程組;

2°用方程組去表達(dá)曲線,其幾何意義是將曲線看成了二曲面的交線（如圖2.8）;

3°空間曲線的方程不唯一(但它們同解),如

與

均表示z軸

2.用曲線的射影柱面的方程來表達(dá)曲線

以曲線L為準(zhǔn)線,母線平行于坐標(biāo)軸的柱面稱為L的射影柱面,若記L的三射影柱面的方程為

(x,y)=0,(y,z)=0,(z,x)=0,則

,,便是L的用射影柱面表達(dá)的方程

若已知曲線L:,只需從L的方程中,分別消去x,y,z便三射影柱面的方程(y,z)=0,

(z,x)=0,

(x,y)=0例:設(shè)有曲線L:

,試求L的射影柱面,并用射影柱面方程表達(dá)曲線.解:從L的方程中分別消去x,y,z得到z2-4y=4z,x2+z2=4z,x2+4z=0它們即為L的射影柱面,而

(1),

(2),

(3)便均是L的用射影柱面表達(dá)的方程

注:利用方程(2)即可作出L的草圖二、空間曲線的參數(shù)方程:

1.定義2.3.2

設(shè)L為一空間曲線，r=r(t),t∈A為一元向函數(shù),在空間坐標(biāo)系下，若對P∈L，

t∈A，使

=r（t），而且對t∈A，必有P∈L，使r（t）=

，則稱r=r（t），

t∈A為曲線L的向量式參數(shù)方程，記作L=r=r（t），t∈A，t——參數(shù)

若點(diǎn)r（t）={x（t），y（t），z（t）}

則稱

t∈A

為L的坐標(biāo)式參數(shù)方程

注：空間曲線的參數(shù)方程中，僅有一個參數(shù)，而曲面的參數(shù)方程中，有兩個參數(shù)，所以習(xí)慣上，稱曲線是單參數(shù)的，而曲面是雙參數(shù)的。

2.求法：

例：一質(zhì)點(diǎn)，在半徑=a的圓柱面上，一方面繞圓柱面的軸作勻速轉(zhuǎn)動，一方面沿圓柱面的母線方向作勻速直線運(yùn)動，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。

解：以圓柱面的軸作為z軸，建立直角坐標(biāo)系{O；i，j，k}，如圖，不妨設(shè)質(zhì)點(diǎn)的起始點(diǎn)在x軸上，質(zhì)點(diǎn)的角速率與線速率分別為ω。，ν。，質(zhì)點(diǎn)的軌跡為L，則對∈L，在x。y面上的投影為′，

(圖2.9)r=

=

+

=acos

i+asin

j+k

若令，=b，則

r=acos

i+asin

j+b

k

————L的向量式參數(shù)方程

而

小結(jié)

知識點(diǎn)回顧：

在平面上或空間取定了坐標(biāo)系后，平面上或空間的點(diǎn)就與有序?qū)崝?shù)組（x,y）或(x,y,z)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，把平面上的曲線或空間的曲面都看成具有某種特征性質(zhì)的點(diǎn)的集合，而其特征性質(zhì)在坐標(biāo)系中反映為它的坐標(biāo)之間的某種特定關(guān)系，把這種關(guān)系找出來，就是它的方程，而圖形的方程和圖形間有一一對應(yīng)的關(guān)系，這樣就把研究曲線與曲面的幾何問題轉(zhuǎn)化為了代數(shù)問題。如曲面的方程為F（x，y，z）=0，要研究空間中三曲面是否有公共點(diǎn)的問題就可歸結(jié)為求三曲面方程的公共解，也就是解三元聯(lián)立方程組的問題。例如方程組如果有實數(shù)解，則三曲面就有公共點(diǎn)，方程組的解就是公共點(diǎn)的坐標(biāo)。若方程組無實數(shù)解，三曲面就沒有公共點(diǎn)。平面曲線的普通方程為，參數(shù)方程為單參數(shù)的；曲面的普通方程為，參數(shù)方程為雙參數(shù)的；空間曲線的普通方程為，參數(shù)方程為單參數(shù)的。參數(shù)方程若能消去參數(shù)可得到普通方程，普通方程化為參數(shù)方程時形式卻是不唯一的，但一定要保證與原方程等價。典型習(xí)題：1.

