2025版高考數(shù)學一輪總復習知識梳理第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第7講正態(tài)分布

第七講正態(tài)分布知識梳理知識點一正態(tài)曲線及其性質(zhì)1．正態(tài)曲線：函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ(σ＞0)為參數(shù)．我們稱函數(shù)f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．期望為μ、標準差為σ的正態(tài)分布通常記作X～N(μ，σ2).2．正態(tài)曲線的性質(zhì)：(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；(3)曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿著x軸平移；(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.知識點二正態(tài)分布1．正態(tài)分布的定義及表示．若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈R，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布，即X～N(0,1)．2．正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值(3σ原則)：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.σ原則：主要用于判定產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，機器運行是否正常等，也就是說3σ之外的概率是小概率事件，如果發(fā)生了說明產(chǎn)品不合格、機器運行不正常等．歸納拓展對于正態(tài)分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正態(tài)曲線的對稱軸知(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；(2)對任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(3)P(X<x0)＝1－P(x≥x0)；(4)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．注：在X服從正態(tài)分布，即X～N(μ，σ2)時，要充分利用正態(tài)曲線的關于直線x＝μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1.雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機變量，它不確定．(√)(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越?。?√)(3)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標準差．(√)(4)若X～N(0,1)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)))<Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2))).(×)題組二走進教材2．(選擇性必修3P87T2)某市高二年級男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52)，則P(165<X≤180)＝0.8186.[解析]P(165<X≤180)＝eq\f(P170－5<X<170＋5,2)＋eq\f(P170－10<X<170＋10,2)＝eq\f(0.6827＋0.9545,2)＝0.8186.題組三走向高考3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝0.14.[解析]因為X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.4．(2015·湖北)設X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列結(jié)論中正確的是(C)A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)[解析]由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)可知，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))的密度曲線分別關于直線x＝μ1，x＝μ2對稱，因此結(jié)合題中所給圖象可得，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，A錯誤；又X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))的密度曲線較Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))的密度曲線“瘦高”，所以σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，B錯誤；對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正確，D錯誤．5．(2021·全國新高考Ⅱ)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是(D)A．σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B．σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等[解析]對于A，σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越小，數(shù)據(jù)在μ＝10附近越集中，所以測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概