2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識梳理第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第1講兩個計數(shù)原理排列組合

第一講兩個計數(shù)原理、排列、組合知識梳理知識點一兩個計數(shù)原理1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要分成n個不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，……，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．知識點二排列與排列數(shù)1．排列的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．2．排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．3．排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且m≤n).4．全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，這里規(guī)定0?。?.知識點三組合與組合數(shù)1．組合的定義：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．2．組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．3．組合數(shù)的計算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，這里規(guī)定Ceq\o\al(0,n)＝1.4．組合數(shù)的性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).注：應(yīng)用公式化簡、求值、解方程、解不等式時，注意Aeq\o\al(m,n)、Ceq\o\al(m,n)中的隱含條件m≤n，且m，n∈N*.歸納拓展1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互聯(lián)系、相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事．2．對于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個途徑考慮(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素．(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置．(3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(√)(2)若組合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，則x＝m成立．(×)(3)4名同學(xué)分別報名參加學(xué)校的3個社團，每人限報一個，則不同的報法種數(shù)為43.(×)(4)正十二邊形共有54條對角線．(√)(5)用0,1,2,3,4這5個數(shù)字可以組成30個三位偶數(shù)．(×)(6)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).(√)題組二走進教材2．(選擇性必修3P38T3(2)改編)某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，安排語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育、藝術(shù)每科一節(jié)，要求數(shù)學(xué)排在上午，體育不排上午第一節(jié)和下午第二節(jié)，則不同的安排種數(shù)是312.[解析]上午第一節(jié)排數(shù)學(xué)有4Aeq\o\al(4,4)＝96種排法；上午第一節(jié)不排數(shù)學(xué)有3×3Aeq\o\al(4,4)＝216種排法，∴不同的排法共有96＋216＝312種排法．3．(選擇性必修3P27T17改編)在如圖所示的五個區(qū)域中涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為(C)A．24 B．48C．72 D．96[解析]區(qū)域ABECD涂法432(與A同色)12與A不同色11∴不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋1)＝72(種)，故選C.題組三走向高考4．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有(B)A．12種 B．24種C．36種 D．48種[解析]先將丙和丁捆在一起有Aeq\o\al(2,2)種排列方式，然后將其與乙、戊排列，有Aeq\o\al(3,3)種排列方式，最后將甲插入中間兩空，有Ceq\o\al(1,2)種排列方式，所以不同的排列方式共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)＝24種，故選B.5．(2023·高考全國甲卷)有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為(B)A．120 B．60C．40 D．30[解析]不妨記五名志愿者為a，b，c，d，e，假設(shè)a連續(xù)參加了兩天