有一長度為＞0）的線段，它的兩端點(diǎn)分別在軸正半軸與軸的正半軸上移動，是求此線段中點(diǎn)的軌跡。，為兩端點(diǎn)，為此線段的中點(diǎn)。

解：設(shè).則.在中有:

即.∴此線段中點(diǎn)的軌跡為.

2.

有一質(zhì)點(diǎn)，沿著已知圓錐面的一條直母線自圓錐的頂點(diǎn)起，作等速直線運(yùn)動，另一方面這一條母線在圓錐面上，過圓錐的頂點(diǎn)繞圓錐的軸（旋轉(zhuǎn)軸）作等速的運(yùn)動，這時質(zhì)點(diǎn)在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線，試建立圓錐螺線的方程.解：取圓錐面的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓錐的軸為z軸建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)圓錐頂角為，旋轉(zhuǎn)角速度為，直線運(yùn)動速度為V，動點(diǎn)的初始位置在原點(diǎn)，而且動點(diǎn)所在直母線的初始位置在xoz面上，t秒后質(zhì)點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)，P點(diǎn)在xoy面上的射影為N，N在x軸上的射影為M，則有而所以，圓錐螺旋線的向量式參數(shù)方程為坐標(biāo)式參數(shù)方程為（﹣∞<t<∞）.

第三章

平面與空間直線本章教學(xué)目的：

通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握空間坐標(biāo)系下平面、直線方程的各種形式，掌握確定平面與直線的條件，熟練掌握點(diǎn)、平面與空間直線間各種位置關(guān)系的解析條件及其幾何直觀概念.本章教學(xué)重點(diǎn)：（1）空間坐標(biāo)系下平面方程的點(diǎn)位式和點(diǎn)法式、直線方程點(diǎn)向式與標(biāo)準(zhǔn)式；（2）點(diǎn)、平面與空間直線間各種位置關(guān)系的解析條件；（3）平面與空間直線各種度量關(guān)系的量化公式.本章教學(xué)難點(diǎn)：（1）異面直線的公垂線方程；（2）綜合運(yùn)用位置關(guān)系的解析條件求平面、空間直線方程.本章教學(xué)內(nèi)容：§3.1

平面的方程1．平面的點(diǎn)位式方程在空間給定了一點(diǎn)M0與兩個不共線的向量a，b后，通過點(diǎn)M0且與a，b平行的平面就惟一被確定.向量a，b叫平面的方位向量.任意兩個與平行的不共線的向量都可作為平面的方位向量.取標(biāo)架，設(shè)點(diǎn)M0的向徑==，平面上任意一點(diǎn)M的向徑為r=

={x，y，z}（如圖）.點(diǎn)M在平面上的充要條件為向量與向量a，b共面.由于a，b不共線，這個共面的條件可以寫成=ua＋vb而=r－r0，所以上式可寫成r

=r0＋ua＋vb

(3.1－1)此方程叫做平面的點(diǎn)位式向量參數(shù)方程，其中u，v為參數(shù).若令a={，，}，b={，，}，則由(3.1－1)可得

(3.1－2)此方程叫做平面的點(diǎn)位式坐標(biāo)參數(shù)方程，其中u，v為參數(shù).(3.1－1)式兩邊與a×b作內(nèi)積，消去參數(shù)u，v得(r－r0，a，b)=0

(3.1-3)此即=0

(3.1－4)這是的點(diǎn)位式普通方程.例1：已知平面上三非共線點(diǎn)（i=1，2，3）.求通過（i=1，2，3）的平面方程。解：建立坐標(biāo)系{O；e1,e2,e3}，設(shè)ri=

={，，}，i=1，2，3.對動點(diǎn)M，設(shè)r=={x，y，z}，取和為方位向量，M1為定點(diǎn)，則平面的向量參數(shù)方程，坐標(biāo)參數(shù)方程和一般方程依次為r=＋u(－)＋v(－r1)

(3.1－5)

(3.1－6)=0

(3.1－7)(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)統(tǒng)稱為平面的三點(diǎn)式方程.特別地，若是與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即(a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c)，其中abc≠0，則平面的方程就是=0

(3.1－8)即

(3.1－9)此方程叫平面的截距式方程，其中a，b，c稱為在三坐標(biāo)軸上的截距.2．平面的一般方程在空間，任一平面都可用其上一點(diǎn)M0(x0，y0，z0)和兩個方位向量a={，，}，b={，，}確定，因而任一平面都可用方程(3.1－4)表示.將(3.1－4)展開就可寫成Ax＋By＋Cz＋D=0

