2025版高考數(shù)學一輪總復習知識梳理第7章立體幾何第5講空間向量及其運算

第五講空間向量及其運算知識梳理知識點一空間向量的有關(guān)概念1．空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量，其大小叫做向量的長度或模.(2)零向量：長度為0的向量，記作0；零向量與任意向量共線，0∥a；單位向量：模為1的向量；相反向量：與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a；相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在唯一確定的λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底．3．空間向量的數(shù)量積及運算律(1)已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空間向量數(shù)量積的運算律結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；交換律：a·b＝b·a；分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.知識點二空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．則向量表示坐標表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))空間兩點P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之間的距離為|P1P2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).知識點三兩個重要的向量1．直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個．2．平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量．知識點四空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?m·n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α、β的法向量分別為n、mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0歸納拓展1．向量三點共線定理在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點．2．向量四點共面定理在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點．3．|a|2＝a·a；|a·b|≤|a|·|b|.4．a(chǎn)·b>0?a、b的夾角為銳角或0角．即“a·b>0”是“a、b的夾角為銳角”的必要不充分條件．5．向量法證明空間的線面平行或垂直①a，b為平面α的基向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋μb(λ，μ∈R)，AB?α，則AB∥α.②若n為平面α的法向量，eq\o(AB,\s\up6(→))·n＝0.AB?α，則AB∥α.③a，b為平面α的基向量，若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·a＝0，,\o(AB,\s\up6(→))·b＝0，))則AB⊥α.雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面．(√)(2)在向量的數(shù)量積運算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(3)對于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c.(×)(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．(×)(5)平面的單位法向量是唯一確定的．(×)(6)若兩平面的法向量垂直，則兩平面垂直．(√)題組二走進教材2．(選擇性必修1P10T5)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M為A1C1的中點，若eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝c，則下列向量與eq\o(BM,\s\up6(→))相等的是(D)A．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c[解析]∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M為A1C1的中點，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1M,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝a＋c＋eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.故選D.3．(選擇性必修1P14T2)(2023·河南駐馬店模擬)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(A)A.eq\f(\r(6),6) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)[解析]解法一：記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，由題意知a、b、c兩兩夾角均為eq\f(π,3)，設AB＝1，則eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝－a＋b＋c，∴|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝eq\r(a＋c2)＝eq\r(3)，|eq\o(BC1,\s\up6(→))|＝eq\r(－a＋b＋c2)＝eq\r(2)，∴cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),|\o(AB1,\s\up6(→))||\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(6),6).解法二：將三棱柱補成平行六面體(如圖)，連AD1，B1D1，則AD1∥BC1，∴∠B1AD1或其補角即為AB1與BC1所成的角，設AB＝1，則AB1＝eq\r(3)，AD1＝BC1＝eq\r(2)，B1D1＝eq\r(3)，∴cos∠B1AD1＝eq\f(\f(AD1,2),AB1)＝eq\f(\r(2),2\r(3))＝eq\f(\r(6),6).題組三走向高考4．(多選題)(2021·全國新高考Ⅱ)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點，則滿足MN⊥OP的是(BC)[解析]不妨設正方體棱長為2，對于A，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝4≠0，∴MN不垂直O(jiān)P.對于B，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝0，∴MN⊥OP.對于C，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－2,0，－2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝0，∴MN⊥OP.對于D，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0，－2,2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,0,2)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝4≠0，∴MN不垂直O(jiān)P.故選BC.5．(多選題)(2021·全國新課標Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，點P滿足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，則(BD)A．當λ＝1時，△AB1P的周長為定值B．當μ＝1時，三棱錐P－A1BC的體積為定值C．當λ＝eq\f(1,2)時，有且僅有一個點P，使得A1P⊥BPD．當μ＝eq\f(1,2)時，有且僅有一個點P，使得A1B⊥平面AB1P[解析]易知，點P在矩形BCC1B1內(nèi)部(含邊界)．對于A，當λ＝1時，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(CC1,\s\up6(→))，即此時P∈線段CC1，△AB1P周長不是定值，故A錯誤；對于B，當μ＝1時，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋λeq\o(B1C1,\s\up6(→))，故此時P點軌跡為線段B1C1，而B1C1∥BC，B1C1∥平面A1BC，則有P到平面A1BC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確；對于C，當λ＝eq\f(1,2)時，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))，取BC，B1C1中點分別為Q，H，則eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BQ,\s\up6(→))＋μeq\o(QH,\s\up6(→))，所以P點軌跡為線段QH，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1))，P(0,0，μ)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，則eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0，μ－1))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，μ))，eq\o(A1P,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝μ(μ－1)＝0，所以μ＝0或μ＝1.故H，Q均滿足，故C錯誤；對于D，當μ＝eq\f(1,2)時，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→))，取BB1，CC1中點為M，N.eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MN,\s\up6(→))，所以P點軌跡為線段MN.設Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，y0，\f(1,2)