(3.1－10)其中

A=，B=，C=由于a={，，}與b={，，}不共線，所以A，B，C不全為零，這說明空間任一平面都可用關(guān)于a，b，c的一三元一次方程來表示.反之，任給一三元一次方程(3.1－10)，不妨設(shè)A≠0，則(3.1－10)可改寫成即它顯然表示由點(diǎn)M0(－D/A，0，0)和兩個不共線的向量{B，－A，0}和{C，0，－A}所決定的平面.于是有定理3.1.1

空間中任一平面的方程都可表為一個關(guān)于變數(shù)x，y，z的三元一次方程；反過來，任一關(guān)于變數(shù)x，y，z的三元一次方程都表示一個平面.方程(3.1－10)稱為平面的一般方程.現(xiàn)在先來討論幾種特殊的平面方程（平面對于坐標(biāo)系來講具有某種特殊位置）：1.D=0的平面都通過原點(diǎn)。2.A、B、C中有一個為0，例如C=0，則平面通過Z軸。3.A、B、C中有兩個為0，若D，B=C=0，平面平行于yoz坐標(biāo)面。.其余情況同學(xué)們自己討論。3．平面的法式方程。若給定一點(diǎn)M0和一個非零向量n，則過M0且與n垂直的平面也被惟一地確定.稱n為的法向量.在空間坐標(biāo)系{O；i，j，k}下，設(shè)=={x0，y0，z0}，n={A，B，C}，且平面上任一點(diǎn)M的向徑r=={x，y，z}，則因總有⊥n，有n(r－r0)=0

(3.1－11)也就是

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)=0

(3.1－12)方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面的點(diǎn)法式方程.(3.1－12)中的系數(shù)A，B，C有簡明的幾何意義，它們就是平面的一個法向量的分量.特別地，取M0為自O(shè)向所作垂線的垂足，而n為單位向量.當(dāng)平面不過原點(diǎn)時，取n為與同向的單位向量n0，當(dāng)平面過原點(diǎn)時取n0的正向為垂直與平面的兩個方向中的任一個.設(shè)||=p，則=pn0，由點(diǎn)P和n0確定的平面的方程為n0(r－pn0)=0式中r是平面的動向徑.由于，上式可寫成n0r－p=0

(3.1－13)此方程叫平面的向量式法式方程.若設(shè)r={x，y，z}，n0={cos，cos，cos}，則由(3.1－13)得xcos＋ycos＋zcos－p=0

(3.1－14)此為平面的坐標(biāo)法式方程，簡稱法式方程.平面的坐標(biāo)法式方程有如下特征：1°一次項系數(shù)是單位向量的分量，其平方和等于1；2°常數(shù)項－p≤0（意味著p≥0）.3°p是原點(diǎn)到平面的距離.例3:求通過點(diǎn)且平行于z軸的平面方程。

解：設(shè)平行于z軸的平面方程為Ax＋By＋D=0，因為它又要通過，所以有2A－B＋D=0，3A－2B＋D=0，由上兩式得A:B:C=所以所求平面方程為x＋y－1=04．化一般方程為法式方程

在直角坐標(biāo)系下，若已知的一般方程為Ax＋By＋Cz＋D=0，則n={A，B，C}是的法向量，Ax＋By＋Cz＋D=0可寫為nr＋D=0

(3.1－15)與(3.1－13)比較可知，只要以去乘(3.1－15)就可得法式方程Ax＋By＋Cz＋D=0

(3.1－16)其中正負(fù)號的選取，當(dāng)D≠0時應(yīng)使(3.1－16)的常數(shù)項為負(fù)，D＝0時可任意選.以上過程稱為平面方程的法式化，而將叫做法化因子.例2：已知兩點(diǎn)，，求線段垂直平分面的方程。解：

中點(diǎn)坐標(biāo)為：

平面的點(diǎn)法式方程為：

整理后得：例3：把平面：化為法式方程，并求出原點(diǎn)指向平面的單位法向量。

解：，所以法式方程為：§3.2

平面與點(diǎn)的相關(guān)位置

平面與點(diǎn)的位置關(guān)系，有兩種情形，就是點(diǎn)在平面上和點(diǎn)不在平面上.前者的條件是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足平面方程.點(diǎn)不在平面上時，一般要求點(diǎn)到平面的距離，并用離差反映點(diǎn)在平面的哪一側(cè).1．點(diǎn)到平面的距離定義3.2.1

自點(diǎn)M0向平面引垂線，垂足為Q.向量在平面的單位法向量n0上的射影叫做M0與平面之間的離差，記作=射影n0

(3.2－1)顯然

=射影n0

=·n0=∣∣cos∠(，n0)=±∣∣當(dāng)與n0同向時，離差>0；當(dāng)與n0反向時，離差<0.當(dāng)且僅當(dāng)M0在平面上時，離差=0.

顯然，離差的絕對值就是點(diǎn)M0到平面的距離.定理3.2.1

點(diǎn)M0與平面（3.1－13）之間的離差為=n0r0－p

(3.2－2)證：根據(jù)定義3.2.2和上圖得=射影n0=n0（-）=n0（r0－q）=n0r0－n0q

其中q=，而Q在平面（3.1-13）上，因此n0q=p，所以=n0r0－p。推論1

若平面的法式方程為，則與間的離差

(3.2－3)推論2

點(diǎn)與平面Ax＋By＋Cz＋D=0間的距離為

(3.2－4)2．平面劃分空間問題

三元一次不等式的幾何意義設(shè)平面的一般方程為Ax＋By＋Cz＋D=0則空間中任一點(diǎn)M（x，y，z）與間的離差為=(Ax＋By＋Cz＋D)式中為平面的法化因子，由此有Ax＋By＋Cz＋D=

(3.2－5)對于平面同側(cè)的點(diǎn)，的符號相同；對于在平面的異側(cè)的點(diǎn)，有不同的符號，而一經(jīng)取定，符號就是固定的.因此，平面：Ax＋By＋Cz＋D=0把空間劃分為兩部分，對于某一部分的點(diǎn)M(x，y，z)Ax＋By＋Cz＋D>0；而對于另一部分的點(diǎn)，則有Ax＋By＋Cz＋D<0，在平面上的點(diǎn)有Ax＋By＋Cz＋D=0.§3.3

兩平面的相關(guān)位置

空間兩平面的相關(guān)位置有3種情形，即相交、平行和重合.設(shè)兩平面1與2的方程分別是1：

(1)2：

(2)則兩平面1與2相交、平行或是重合，就決定于由方程（1）與（2）構(gòu)成的方程組是有解還是無解，或無數(shù)個解，從而我們可得下面的定理.定理3.3.1

兩平面（1）與（2）相交的充要條件是

(3.3－1)平行的充要條件是

(3.3－2)重合的充要條件是

(3.3－3)由于兩平面1與2的法向量分別為，當(dāng)且僅當(dāng)n1不平行于n2時1與2相交，當(dāng)且僅當(dāng)n1∥n2時1與2平行或重合，由此我們同樣能得到上面3個條件.下面定義兩平面間的夾角.設(shè)兩平面的法向量間的夾角為，稱1與2的二面角∠(1，2)=或－為兩平面間的夾角.顯然有=±cos=±

(3.3－4)定理3.3.2

兩平面（1）與（2）垂直的充要條件是

(3.3－5)例一平面過兩點(diǎn)和且垂直于平面x＋y＋z=0，求它的方程.解設(shè)所求平面的法向量為n={A，B，C}，由于在所求平面上，有，，即

.又n垂直于平面x＋y＋z=0的法線向量{1，1，1}，故有A＋B＋C=0解方程組

得

所求平面的方程為，約去非零因子C得，即

2x－y－z=0§3.4

空間直線的方程1．直線的點(diǎn)向式方程在空間給定了一點(diǎn)與一個非零向量v={X，Y，Z}，則過點(diǎn)M0且平行于向量v的直線l就惟一地被確定.向量v叫直線l的方向向量.顯然，任一與直線l上平行的飛零向量均可作為直線l的方向向量.下面建立直線l的方程.如圖，設(shè)M(x，y，z)是直線l上任意一點(diǎn)，其對應(yīng)的向徑是r={x，y，z}，而對應(yīng)的向徑是r0，則因//v，有t∈R，=tv.即有r－r0=tv所以得直線l的點(diǎn)向式向量參數(shù)方程

r=r0＋tv

(3.4－1)以諸相關(guān)向量的分量代入上式，得

根據(jù)向量加法的性質(zhì)就得直線l的點(diǎn)向式坐標(biāo)參數(shù)方程為

－∞<t<＋∞

(3.4－2)消去參數(shù)t，就得直線l的點(diǎn)向式對稱方程為

(3.4－3)此方程也叫直線l的標(biāo)準(zhǔn)方程.今后如無特別說明，在作業(yè)和考試時所求得的直線方程的結(jié)果都應(yīng)寫成對稱式.例1

設(shè)直線L通過空間兩點(diǎn)M1(x1，y1，z1)和M2(x2，y2，z2)，則取M1為定點(diǎn)，為方位向量，就得到直線的兩點(diǎn)式方程為

(3.4－4)根據(jù)前面的分析和直線的方程(3.4－1)，可得到

這個式子清楚地給出了直線的參數(shù)方程(3.4－1)或(3.4－2)中參數(shù)的幾何意義：參數(shù)t的絕對值等于定點(diǎn)M0到動點(diǎn)M之間的距離與方向向量的模的比值，表明線段M0M的長度是方向向量v的長度的|t|倍.特別地，若取方向向量為單位向量v0={cos，cos，cos}則(3.4－1)、(3.4－2)和(3.4－3)就依次變?yōu)?/p>

r=r0＋tv0

(3.4－5)

－∞<t<＋∞

(3.4－6)和

(3.4－7)此時因|v|=1，t的絕對值恰好等于l上兩點(diǎn)M0與M之間的距離.直線l的方向向量的方向角，，cos，cos，cos分別叫做直線l的方向角和方向余弦.由于任意一個與v平行的非零向量v'都可作為直線l的方向向量，而二者的分量是成比例的，我們一般稱X：Y：Z為直線l的方向數(shù)，用來表示直線l的方向.2．直線的一般方程空間直線l可看成兩平面1和2的交線.事實上，若兩個相交的平面1和2的方程分別為1：

2：

那么空間直線l上的任何一點(diǎn)的坐標(biāo)同時滿足這兩個平面方程，即應(yīng)滿足方程組

(3.4－8)反過來，如果點(diǎn)不在直線l上，那么它不可能同時在平面1和2上，所以它的坐標(biāo)不滿足方程組(3.4－8).因此，l可用方程組(3.4－8)表示，方程組(3.4－8)叫做空間直線的一般方程.一般說來，過空間一直線的平面有無限多個，所以只要在無限多個平面中任選其中的兩個，將它們的方程聯(lián)立起來，就可得到空間直線的方程.直線的標(biāo)準(zhǔn)方程(3.4－3)是一般方程的特殊形式.將標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般式，得到的是直線的射影式方程.將直線的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，只需在直線上任取一點(diǎn)，然后取構(gòu)成直線的兩個平面的兩個法向量的向量積為直線的方向向量即可.例將直線的一般方程化為對稱式和參數(shù)方程.解

令y=0，得這直線上的一點(diǎn)（1，0，－2）.兩平面的法向量為a={1，1，1}，b={2，－1，3}因a×b={4，－1，－3}，取為直線的法向量，即得直線的對稱式方程為令，則得所求的參數(shù)方程為§3.5

直線與平面的相關(guān)位置直線與平面的相關(guān)位置有直線與平面相交，直線與平面平行和直線在平面上3種情形.設(shè)直線l與平面的方程分別為

l：

(1）

：Ax＋By＋Cz＋D=0

(2)（1）也就是.將（2）代入（1），整理可得(AX＋BY＋CZ)t=－(Ax0＋By0＋Cz0＋D)

(3)當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ≠0時，（3）有惟一解這時直線l與平面有惟一公共點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ=0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0時，（3）無解，直線l與平面沒有公共點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)AX＋BY＋CZ=0，Ax0＋By0＋Cz0＋D=0時，（3）有無數(shù)多解，直線l在平面上.于是有定理3.5.1

關(guān)于直線（1）與平面（2）的相互位置，有下面的充要條件：1）相交：

AX＋BY＋CZ≠02）平行：

AX＋BY＋CZ=0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠03）直線在平面上：

AX＋BY＋CZ=0，Ax0＋By0＋Cz0＋D=0以上條件的幾何解釋：就是直線l的方向向量v與平面的法向量n之間關(guān)系.1）表示v與n不垂直；2）表示v與n垂直且直線l上的點(diǎn)（x0，y0，z0）不在平面上；3）表示v與n垂直且直線l上的點(diǎn)（x0，y0，z0）在平面上.當(dāng)直線l與平面相交時，可求它們的交角.當(dāng)直線